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小专题5　带电粒子在叠加场及交变电、磁场中的运动
[学习目标]　
1.知道叠加场的种类,学习带电粒子(物体)在叠加场中运动问题的基本解题思路.
2.能分析和求解带电粒子(物体)在交变电场、磁场中的运动问题.(重难点)
知识点一　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场:在同一区域内有电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式.
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直 线运动 其他力的合力与洛伦兹力等大反向 平衡条件
匀速圆 周运动 除洛伦兹力外,其他力的合力为零 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外,其他力的合力既不为零,也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律
[例1] (带电粒子在叠加场中做直线运动情况的分析)(2024·广雅中学)如图所示,一带电粒子在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做直线运动. 已知电场的电场强度为E,方向竖直向下;磁场的磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里. 不计粒子重力和空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
C
·方法总结·
不计重力的带电粒子在电磁叠加场中的运动分析方法
1.不计重力的带电粒子在正交的电场和磁场叠加场中做直线运动,电场力和洛伦兹力一定相互平衡,可利用二力平衡解题.
2.不计重力的带电粒子在正交的电场和磁场的叠加场中偏转,一定是电场力和洛伦兹力不平衡造成的.此过程中电场力做功,洛伦兹力不做功,需根据电场力做功的正负判断动能的变化,或根据动能定理等有关规律求解相关问题.
[训练1] (2024·广州执信中学)如图所示,两块带电金属极板a、b水平正对放置,极板长度、板间距均为L,板间存在方向竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场.一质量为m、电荷量为+q的粒子,以水平速度v0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间,恰好做匀速直线运动,不计粒子重力.
(1)求匀强磁场磁感应强度的大小B.
(2)若撤去磁场只保留电场,求粒子射出电场时沿电场方向移动的距离y.
(3)若撤去电场,仅将磁感应强度大小调为B′,粒子恰能从上极板右边缘射出,求B′的大小.
[例2] (带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动情况的分析)(多选)如图所示,在真空中某区域内有互相垂直的匀强电场和匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度大小为B,电场方向竖直向下,电场强度大小为E.一带电液滴在竖直平面内做匀速圆周运动,已知轨迹半径为R,重力加速度为g,则(　 　)
AC
·方法总结·
带电物体在电磁叠加场中的运动分析方法
带电物体所受重力往往不能忽略,所以在电场、磁场叠加场中运动时,相当于电场力、洛伦兹力、重力并存:
1.若带电物体所受合外力为零,将处于静止状态或做匀速直线运动.
2.若带电物体所受的重力与电场力大小相等、方向相反,仅在洛伦兹力的作用下,将在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.
3.若带电物体所受合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,将做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.
[训练2] 如图所示,在xOy竖直平面内,区域0≤x≤L内存在沿x轴正方向的匀强电场E和垂直向里的匀强磁场Ⅰ(磁感应强度为B1);区域L≤x≤2L内存在沿y轴正方向的匀强电场E和垂直向外的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度为B2).一个质量为m、带电荷量为+q的带电小球从坐标原点以速度v0沿与x轴成45°角方向射入,小球沿直线匀速穿过0≤x≤L区域,在L≤x≤2L的区域运动一段时间后,沿x轴正方向射出该区域.已知L、m、q、v0,重力加速度为g,求:
(1)电场强度E的大小.
(2)磁感应强度B2的大小.
(3)小球从原点出发到离开x=2L的总时间.
知识点二　带电粒子在交变电、磁场中的运动
1.常见类型
(1)电场周期性变化,磁场不变.
(2)磁场周期性变化,电场不变.
(3)电场和磁场周期性变化.
2.分析思路
(1)仔细分析并确定各场的变化特点,抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口.
(2)把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析.
(3)把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理,根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律,联立不同阶段的方程求解.
(2)粒子偏离x轴的最大距离;
(3)粒子运动至A点的时间.
【答案】 (3)32t0
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[学习目标]
1.知道叠加场的种类,学习带电粒子(物体)在叠加场中运动问题的基本解题思路.
2.能分析和求解带电粒子(物体)在交变电场、磁场中的运动问题.(重难点)
知识点一　带电粒子在叠加场中的运动
1.叠加场:在同一区域内有电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式.
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直 线运动 其他力的合力与洛伦兹力等大反向 平衡条件
匀速圆 周运动 除洛伦兹力外,其他力的合力为零 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的 曲线运动 除洛伦兹力外,其他力的合力既不为零,也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律
[例1] (带电粒子在叠加场中做直线运动情况的分析)(2024·广雅中学)如图所示,一带电粒子在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做直线运动. 已知电场的电场强度为E,方向竖直向下;磁场的磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里. 不计粒子重力和空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
[A]粒子一定带正电
[B]粒子可能做匀变速直线运动
[C]粒子所受合外力为零
[D]粒子速度v=
【答案】 C
【解析】 粒子在电场和磁场的复合场中做直线运动,则有qE=Bqv,解得v=,带电性不确定,所受合力为零,必然做匀速直线运动,C正确.
不计重力的带电粒子在电磁叠加场中的运动分析方法
1.不计重力的带电粒子在正交的电场和磁场叠加场中做直线运动,电场力和洛伦兹力一定相互平衡,可利用二力平衡解题.
2.不计重力的带电粒子在正交的电场和磁场的叠加场中偏转,一定是电场力和洛伦兹力不平衡造成的.此过程中电场力做功,洛伦兹力不做功,需根据电场力做功的正负判断动能的变化,或根据动能定理等有关规律求解相关问题.
[训练1] (2024·广州执信中学)如图所示,两块带电金属极板a、b水平正对放置,极板长度、板间距均为L,板间存在方向竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场.一质量为m、电荷量为+q的粒子,以水平速度v0从两极板的左端正中央沿垂直于电场、磁场的方向进入极板间,恰好做匀速直线运动,不计粒子重力.
(1)求匀强磁场磁感应强度的大小B.
(2)若撤去磁场只保留电场,求粒子射出电场时沿电场方向移动的距离y.
(3)若撤去电场,仅将磁感应强度大小调为B′,粒子恰能从上极板右边缘射出,求B′的大小.
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)带电粒子受到的电场力与洛伦兹力平衡,则有qE=qv0B
可得B=.
(2)只保留电场,粒子做平抛运动,则在水平方向上有L=v0t
在竖直方向上有y=at2,其中a=
解得y=.
(3)设粒子做匀速圆周运动的半径为r,由洛伦兹力提供向心力,则有qv0B′=
由几何关系r2=L2+
解得B′=.
[例2] (带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动情况的分析)(多选)如图所示,在真空中某区域内有互相垂直的匀强电场和匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度大小为B,电场方向竖直向下,电场强度大小为E.一带电液滴在竖直平面内做匀速圆周运动,已知轨迹半径为R,重力加速度为g,则(　　)
[A]液滴带负电
[B]液滴的比荷=
[C]液滴的速度大小v=
[D]液滴沿逆时针方向运动
【答案】 AC
【解析】 液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动,可知液滴受到的重力和电场力是一对平衡力,重力方向竖直向下,所以电场力方向竖直向上,与电场方向相反,则液滴带负电,故A正确;根据电场力和重力平衡可得qE=mg,解得=,故B错误;由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得液滴的速度大小为v==,故C正确;磁场方向垂直纸面向里,洛伦兹力的方向始终指向圆心,由左手定则可判断液滴沿顺时针方向运动,故D错误.故选AC.
带电物体在电磁叠加场中的运动分析方法
带电物体所受重力往往不能忽略,所以在电场、磁场叠加场中运动时,相当于电场力、洛伦兹力、重力并存:
1.若带电物体所受合外力为零,将处于静止状态或做匀速直线运动.
2.若带电物体所受的重力与电场力大小相等、方向相反,仅在洛伦兹力的作用下,将在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.
3.若带电物体所受合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,将做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.
[训练2] 如图所示,在xOy竖直平面内,区域0≤x≤L内存在沿x轴正方向的匀强电场E和垂直向里的匀强磁场Ⅰ(磁感应强度为B1);区域L≤x≤2L内存在沿y轴正方向的匀强电场E和垂直向外的匀强磁场Ⅱ(磁感应强度为B2).一个质量为m、带电荷量为+q的带电小球从坐标原点以速度v0沿与x轴成45°角方向射入,小球沿直线匀速穿过0≤x≤L区域,在L≤x≤2L的区域运动一段时间后,沿x轴正方向射出该区域.已知L、m、q、v0,重力加速度为g,求:
(1)电场强度E的大小.
(2)磁感应强度B2的大小.
(3)小球从原点出发到离开x=2L的总时间.
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)带电小球在0≤x≤L区域做匀速直线运动,对其受力分析如图所示:
由共点力平衡可得qE=mg,则E=.
(2)带电小球在L≤x≤2L区域,竖直方向上的重力与电场力平衡,小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动.设轨迹半径为R,由几何关系可知R==L
由洛伦兹力提供向心力得qv0B2=m,解得B2=.
(3)设带电小球在0≤x≤L区域运动时间为t1,则有t1=
设带电小球在L≤x≤2L区域运动时间为t2,则有t2=T=
小球从原点出发到离开x=2L边界所需要的时间t=t1+t2=.
知识点二　带电粒子在交变电、磁场中的运动
1.常见类型
(1)电场周期性变化,磁场不变.
(2)磁场周期性变化,电场不变.
(3)电场和磁场周期性变化.
2.分析思路
(1)仔细分析并确定各场的变化特点,抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口.
(2)把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析.
(3)把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理,根据每一个阶段上的受力情况确定粒子的运动规律,联立不同阶段的方程求解.
[例3] (电场和磁场周期性变化的问题)如图甲所示,在xOy平面内存在磁场和电场,磁感应强度和电场强度大小随时间周期性变化,B的变化周期为4t0,E的变化周期为2t0,变化规律分别如图乙和图丙所示.在t=0时刻从O点发射一带负电的粒子(不计重力),初速度大小为v0,方向沿y轴正方向.在x轴上有一点A(图中未标出),坐标为.若规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向,y轴正方向为电场强度的正方向,v0、t0、B0为已知量,磁感应强度与电场强度的大小满足=;粒子的比荷满足=.求:
(1)在t=时,粒子的位置坐标;
(2)粒子偏离x轴的最大距离;
(3)粒子运动至A点的时间.
【答案】 (1)　(2)1.5v0t0+　(3)32t0
【解析】 (1)在0～t0时间内,粒子做匀速圆周运动,根据洛伦兹力提供向心力可得
qB0v0=,r1=
周期T==2t0,则在时间内转过的圆心角α=,所以在t=时,粒子的位置坐标为.
(2)在t0～2t0时间内,粒子经电场加速后的速度为v,粒子的运动轨迹如图所示
v=v0+t0=2v0
运动的位移x=t0=1.5v0t0
在2t0～3t0时间内粒子做匀速圆周运动,半径r2=2r1=
故粒子偏离x轴的最大距离h=x+r2=1.5v0t0+.
(3)粒子在xOy平面内做周期性运动的运动周期为4t0,一个周期内向右运动的距离
d=2r1+2r2=
AO间的距离为=8d
所以,粒子运动至A点的时间为t=32t0.
课时作业(十)　带电粒子在叠加场及交变电、磁场中的运动
(分值:60分)
(选择题每题6分)
知识点一　带电粒子在叠加场中的运动
1.(多选) 质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区,该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下,恰好沿直线运动到A点,下列说法正确的有(　　)
[A]该微粒一定带负电荷
[B]微粒从O到A的运动可能是匀变速运动
[C]该磁场的磁感应强度大小为
[D]该电场的电场强度大小为
【答案】 ACD
【解析】 若微粒带正电,则微粒所受电场力向左,洛伦兹力垂直于OA斜向右下方,则电场力、洛伦兹力和重力不能平衡,微粒如果做变速运动,重力和电场力不变,而洛伦兹力随速度的变化而变化,微粒不能沿直线运动,故微粒带负电,做匀速直线运动,A正确,B错误;对微粒受力分析,如图所示,由平衡条件得qvBcos θ=mg,qE=mgtan θ,解得B=,E=,
C、D正确.
2.(2025·广东清远高二月考)如图所示的空间,匀强电场的方向竖直向下,电场强度大小为E,匀强磁场的方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B,有两个带电小球A和B都能在垂直于磁场方向的同一竖直平面内做匀速圆周运动(两小球间的库仑力可忽略),运动轨迹如图所示,已知两个带电小球A和B的质量关系为mA=3mB,轨迹半径关系为RA=3RB,则下列说法正确的是(　　)
[A]小球A、B均带正电
[B]小球A带负电、B带正电
[C]小球A、B的周期比为1∶3
[D]小球A、B的速度比为3∶1
【答案】 D
【解析】 因为两小球在复合场中都能做匀速圆周运动,均满足mg=qE,所受电场力均向上,两小球均带负电,A、B错误;由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,联立可得v==·R,可得小球A、B的速度比为==,由周期公式T==,故小球A、B的周期比为=,C错误,D正确.
3.(2025·广东深圳高二月考)如图所示,整个空间存在一水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场,光滑绝缘斜面固定在水平面上.一带正电滑块从斜面顶端由静止下滑,下滑过程中始终没有离开斜面,下滑过程中滑块的位移x、受到的洛伦兹力f洛、加速度a与机械能E机等物理量的大小随时间变化的图线可能正确的是(　　)
　　　　
[A] [B]
　　　　
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 滑块下滑过程中始终没有离开斜面,由受力分析可知,滑块沿斜面受到的重力分力和电场力分力均保持不变,滑块做匀加速直线运动,则at图像为一条与横轴平行的直线;根据xt图像的斜率表示速度,可知xt图像的斜率逐渐增大,A、C错误;由于滑块由静止做匀加速直线运动,则有f洛=qvB=qBat∝t,可知f洛t图像为过原点的倾斜直线,B正确;除重力做功外,还有电场力做功,则滑块的机械能不守恒,D错误.故选B.
4.(多选)如图,光滑绝缘水平面的右侧存在着匀强电场和匀强磁场组成的复合场,电场方向竖直向下,磁场方向水平向外,磁感应强度大小为B.一电荷量为q、质量为m的小球a在水平面上从静止开始经电压U加速后,与静止着的另一相同质量的不带电金属小球b发生碰撞并粘在一起,此后水平向右进入复合场中,在竖直面内做匀速圆周运动.电荷量的损失不计,重力加速度大小为g.下列判断正确的有(　　)
[A]小球a可能带正电
[B]小球a、b碰撞后的速度大小v=
[C]小球a、b做匀速圆周运动的半径为r=
[D]小球从圆轨道的最低点到最高点,机械能增加量ΔE=
【答案】 BD
【解析】 小球a、b碰撞后在竖直面内做匀速圆周运动,则重力和电场力平衡,所以电场力竖直向上,小球a带负电,A错误;小球a加速过程,由动能定理得qU=m,碰撞过程由动量守恒定律得mv0=2mv,解得v=,B正确;小球a、b碰撞后在竖直面内做匀速圆周运动,由牛顿第二定律得qvB=2m,解得r=,C错误;洛伦兹力不做功,电场力做功为W=qE×2r=,所以机械能减少量ΔE=,D正确.故选BD.
知识点二　带电粒子在交变电、磁场中的运动
5.(多选)(2025·广东珠海期末)如图甲所示,M、N为竖直放置且彼此平行的两块不带电平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示,取垂直纸面向里的磁场方向为正方向.有一正离子(受到的重力不计)在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场,且正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响.要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度大小v0的可能值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 BD
【解析】 要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,最简单的一种运动轨迹情况应如图
所示
因此,运动的轨迹中间有可能包含多个周期,即t=nT0(n=1,2,3,…),其中T0=
且R=(n=1,2,3,…),联立上式可得,正离子的速度v0=(n=1,2,3,…),故选BD.
(选择题每题9分)
6.(2025·深圳龙城高级中学月考)为粗略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况,某同学将一小段真空室内的电场和磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场(如图),电场强度大小为E,磁感应强度大小为B.若某电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动,其速度平行于磁场方向的分量大小为v1,垂直于磁场方向的分量大小为v2,不计离子的重力,则(　　)
[A]电场力的瞬时功率为qE
[B]该离子受到的洛伦兹力大小不变
[C]v2与v1的比值不断变大
[D]该离子做匀变速直线运动
【答案】 B
【解析】 根据功率的计算公式P=Fvcos θ,可知电场力的瞬时功率为P=qEv1,A错误;由于v1与磁场B平行,v2与磁场B垂直,则根据洛伦兹力的计算公式有F洛=qv2B,根据运动的叠加原理可知,离子在垂直于纸面的平面内做匀速圆周运动,沿水平方向做加速运动,则v1增大,v2不变,所以离子受到的洛伦兹力大小不变,的值不断变大,该离子受到的电场力不变,洛伦兹力大小不变,方向总是与电场方向垂直,所以该离子不做匀变速直线运动,故B正确,C、D错误.故选B.
7.(多选)如图,质量为m的圆环带正电,套在一粗糙程度相同的水平杆上,空间中存在水平向右的匀强电场和垂直平面向里的匀强磁场,给圆环一初速度v0,圆环运动的vt图像可能是(　　)
　　　　
[A] [B]
　　　　
[C] [D]
【答案】 ABD
【解析】 对圆环受力分析,圆环受向下的重力、向右的电场力、向上的洛伦兹力,向左的摩擦力,杆对圆环的弹力方向可能向上也可能向下,当电场力大于滑动摩擦力,且弹力向下时,根据牛顿第二定律有qE-μ(qvB-mg)=ma,可知随着圆环速度的增大,圆环的加速度逐渐减小,最后做匀速直线运动,vt图像的斜率表示加速度,运动图像如A图所示,A符合题意;当电场力小于滑动摩擦力,且弹力向上时,根据牛顿第二定律有μ(mg-qvB)-qE=ma,可知随着圆环速度的减小,圆环受到的摩擦力逐渐增大,圆环的加速度逐渐增大,运动图像如B选项所示,B符合题意;若电场力小于滑动摩擦力,且弹力向下,则有μ(qvB-mg)-qE=ma,可知随着速度减小,a也减小,则圆环做加速度减小的减速运动,题中图像未有合适的,不可能为图C,C不符合题意;当电场力大于滑动摩擦力,且弹力向上时,根据牛顿第二定律有qE-μ=ma,可知随着圆环速度的增大,圆环受到的摩擦力先减小后增大,圆环的加速度先增大后减小,运动图像如D图所示,D符合题意.故选ABD.
8.(12分)(2025·深圳龙岗区高二期末)医用质子肿瘤治疗仪示意图如图甲所示,由质子放射源S、加速电压为U的加速电场区、MN板间电压产生的偏转电场区,以及边界为圆形的磁场方向垂直于纸面的匀强磁场区组成.其中,水平放置的平行金属板M、N的长为L、间距为d.S持续释放质量为m、电荷量为e的质子,质子从小孔O1飘入加速电场,其初速度可视为零.加速后的质子沿中线O2O3从O2点垂直于电场方向射入偏转电场区,质子通过偏转电场后进入匀强磁场区.所有质子均打在圆心正下方磁场边界上的P点.M、N板间电压随时间变化关系如图乙所示,图中T=L.t=0时质子射入偏转电场,恰好能从N板的右边缘水平飞出.不考虑质子之间的相互作用力、重力和空气阻力,忽略MN板边缘外电场的影响.
(1)(4分)求质子进入偏转电场时速度v0的大小;
(2)(4分)求偏转电压U0的大小;
(3)(4分)已知分别从M、N板右边缘飞出的两个质子在磁场中运动的圆心角之和为180°,这两个质子运动到P点时速度方向的夹角为60°,求磁场区磁感应强度的大小和方向.
【答案】 (1)　
(2)U0=(n=1,2,3,…)
(3)　方向垂直纸面向外
【解析】 (1)在加速电场中,根据动能定理有eU=mv02
解得v0=.
(2)所有质子均打在圆心正下方磁场边界上的P点,如图所示,可知质子离开偏转电场的速度沿水平方向.t=0时质子射入偏转电场,恰好能从N板的右边缘水平飞出,根据类平抛运动规律有
=n(n=1,2,3,…)
a=
解得U0=(n=1,2,3,…)
(3)质子带正电,经过磁场后偏向P点,则磁场垂直纸面向外;从M、N板右边缘飞出的两个质子在磁场中运动的圆心角之和为180°,这两个质子运动到P点时速度方向的夹角为60°,根据几何关系可知磁场区域半径与质子运动轨迹半径相等,且均为d,根据洛伦兹力提供向心力有ev0B=m
解得B=.

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