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广东省汕尾市2024-2025学年八年级下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，1， D．2，3，4
3．下列计算错误的是（　　）．
A． B． C． D．
4．年月日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射55载之际开启的第次神舟问天之旅．为了培养青少年对航天知识学习的兴趣，某校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，八（）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛．经统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示．要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．汕尾城区“网红打卡景点”——小岛渔村（屿仔岛），为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥（如图），在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过二、三、四象限 B．y随x增大而减小
C．它的图象经过点 D．它的图象与y轴的交点为
7．如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．10 C．14 D．18
8．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系内交于点，有下列结论：；；当时，；关于，的方程组的解是．其中结论正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B． C．6 D．12
10．如图，菱形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，CD的中点，动点P从点E出发，按逆时针方向，沿EB，BC，CF匀速运动到点F停止，设的面积为S，动点P运动的路径总长为x，能表示S与x函数关系的图象大致是（　　）．
A． B．
C． D．
二、填空题
11．小亮参加校园十佳歌手比赛，五个评委的评分分别是96、92、95、88、92．去掉一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是　 　．
12．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为　 　．
13．已知与是同类二次根式，则的最小整数值为　 　．
14．正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 　 　．
15．如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是　 　．
三、解答题
16．计算：．
17．已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵，①　 　
∴四边形ACBD是平行四边形．（②　 　）（填推理的依据）
∵，
∴四边形ACBD是矩形．（③　 　）（填推理的依据）
18．汕尾作为第十五届全运会帆船赛事承办地，各级各单位以“喜迎十五运”为主线，精心策划系列活动，掀起全民参与热潮．某中学九年级举办“体育＋文旅”知识问答活动．用简单随机抽样的方法，从该年级全体400名学生中抽取20名，并将答题成绩（百分制）绘制成条形统计图．
（1）这20名学生成绩的众数是　 　，中位数是　 　；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
19．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，，求线段的长．
20．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长．
21．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为 ．，与x之间的函数图象如图所示．
（1）求慧慧提速后的速度；
（2）求图中的与的值．
22．
（1）【问题原型】
如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，点P为，的交点，则　 　；
（2）【探究发现】
某数学兴趣小组尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形，如图②，在等边三角形中，点E，F分别在边，上（不与三角形顶点重合），且，点P为，的交点，请将图形补充完整，并求的度数；
（3）【拓展提升】
利用“探究发现”的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：如图③，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，，点P为，的交点，求的度数．
23．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴交于点．
（1）线段的长度　 　；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）若点在线段上，在线段上是否存在点，使以，，P，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数中，被开方数必须满足非负条件，即：
解得：
，
因此，自变量的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的被开方数非负，列出不等式，解得．
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵则这三条无法构成三角形，则本项不符合题意；
B、∵则这三条无法构成三角形，则本项不符合题意；
C、∵则可以构成直角三角形，则本项符合题意；
D、则无法构成直角三角形，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据三角形三边关系定理，判断是否可以根据三角形，再根据勾股定理的逆定理，逐项计算即可判断其是否可以构成直角三角形.
3．【答案】A
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：
3是有理数，是无理数，两者不能合并运算，因此选项A是错误的。
对于选项B：
这个计算过程是正确的。
对于选项C：
这是根据二次根式乘法法则的正确运算。
对于选项D：
这个化简过程也是正确的。
综上所述，只有选项A是错误的，因此答案为：A
【分析】本题考查的是二次根式的基本运算法则，需要熟练掌握化简和运算规则。
4．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲和丙的平均分均为分，乙为分，丁为分，
∴甲和丙的成绩更优，
∵甲的方差为，丙的方差为，方差越小，成绩越稳定，
∴甲的状态更稳定，
故答案为：．
【分析】由表格可知甲同学和丙同学平均成绩较好，根据方差越小，成绩越稳定，比较方差，甲同学的状态稳定，则决定选甲同学去参赛
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=60.
6．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
∵k=1，b=-2，∴图像经过一、三、四象限，A错误；
∵k=1，∴y随着x的增大而增大，B错误；
将x=1代入y=x-2，解得y=-1，∴它得图像经过(1，-1)，C正确；
将x=0代入y=x-2，解得y=-2，∴他得图像与y轴得交点为(0，-2)，D错误；
故答案为：C
【分析】题目中"y=x-2"， 所以k＞0，一次函数图象必经过一、三象限，同时y随着x得增大而增大；
当x=1时，y=x-2＝1-2=-1；
当x=0时，y=x-2=0-2=-2 。
7．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵F、E为AB、AC的中点，
∴AF=BF，AE=CE；
∴FE∥BC且EF=BC
∵E、D为AC、BC的中点，
∴BD=CD
∴ED∥AB且ED=AB
即FE=BD=CD，BF=DE=AF
∴四边形BDEF的周长为：BF+FE＋ED＋DB=BF+CD+AF+DB＝AB＋BC=8+10=18
故答案为：D
【分析】本题利用三角形中位线定理，结合中点定义，将四边形周长转化为AB+BC计算。
8．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵图像是经过一、二、四象限，且过y轴正半轴
∴k＜0，b＞0，①、②正确；
当x＜1时，的图像在的上方
∴当x＜1时，2x＜kx+b，③正确；
把x=1代入得，y=2
∴点P(1，2)
的函数和的函数交于点P，该点即为的解，④正确；
综上所述，结论正确的个数为4个。
故答案为：A
【分析】观察函数图象，直线l2中k<0，b>0，即可判断①②，根据图象当x<1时，y19．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；数形结合
【解析】【解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，如图，将原图平移得
∴题图中阴影部分的面积为．
故答案为：A．
【分析】先由题意得大正方形的边长为和小正方形的边长，平移阴影部分如图，
阴影部分的面积为小矩形的面积-小正方形的面积，即．
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中：，
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，
∴．
当P在EB上时， 时，过点P作PH⊥AD于点H，则，，
∵∠A=30°，
∴，
∴，
∴此时图象是与y轴交于 的线段；
当P在BC上时， 时，过点B作BM⊥AD于点M，则，
∵∠A=30°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时图象是平行于x轴的线段；
当P在CF上时， 时，过点P作PN⊥AD于点N，则，，
∴，
∵∠A=30°，，
∴ ，
∴，
∴S=，
∴此时图象是一条过 的线段；
观察四个选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先求出，再结合图形，利用三角形的面积公式计算求解即可。
11．【答案】93分
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：去掉一个最高分96，去掉一个最低分88，他的平均得分是分，
故答案为：93分．
【分析】去掉一个最高分，去掉一个最低分，求剩余3个数的平均数．
12．【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k。
13．【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与是同类二次根式，
∴，
∴的最小整数值为3，
故答案为：3．
【分析】根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即6m=2×3m，则的最小整数值为3 ．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°
，，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°
∴在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键.根据正方形性质：四边相等，对角线平分对角可知：AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°再根据勾股定理可求出AC、CF，再根据角的和差运算可知：∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，然后利用勾股定理：在Rt△ACF中，，最后根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】一次函数的性质；用代数式表示图形变化规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
∵在直线上
∴的坐标为
在正方形中，的纵坐标等于的纵坐标
∴的纵坐标也为1，即，且(1，1)
又∵在正方形中，的纵坐标等于的纵坐标，的横坐标等于的横坐标，
∴的纵坐标为，的纵坐标为2，即，
的横坐标为=1+2=3，(3，2)
同理，的横坐标等于的横坐标
∴的纵坐标为，， 即的纵坐标为4，即，
的横坐标为+=1+2+4=7，(7，4)
以此类推，点的纵坐标是.
故答案为：
【分析】
先求出的坐标，进而得到的纵坐标，再根据与的横坐标的关系求出的纵坐标，以此类推找出的纵坐标的规律，从而求出的纵坐标。
16．【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；无理数的混合运算
【解析】【分析】1，无理数的运算法则与有理数的混合运算类似，先乘方，开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。
2，平方差公式：
17．【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【知识点】平行线的判定；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题主要考察矩形的作图，通过作线段垂直平分线、射线以及画弧完成矩形；
（2）考察平行四边形和矩形的判定定理。
18．【答案】（1）90分；90分
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是300人．
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；样本与总体的关系
【解析】【分析】（1）考察众数、中位数的概念：从条形图中读取各分数人数，出现次数最多的分数为众数，排序后中间位置的数为中位数。
（2）用样本估计总体时，先计算样本中满足条件的比例，再乘以总体数量。
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，，
在中，，
，
在中，．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在平行四边形中，若有一个角为直角，则该平行四边形为矩形；
（2）BF平分∠ABC，∠ABF＝∠CBF，同时AD平行BC可得∠AFB=∠FBC，根据等角对等边可得AB的长度，最后运用勾股定理即可。
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中， ，
由（1）得，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等（AAS）；通过OB与OC互相垂直，得到，再根据，得到，证明出即可。
（2）在中，通过勾股定理求出OD的长，再通过，求出DE即可。
21．【答案】（1）解：由图像可得，慧慧从走到了时，总共用了，
故提速前的速度为，
∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，
∴慧慧提速后的速度为，
（2）解：由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
由（1）可得慧慧在线段的过程中的速度为，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为，
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴慧慧的速度为，
∴慧慧行走用的时间为，
即，
故，．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】路程=速度×时间，本题中聪聪速度恒定，慧慧分两段速度，需要分段计算
（1）慧慧提速前的速度即求第一段慧慧行走路程的斜率，通过(15， 0)与(17， 0.6)求出提速前的速度，由“慧慧提速后将速度提高到原来的倍”得到慧慧提速后的速度；
（2）由（1）可得慧慧在线段的过程中的速度，结合路程公式，求出BC段所用时间，加上B点处的时间即可求出t的值；同时A点处的横坐标也为 t，OA线段的斜率即为慧慧的速度，通过求出速度即可得到慧慧行走用的时间n。
22．【答案】（1）90°
（2）解：如图②中
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：如图③中，连接交于．
四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
由（）可知，．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AB=CD，∠ABC＝∠C＝90°，
∴在和中
∴
∴
∴
故答案为：90°
【分析】三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和；
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（1）是的外角，求证出，进而求得，根据三角形的外角性质得出结论；
（2）求证出，再通过∠BPE=∠BAE＋∠ABP，将∠BAE=∠CBF代入即可；
（3）求证出，通过∠C＝60°，判断出是等边三角形，从而求出∠BPE=60°。
23．【答案】（1）10
（2）解：设，则∵沿直线折叠得到，点落在对角线上的点处，∴，，∴，在中∵，∴，∴，∴，设直线所对应的函数表达式为∵，∴∴∴直线所对应的函数表达式为．
（3）解：过点作交于P，过点P作交于点，过点作于点，
∵，，∴四边形是平行四边形，，∵，∴，∵，∴，∴．∵，直线的函数表达式是，∴设直线函数表达式是．∵在直线上，∴，∴，∴直线函数表达式是，令，则，∴，∴．故答案为：在线段上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】（1）∵，，∴，，∵四边形是矩形，∴，，∴．在中，∴．故答案为：10
【分析】（1）由矩形的性质可得点B的坐标，以及OA、AB的长，利用勾股定理结构求出OB的长；
（2）设，则，，利用勾股定理求出a的值，进而得出点B的坐标，再根据点B、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD所对应的函数表达式；
（3）过点作交于P，过点P作交于点，过点作于点，证出四边形是平行四边形，利用面积法求出EF的长，利用勾股定理求出OF的长，进而得出点E的坐标，求出直线PE的解析式，根据点E的纵坐标求出其横坐标即可。
1 / 1广东省汕尾市2024-2025学年八年级下学期数学期末考试试卷
一、单选题
1．函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数中，被开方数必须满足非负条件，即：
解得：
，
因此，自变量的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的被开方数非负，列出不等式，解得．
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A．1，1，2 B．1，2，3 C．1，1， D．2，3，4
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵则这三条无法构成三角形，则本项不符合题意；
B、∵则这三条无法构成三角形，则本项不符合题意；
C、∵则可以构成直角三角形，则本项符合题意；
D、则无法构成直角三角形，则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先根据三角形三边关系定理，判断是否可以根据三角形，再根据勾股定理的逆定理，逐项计算即可判断其是否可以构成直角三角形.
3．下列计算错误的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：
3是有理数，是无理数，两者不能合并运算，因此选项A是错误的。
对于选项B：
这个计算过程是正确的。
对于选项C：
这是根据二次根式乘法法则的正确运算。
对于选项D：
这个化简过程也是正确的。
综上所述，只有选项A是错误的，因此答案为：A
【分析】本题考查的是二次根式的基本运算法则，需要熟练掌握化简和运算规则。
4．年月日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，是中国载人航天在“东方红一号”发射55载之际开启的第次神舟问天之旅．为了培养青少年对航天知识学习的兴趣，某校开展航天知识竞赛活动．经过几轮筛选，八（）班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛．经统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示．要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲和丙的平均分均为分，乙为分，丁为分，
∴甲和丙的成绩更优，
∵甲的方差为，丙的方差为，方差越小，成绩越稳定，
∴甲的状态更稳定，
故答案为：．
【分析】由表格可知甲同学和丙同学平均成绩较好，根据方差越小，成绩越稳定，比较方差，甲同学的状态稳定，则决定选甲同学去参赛
5．汕尾城区“网红打卡景点”——小岛渔村（屿仔岛），为便于市民、游客通行，物流交往，现已在小岛与湖滨大道码头之间修建一座桥（如图），在与方向成角的方向上的点处测得，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC=60.
6．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过二、三、四象限 B．y随x增大而减小
C．它的图象经过点 D．它的图象与y轴的交点为
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
∵k=1，b=-2，∴图像经过一、三、四象限，A错误；
∵k=1，∴y随着x的增大而增大，B错误；
将x=1代入y=x-2，解得y=-1，∴它得图像经过(1，-1)，C正确；
将x=0代入y=x-2，解得y=-2，∴他得图像与y轴得交点为(0，-2)，D错误；
故答案为：C
【分析】题目中"y=x-2"， 所以k＞0，一次函数图象必经过一、三象限，同时y随着x得增大而增大；
当x=1时，y=x-2＝1-2=-1；
当x=0时，y=x-2=0-2=-2 。
7．如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．10 C．14 D．18
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵F、E为AB、AC的中点，
∴AF=BF，AE=CE；
∴FE∥BC且EF=BC
∵E、D为AC、BC的中点，
∴BD=CD
∴ED∥AB且ED=AB
即FE=BD=CD，BF=DE=AF
∴四边形BDEF的周长为：BF+FE＋ED＋DB=BF+CD+AF+DB＝AB＋BC=8+10=18
故答案为：D
【分析】本题利用三角形中位线定理，结合中点定义，将四边形周长转化为AB+BC计算。
8．如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系内交于点，有下列结论：；；当时，；关于，的方程组的解是．其中结论正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的性质
【解析】【解答】解：
∵图像是经过一、二、四象限，且过y轴正半轴
∴k＜0，b＞0，①、②正确；
当x＜1时，的图像在的上方
∴当x＜1时，2x＜kx+b，③正确；
把x=1代入得，y=2
∴点P(1，2)
的函数和的函数交于点P，该点即为的解，④正确；
综上所述，结论正确的个数为4个。
故答案为：A
【分析】观察函数图象，直线l2中k<0，b>0，即可判断①②，根据图象当x<1时，y19．如图，矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B． C．6 D．12
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用；几何图形的面积计算-割补法；数形结合
【解析】【解答】解：∵矩形内有两个相邻的正方形（空白部分），其面积分别为2和8，
∴大正方形的边长为，小正方形的边长为，如图，将原图平移得
∴题图中阴影部分的面积为．
故答案为：A．
【分析】先由题意得大正方形的边长为和小正方形的边长，平移阴影部分如图，
阴影部分的面积为小矩形的面积-小正方形的面积，即．
10．如图，菱形ABCD中，，，点E，F分别是边AB，CD的中点，动点P从点E出发，按逆时针方向，沿EB，BC，CF匀速运动到点F停止，设的面积为S，动点P运动的路径总长为x，能表示S与x函数关系的图象大致是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中：，
∵点E，F分别是边AB，CD的中点，
∴．
当P在EB上时， 时，过点P作PH⊥AD于点H，则，，
∵∠A=30°，
∴，
∴，
∴此时图象是与y轴交于 的线段；
当P在BC上时， 时，过点B作BM⊥AD于点M，则，
∵∠A=30°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴此时图象是平行于x轴的线段；
当P在CF上时， 时，过点P作PN⊥AD于点N，则，，
∴，
∵∠A=30°，，
∴ ，
∴，
∴S=，
∴此时图象是一条过 的线段；
观察四个选项，只有选项D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先求出，再结合图形，利用三角形的面积公式计算求解即可。
二、填空题
11．小亮参加校园十佳歌手比赛，五个评委的评分分别是96、92、95、88、92．去掉一个最高分，去掉一个最低分，他的平均得分是　 　．
【答案】93分
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：去掉一个最高分96，去掉一个最低分88，他的平均得分是分，
故答案为：93分．
【分析】去掉一个最高分，去掉一个最低分，求剩余3个数的平均数．
12．若正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），则k的值为　 　．
【答案】-2
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），
∴﹣4＝2k，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣4），代入解析式，解之即可求得k。
13．已知与是同类二次根式，则的最小整数值为　 　．
【答案】3
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵与是同类二次根式，
∴，
∴的最小整数值为3，
故答案为：3．
【分析】根据“化简为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式”，先将化简为，根据被开方数相同，即6m=2×3m，则的最小整数值为3 ．
14．正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接AC、CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°
，，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°
∴在Rt△ACF中，，
∵H是AF的中点，
∴，
故答案为：．
【分析】
本题考查了正方形的性质、勾股定理和直角三角形的性质，根据直角三角形的性质构造辅助线是解题关键.根据正方形性质：四边相等，对角线平分对角可知：AB=BC=1，CE=EF=3，∠ACD=∠GCF=45°再根据勾股定理可求出AC、CF，再根据角的和差运算可知：∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，然后利用勾股定理：在Rt△ACF中，，最后根据直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：，由此即可得出答案.
15．如图，正方形，，，按图示放置，点，，，和，，，分别在直线和轴上，则点的纵坐标是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的性质；用代数式表示图形变化规律；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
∵在直线上
∴的坐标为
在正方形中，的纵坐标等于的纵坐标
∴的纵坐标也为1，即，且(1，1)
又∵在正方形中，的纵坐标等于的纵坐标，的横坐标等于的横坐标，
∴的纵坐标为，的纵坐标为2，即，
的横坐标为=1+2=3，(3，2)
同理，的横坐标等于的横坐标
∴的纵坐标为，， 即的纵坐标为4，即，
的横坐标为+=1+2+4=7，(7，4)
以此类推，点的纵坐标是.
故答案为：
【分析】
先求出的坐标，进而得到的纵坐标，再根据与的横坐标的关系求出的纵坐标，以此类推找出的纵坐标的规律，从而求出的纵坐标。
三、解答题
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】平方差公式及应用；无理数的混合运算
【解析】【分析】1，无理数的运算法则与有理数的混合运算类似，先乘方，开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。
2，平方差公式：
17．已知：如图，在中，．求作：矩形ABCD．
作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O．
②作射线CO．
③以点O为圆心，线段CO长为半径画弧，交射线CO于点D．
④连接AD，BD，则四边形ACBD即为所求作的矩形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵，①　 　
∴四边形ACBD是平行四边形．（②　 　）（填推理的依据）
∵，
∴四边形ACBD是矩形．（③　 　）（填推理的依据）
【答案】（1）解：作图如图所示．
（2）OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【知识点】平行线的判定；矩形的判定；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）本题主要考察矩形的作图，通过作线段垂直平分线、射线以及画弧完成矩形；
（2）考察平行四边形和矩形的判定定理。
18．汕尾作为第十五届全运会帆船赛事承办地，各级各单位以“喜迎十五运”为主线，精心策划系列活动，掀起全民参与热潮．某中学九年级举办“体育＋文旅”知识问答活动．用简单随机抽样的方法，从该年级全体400名学生中抽取20名，并将答题成绩（百分制）绘制成条形统计图．
（1）这20名学生成绩的众数是　 　，中位数是　 　；
（2）若规定成绩大于或等于90分为优秀等级，试估计该年级获优秀等级的学生人数．
【答案】（1）90分；90分
（2）解：根据题意得：（人），
答：估计该年级获优秀等级的学生人数是300人．
【知识点】条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；样本与总体的关系
【解析】【分析】（1）考察众数、中位数的概念：从条形图中读取各分数人数，出现次数最多的分数为众数，排序后中间位置的数为中位数。
（2）用样本估计总体时，先计算样本中满足条件的比例，再乘以总体数量。
19．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，，
在中，，
，
在中，．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）在平行四边形中，若有一个角为直角，则该平行四边形为矩形；
（2）BF平分∠ABC，∠ABF＝∠CBF，同时AD平行BC可得∠AFB=∠FBC，根据等角对等边可得AB的长度，最后运用勾股定理即可。
20．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，利用数学知识对其作了进一步的探究．如图1，在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，让小球A可以自由摆动．如图2，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，使小球从摆到位置，此时过点B作于点D．当小球摆到位置时，与互相垂直（点A，B，O，C在同一平面内），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：在中， ，
由（1）得，
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等（AAS）；通过OB与OC互相垂直，得到，再根据，得到，证明出即可。
（2）在中，通过勾股定理求出OD的长，再通过，求出DE即可。
21．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，准备从厨房门口出发，给相距的客人送餐．聪聪先出发，且速度保持不变．慧慧待聪聪出发后出发，后将速度提高到原来的倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为 ．，与x之间的函数图象如图所示．
（1）求慧慧提速后的速度；
（2）求图中的与的值．
【答案】（1）解：由图像可得，慧慧从走到了时，总共用了，
故提速前的速度为，
∵慧慧提速后将速度提高到原来的倍，
∴慧慧提速后的速度为，
（2）解：由图象可得线段的过程中，慧慧从处行走到了，
由（1）可得慧慧在线段的过程中的速度为，
∴慧慧在线段的过程中所用的时间为，
∴的值为，
结合图像可得点坐标为，
即聪聪从处行走到了时，用了，
∴慧慧的速度为，
∴慧慧行走用的时间为，
即，
故，．
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】路程=速度×时间，本题中聪聪速度恒定，慧慧分两段速度，需要分段计算
（1）慧慧提速前的速度即求第一段慧慧行走路程的斜率，通过(15， 0)与(17， 0.6)求出提速前的速度，由“慧慧提速后将速度提高到原来的倍”得到慧慧提速后的速度；
（2）由（1）可得慧慧在线段的过程中的速度，结合路程公式，求出BC段所用时间，加上B点处的时间即可求出t的值；同时A点处的横坐标也为 t，OA线段的斜率即为慧慧的速度，通过求出速度即可得到慧慧行走用的时间n。
22．
（1）【问题原型】
如图①，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，点P为，的交点，则　 　；
（2）【探究发现】
某数学兴趣小组尝试对上述问题进行变式，转换了问题的背景图形，如图②，在等边三角形中，点E，F分别在边，上（不与三角形顶点重合），且，点P为，的交点，请将图形补充完整，并求的度数；
（3）【拓展提升】
利用“探究发现”的思路及结论，继续探究，尝试解决如下问题：如图③，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，，点P为，的交点，求的度数．
【答案】（1）90°
（2）解：如图②中
∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）解：如图③中，连接交于．
四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
由（）可知，．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，AB=CD，∠ABC＝∠C＝90°，
∴在和中
∴
∴
∴
故答案为：90°
【分析】三角形的一个外角等于两个不相邻内角之和；
如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（1）是的外角，求证出，进而求得，根据三角形的外角性质得出结论；
（2）求证出，再通过∠BPE=∠BAE＋∠ABP，将∠BAE=∠CBF代入即可；
（3）求证出，通过∠C＝60°，判断出是等边三角形，从而求出∠BPE=60°。
23．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴交于点．
（1）线段的长度　 　；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）若点在线段上，在线段上是否存在点，使以，，P，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10
（2）解：设，则∵沿直线折叠得到，点落在对角线上的点处，∴，，∴，在中∵，∴，∴，∴，设直线所对应的函数表达式为∵，∴∴∴直线所对应的函数表达式为．
（3）解：过点作交于P，过点P作交于点，过点作于点，
∵，，∴四边形是平行四边形，，∵，∴，∵，∴，∴．∵，直线的函数表达式是，∴设直线函数表达式是．∵在直线上，∴，∴，∴直线函数表达式是，令，则，∴，∴．故答案为：在线段上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【解答】（1）∵，，∴，，∵四边形是矩形，∴，，∴．在中，∴．故答案为：10
【分析】（1）由矩形的性质可得点B的坐标，以及OA、AB的长，利用勾股定理结构求出OB的长；
（2）设，则，，利用勾股定理求出a的值，进而得出点B的坐标，再根据点B、D的坐标，利用待定系数法即可求出直线BD所对应的函数表达式；
（3）过点作交于P，过点P作交于点，过点作于点，证出四边形是平行四边形，利用面积法求出EF的长，利用勾股定理求出OF的长，进而得出点E的坐标，求出直线PE的解析式，根据点E的纵坐标求出其横坐标即可。
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