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贵州省毕节市 2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题（共36分）
1．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D各选项的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故A、B、D错误，C选项的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故C正确.
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形定义分别对A、B、C、D各选项的汉字进行判断即可得答案.
2．2025年5月19日，央视新闻发布某国产品牌实现3（即m）芯片研发设计突破．数，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法得：，
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法的定义表示出来即可得答案.
3．下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，两括号中的项分别为和，既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开，故A错误.
B、，将第二个括号提取负号，得：，符合完全平方公式，可用乘法公式计算，故B正确.
C、，第二个括号可整理为，但两括号中的项与无相同或相反项，无法直接应用乘法公式，故C错误.
D、两括号中的项分别为和，无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式，故D错误.
故选：B．
【分析】把A、B、C、D各选项的式子进行整理，再结合 完全平方公式和平方差公式 判断各选项是否符合公式结构即可得答案.
4．如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质，结合平行得到等于，再根据角的和差计算即可得答案.
5．一个书包的在进价的基础上调高后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（　　）元．
A．84.6元 B．90元 C．80元 D．100元
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设这个书包的进价为元，由题意得：
，解得：，
这个书包的进价是元.
故答案为：．
【分析】设这个书包的进价为元，根据题目情景列方程，解出即可.
6．下列事件中，为不可能事件的是（　　）
A．投掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上的是偶数
B．明天早上一起床，天在下雨
C．七年级（1）班某同学五一假这几天会长高
D．小郭同学本学期期中考试后，数学进步很快
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、骰子共有6个面，其中偶数点数为2、4、6，共3种可能，因此该事件是可能发生的随机事件，故A错误.
B、天气变化具有不确定性，下雨是可能存在的自然现象，属于随机事件，故B错误.
C、人类生长速度有限，几天内长高40厘米远超生理极限，属于不可能事件，故C正确.
D、数学进步是可能通过努力实现的，属于可能事件，故D错误.
故选C．
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念对各选项逐一分析即可得答案.
7．已知 ， ，则 的值是（　　）
A．2 B．6 C．8 D．16
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．
8．如图，已知，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
A．当时，，故A错误.
B．当时，不能得到，故B正确.
C．当时，，故C错误.
D．当时，，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定条件对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
9．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有（　　）
A．16个 B．24个 C．28个 D．32个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵摸到白球的频率稳定在左右，根据频率估计概率，可知摸到白球的概率约为．布袋中共有个球，
∴白球的数量约为个．
∴黄球可能有个．
故答案为：B ．
【分析】根据题目情景利用频率估计概率，即可求出白球数量，再用总球数减去白球数得到黄球数即可得答案.
10．悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为距离，为时间），符合上述情况的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：首先一开始以某一速度行进，图象应该是一条逐渐向上的直线，而后停下来修车，图象应该是平行于轴的直线，之后加速也是一条逐渐向上的直线，
所以选项符合，
故选：．
【分析】本题主要考查了函数图象，根据题意可知，整个过程分为三段，第二段速度为0，所以图像平行于横轴，由此可选出答案.
11．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
，，
．
，
．
，解得：．
点到直线的距离是．
故答案为：A．
【分析】根据三角形面积公式得，，再根据等面积法即可得，解出可得点到直线的距离.
12．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．有下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论为（　　）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确.
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
若平分，则，
∴，
∴，
显然，无法得知，故无法确定是否平分，故②错误.
∵，，
∴，
∵，，
∴，故③正确.
综上，正确的结论为①③.
故答案为：．
【分析】根据垂直可得等于，再根据平行线的性质得等于，相等，进而可得，即得等于，即可判断①，再根据平分可得等于，根据已知无法得知等于，即可判断②，根据等于，等于，可得等于，进而由等于，等于，可判断③，综上即可求解.
二、填空题（共16分）
13．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵可以配成一个完全平方公式，
∴，
当时，则，
当时，则，
∴的值为.
故答案为：.
【分析】根据完全平方式得出，计算即可得答案.
14．已知（是整数），则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的除法的逆用得，代入已知即可得答案.
15．一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点C的位置始终不变），当时，则的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得：
，，，.
如图，当点A在点C左侧时，
∵，
∴，
∴.
②如图，当点A在点C右侧时，
∵，
∴，
∴．
综上分析可知：或．
故答案为：或．
【分析】根据题目情景得等于，，等于，、等于，当点A在点C左侧时，根据平行，得，进一步得，同理得当点A在点C右侧时，，综上所述，即可得的度数为或．
16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，称这个正整数为“智慧数”．例如：，那么、、、、、为“智慧数”．根据以上信息，第个“智慧数”是　 　 ．
【答案】2703
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；完全平方式
【解析】【解答】解：设是正整数，根据题意得：，
∴除1外，所有奇数都是智慧数.
∵，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，被4除余2的正整数都不是智慧数．
从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
∴在正整数列中前四个正整数只有为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”，
∵
∴是第组的第2个数，又每组中第二个不是智慧数．则，
故答案为：．
【分析】根据平方差公式探究出规律，进一步根据“智慧数”定义即可得答案.
三、解答题（共98分）
17．计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算的零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，得，再根据有理数加法计算即可.
（2）根据乘法公式对计算即可得答案.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．先化简，再求值．，其中
【答案】解：
当时，原式.
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先计算中括号里的完全平方差，平方差公式，再根据整式的除法运算法则计算得出答案即可.
19．如图，，垂足为点，与相交于点，点在的延长线上，交于点，．求证：．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵，
∴_______．（__________）（填推理的依据）
∵，
∴________．（_________）（填推理的依据）
∵，
∴________．
∴________________．（_________）（填推理的依据）
∴_______________．
∴．
【答案】证明：如图，
∵，
∴．（垂直的定义）
∵，
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵，
∴．
∴．（内错角相等，两直线平行）
∴．
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据垂直的定义可得等于，再根据平行线的性质，可得相等，从而得出平行，即可得等于，即可得.
20．为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为______度；
（4）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是多少？
【答案】（1）300
（2）解：根据（1）得：
被调查的学生共有300人，
∴基本了解人数为：（人），
即可补全条形统计图如下：
（3）144
（4）解：根据题意得：，
∴抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：（人），
∴被调查的学生共有300人，
故答案为：300.
（3）解：根据题意得：，
∴在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为度.
故答案为：.
【分析】（1）根据非常了解的人数除以其百分数可得被调查的学生的人数即可.
（2）根据总人数减去其余人数即可得出“基本了解”的人数，再补全条形统计图即可.
（3）根据“基本了解”的人数除以总人数再乘，即可得答案.
（4）依题意，运用频率估计概率进行计算，即可作答．
（1）解：依题意，（人），
∴被调查的学生共有300人，
故答案为：300
（2）解：由（1）得被调查的学生共有300人，
∴（人），
补全条形统计图，如图所示：
（3）解：依题意，，
∴在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为度，
故答案为：
（4）解：依题意，，
即抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是．
21．如图，点在同一条直线上，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：如图，
，，
，，
，
.
（2）解：如图，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，结合相等，相等，再根据，
再根据可证.
（2）根据全等三角形的性质可得相等，即得相等，再根据进行计算即可得答案.
（1）解：，，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
22．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
（1）如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　）
A. B.C. D.
（2）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：如图，
作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线，
∴，
∴ ，
根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为．
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴铺设管道最短的是选项.
故答案为：．
【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质得，即可得，可得答案.
（2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线，即可得相等，相等，根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为．
（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴铺设管道最短的是选项，
故选：．
（2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图：
根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线，
∴，
∴ ，
根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为．
23．龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是浙南首个可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所．
（1）求室内配套场所（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示，并化简）
（2）若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？
【答案】（1）解：阴影部分面积为：
；
（2）解：当，时，（平方米）
答：阴影部分面积为48300平方米．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积等于边长为a+b的正方形的面积减去边长为a的正方形面积及边长为b的正方形面积，结合正方形面积计算公式列出算式，进而根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；
（2）将a、b的值代入（1）所得的最简结果计算即可.
（1）
答：阴影部分面积为平方米；
（2）当，时，（平方米）
答：阴影部分面积为48300平方米．
24．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题：
（1）本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点；
（2）机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________；
（3）机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”）
【答案】（1）；甲
（2）；
（3）
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：如图，
（1）根据赛跑路程和赛跑时间之间的关系图得：本次比赛全程是，机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，
∴机器人甲先到终点.
故答案为：800；甲.
（2）根据图像可知，平均速度为：，
路程和时间的关系式是：.
故答案为：100；.
（3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了，
，同一时刻，越大，越大，
图像越为陡峭，
恢复运行后，乙的线比甲陡，
机器人乙的速度机器人甲的速度．
故答案为：.
【分析】（1）根据赛跑路程和赛跑时间之间的关系图得：本次比赛全程是，机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，即可得答案.
（2）根据速度=路程时间即可求解.
（3）观察图像即可得到故障时间3分钟，速度即为图像陡的程度，根据图像比较速度大小即可得答案.
（1）根据图像可知，本次比赛全程是，
机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，
所以机器人甲先到终点；
（2）根据图像可知，平均速度为：，
路程和时间的关系式是：；
（3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了，
，同一时刻，越大，越大，
图像越为陡峭，
恢复运行后，乙的线比甲陡，
机器人乙的速度机器人甲的速度．
25．已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点的对应点是O，点B的对应点是Q，设，求的度数（用含m的式子表示）
【答案】（1）解：如图1，
，
，
根据折叠可知：，
，
.
（2）解：与的数量为：，理由如下：
如图2，
图2
过点作，
，
，
，
，
，
根据折叠可知：，
，
，
.
（3）解：如图3，
图3
设，且，
由翻折可知：，
，
，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
∴．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）根据计算出，根据折叠的性质等于，再根据平行线的性质得等于即可.
（2）过点作平行，根据平行可得互相平行，根据平行性质得
，相等，相等，进一步得的和等于的和，等于，等于，根据折叠性质得相等，再根据相等，得相等，即可得.
（3）设等于，且等于，根据翻折性质得，等于，等于，即可，进一步得，设，相等，等于，根据和为，即可列式求解.
（1）解：，
，
根据折叠可知：，
，
；
（2）解：数量关系：，理由如下：
过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
根据折叠可知：，
，
，
；
（3）解：如图所示，
设，且，
由翻折可知：，
，
，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
∴．
1 / 1贵州省毕节市 2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题（共36分）
1．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．2025年5月19日，央视新闻发布某国产品牌实现3（即m）芯片研发设计突破．数，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，直线与直线，分别交于点E，F，直线与直线交于点G．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．一个书包的在进价的基础上调高后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（　　）元．
A．84.6元 B．90元 C．80元 D．100元
6．下列事件中，为不可能事件的是（　　）
A．投掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上的是偶数
B．明天早上一起床，天在下雨
C．七年级（1）班某同学五一假这几天会长高
D．小郭同学本学期期中考试后，数学进步很快
7．已知 ， ，则 的值是（　　）
A．2 B．6 C．8 D．16
8．如图，已知，那么添加下列选项中的一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
9．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有（　　）
A．16个 B．24个 C．28个 D．32个
10．悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（为距离，为时间），符合上述情况的是（　　）
A． B．
C． D．
11．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．有下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论为（　　）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
二、填空题（共16分）
13．若可以配成一个完全平方公式，则m的值为　 　．
14．已知（是整数），则　 　．
15．一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中点C的位置始终不变），当时，则的度数为　 　．
16．若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，称这个正整数为“智慧数”．例如：，那么、、、、、为“智慧数”．根据以上信息，第个“智慧数”是　 　 ．
三、解答题（共98分）
17．计算：
（1）．
（2）．
18．先化简，再求值．，其中
19．如图，，垂足为点，与相交于点，点在的延长线上，交于点，．求证：．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵，
∴_______．（__________）（填推理的依据）
∵，
∴________．（_________）（填推理的依据）
∵，
∴________．
∴________________．（_________）（填推理的依据）
∴_______________．
∴．
20．为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图），请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）被调查的学生共有______人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为______度；
（4）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是多少？
21．如图，点在同一条直线上，，且．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
22．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．
（1）如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　）
A. B.C. D.
（2）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由．
23．龙港市体育中心以"千帆竞渡"为造型，集多功能场馆集群与滨海景观于一体，创新可开启屋盖设计，集成智慧管理系统，是浙南首个可承办国际赛事的滨水体育地标．体育中心总体占地近似为一个正方形，主要由田径体育场、室外活动场所和室内配套场所三部分组成．田径体育场建在边长a的正方形中，室外活动场所建在边长b的正方形中，阴影部分建室内配套场所．
（1）求室内配套场所（阴影部分）的面积；（用含a，b的代数式表示，并化简）
（2）若米，米，那么室内配套场所面积为多少平方米？
24．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题：
（1）本次比赛全程是___________，机器人___________先到达终点；
（2）机器人甲的平均速度是___________，其路程和时间的关系式是___________；
（3）机器人乙由于故障在途中停留了___________，恢复运行后，机器人乙的速度___________机器人甲的速度．（填“”“”或“”）
25．已知，在长方形中，，，，点在线段上，点在线段上，将长方形沿折叠后，点的对应点是，点的对应点是．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，将四边形沿继续折叠，点的对应点为，探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点的对应点是O，点B的对应点是Q，设，求的度数（用含m的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、D各选项的汉字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故A、B、D错误，C选项的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故C正确.
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形定义分别对A、B、C、D各选项的汉字进行判断即可得答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法得：，
故答案为：A．
【分析】根据科学记数法的定义表示出来即可得答案.
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，两括号中的项分别为和，既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开，故A错误.
B、，将第二个括号提取负号，得：，符合完全平方公式，可用乘法公式计算，故B正确.
C、，第二个括号可整理为，但两括号中的项与无相同或相反项，无法直接应用乘法公式，故C错误.
D、两括号中的项分别为和，无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式，故D错误.
故选：B．
【分析】把A、B、C、D各选项的式子进行整理，再结合 完全平方公式和平方差公式 判断各选项是否符合公式结构即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质，结合平行得到等于，再根据角的和差计算即可得答案.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设这个书包的进价为元，由题意得：
，解得：，
这个书包的进价是元.
故答案为：．
【分析】设这个书包的进价为元，根据题目情景列方程，解出即可.
6．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、骰子共有6个面，其中偶数点数为2、4、6，共3种可能，因此该事件是可能发生的随机事件，故A错误.
B、天气变化具有不确定性，下雨是可能存在的自然现象，属于随机事件，故B错误.
C、人类生长速度有限，几天内长高40厘米远超生理极限，属于不可能事件，故C正确.
D、数学进步是可能通过努力实现的，属于可能事件，故D错误.
故选C．
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念对各选项逐一分析即可得答案.
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则计算即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
A．当时，，故A错误.
B．当时，不能得到，故B正确.
C．当时，，故C错误.
D．当时，，故D错误.
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定条件对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
9．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵摸到白球的频率稳定在左右，根据频率估计概率，可知摸到白球的概率约为．布袋中共有个球，
∴白球的数量约为个．
∴黄球可能有个．
故答案为：B ．
【分析】根据题目情景利用频率估计概率，即可求出白球数量，再用总球数减去白球数得到黄球数即可得答案.
10．【答案】D
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：首先一开始以某一速度行进，图象应该是一条逐渐向上的直线，而后停下来修车，图象应该是平行于轴的直线，之后加速也是一条逐渐向上的直线，
所以选项符合，
故选：．
【分析】本题主要考查了函数图象，根据题意可知，整个过程分为三段，第二段速度为0，所以图像平行于横轴，由此可选出答案.
11．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；等积变换
【解析】【解答】解：如图，
，，
．
，
．
，解得：．
点到直线的距离是．
故答案为：A．
【分析】根据三角形面积公式得，，再根据等面积法即可得，解出可得点到直线的距离.
12．【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；直角三角形的性质；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确.
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
若平分，则，
∴，
∴，
显然，无法得知，故无法确定是否平分，故②错误.
∵，，
∴，
∵，，
∴，故③正确.
综上，正确的结论为①③.
故答案为：．
【分析】根据垂直可得等于，再根据平行线的性质得等于，相等，进而可得，即得等于，即可判断①，再根据平分可得等于，根据已知无法得知等于，即可判断②，根据等于，等于，可得等于，进而由等于，等于，可判断③，综上即可求解.
13．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵可以配成一个完全平方公式，
∴，
当时，则，
当时，则，
∴的值为.
故答案为：.
【分析】根据完全平方式得出，计算即可得答案.
14．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据同底数幂的除法的逆用得，代入已知即可得答案.
15．【答案】或
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意得：
，，，.
如图，当点A在点C左侧时，
∵，
∴，
∴.
②如图，当点A在点C右侧时，
∵，
∴，
∴．
综上分析可知：或．
故答案为：或．
【分析】根据题目情景得等于，，等于，、等于，当点A在点C左侧时，根据平行，得，进一步得，同理得当点A在点C右侧时，，综上所述，即可得的度数为或．
16．【答案】2703
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；完全平方式
【解析】【解答】解：设是正整数，根据题意得：，
∴除1外，所有奇数都是智慧数.
∵，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数，被4除余2的正整数都不是智慧数．
从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数．
∴在正整数列中前四个正整数只有为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”，
∵
∴是第组的第2个数，又每组中第二个不是智慧数．则，
故答案为：．
【分析】根据平方差公式探究出规律，进一步根据“智慧数”定义即可得答案.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算的零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，得，再根据有理数加法计算即可.
（2）根据乘法公式对计算即可得答案.
（1）解：
．
（2）解：
．
18．【答案】解：
当时，原式.
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先计算中括号里的完全平方差，平方差公式，再根据整式的除法运算法则计算得出答案即可.
19．【答案】证明：如图，
∵，
∴．（垂直的定义）
∵，
∴．（两直线平行，同位角相等）
∵，
∴．
∴．（内错角相等，两直线平行）
∴．
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】根据垂直的定义可得等于，再根据平行线的性质，可得相等，从而得出平行，即可得等于，即可得.
20．【答案】（1）300
（2）解：根据（1）得：
被调查的学生共有300人，
∴基本了解人数为：（人），
即可补全条形统计图如下：
（3）144
（4）解：根据题意得：，
∴抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意得：（人），
∴被调查的学生共有300人，
故答案为：300.
（3）解：根据题意得：，
∴在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为度.
故答案为：.
【分析】（1）根据非常了解的人数除以其百分数可得被调查的学生的人数即可.
（2）根据总人数减去其余人数即可得出“基本了解”的人数，再补全条形统计图即可.
（3）根据“基本了解”的人数除以总人数再乘，即可得答案.
（4）依题意，运用频率估计概率进行计算，即可作答．
（1）解：依题意，（人），
∴被调查的学生共有300人，
故答案为：300
（2）解：由（1）得被调查的学生共有300人，
∴（人），
补全条形统计图，如图所示：
（3）解：依题意，，
∴在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为度，
故答案为：
（4）解：依题意，，
即抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是．
21．【答案】（1）解：如图，
，，
，，
，
.
（2）解：如图，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，结合相等，相等，再根据，
再根据可证.
（2）根据全等三角形的性质可得相等，即得相等，再根据进行计算即可得答案.
（1）解：，，
，，
，
；
（2）解：，
，
，
，
．
22．【答案】（1）
（2）解：如图，
作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线，
∴，
∴ ，
根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为．
【知识点】两点之间线段最短；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴铺设管道最短的是选项.
故答案为：．
【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质得，即可得，可得答案.
（2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线，即可得相等，相等，根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为．
（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴铺设管道最短的是选项，
故选：．
（2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图：
根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线，
∴，
∴ ，
根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为．
23．【答案】（1）解：阴影部分面积为：
；
（2）解：当，时，（平方米）
答：阴影部分面积为48300平方米．
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式值的实际应用
【解析】【分析】（1）根据阴影部分面积等于边长为a+b的正方形的面积减去边长为a的正方形面积及边长为b的正方形面积，结合正方形面积计算公式列出算式，进而根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；
（2）将a、b的值代入（1）所得的最简结果计算即可.
（1）
答：阴影部分面积为平方米；
（2）当，时，（平方米）
答：阴影部分面积为48300平方米．
24．【答案】（1）；甲
（2）；
（3）
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：如图，
（1）根据赛跑路程和赛跑时间之间的关系图得：本次比赛全程是，机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，
∴机器人甲先到终点.
故答案为：800；甲.
（2）根据图像可知，平均速度为：，
路程和时间的关系式是：.
故答案为：100；.
（3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了，
，同一时刻，越大，越大，
图像越为陡峭，
恢复运行后，乙的线比甲陡，
机器人乙的速度机器人甲的速度．
故答案为：.
【分析】（1）根据赛跑路程和赛跑时间之间的关系图得：本次比赛全程是，机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，即可得答案.
（2）根据速度=路程时间即可求解.
（3）观察图像即可得到故障时间3分钟，速度即为图像陡的程度，根据图像比较速度大小即可得答案.
（1）根据图像可知，本次比赛全程是，
机器人甲所用时间为，机器人乙所用时间为，
所以机器人甲先到终点；
（2）根据图像可知，平均速度为：，
路程和时间的关系式是：；
（3）根据图像可知，乙由于故障在途中停留了，
，同一时刻，越大，越大，
图像越为陡峭，
恢复运行后，乙的线比甲陡，
机器人乙的速度机器人甲的速度．
25．【答案】（1）解：如图1，
，
，
根据折叠可知：，
，
.
（2）解：与的数量为：，理由如下：
如图2，
图2
过点作，
，
，
，
，
，
根据折叠可知：，
，
，
.
（3）解：如图3，
图3
设，且，
由翻折可知：，
，
，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
∴．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）根据计算出，根据折叠的性质等于，再根据平行线的性质得等于即可.
（2）过点作平行，根据平行可得互相平行，根据平行性质得
，相等，相等，进一步得的和等于的和，等于，等于，根据折叠性质得相等，再根据相等，得相等，即可得.
（3）设等于，且等于，根据翻折性质得，等于，等于，即可，进一步得，设，相等，等于，根据和为，即可列式求解.
（1）解：，
，
根据折叠可知：，
，
；
（2）解：数量关系：，理由如下：
过点作，如图所示：
，
，
，
，
，
根据折叠可知：，
，
，
；
（3）解：如图所示，
设，且，
由翻折可知：，
，
，
，，
，
，
，
设，
，
，
，
∴．
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