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广东省汕尾市2024-2025学年八年级下学期期末监测数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数中，被开方数必须满足非负条件，即：
解得：
，
因此，自变量的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的被开方数非负，列出不等式，解得．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，1， D．2，3，4
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵则这三条无法构成三角形，则本项不符合题意；
B、∵则这三条无法构成三角形，则本项不符合题意；
C、∵则可以构成直角三角形，则本项符合题意；
D、则无法构成直角三角形，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据三角形三边关系定理，判断是否可以根据三角形，再根据勾股定理的逆定理，逐项计算即可判断其是否可以构成直角三角形.
3．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A．，计算正确．
B．为有理数，为无理数，二者无法直接合并为，计算错误．
C．，计算正确．
D．，计算正确．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项分析．
4．年月日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射55载之际开启的第次神舟问天之旅．为了培养青少年对航天知识学习的兴趣，某校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，八（）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛．经统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示．要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲和丙的平均分均为分，乙为分，丁为分，
∴甲和丙的成绩更优，
∵甲的方差为，丙的方差为，方差越小，成绩越稳定，
∴甲的状态更稳定，
故答案为：．
【分析】由表格可知甲同学和丙同学平均成绩较好，根据方差越小，成绩越稳定，比较方差，甲同学的状态稳定，则决定选甲同学去参赛
5．汕尾城区“网红打卡景点”——小岛渔村（屿仔岛），为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥（如图），在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=60.
6．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过二、三、四象限 B．y随x增大而减小
C．它的图象经过点 D．它的图象与y轴的交点为
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A．∵，，∴它的图象经过一、三、四象限，原说法错误
B． ∵，∴y随x增大而增大，原说法错误
C． 当时，原说法正确
D． 当时，原说法错误
故答案为：C
【分析】根据一次函数的性质及图象，判断正确的为C项．
7．如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．10 C．14 D．18
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；数形结合
【解析】【解答】解：D，E，F分别是，，的中点，，，
、分别是的中位线，，，
，且，，
四边形的周长为：.
故答案为：D．
【分析】由D，E，F分别是，，的中点，得、分别是的中位线，根据三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半，得四边形的周长为18。
8．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系内交于点，有下列结论：；；当时，；关于，的方程组的解是．其中结论正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图象可知，，，故正确；
由直线：与直线：在同一平面直角坐标系内交于点，可知的横坐标为，
∴当时，，故正确；
∵的横坐标为，且在直线：，
∴点，
∴关于，的方程组的解是，故正确，
综上可知：正确，共个，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的图象和性质确定k小于0，b大于0，由图象可知，当时，，两直线的交点坐标可知方程组的解是，则正确的结论有4个．
9．如图，矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B． C．6 D．12
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；数形结合
【解析】【解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，如图，将原图平移得
∴题图中阴影部分的面积为．
故答案为：A．
【分析】先由题意得大正方形的边长为和小正方形的边长，平移阴影部分如图，
阴影部分的面积为小矩形的面积-小正方形的面积，即．
10．如图，菱形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，CD的中点，动点P从点E出发，按逆时针方向，沿EB，BC，CF匀速运动到点F停止，设的面积为S，动点P运动的路径总长为x，能表示S与x函数关系的图象大致是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形-动点问题；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中：，
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，
∴．
当P在EB上时， 时，过点P作PH⊥AD于点H，则，，
∵∠A=30°，
∴，
∴，
∴此时图象是与y轴交于 的线段；
当P在BC上时， 时，过点B作BM⊥AD于点M，则，
∵∠A=30°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时图象是平行于x轴的线段；
当P在CF上时， 时，过点P作PN⊥AD于点N，则，，
∴，
∵∠A=30°，，
∴ ，
∴，
∴S=，
∴此时图象是一条过 的线段；
观察四个选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】如图，当P在EB上， 时，过点P作PH⊥AD于点H，则，
如图，当P在BC上时， 时，过点B作BM⊥AD于点M，则，
S=，
如图，当P在CF上时， 时，过点P作PN⊥AD于点N，则，，
S=，
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．小亮参加校园十佳歌手比赛，五个评委的评分分别是96、92、95、88、92．去掉一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是　 　．
【答案】93分
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：去掉一个最高分96，去掉一个最低分88，他的平均得分是分，
故答案为：93分．
【分析】去掉一个最高分，去掉一个最低分，求剩余3个数的平均数．
12．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为　 　．
【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k。
13．已知与是同类二次根式，则的最小整数值为　 　．
【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与是同类二次根式，
∴，
∴的最小整数值为3，
故答案为：3．
【分析】根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即6m=2×3m，则的最小整数值为3 ．
14．正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°
，，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°
∴在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键.根据正方形性质：四边相等，对角线平分对角可知：AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°再根据勾股定理可求出AC、CF，再根据角的和差运算可知：∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，然后利用勾股定理：在Rt△ACF中，，最后根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此即可得出答案.
15．如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；用代数式表示数值变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：当时，，
点的坐标为．
为正方形，
点的坐标为，点的坐标为．
同理，可得：，，，
点的坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、的坐标，根据点坐标的变化，则 的坐标为，则的纵坐标为 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式计算，利用乘法分配律计算，再算加减结果为4-．
17．已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵，①
∴四边形ACBD是平行四边形．（②）（填推理的依据）
∵，
∴四边形ACBD是矩形．（③）（填推理的依据）
【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）①OC ②对角线互相平分的四边形是平行四边形
③有一个角是直角的平行四边形是矩形
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）证明∶∵OA=OB， OC=OD，
∴四边形ACBD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为∶①OC ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【分析】（1）根据要求作出图形，如图
；
（2）推理依据为对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（1）解：作图如图所示．
（2）证明∶∵OA=OB， OC=OD，
∴四边形ACBD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为∶①OC ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角的平行四边形是矩形．
18．汕尾作为第十五届全运会帆船赛事承办地，各级各单位以“喜迎十五运”为主线，精心策划系列活动，掀起全民参与热潮．某中学九年级举办“体育＋文旅”知识问答活动．用简单随机抽样的方法，从该年级全体400名学生中抽取20名，并将答题成绩（百分制）绘制成条形统计图．
（1）这20名学生成绩的众数是________，中位数是________；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
【答案】（1）90分，90分
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是300人
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）利用样本估计总体思想求解可得．解：由统计图中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90分，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90分，
故答案为：90分，90分；
【分析】（1）根据条形统计图，确定一组数据中出现次数最多的数是众数、按从小到大的顺序排序，中间位置的数是中位数；
（2）利用样本估计总体可得优秀等级的学生人数300人 ．
（1）解：由统计图中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90分，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90分，
故答案为：90分，90分；
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是300人．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，，∴，
∴，，
在中，，
，
在中，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）证明，，推出四边形是平行四边形，再证明；
（2）分别在，中，利用勾股定理求出、 ．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，，
在中，，
，
在中，．
20．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，由（1）得，
∴

【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据垂线性质得，根据同角的余角相等，得，即，则OE=BD；
（2）根据勾股定理得=12，由（1）知，= ．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
由（1）得，
∴．
21．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为 ．，与x之间的函数图象如图所示．
（1）求慧慧提速后的速度；
（2）求图中的与的值．
【答案】（1）解：由图像可得，慧慧从走到了时，总共用了，
故提速前的速度为，
∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，
∴慧慧提速后的速度为，
（2）解：由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
由（1）可得慧慧在线段的过程中的速度为，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为，
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴慧慧的速度为，
∴慧慧行走用的时间为，
即，
故，．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图像可得，慧慧走，用了，利用路程与时间关系，求出提速前的速度，从而得出提速后的速度．
（2）在线段的过程中，利用路程与速度关系，即可得出慧慧所用的时间，从而得出的值，结合图像可得聪聪行走到了，用了，利用路程与时间关系，即可得出慧慧的速度，从而得出慧慧行走用的时间，即可求出．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．【问题原型】如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，点P为，的交点，则________；
【探究发现】某数学兴趣小组尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形，如图②，在等边三角形中，点E，F分别在边，上（不与三角形顶点重合），且，点P为，的交点，请将图形补充完整，并求的度数；
【拓展提升】利用“探究发现”的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：如图③，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，，点P为，的交点，求的度数．
【答案】【问题原型】；
【探究发现】如图（）中
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
【拓展提升】如图③中，连接交于．
四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
由（）可知，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【问题原型】四边形是正方形
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【分析】【问题原型】：根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
【探究发现】根据等边三角形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形外角性质即可求出答案.
【拓展提升】连接交于，根据菱形性质可得，，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据等边三角形性质即可求出答案.
23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段的长度　 　；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10
（2）设，则，，
，即，
，
，
点的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线所对应的函数表达式为；
（3）解：存在，理由：过点作轴于点，如图所示．
，
，
，
在中，，
点的坐标为，
由，设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
直线的解析式为：，
令，则，解得：，
存在，点的坐标为：．
【知识点】矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：10．
【分析】（1）由 ，则=8，由矩形的性质，得点（8，6），=OC=6，利用勾股定理可得=10；
（2）设，则，，，利用勾股定理得=3，则（5，0），将点，的坐标，利用待定系数法 确定直线所对应的函数表达式为；
（3）如图，过点作轴于点，
由，可得出，，则，在中，利用勾股定理得=，得点（，），根据，则直线的解析式，令y=6，解得x=5，则 ．
（1）解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：10．
（2）设，则，，
，即，
，
，
点的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线所对应的函数表达式为；
（3）存在，理由：过点作轴于点，如图所示．
，
，
，
在中，，
点的坐标为，
由，设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
直线的解析式为：，
令，则，解得：，
存在，点的坐标为：．
1 / 1广东省汕尾市2024-2025学年八年级下学期期末监测数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，1， D．2，3，4
3．下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．年月日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射55载之际开启的第次神舟问天之旅．为了培养青少年对航天知识学习的兴趣，某校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，八（）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛．经统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示．要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．汕尾城区“网红打卡景点”——小岛渔村（屿仔岛），为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥（如图），在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过二、三、四象限 B．y随x增大而减小
C．它的图象经过点 D．它的图象与y轴的交点为
7．如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．10 C．14 D．18
8．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系内交于点，有下列结论：；；当时，；关于，的方程组的解是．其中结论正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B． C．6 D．12
10．如图，菱形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，CD的中点，动点P从点E出发，按逆时针方向，沿EB，BC，CF匀速运动到点F停止，设的面积为S，动点P运动的路径总长为x，能表示S与x函数关系的图象大致是（　　）．
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．小亮参加校园十佳歌手比赛，五个评委的评分分别是96、92、95、88、92．去掉一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是　 　．
12．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为　 　．
13．已知与是同类二次根式，则的最小整数值为　 　．
14．正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 　 　．
15．如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
17．已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵，①
∴四边形ACBD是平行四边形．（②）（填推理的依据）
∵，
∴四边形ACBD是矩形．（③）（填推理的依据）
18．汕尾作为第十五届全运会帆船赛事承办地，各级各单位以“喜迎十五运”为主线，精心策划系列活动，掀起全民参与热潮．某中学九年级举办“体育＋文旅”知识问答活动．用简单随机抽样的方法，从该年级全体400名学生中抽取20名，并将答题成绩（百分制）绘制成条形统计图．
（1）这20名学生成绩的众数是________，中位数是________；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，，求线段的长．
20．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长．
21．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为 ．，与x之间的函数图象如图所示．
（1）求慧慧提速后的速度；
（2）求图中的与的值．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．【问题原型】如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，点P为，的交点，则________；
【探究发现】某数学兴趣小组尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形，如图②，在等边三角形中，点E，F分别在边，上（不与三角形顶点重合），且，点P为，的交点，请将图形补充完整，并求的度数；
【拓展提升】利用“探究发现”的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：如图③，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，，点P为，的交点，求的度数．
23．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．
（1）线段的长度　 　；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数中，被开方数必须满足非负条件，即：
解得：
，
因此，自变量的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的被开方数非负，列出不等式，解得．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵则这三条无法构成三角形，则本项不符合题意；
B、∵则这三条无法构成三角形，则本项不符合题意；
C、∵则可以构成直角三角形，则本项符合题意；
D、则无法构成直角三角形，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据三角形三边关系定理，判断是否可以根据三角形，再根据勾股定理的逆定理，逐项计算即可判断其是否可以构成直角三角形.
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A．，计算正确．
B．为有理数，为无理数，二者无法直接合并为，计算错误．
C．，计算正确．
D．，计算正确．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的运算法则逐项分析．
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲和丙的平均分均为分，乙为分，丁为分，
∴甲和丙的成绩更优，
∵甲的方差为，丙的方差为，方差越小，成绩越稳定，
∴甲的状态更稳定，
故答案为：．
【分析】由表格可知甲同学和丙同学平均成绩较好，根据方差越小，成绩越稳定，比较方差，甲同学的状态稳定，则决定选甲同学去参赛
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=60.
6．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A．∵，，∴它的图象经过一、三、四象限，原说法错误
B． ∵，∴y随x增大而增大，原说法错误
C． 当时，原说法正确
D． 当时，原说法错误
故答案为：C
【分析】根据一次函数的性质及图象，判断正确的为C项．
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理；数形结合
【解析】【解答】解：D，E，F分别是，，的中点，，，
、分别是的中位线，，，
，且，，
四边形的周长为：.
故答案为：D．
【分析】由D，E，F分别是，，的中点，得、分别是的中位线，根据三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半，得四边形的周长为18。
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由图象可知，，，故正确；
由直线：与直线：在同一平面直角坐标系内交于点，可知的横坐标为，
∴当时，，故正确；
∵的横坐标为，且在直线：，
∴点，
∴关于，的方程组的解是，故正确，
综上可知：正确，共个，
故答案为：．
【分析】根据一次函数的图象和性质确定k小于0，b大于0，由图象可知，当时，，两直线的交点坐标可知方程组的解是，则正确的结论有4个．
9．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；数形结合
【解析】【解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，如图，将原图平移得
∴题图中阴影部分的面积为．
故答案为：A．
【分析】先由题意得大正方形的边长为和小正方形的边长，平移阴影部分如图，
阴影部分的面积为小矩形的面积-小正方形的面积，即．
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形-动点问题；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中：，
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，
∴．
当P在EB上时， 时，过点P作PH⊥AD于点H，则，，
∵∠A=30°，
∴，
∴，
∴此时图象是与y轴交于 的线段；
当P在BC上时， 时，过点B作BM⊥AD于点M，则，
∵∠A=30°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时图象是平行于x轴的线段；
当P在CF上时， 时，过点P作PN⊥AD于点N，则，，
∴，
∵∠A=30°，，
∴ ，
∴，
∴S=，
∴此时图象是一条过 的线段；
观察四个选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】如图，当P在EB上， 时，过点P作PH⊥AD于点H，则，
如图，当P在BC上时， 时，过点B作BM⊥AD于点M，则，
S=，
如图，当P在CF上时， 时，过点P作PN⊥AD于点N，则，，
S=，
11．【答案】93分
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：去掉一个最高分96，去掉一个最低分88，他的平均得分是分，
故答案为：93分．
【分析】去掉一个最高分，去掉一个最低分，求剩余3个数的平均数．
12．【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k。
13．【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与是同类二次根式，
∴，
∴的最小整数值为3，
故答案为：3．
【分析】根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即6m=2×3m，则的最小整数值为3 ．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°
，，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°
∴在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键.根据正方形性质：四边相等，对角线平分对角可知：AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°再根据勾股定理可求出AC、CF，再根据角的和差运算可知：∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，然后利用勾股定理：在Rt△ACF中，，最后根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；用代数式表示数值变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：当时，，
点的坐标为．
为正方形，
点的坐标为，点的坐标为．
同理，可得：，，，
点的坐标为，
点的纵坐标为，
点的纵坐标为．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质即可得出点、、的坐标，根据点坐标的变化，则 的坐标为，则的纵坐标为 ．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用平方差公式计算，利用乘法分配律计算，再算加减结果为4-．
17．【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）①OC ②对角线互相平分的四边形是平行四边形
③有一个角是直角的平行四边形是矩形
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】（2）证明∶∵OA=OB， OC=OD，
∴四边形ACBD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为∶①OC ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【分析】（1）根据要求作出图形，如图
；
（2）推理依据为对角线互相平分的四边形是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（1）解：作图如图所示．
（2）证明∶∵OA=OB， OC=OD，
∴四边形ACBD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACBD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故答案为∶①OC ②对角线互相平分的四边形是平行四边形 ③有一个角是直角的平行四边形是矩形．
18．【答案】（1）90分，90分
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是300人
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）利用样本估计总体思想求解可得．解：由统计图中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90分，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90分，
故答案为：90分，90分；
【分析】（1）根据条形统计图，确定一组数据中出现次数最多的数是众数、按从小到大的顺序排序，中间位置的数是中位数；
（2）利用样本估计总体可得优秀等级的学生人数300人 ．
（1）解：由统计图中90分对应的人数最多，因此这组数据的众数应该是90分，
由于人数总和是20人为偶数，将数据从小到大排列后，第10个和第11个数据都是90分，因此这组数据的中位数应该是90分，
故答案为：90分，90分；
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是300人．
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，，∴，
∴，，
在中，，
，
在中，．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）证明，，推出四边形是平行四边形，再证明；
（2）分别在，中，利用勾股定理求出、 ．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，，
在中，，
，
在中，．
20．【答案】（1）证明：∵，∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，由（1）得，
∴

【知识点】三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据垂线性质得，根据同角的余角相等，得，即，则OE=BD；
（2）根据勾股定理得=12，由（1）知，= ．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中，，
由（1）得，
∴．
21．【答案】（1）解：由图像可得，慧慧从走到了时，总共用了，
故提速前的速度为，
∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，
∴慧慧提速后的速度为，
（2）解：由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
由（1）可得慧慧在线段的过程中的速度为，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为，
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴慧慧的速度为，
∴慧慧行走用的时间为，
即，
故，．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）由图像可得，慧慧走，用了，利用路程与时间关系，求出提速前的速度，从而得出提速后的速度．
（2）在线段的过程中，利用路程与速度关系，即可得出慧慧所用的时间，从而得出的值，结合图像可得聪聪行走到了，用了，利用路程与时间关系，即可得出慧慧的速度，从而得出慧慧行走用的时间，即可求出．
22．【答案】【问题原型】；
【探究发现】如图（）中
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
【拓展提升】如图③中，连接交于．
四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
由（）可知，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：【问题原型】四边形是正方形
∴，．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【分析】【问题原型】：根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
【探究发现】根据等边三角形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据三角形外角性质即可求出答案.
【拓展提升】连接交于，根据菱形性质可得，，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据等边三角形性质即可求出答案.
23．【答案】（1）10
（2）设，则，，
，即，
，
，
点的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线所对应的函数表达式为；
（3）解：存在，理由：过点作轴于点，如图所示．
，
，
，
在中，，
点的坐标为，
由，设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
直线的解析式为：，
令，则，解得：，
存在，点的坐标为：．
【知识点】矩形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换；数形结合
【解析】【解答】（1）解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：10．
【分析】（1）由 ，则=8，由矩形的性质，得点（8，6），=OC=6，利用勾股定理可得=10；
（2）设，则，，，利用勾股定理得=3，则（5，0），将点，的坐标，利用待定系数法 确定直线所对应的函数表达式为；
（3）如图，过点作轴于点，
由，可得出，，则，在中，利用勾股定理得=，得点（，），根据，则直线的解析式，令y=6，解得x=5，则 ．
（1）解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：10．
（2）设，则，，
，即，
，
，
点的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线所对应的函数表达式为；
（3）存在，理由：过点作轴于点，如图所示．
，
，
，
在中，，
点的坐标为，
由，设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
直线的解析式为：，
令，则，解得：，
存在，点的坐标为：．
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