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第5章《分式与分式方程》章节复习题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,)
1．使分式有意义的取值范围在数轴上应表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．化简分式：，则“”部分的整式为（ ）
A． B． C． D．
4．若分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知m、n满足，则的值为（）
A． B． C． D．
7．观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（ ）
① ② ③ ④
A．运算完全正确 B．第①②两步都有错
C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错
8．若在实数范围内有，，，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．
9．学校计划对教学楼前的绿植进行翻新养护，这项工作如果由甲园艺师单独完成，需要m天，如果由甲、乙两位园艺师合作，可提前3天完成，乙园艺师单独做每天可以完成这项绿植养护工作的（ ）
A． B． C． D．
10．已知，下列判断：①计算结果；②随的增大而增大；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______．
12．已知，则分式的值是______．
13．分式与的最简公分母为____．
14．已知，则常数，的值分别是：_____．
15．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______．
16．定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______．
17．某养殖场原养有500只鸡，其中有100只A类鸡，后该养殖场引入若干只鸡与原有鸡混养，引入的鸡中A类鸡占比，此时场主随意抽出100只鸡，发现其中有25只A类鸡，则估算引入鸡共________只．
18．对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）化简：
(1) (2)
20．（8分）解下列分式方程：
(1)； (2)．
21．（10分）彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分（）．
(1)嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值；
(2)若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ．
22．（10分）中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同．
(1)求A款电脑每台的进价为多少万元？
(2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？
23．（10分）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”．
例如：已知，为实数，且，求证：
证明：①______，
，，．
又，．（②______）
．③______
．
(1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据）
(2)已知，且，求证：．
24．（12分）【问题提出】（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积．
方法1 　　，方法2 　　；
【问题应用】（2）若，，求和的值；
【应用拓展】（3）如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
②若，高的单位面积产量比低的单位面积产量多，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
解：由题意得，
，
解得：，
在数轴上表示如下：
故选：．
2．C
解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式；
B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式；
C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式；
D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式．
综上，答案选C．
3．C
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．A
解：∵分式方程 有增根，
∴最简公分母，得，
方程两边同乘去分母得：，
整理得：，
将增根代入整式方程得：，
解得．
5．B
解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍
∴无人机配送速度为，
∴传统配送时间为，无人机配送时间为，
∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多，
∴列方程得 ．
6．D
解：∵，
∴原等式变形为，，
移项得，，
交叉相乘得，，即，
整理得，，
，
两边平方得：，
将代入得：，
∴．
7．D
解：
①
②
③
④
综上，第②步和第③步均存在错误，
故选：D．
8．A
解：∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴原方程变为，
两边都乘以，得
，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的解．
故选A．
9．D
解：甲、乙两位园艺师合作，可提前3天完成，故二人用天完成，
故二人的工作效率为：，
由甲园艺师单独完成，需要m天，
故甲的工作效率为：，
故乙的工作效率为：；
10．D
解：
，
即：，故①计算结果正确；
∵，
∴随增大而减小，故②结论错误；
当时，，故正确；
综上所述：正确结论有①③．
故选D．
二、填空题
11．
解：要使代数式的值为，可得：
，解得或，即或；
，解得．
故．
12．1
解：，
∵，
∴原式，
故答案为：．
13．
解：，，
∴分式与的最简公分母是，
故答案为：．
14．，
解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得．
15．或1
解：，
变形得 ，
方程两边同乘最简公分母，
得，
整理得整式方程 ，
分式方程无解，分两种情况讨论：
整式方程无解，
令，得，此时方程变为，不成立，
整式方程无解，原分式方程无解．
整式方程的解为原分式方程的增根，
令，得增根，
将代入，
得，解得．
综上，实数的值为或．
16．2
解：∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴当且仅当时，等号成立，
∴关于a，b的巧数的最小值为．
17．100
解：设引入鸡共只，则引入后总鸡数为只，A类鸡共有只，
解得，
检验：为原分式方程的解，
故引入鸡共100只，
故答案为：100．
18．4051
解：∵，
∴，，，，，，，，
∴，，，，
∴
三、解答题
19．（1）解：
（2）解：
20．（1）解：
方程两边都乘以，得．
整理得：，
解得．
检验：把代入，得．
∴是原方程的解．
（2）解：
方程两边都乘以得．
解这个整式方程，得．
检验：把代入，得．
∴是原方程的解．
21．（1）解：
，
当时，原式；
（2）解：被墨水遮住的部分是：
．
22．（1）解：设A款电脑每台的进价为万元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意；
∴A款电脑每台的进价为0.45万元；
（2）解：设购进款电脑台，则购进款电脑 ，
由题意可得：，
解得：，
设总利润为万元，
则
，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，最大为（万元），
∵，
∴应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元．
23．（1）证明：，
，，
．
又，
．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变）
．
，
，
故答案为：①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③；
（2）证明：，
．
．
①．
，
．
等式①的两边同时除以，得，
．
24．解：（1）方法1用大正方形的面积减去小正方形的面积；
方法2两个小长方形面积之和．
故答案为：；．
（2），
，
，
，
，
，．
（3）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量，
“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，
，
，
“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高．
，
高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．
②由题意得，，
解得，．
经检验，a=24是原方程的解，
∴的值是24．

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