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第10章《分式》章节复习题
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,)
1．使有意义的取值范围是（ ）．
A． B．
C．或 D．且
2．将分式中的都扩大到3倍，则分式的值（ ）
A．扩大到3倍 B．不变
C．扩大到9倍 D．扩大到6倍
3．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．一项工程，甲单独干，完成需要天，乙单独干，完成需要天，若甲、乙合作，完成这项工程所需的天数是（ ）
A． B． C． D．
7．若方程有增根，则a的值为（ ）
A． B．4 C．3 D．2
8．关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
9．“一骑红尘妃子笑”描述唐玄宗为杨贵妃运送荔枝的场景．通过查阅资料岭南到长安相距里，且荔枝的保鲜时间短，忽略换马、换人的时间，用慢马运送比预定时间晚小时到达，用快马比预定时间早小时到达，已知快马的速度是慢马的倍，求预定的时间．设预定的时间为小时，由题意可列方程（ ）．
A． B．
C． D．
10．对于一列非零数，，，…，设，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，，…，以此类推．以下结论：①；②若，则；③若，则；④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________．
x的值 1
分式的值 不存在 0
12．已知，且，则______．
13．已知，则的值是_________．
14．化简：_____．
15．如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为，，且点A，B到原点的距离相等．则x的值为______．
16．已知可以写成，根据这一做法解决：当整数的值为______时，分式的值为整数．
17．若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为_____．
18．①的最小值是2；
②若，则；
③当和时，式子的值相等，则；
④若，则．
其中正确的是__________（填序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1)； (2)；
20．（8分）先化简，再求值： ，请从，，中选一个合适的数代入求值．
21．（10分）解方程：
(1)； (2)．
22．（10分）为响应国家“限塑令”升级号召，助力成都建设“无废城市”，某环保科技公司推出新型可降解餐盒．公司在售普通款餐盒（A类）和加厚款餐盒（B类），已知每个B类餐盒的价格是每个A类餐盒价格的，用40元购买A类餐盒的数量比用30元购买B类餐盒的数量多15个．
(1)求A类餐盒的价格．
(2)某餐饮商家计划向该公司购买两种餐盒共600个，其中购买A类餐盒的数量不超过B类餐盒数量的2倍，当两种餐盒分别购买多少个时，总费用最少？并求出最少总费用．
23．（10分）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式 ；
(2)写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明．
24．（12分）综合与探究
如何设计奖品购买及兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数量多8件．
素材2 某学校花费550元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量共70件．
素材3 学校花费550元后，文具店赠送张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔的数量相同．
根据以上素材，解决下列问题．
(1)求钢笔与笔记本的单价．
(2)求购买钢笔和笔记本数量的方案．
(3)若兑换所得的笔记本和钢笔的总价不超过550元，则符合条件的兑换券是多少张？兑换方式是怎样的？
参考答案
一、选择题
1．D
解：∵有意义，
∴，且，
∴且．
2．B
解：将、都扩大到原来的3倍后，变为，变为，
代入原分式得：
化简后结果与原分式相等，因此分式的值不变．
3．A
解：．
4.D
解：．
5．A
解：．
6．A
解：设工作总量为1，
∵ 甲单独完成需天，
∴ 甲的工作效率为，
∵ 乙单独完成需天，
∴ 乙的工作效率为，
∴ 甲、乙合作的工作效率为，
∴ 合作所需天数为．
故选：A．
7．B
解：，
方程两边同乘去分母，得，
去括号得，
则，
∵原分式方程分母为，方程有增根，
∴增根满足，即，
将代入整式方程，得，
解得：．
8．B
解：
方程两边同乘得：，
移项、合并同类项得：，
方程的解为正数，且分式分母不能为0，
，即，
，
解得：且．
9．A
解：∵预定时间为小时，慢马比预定时间晚小时到达，
∴慢马行驶时间为小时，慢马速度为，
∵快马比预定时间早小时到达，
∴快马行驶时间为小时，快马速度为，
又∵快马速度是慢马的倍，
∴可得方程．
10．B
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这列数6个数为一个周期，循环出现，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵ 周期乘积，
，
∴，
∴，故③错误；
∵，，
∴，，
∴，
∵的值为整数，
∴，，，，
∴满足条件的整数共有8个．
又，，即，，，
故满足条件的整数共有6个．故④正确，
故选：B．
二、填空题
11．
解：当时，分式无意义，则，即，解得．
当时，分式的值为0，则分子，即，解得．
所以．
故答案为：．
12．2
解：∵，
∴，
∴．
13．
解：由，通分可得，
，
．
14．
解：
．
15．
解：由题意，得，
解得，
经检验是原方程的根．
16．3或1或7或-3
解：，
是整数，
应是整数，
，
或或或，
解得：或或或．
17．
解：解不等式得，
解不等式得，
∵关于的一元一次不等式组的解集是，
∴，
解得，
两边同乘得，
解得，
∵关于的分式方程有非负整数解，
∴且，是非负整数，
解得，且，是奇数，
综上所述，的取值范围是，且，是奇数，
∴所有满足条件的整数的值之和为．
18．②③
解：①当时，例如，，故最小值不是2，此说法错误；
②∵，
∴，故此说法正确；
③∵当和时，式子的值相等，
∴，
∴，
∴，
∴，故此说法正确；
④∵，
∴，
∴，故此说法错误．
综上，正确的有②③．
故答案为：②③．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．解：
∴当时，原式
21．（1）解：，
，
方程两边同乘，得
，
，
，
，
，
检验：当时，，
故原分式方程的解为
（2）解：，
方程两边同乘，得
，
，
，
，
，
检验：当时，，
因此不是原分式方程的解．
故原分式方程无解．
22．（1）解：设A类餐盒的价格为元，则B类餐盒的价格为元，
∴，
解得，，
检验，当时，原方程有意义，
∴A类餐盒每个的价格为1元；
（2）解：根据（1）的计算可知，B类餐盒每个的价格为元，
设A类餐盒购买了个，则B类餐盒购买了个，
∴，
解得，，
设总费用为，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，最小，最小值为（元），
∴，
∴购买A类餐盒400个，B类餐盒200个时总费用最少，最少总费用为640元．
23．（1）解：第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
第6个等式：；
（2）解：根据前面的式子规律可得第n（n为正整数）个等式：，证明如下：
24．（1）解：设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴．
答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元．
（2）解：设购买钢笔的数量为支，笔记本的数量为本．
根据题意，得，
解得，
答：购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本．
（3）解：当购买钢笔的数量为40支，笔记本数量为30本时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本．
根据题意，得，
整理，得．
∵，
∴，
∴．
∵，均为正整数，且为偶数（2的倍数），
∴可取1，3，5，
当时，，则，成立；
当时，，则，成立；
当时，，则，成立．
根据题意可知，当时，兑换所得的笔记本和钢笔的总价为800元，不合题意，
∴文具店赠送2张或5张兑换券，
兑换方式：①1张兑换券兑换钢笔，1张兑换券兑换笔记本；②3张兑换券兑换钢笔，2张兑换券兑换笔记本．

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