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小专题9　交变电流规律的应用
[学习目标]　
1.通过对交变电流产生过程、表达式及图像的分析与应用,进一步加深对交变电流产生机制的理解.
2.能区分交变电流的最大值、瞬时值、有效值、平均值,并会进行有关计算.
(重点)
知识点一　交变电流的产生、表达式和图像
正弦式交变电流的公式和图像
[例1] (交变电流产生过程)如图所示,甲→乙→丙→丁→甲过程是交流发电机发电的示意图,线圈的ab边连在金属滑环K上,cd边连在金属滑环L上,用导体制成的两个电刷分别压在两个滑环上,线圈在匀速转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接.已知线圈转动的角速度为ω,转动过程中电路中的最大电流为Im.下列选项正确的是(　　)
[A] 在图甲位置时,线圈中的磁通量最大,感应电流最大
[B] 从图乙位置开始计时,线圈中电流i随时间t变化的关系式为i=Imsin ωt
[C] 在图丙位置时,线圈中的磁通量最大,磁通量的变化率也最大
[D] 在图丁位置时,感应电动势最大,cd边中的电流方向为d→c
D
甲 乙 丙 丁
【解析】 在题图甲位置时,线圈中的磁通量最大,磁通量的变化率为0,感应电动势为0,感应电流为0,故A错误;从题图乙位置开始计时,线圈中电流i随时间t变化的关系式为i=Imcos ωt,故B错误;在题图丙位置时,线圈中的磁通量最大,磁通量的变化率为0,故C错误;在题图丁位置时,线圈中的磁通量为0,磁通量变化率最大,感应电动势最大,根据右手定则可知,cd边中的电流方向为d→c,故D正确.
[例2] (对交变电流图像的理解)一个矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动,穿过线圈的磁通量随时间变化的图像如图甲所示,则下列说法正确的是(　　)
[A] t=0时刻,线圈平面与中性面垂直
[B] t=0.01 s时刻,磁通量的变化率达到最大
[C] t=0.02 s时刻,交流电动势达到最大
[D] 该线圈相应的交流电动势图像如图乙所示
B
知识点二　对交变电流四值的理解与应用
正弦式交变电流四值的比较
C
[例4] (交变电流有效值的计算)一个边长为6 cm的单匝正方形金属线框置于匀强磁场中,线框平面与磁场方向垂直,电阻为0.36 Ω.磁感应强度B随时间t的变化关系如图所示,则线框中感应电流的有效值为(　　)
B
[例5] (对交变电流四值的理解与应用)如图所示,位于竖直平面内的矩形金属线圈,边长L1=0.40 m、L2=0.25 m,其匝数n=100,总电阻r=1.0 Ω,线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D(集流环)接在一起,并通过电刷和R=3.0 Ω 的定值电阻相连接.线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场,磁感应强度B=1.0 T,在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O1O2匀速转动,角速度ω=2.0 rad/s.求:
(1)电阻R两端电压的最大值;
【答案】 (1)15 V
【答案】 (2)2.5 C
(3)在线圈转动一周的过程中,整个电路产生的焦耳热.
【答案】 (3)157 J
感谢观看小专题9　交变电流规律的应用
[学习目标]
1.通过对交变电流产生过程、表达式及图像的分析与应用,进一步加深对交变电流产生机制的理解.
2.能区分交变电流的最大值、瞬时值、有效值、平均值,并会进行有关计算.(重点)
知识点一　交变电流的产生、表达式和图像
正弦式交变电流的公式和图像
物理量 函数表达式 图像 峰值和有 效值的关系
磁通量 Φ=Φmcos ωt=BScos ωt
电动势 e=Emsin ωt=Emsin t Em=E
电压 u=Umsin ωt =Umsin t =sin ωt Um=U
电流 i=Imsin ωt= Imsin t=sin ωt Im=I
[例1] (交变电流产生过程)如图所示,甲→乙→丙→丁→甲过程是交流发电机发电的示意图,线圈的ab边连在金属滑环K上,cd边连在金属滑环L上,用导体制成的两个电刷分别压在两个滑环上,线圈在匀速转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路连接.已知线圈转动的角速度为ω,转动过程中电路中的最大电流为Im.下列选项正确的是(　　)
甲 乙 丙 丁
[A] 在图甲位置时,线圈中的磁通量最大,感应电流最大
[B] 从图乙位置开始计时,线圈中电流i随时间t变化的关系式为i=Imsin ωt
[C] 在图丙位置时,线圈中的磁通量最大,磁通量的变化率也最大
[D] 在图丁位置时,感应电动势最大,cd边中的电流方向为d→c
【答案】 D
【解析】 在题图甲位置时,线圈中的磁通量最大,磁通量的变化率为0,感应电动势为0,
感应电流为0,故A错误;从题图乙位置开始计时,线圈中电流i随时间t变化的关系式为i=Imcos ωt,故B错误;在题图丙位置时,线圈中的磁通量最大,磁通量的变化率为0,故C错误;在题图丁位置时,线圈中的磁通量为0,磁通量变化率最大,感应电动势最大,根据右手定则可知,cd边中的电流方向为d→c,故D正确.
[例2] (对交变电流图像的理解)一个矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴匀速转动,穿过线圈的磁通量随时间变化的图像如图甲所示,则下列说法正确的是(　　)
[A] t=0时刻,线圈平面与中性面垂直
[B] t=0.01 s时刻,磁通量的变化率达到最大
[C] t=0.02 s时刻,交流电动势达到最大
[D] 该线圈相应的交流电动势图像如图乙所示
【答案】 B
【解析】 由题图甲知,当t=0时,Φ最大,说明线圈平面与中性面重合,A错误;当t=0.01 s时,
Φ=0最小,Φ-t图像的斜率最大,即磁通量的变化率最大,B正确;当t=0.02 s时,Φ也最大,交流电动势为0,C错误;由以上分析可知,选项D错误.
知识点二　对交变电流四值的理解与应用
正弦式交变电流四值的比较
项目 物理含义 重要关系 适用情况
瞬时值 交变电流某一时刻的值 e=Emsin ωt i=Imsin ωt 分析线圈某一时刻的受力情况
最大值 最大的瞬时值 Em=nBSω Im= 确定用电器的耐压值
有效值 跟交变电流的热效应等效的恒定电流的值 E= U= I= (1)计算与电流热效应相关的量(如功率、热量). (2)交流电表的测量值. (3)电气设备标注的额定电压、额定电流. (4)保险丝的熔断电流
平均值 交变电流图像中图线与时间轴所夹面积与时间的比值 =n = 计算通过电路截面的电荷量
[例3] (交变电流有效值的计算)如图所示的交变电流,在0～T内按正弦规律变化,则该交流电压的有效值为(　　)
[A] 10 V [B] 5 V
[C] V [D] V
【答案】 C
【解析】 取一个周期进行分析,在前T是正弦式电流,则电压的有效值等于 V=5 V,后T是恒定电流,则有效值等于5 V,根据有效值定义可得·T+·T=·T,解得
U= V,故C正确.
[例4] (交变电流有效值的计算)一个边长为6 cm的单匝正方形金属线框置于匀强磁场中,线框平面与磁场方向垂直,电阻为0.36 Ω.磁感应强度B随时间t的变化关系如图所示,则线框中感应电流的有效值为(　　)
[A] ×10-5 A [B] ×10-5 A
[C] ×10-5 A [D] ×10-5 A
【答案】 B
【解析】 由法拉第电磁感应定律E=和闭合电路欧姆定律I=,可得线框中0～3 s内产生的感应电流I1=2×10-5 A,3～5 s内产生的感应电流I2=3×10-5 A,且与0～3 s内电流方向相反,于是可作出i随时间t变化的图像如图所示.由有效值的定义得Rt1+Rt2=I2Rt,代入数据可得电流的有效值I=×10-5 A,故B正确.
[例5] (对交变电流四值的理解与应用)如图所示,位于竖直平面内的矩形金属线圈,边长L1=0.40 m、L2=0.25 m,其匝数n=100,总电阻r=1.0 Ω,线圈的两个末端分别与两个彼此绝缘的铜环C、D(集流环)接在一起,并通过电刷和R=3.0 Ω 的定值电阻相连接.线圈所在空间存在水平向右的匀强磁场,磁感应强度B=1.0 T,在外力驱动下线圈绕竖直固定中心轴O1O2匀速转动,角速度ω=2.0 rad/s.求:
(1)电阻R两端电压的最大值;
(2)从线圈平面与磁场方向垂直的位置开始计时,经过周期通过电阻R的电荷量;
(3)在线圈转动一周的过程中,整个电路产生的焦耳热.
【答案】 (1)15 V　(2)2.5 C　(3)157 J
【解析】 (1)线圈中感应电动势的最大值Em=nBSω=nBL1L2ω=20 V,
线圈中感应电流的最大值Im==5.0 A,
电阻R两端电压的最大值Um=ImR=15 V.
(2)从线圈平面与磁场方向垂直的位置开始计时,经过周期的时间Δt=,线圈转过90°,此过程线圈中的平均感应电动势=n=n,
通过电阻R的平均电流==,
通过电阻R的电荷量q=Δt==2.5 C.
(3)线圈中感应电流的有效值I== A,
又T==π s,
则线圈转动一周的过程中,电流通过整个电路产生的焦耳热Q=I2(R+r)T=50π J≈157 J.
课时作业(二十一)　交变电流规律的应用
(分值:80分)
(选择题每题6分)
知识点一　交变电流的产生、表达式和图像
1.已知某交变电流的瞬时值表达式为i=10sin(10πt) A,则(　　)
[A] 交变电流的频率为10 Hz
[B] 交流发电机线圈转动的角速度为10 rad/s
[C] 交变电流的峰值为10 A
[D] 若线圈的匝数n=10,则穿过线圈的磁通量的最大值为0.1 Wb
【答案】 C
【解析】 根据ω=2πf得f=5 Hz,A错误;由表达式i=10sin(10πt) A,可知发电机线圈转动的角速度为10π rad/s,交变电流的峰值为10 A,B错误,C正确;因电动势的峰值未知,则无法求出穿过线圈的磁通量的最大值,D错误.
2.(多选)图甲为交流发电机的示意图,匀强磁场的磁感应强度为B,矩形线圈abcd的匝数为n,面积为S,总电阻为r,绕轴OO′以角速度ω做匀速转动,线圈与外电阻R和理想交流电流表形成闭合回路.图乙是线圈转动过程中产生的感应电动势e随时间t变化的图像,下列说法正确的是(　　)
[A] 电动势的最大值为nBSω
[B] 电流的最大值为
[C] t3时刻穿过线圈的磁通量为BS
[D] t1～t3时间内穿过线圈的磁通量变化量为0
【答案】 AD
【解析】 由题图乙可知,此为正弦式交变电流,电动势最大值为Em=nBSω,故A正确;电流的最大值为Im=,故B错误;由题图乙知t1和t3时刻电动势最大,则此时穿过线圈的磁通量均为0,故t1～t3时间内穿过线圈的磁通量变化量为0,故C错误,D正确.
知识点二　对交变电流四值的理解与应用
3.(天津卷)如图所示,闭合开关后,R=5 Ω的电阻两端的交流电压为u=50sin(10πt)V,电压表和电流表均为理想交流电表,则(　　)
[A] 该交流电的周期为0.02 s
[B] 电压表的示数为100 V
[C] 电流表的示数为10 A
[D] 电阻的电功率为1 kW
【答案】 C
【解析】 该交流电的周期T== s=0.2 s,电压表的示数为交流电的有效值,
即U= V=50 V,A、B错误;电流表的示数为I== A=10 A,C正确;电阻的电功率为P=IU=10×50 W=500 W,D错误.
4.科技小组制作的风力发电机简易模型如图甲所示,在风力的作用下,风叶带动与其固定在一起的永磁体转动,转速与风速成正比.某一风速时,线圈中产生的正弦式交变电流如图乙所示,则(　　)
[A] t=0.1 s时穿过线圈的磁通量为0
[B] 磁体的角速度为20π rad/s
[C] 风速减半时电流i=0.6sin(20πt)A
[D] 风速减半时线圈中电流的有效值为0.6 A
【答案】 B
【解析】 t=0.1 s时感应电流为0,感应电动势也为0,根据法拉第电磁感应定律可知磁通量的变化率为0,此时穿过线圈的磁通量最大,A错误;由题图可知交变电流的周期T=0.1 s,则角速度ω==20π rad/s,B正确;风速减半,转速减半,角速度ω′=2πn′=10π rad/s,感应电流最大值减半,电流的表达式应为i=0.6sin(10πt)A,C错误;根据正弦式交变电流的有效值与峰值的关系可知,风速减半时线圈中电流的最大值为0.6 A,有效值为 A,D错误.
5.(多选)如图甲所示,单匝闭合矩形线框的电阻为R,在匀强磁场中绕与磁感线垂直的轴匀速转动,穿过线框的磁通量Φ与时间t的关系图像如图乙所示.下列说法正确的是(　　)
[A] 时刻线框平面与中性面垂直
[B] 线框的感应电动势的有效值为
[C] 线框转一周外力所做的功为
[D] 从t=0到t=过程中线框的平均感应电动势为
【答案】 BC
【解析】 由题图乙可知,时刻线框的磁通量最大,此时线框处于中性面位置,故A错误;由题图乙可知交变电流的周期为T,则ω=,交变电流的电动势的最大值为Em=BSω=Φm,则有效值为E有==,故B正确;线框转一周外力所做的功即转动一周的发热量且为W=Q=T=,故C正确;从0时刻到时刻的平均感应电动势为===,故D错误.
6.如图所示,虚线是正弦交流电的图像,实线是另一交流电的图像,它们的周期T和最大值Um相同,则实线所对应的交流电的有效值U满足(　　)
[A] U= [B] U=
[C] U> [D] U<
【答案】 D
【解析】 因虚线是正弦交流电图像,则该交流电的有效值为U有效值==,由题图可知,在任意时刻,实线所代表的交流电的瞬时值都不大于虚线表示的正弦交流电的瞬时值,
则实线所代表的交流电的有效值小于虚线所表示的正弦交流电的有效值,即U<,
D正确.
7.(多选)甲、乙、丙三个金属线框的匝数、面积、电阻均相同,线框上有磁场的区域,磁感应强度都相同.现让三个线框以相同的角速度绕各自正中间竖直轴逆时针转动.下列说法正确的是(　　)
[A] 甲、乙两线框产生的感应电流的有效值之比为2∶1
[B] 甲、丙两线框感应电流的峰值一样大
[C] 图中甲线框此时处于中性面,磁通量最大,磁通量的变化也最快
[D] 计算线框的电荷量q=It中的I是电流的有效值
【答案】 AB
【解析】 甲、乙两线框产生的感应电动势的最大值分别为Em甲=nBωS,Em乙=nBωS,根据E=,感应电动势的有效值之比为2∶1,则根据I=,感应电流的有效值之比为2∶1,A正确;丙线框产生的感应电动势最大值为Em丙=nBωS,即甲、丙两线框感应电动势的峰值一样大,则感应电流的峰值也一样大,B正确;甲线框此时处于中性面,磁通量最大,磁通量的变化最慢,C错误;计算线框的电荷量q=It中的I是电流的平均值,D错误.
(选择题每题9分)
8.教学用发电机能够产生正弦式交变电流,原理如图所示.矩形线圈abcd的面积为S,匝数为N,电阻为r,线圈在磁感应强度为B的匀强磁场中绕垂直磁场方向的轴OO′以角速度ω匀速转动,利用该发电机向定值电阻R供电,电压表和电流表均可视为理想电表.下列说法正确的是(　　)
[A] 线圈由图示位置转过60°时电流表的示数为
[B] 线圈由图示位置转过60°时,线圈中的瞬时电流为
[C] 线圈每转动一个周期电流方向改变1次
[D] 电压表的示数为
【答案】 A
【解析】 线圈中产生的感应电动势的最大值为Em=NBSω,感应电流最大值Im=,电流表的示数为有效值,则电流表的示数I=,A正确;线圈由题图所示位置转过60°时,
线圈中的瞬时电流为i=sin 60°=,B错误;线圈每转动一个周期电流方向改变
2次,C错误;电压表测量路端电压,示数为U=IR=,D错误.
9.(多选)利用二极管的单向导电性,可以对交变电流进行整流,将交变电流变为直流.一种简单的整流电路如图甲所示,a、b为交变电流信号输入端,VD为二极管,R为定值电阻.正弦式交变电流信号输入后,电阻R两端的电压如图乙所示,则下列说法正确的是(　　)
[A] 交变电流的频率为50 Hz
[B] R两端电压的有效值为50 V
[C] 若电阻R=10 Ω,则1 min内R产生的热量为1.5×104 J
[D] 一个标有“95 V　30 μF”字样的电容器并联在电阻R的两端,可以正常工作
【答案】 AC
【解析】 由题图乙可知,该电压的周期为0.02 s,可知交变电流的频率为f== Hz=50 Hz,
故A正确;由题图乙可知,前内最大电压为100 V,后内电压是零,由有效值的定义可得·=T,解得R两端电压的有效值为U=50 V,故B错误;若电阻R=10 Ω,由焦耳定律
可得,1 min内R产生的热量为Q=·t=1.5×104 J,故C正确;因电阻R两端的电压最大值为100 V,大于95 V,因此一个标有“95 V　30 μF”字样的电容器并联在电阻R两端,不能正常工作,故D错误.
10.(10分)如图所示,在匀强磁场中有一个内阻r=3 Ω、面积S=0.02 m2的半圆形导线框可绕OO′轴旋转.已知匀强磁场的磁感应强度B= T.若线框以ω=100π rad/s的角速度匀速转动,且通过电刷给“6 V　12 W”的小灯泡供电,则:
(1)(5分)若从图示位置开始计时,求线框中感应电动势的瞬时值表达式;
(2)(5分)由题中所给已知条件,外电路所接小灯泡能否正常发光 如不能,则小灯泡实际功率为多大
【答案】 (1)e=10cos(100πt)V　(2)不能　 W
【解析】 (1)线框转动时产生的感应电动势的最大值
Em=BSω=×0.02×100π V=10 V,
因线框转动从平行于磁感线位置开始计时,则感应电动势的瞬时值表达式为
e=Emcos ωt=10cos(100πt)V.
(2)由题意知灯泡的电阻R=3 Ω,
线框产生的电动势的有效值E==10 V,灯泡两端的电压U=R=5 V<6 V,故灯泡不能正常发光,其实际功率P== W= W.
11.(10分)某同学设计的一种振动发电装置的示意图如图甲所示,一个半径r=0.1 m、匝数n=20的线圈套在永久磁铁槽中,磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布(其右视图如图乙所示).在线圈所在位置磁感应强度的大小均为B=0.2 T,线圈的电阻为R1=0.5 Ω,它的引出线接有R2=9.5 Ω的小灯泡L.外力推动线圈框架的P端,使线圈沿轴线做往复运动时,便有电流通过灯泡.当线圈向右的位移x随时间t变化的规律如图丙所示时(x取向右为正),求:
(1)(2分)线圈运动时产生的感应电动势E;
(2)(2分)线圈运动时产生的感应电流I;
(3)(3分)每一次推动线圈运动过程中外力F的大小;
(4)(3分)该发电机的输出功率P.
【答案】 (1)2 V　(2)0.2 A　(3)0.5 N (4)0.38 W
【解析】 (1)由xt图像,可得线圈切割磁感线的速度v==0.8 m/s
线圈做切割磁感线运动产生的感应电动势E=n·2πrBv=20×2×3.14×0.1×0.2×0.8 V≈2 V.
(2)由闭合电路欧姆定律可得,感应电流I== A=0.2 A.
(3)由于线圈每次运动都是匀速直线运动由平衡条件得F=F安
则F=nBI·2πr=20×0.2×0.2×2×3.14×0.1 N≈0.5 N.
(4)发电机的输出功率即小灯泡的电功率P=I2R2=(0.2)2×9.5 W=0.38 W.

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