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5.3 《问题解决策略——转化》同步练习
一、选择题
1．如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区
2．（如图，在正方形网格中有，两点，在直线上求一点，使最短，则点应选在（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
3．昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，直线是一条河，点是两个村庄．欲在直线上的某处修建一个水泵站，向C，D两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（　　）
A．110° B．112° C．114° D．116°
6．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
7．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）

A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
8．如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6
二、填空题
9．如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是________．
10．如图， ABC中，，于点D，点E、F分别在上运动，若 ABC的面积为6，则的最小值为______．
11．如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．

12．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________．
13．如图，在 ABC中，，点，，分别是各边上的动点，若，，，则的最小值是________．
14．如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是______________．
15．如图，在 ABC中，D是上一点，连接，将 ABC沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______．
16．如图为某工厂厂区示意图，办公大楼在工厂主干道上，车间，与办公大楼的距离皆为，且，．在主干道上选址仓库，从仓库到车间，修建厂区支路，，使得支路总长最短，测得仓库与办公大楼距离为．已修建的支路长为，还需修建的支路的长度用代数式可以表示为__________．
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中， ABC的顶点．
(1)在图中画出 ABC关于轴对称的；
(2)直接写出的面积是___________；
(3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置．
18．利用图形的变换可以解决很多生活中问题．
如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的．
(1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）．
(2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）．
19．综合与实践
问题情境
如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径．
问题解决
数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短．
推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可．
证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ．
在中，， ，即最小．
(1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证；
(2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径；
(3)如图4，在 ABC中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？
20．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？
【分析问题】
（1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案．
正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____．
【解决问题】
（2）如图，在 ABC中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____．
【类比探究】
（3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营
①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）
②当将军走过的路程最短，且时，则_____°．
参考答案
一、选择题
1．B
解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)，
当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)，
当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)，
当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)，
因为7000＜7050＜8800＜11900，
所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．
故选：B．
2．D
解：点关于的对称点，连接，如图，
由图可知点应选在点；
故选：D．
3．C
解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小，
∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示：
∴此时，
故选：C．
4．D
解：作点关于直线的对称点，连接交直线于．
根据两点之间，线段最短，可知选项铺设的管道，所需管道最短．
故选：D．
5．D
解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，
∴∠ADC＝180°﹣32°，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣32°-32°
＝116°．
故选：D．
6．C
解：，
，
当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
7．B
解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：

则，
∴．
即的最小值为．
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为9.6．
故选：B．
8．C
解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．
∴，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴M、C、N共线，
∵，
∵，
∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小，
最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
二、填空题
9．两点之间线段最短
解：两点之间线段最短．
10．3
解：作F关于的对称点M，连接交于E，连接，过B作于N，
∵， ABC的面积为6，
∴，
∵F关于的对称点M，
∴，
∴，
根据垂线段最短得出：，
即，
即的最小值是3，
故答案为：3．
11．
解：如图，连接，过点作交的延长线于，
，且，
，
点关于对称的点为，点关于对称的点为，
，，，
，
，
的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
的面积的最小值为，
故答案为：．
12．6
解：如图，延长至，使，
∵，
∴点与点C关于对称，
连接交于，此时最小，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点B作交的延长线于E，
则（平行线间的距离处处相等），
在中，，
∴，
即的值最小值为6，
故答案为：6．
13．
解：作，交于点E，
∴为到的垂线段，即高，是的最小值，
作点E关于的对称点，关于的对称点．
∴，，则．
当M，N与C重合时，，
，，
路径
∴当、N、M、共线时，和最小，即的长度．
，
∴，即、C、共线，
故．
ABC面积，
又，即，
解得．
∴，即的最小值为．
故答案为：．
14．
解：作点关于的对称点，连接，过作于，交于．则此时值最小，最小值为的长，
∵点与关于对称，
∴，，
∴．
∵，，，，
∴，
∴．
故答案为：．
15．5
解：连接，由题可知B和E关于AD对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为，
∴则的最小值为5，
故答案为：5．
16．
解：作点C关于直线的对称点连接，交于点D，
此时，，根据两点之间线段最短，即为所求的仓库位置．
由对称性，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，且，
∴，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积，
故答案为：；
（3）解：点即为所求：
18．（1）解：如图，
（2）解：如图，
19．（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上，
，，
．
在中，，
，即最小．
故答案为：，，，；
（2）解：如图，即为最短路径；
（3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长．
20．解：（1）正确的方案是④，
因为由轴对称的性质可得，
所以当点三点共线时，
所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短；
（2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，
由对称轴的性质可得，，
∴，
∴，
∴的周长最小值为，
故答案为：11；
（3）①如图，最短，
过点分别作的对称点，连接与交点即为点
则，
∴；
②如图：
因为，
所以，
由轴对称的性质可得，
因为，
所以，
所以，
同理可得，
∴
故答案为：．

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