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浙江省丽水市2024-2025学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，是第二象限的角，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（　　）
A．中位数 B．平均数 C．极差 D．众数
4．要得到函数的图象，只要把函数的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若 则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
6．已知的三个内角的对边分别为，，，，则（　　）
A． B． C．或 D．或
7．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．已知复数，下列选项正确的是（　　）
A．与互为共轭复数 B．
C． D．
10．甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（　　）
A．事件 、 是相互独立事件 B．事件 、 是互斥事件
C． D．
11．已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（　　）
A．若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为；
B．若P在线段A1B上运动，则的最小值为；
C．若p在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
D．若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为　 　.
13．甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为　 　．
14．过重心的直线与边交于点，且，直线将分成两部分，分别为和四边形，其对应的面积依次记为和，的最大值为　 　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的值；
（2）请估计样本数据的众数和平均数；
（3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．
16．已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的取值范围.
17．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，过三点的平面记为，与的交点为.
（1）证明：为的中点；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
（3）若，梯形的面积为，求平面与底面所成锐二面角的正切值.
19．（1）已知的三个内角的对边分别为.
①若，求的面积.
②记，求证：.
（2）在平面四边形中，，记，求证：四边形的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，是第二象限的角，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数基本关系求解即可.
2．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，核心是利用 “两个向量垂直，它们的数量积为 0” 这一性质来求解参数 t。
3．【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题设数据，其中位数、众数为3，平均数，极差为，
所以最大的为极差.
故答案为：C
【分析】本题考查样本数据的数字特征，核心是分别计算中位数、平均数、众数和极差，再比较它们的大小。
4．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，则把函数图象上所有的点向右平移个单位即可.
故答案为：D
【分析】本题考查三角函数图象的平移变换，核心是利用“左加右减”的平移法则，注意平移的对象是自变量x，而非3x。
5．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，B符合题意.
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而求出说法正确的选项。
6．【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理有，可得，则，
又，则，可得或.
故答案为：C
【分析】本题考查正弦定理的应用，核心是利用正弦定理求出 sinA，再结合三角形内角和与大边对大角的性质，确定角A的可能值。
7．【答案】D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：平均值，
方差
故答案为：D.
【分析】由题意，根据分层随机抽样的平均值、方差计算公式计算即可.
8．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，解得或，
化简可得或，
当时，；当时，；当时，；
当时，，
由题意可得，解得.
故答案为：A.
【分析】本题考查三角函数方程的解的个数问题，核心是先解出方程 的通解，再结合 的范围，根据“恰有两个不同实根”的条件建立不等式，求解 的取值范围。
9．【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A：由，易知与互为共轭复数，A正确；
B：，B正确；
C：，C错误；
D：，D正确.
故答案为：ABD
【分析】本题考查复数的基本概念（共轭复数）、除法运算、模的计算，核心是逐一验证每个选项的正确性。
10．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数 ，
记事件 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 包含的基本事件有9个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， 事件 、 是相互独立事件，故 正确；
事件 与 能同时发生，故事件 与 不是互斥事件，故 错误；
，故 正确；
包包含的基本事件有9个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
．故 错误．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合独立事件的定义、互斥事件的定义，再结合概率的应用和古典概型求概率公式，进而找出正确的选项。
11．【答案】A,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；异面直线所成的角；球内接多面体；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，如图（1），由AB∥CD，知∠BAP即为异面直线AP与CD所成角，
正方体的棱长为1，连结BE，
在Rt△ABE中，AB＝1，BE，
tan，故A正确；
B，如图（2），将△AA1B与四边形A1BCD沿A1B展开到同一个平面上，如图所示，
由图知，线段AD1的长度即为AP+PD1的最小值，
在△AA1D1中，利用余弦定理得AD1，故B错误；
C，如图（3），
当P为中点时，三棱锥P﹣ABC体积最大，
此时三棱锥P﹣ABC的外接球球心是AC中点，半径为，其表面积为2π，故C正确；
D，如图（4），平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，
只需与过同一顶点所成的角相等即可，如图，
AP＝AR＝AQ，则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等，
若点E、F、G、H、M、N分别为相应棱的中点，
可得平面EFGHMN∥平面PQR，且六边形EFGHMN是正六边形，
正方体棱长为1，∴正六边形EFHMN的边长为，
∴此正六边形的面积为，为截面最大面积，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】A：通过平移异面直线，将夹角转化为同一平面内的角，再用勾股定理与三角函数求解；
B：将立体问题展开为平面问题，利用余弦定理求两点间最短路径；
C：分析三棱锥体积最大时的位置，再求外接球半径与表面积；
D：找出与正方体所有棱成等角的平面，计算截面面积的最大值。
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，则，，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心是利用投影向量公式：
13．【答案】0.26
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得，“恰有一人中靶”事件可分为“甲中靶，乙不中靶”和“乙中靶，甲不中靶”，
∴两个人射击一次恰有一人中靶的概率为 ；
故答案为：0.26.
【分析】本题考查独立事件的概率计算，核心是将“恰好有一人中靶”分解为两个互斥事件：“甲中靶、乙不中靶”和“乙中靶、甲不中靶”，再利用独立事件概率公式分别计算后求和。
14．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
直线过的重心，与边交于点，且，
则，
连接并延长交于，过作，过作，分别交的延长线于，
根据重心的性质可知，，不妨设，由，得，
；
，，，
是梯形的中位线，，
根据三角形面积公式可得，，
根据基本不等式，即，当时取得等号，
，即，的最大值为.
故答案为：.
【分析】本题结合了三角形重心性质、相似三角形、面积比和均值不等式，核心是先推导出 与 的关系，再利用均值不等式求 的最大值。
15．【答案】（1）解：由直方图知，所以；
（2）解： 平均值为：分，众数为：分；
（3）解：成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）频率和等于小长方形面积和等于1，列方程求参数值；
（2）直方图数字特征，代入样本数据的众数和平均数公式即可；
（3）先求出对应分位数0.7，判断甲的分数所在的位置70-80间，即可得结论.
（1）由直方图知，所以；
（2）平均值为：分，众数为：分；
（3）成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
16．【答案】（1）解：，
，即最小正周期为，
由，，解得，
所以对称中心为；
（2）解：由得，即，
即，，
解得：，，
所以的取值范围为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 先通过辅助角公式化简函数，再根据正弦型函数的性质求周期和对称中心。
(2) 代入2x，转化为正弦不等式，利用三角函数的图象与性质求解。
（1），
，即最小正周期为，
由，，解得，
所以对称中心为；
（2）由得，即，
即，，
解得：，，
所以的取值范围为.
17．【答案】（1）证明：因为，为的中点，所以，
因为平面，平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：过作，连接，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
即为直线与平面所成角.
因为且，所以，
因为为等边三角形，又为的中点，
所以，，，，
则，
在直角三角形中，，
所以.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用面面垂直的判定定理，证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，从而证明两个平面垂直。
(2) 利用面面垂直的性质定理找到线面角，再通过解直角三角形计算线面角的正弦值。
（1）因为，为的中点，所以，
因为平面，平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）过作，连接，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
即为直线与平面所成角.
因为且，所以，
因为为等边三角形，又为的中点，
所以，，，，
则，
在直角三角形中，，
所以.
18．【答案】（1）证明：延长交于点，
因为，
由且都在平面内，且都在平面内，
所以平面平面，因为平面，
所以，因为，，所以，
因为，所以，即为的中点；
（2）解：延长交于点，连接，为四棱柱，
所以为三棱柱，易知，
因为为的中点，，所以，，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
所以，即四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为.
（3）解：由（1）知平面为平面，作，连接，
因为平面，平面，所以
因为，且都在平面内，
所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，即所求锐二面角的平面角，
因为分别为的中点，，所以，，
因为，所以，则，所以，
所求锐二面角的平面角的正切值为.
【知识点】二面角及二面角的平面角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用平面与平面的交线性质，结合平行线分线段成比例定理证明Q为中点。
(2) 通过补形法将四棱柱补为三棱柱，再计算两部分体积，求其比值。
(3) 利用三垂线定理找到二面角的平面角，通过解三角形求其正切值。
（1）延长交于点，因为，
由且都在平面内，且都在平面内，
所以平面平面，因为平面，
所以，因为，，所以，
因为，所以，即为的中点；
（2）延长交于点，连接，为四棱柱，
所以为三棱柱，易知，
因为为的中点，，所以，，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
所以，即四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为.
（3）由（1）知平面为平面，作，连接，
因为平面，平面，所以
因为，且都在平面内，
所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，即所求锐二面角的平面角，
因为分别为的中点，，所以，，
因为，所以，则，所以，
所求锐二面角的平面角的正切值为.
19．【答案】（1）解：①，则，
所以；
②证明：
.
（2）解：设则，
，又，
，
综上，，
且，
所以，
，
由的确定性，当，即时，有最大值，
即四边形有外接圆时，四边形的面积最大.
，则
，
，
，
.
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) ① 先用余弦定理求角的余弦值，再求其正弦值，最后用三角形面积公式计算；
②通过面积公式与余弦定理，结合代数变形推导出海伦公式。
(2) 将四边形拆分为两个三角形，利用面积公式和余弦定理，结合不等式推导面积的上界。
1 / 1浙江省丽水市2024-2025学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若，是第二象限的角，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，是第二象限的角，可得，
则.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数基本关系求解即可.
2．已知向量，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可得，解得.
故答案为：D.
【分析】本题考查向量垂直的坐标表示，核心是利用 “两个向量垂直，它们的数量积为 0” 这一性质来求解参数 t。
3．有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（　　）
A．中位数 B．平均数 C．极差 D．众数
【答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题设数据，其中位数、众数为3，平均数，极差为，
所以最大的为极差.
故答案为：C
【分析】本题考查样本数据的数字特征，核心是分别计算中位数、平均数、众数和极差，再比较它们的大小。
4．要得到函数的图象，只要把函数的图象（　　）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，则把函数图象上所有的点向右平移个单位即可.
故答案为：D
【分析】本题考查三角函数图象的平移变换，核心是利用“左加右减”的平移法则，注意平移的对象是自变量x，而非3x。
5．已知m，n表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（　　）
A．若 则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，B符合题意.
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而求出说法正确的选项。
6．已知的三个内角的对边分别为，，，，则（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理有，可得，则，
又，则，可得或.
故答案为：C
【分析】本题考查正弦定理的应用，核心是利用正弦定理求出 sinA，再结合三角形内角和与大边对大角的性质，确定角A的可能值。
7．某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意可得：平均值，
方差
故答案为：D.
【分析】由题意，根据分层随机抽样的平均值、方差计算公式计算即可.
8．已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由，解得或，
化简可得或，
当时，；当时，；当时，；
当时，，
由题意可得，解得.
故答案为：A.
【分析】本题考查三角函数方程的解的个数问题，核心是先解出方程 的通解，再结合 的范围，根据“恰有两个不同实根”的条件建立不等式，求解 的取值范围。
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．已知复数，下列选项正确的是（　　）
A．与互为共轭复数 B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A：由，易知与互为共轭复数，A正确；
B：，B正确；
C：，C错误；
D：，D正确.
故答案为：ABD
【分析】本题考查复数的基本概念（共轭复数）、除法运算、模的计算，核心是逐一验证每个选项的正确性。
10．甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（　　）
A．事件 、 是相互独立事件 B．事件 、 是互斥事件
C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，
基本事件总数 ，
记事件 为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，
则事件 包含的基本事件有18个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
事件 包含的基本事件有9个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
，
， 事件 、 是相互独立事件，故 正确；
事件 与 能同时发生，故事件 与 不是互斥事件，故 错误；
，故 正确；
包包含的基本事件有9个，分别为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
．故 错误．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合独立事件的定义、互斥事件的定义，再结合概率的应用和古典概型求概率公式，进而找出正确的选项。
11．已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（　　）
A．若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为；
B．若P在线段A1B上运动，则的最小值为；
C．若p在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为
D．若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为.
【答案】A,C,D
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；异面直线所成的角；球内接多面体；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：A，如图（1），由AB∥CD，知∠BAP即为异面直线AP与CD所成角，
正方体的棱长为1，连结BE，
在Rt△ABE中，AB＝1，BE，
tan，故A正确；
B，如图（2），将△AA1B与四边形A1BCD沿A1B展开到同一个平面上，如图所示，
由图知，线段AD1的长度即为AP+PD1的最小值，
在△AA1D1中，利用余弦定理得AD1，故B错误；
C，如图（3），
当P为中点时，三棱锥P﹣ABC体积最大，
此时三棱锥P﹣ABC的外接球球心是AC中点，半径为，其表面积为2π，故C正确；
D，如图（4），平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，
只需与过同一顶点所成的角相等即可，如图，
AP＝AR＝AQ，则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等，
若点E、F、G、H、M、N分别为相应棱的中点，
可得平面EFGHMN∥平面PQR，且六边形EFGHMN是正六边形，
正方体棱长为1，∴正六边形EFHMN的边长为，
∴此正六边形的面积为，为截面最大面积，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】A：通过平移异面直线，将夹角转化为同一平面内的角，再用勾股定理与三角函数求解；
B：将立体问题展开为平面问题，利用余弦定理求两点间最短路径；
C：分析三棱锥体积最大时的位置，再求外接球半径与表面积；
D：找出与正方体所有棱成等角的平面，计算截面面积的最大值。
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由，则，，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心是利用投影向量公式：
13．甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为　 　．
【答案】0.26
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可得，“恰有一人中靶”事件可分为“甲中靶，乙不中靶”和“乙中靶，甲不中靶”，
∴两个人射击一次恰有一人中靶的概率为 ；
故答案为：0.26.
【分析】本题考查独立事件的概率计算，核心是将“恰好有一人中靶”分解为两个互斥事件：“甲中靶、乙不中靶”和“乙中靶、甲不中靶”，再利用独立事件概率公式分别计算后求和。
14．过重心的直线与边交于点，且，直线将分成两部分，分别为和四边形，其对应的面积依次记为和，的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：
直线过的重心，与边交于点，且，
则，
连接并延长交于，过作，过作，分别交的延长线于，
根据重心的性质可知，，不妨设，由，得，
；
，，，
是梯形的中位线，，
根据三角形面积公式可得，，
根据基本不等式，即，当时取得等号，
，即，的最大值为.
故答案为：.
【分析】本题结合了三角形重心性质、相似三角形、面积比和均值不等式，核心是先推导出 与 的关系，再利用均值不等式求 的最大值。
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的值；
（2）请估计样本数据的众数和平均数；
（3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．
【答案】（1）解：由直方图知，所以；
（2）解： 平均值为：分，众数为：分；
（3）解：成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】（1）频率和等于小长方形面积和等于1，列方程求参数值；
（2）直方图数字特征，代入样本数据的众数和平均数公式即可；
（3）先求出对应分位数0.7，判断甲的分数所在的位置70-80间，即可得结论.
（1）由直方图知，所以；
（2）平均值为：分，众数为：分；
（3）成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励．
16．已知函数．
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：，
，即最小正周期为，
由，，解得，
所以对称中心为；
（2）解：由得，即，
即，，
解得：，，
所以的取值范围为.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式
【解析】【分析】(1) 先通过辅助角公式化简函数，再根据正弦型函数的性质求周期和对称中心。
(2) 代入2x，转化为正弦不等式，利用三角函数的图象与性质求解。
（1），
，即最小正周期为，
由，，解得，
所以对称中心为；
（2）由得，即，
即，，
解得：，，
所以的取值范围为.
17．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为，为的中点，所以，
因为平面，平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）解：过作，连接，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
即为直线与平面所成角.
因为且，所以，
因为为等边三角形，又为的中点，
所以，，，，
则，
在直角三角形中，，
所以.
【知识点】平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1) 利用面面垂直的判定定理，证明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面，从而证明两个平面垂直。
(2) 利用面面垂直的性质定理找到线面角，再通过解直角三角形计算线面角的正弦值。
（1）因为，为的中点，所以，
因为平面，平面平面，
平面平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）过作，连接，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
即为直线与平面所成角.
因为且，所以，
因为为等边三角形，又为的中点，
所以，，，，
则，
在直角三角形中，，
所以.
18．如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，过三点的平面记为，与的交点为.
（1）证明：为的中点；
（2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
（3）若，梯形的面积为，求平面与底面所成锐二面角的正切值.
【答案】（1）证明：延长交于点，
因为，
由且都在平面内，且都在平面内，
所以平面平面，因为平面，
所以，因为，，所以，
因为，所以，即为的中点；
（2）解：延长交于点，连接，为四棱柱，
所以为三棱柱，易知，
因为为的中点，，所以，，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
所以，即四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为.
（3）解：由（1）知平面为平面，作，连接，
因为平面，平面，所以
因为，且都在平面内，
所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，即所求锐二面角的平面角，
因为分别为的中点，，所以，，
因为，所以，则，所以，
所求锐二面角的平面角的正切值为.
【知识点】二面角及二面角的平面角；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 利用平面与平面的交线性质，结合平行线分线段成比例定理证明Q为中点。
(2) 通过补形法将四棱柱补为三棱柱，再计算两部分体积，求其比值。
(3) 利用三垂线定理找到二面角的平面角，通过解三角形求其正切值。
（1）延长交于点，因为，
由且都在平面内，且都在平面内，
所以平面平面，因为平面，
所以，因为，，所以，
因为，所以，即为的中点；
（2）延长交于点，连接，为四棱柱，
所以为三棱柱，易知，
因为为的中点，，所以，，
所以，
因为分别是的中点，
所以，
所以，即四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为.
（3）由（1）知平面为平面，作，连接，
因为平面，平面，所以
因为，且都在平面内，
所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，即所求锐二面角的平面角，
因为分别为的中点，，所以，，
因为，所以，则，所以，
所求锐二面角的平面角的正切值为.
19．（1）已知的三个内角的对边分别为.
①若，求的面积.
②记，求证：.
（2）在平面四边形中，，记，求证：四边形的面积.
【答案】（1）解：①，则，
所以；
②证明：
.
（2）解：设则，
，又，
，
综上，，
且，
所以，
，
由的确定性，当，即时，有最大值，
即四边形有外接圆时，四边形的面积最大.
，则
，
，
，
.
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) ① 先用余弦定理求角的余弦值，再求其正弦值，最后用三角形面积公式计算；
②通过面积公式与余弦定理，结合代数变形推导出海伦公式。
(2) 将四边形拆分为两个三角形，利用面积公式和余弦定理，结合不等式推导面积的上界。
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