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10.2《分式的基本性质》
一、单选题
1．下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是
C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时，
3．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（ ）
A．保持不变 B．扩大到原来的9倍
C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的
4．若，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于分式，下列说法正确的是（ ）
A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是
C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义
二、填空题
6．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______．
7．已知，且，则______．
8．在分式，，，，中，最简分式有__个．
9．已知分式与（，是常数且的最简公分母为，则______，_______．
10．定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是_______．
三、解答题
11．将下列分式化简
(1) (2)
12．定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，．
(1)____________（用含t的式子表示）；
(2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值．
13．约分：．
14．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）；
①；②；③．
(2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值．
15．阅读理解：
材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格：
x … 0 1 2 3 4 …
… 无意义 1 …
从表格数据观察，当时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．
例如：；
请根据上述材料解答下列问题：
(1)当时，随着m的增大，的值 ；当时，随着m的增大，的值 ；填“增大”或“减小”
(2)当时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数．
参考答案
一、单选题
1.C
解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式；
B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式；
C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式；
D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式．
综上，答案选C．
2．C
解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误；
B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误；
C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确；
D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误．
3．C
解：将和分别替换原分式中的和，
∵
∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍．
4．D
解：设，
∴，，
对选项A：
∵，，
∴，A成立；
对选项B：
∵，，
∴，B成立；
对选项C：
∵，，
∴，，
∴，C成立；
对选项D：
举反例，令，，，，，满足，
此时左边，右边，，
∴D不一定成立．
5．D
解： A选项：，最简分式为，A错误；
B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误；
C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误；
D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确．
故选：D．
二、填空题
6．②④
分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断：
①，当时，该变形不成立，故①错误；
②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确；
③，当时，该变形不成立，故③错误；
④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确.
7．2
解：∵，
∴，
∴．
8．1
解：由=，得到此分式不是最简分式；
由，得到此分式不是最简分式；
由=，得到此分式不是最简分式；
由，得到此分式不是最简分式；
而分子分母没有公因式，是最简分式．
故答案为：1 ．
9． 3 5或10
解：第一个分式的分母为 ，第二个分式的分母为 ，
根据最简公分母的定义，其系数应为各分母系数的最小公倍数，字母部分应包含所有字母因式，且各字母的指数取其在各分母中出现的最大指数
∵最简公分母为 ．
∴两个分母系数和的最小公倍数为，且的最高次幂为．
∵的最高次幂为
，
∵两个分母系数和的最小公倍数为，
当2与互质时，它们的最小公倍数为，解得；
当2是的因数时，它们的最小公倍数为
综上，或，
解得： 或 ，
故答案为：，或．
10．
解：．
故答案为：．
三、解答题
11.（1）解：；
（2）解：；
12．（1）解：∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴
，
∴不论t取何值，分式化简后都为一个定值，且；
13．解：
．
14．（1）解：①；②无法进一步约分；③，
∴是“巧分式”的有①③；
（2）解：由题意，得，
∵
，
∴，
∴，，
∴，．
15．（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小，
∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小；
由于，则当时，随着的增大，的值随之减小，从而的值随之减小，即的值随之减小；
故答案为：减小；减小；
（2）解：∵，
∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，
∴的值无限接近；
即当时，随着的增大，的值无限接近．

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