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10.5《用二元一次方程组解决问题》同步练习
一、选择题
1．某课外活动小组的学生准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人．设应分成的组数组，课外活动小组的人数为人，根据题意得，方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．勤俭节约是中华民族的传统美德，开学前夕，千惠同学用自己平时积攒的30元零花钱去乐福超市购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，则千惠同学的购买方案有（ ）
A．3 种 B．4种 C．5种 D．6种
3．现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（ ）
组合 A与B B与C A与C B与D
所需时间 7天 9天 11天 14天
A．A B．B C．C D．D
4．学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（ ）
A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10
5．已知买20支铅笔、3块橡皮共需32元，买39支铅笔、5块橡皮共需58元，则购买10支铅笔与10块橡皮共需（ ）元．
A．16 B．60 C．30 D．66
6．《算法统宗》记载：“今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺．问：井深及绳长各若干？”题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺．问绳长、井深各是多少尺？设绳长尺，井深尺，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在某学校课后兴趣小组开展的手工制作活动中，美术老师要求用12张卡纸制作长方体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出2个底面．如果4个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．甲、乙两人在笔直的公路上相距6km，两人同向而行，甲3h可追上乙；相向而行，1h相遇．乙的平均速度为_______km/h．
10．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为____________
11．一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是_____．
12．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个或盒底25个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有110张白铁皮，用______张制盒身可以正好制成整套罐头盒．
13．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为____________元
14．某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示：
甲种原料 乙种原料
营养元素钾的含量 500 200
原料价格（元/L） 6 8
若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料________L，乙种原料________L．
15．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________
16．如图所示的是甲、乙二人运动两次的情形．设甲的平均速度是，乙的平均速度是，则可列方程组：________．
三、解答题
17．今有鸡兔同笼，上有二十四头，下有七十四足，问鸡兔各几何？
18．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功点火发射．某商店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型的商品．已知老板购进1个“神舟”模型和3个“天宫”模型共需要元；购进2个“神舟”模型和1个“天宫”模型共需要元．求两种模型的进货单价？
19．一方有难，八方支援．某市发生地震，某公司用甲、乙两种货车向该市运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
运输次数 甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有45吨物资需要再次运往该市，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
20．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人．
（1）请根据题意，列出二元一次方程组；
（2）宿舍有多少间？学生有多少人？
21．我市某乡镇狠抓科技兴农，在乡农业科技人员的技术指导下，该乡镇的农民种植的“蜜糖心”品牌萝卜品质好、口感好，耐运输、耐储存，因而受到很多外地客商的青睐．现某物流公司欲将该乡镇一批萝卜运往外地销售，若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨；若租用辆A型车和辆B型车载满萝卜，一次可运走吨，现有萝卜吨，计划同时租用A型车辆，B型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满萝卜，根据以上信息，解答问题：
（1）1辆A型车和辆B型车都载满萝卜一次可分别运送多少吨？
（2）该物流公司的租车方案有哪几种？
22．某生态柑橘园现有柑橘24吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．其中型车租金是1000元／辆，型车租金是700元／辆，已知满载时：1辆型车和1辆型车一次可运5吨柑橘；4辆型车和3辆型车一次可运18吨柑橘．
（1）满载时这两种类型的货车一次可以分别运多少吨柑橘？
（2）若计划A、B两种型号的货车都租用（每种至少一辆）一次运完（每辆车均为满载）全部柑橘，怎样租车才能最省钱？
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵设应分成的组数为组，课外活动小组总人数是人，
根据“每组7人，余下3人”可得：，整理得，
根据“每组8人，少人”可得：，整理得，
∴可得方程组．
2．B
解：设购买笔的数量为x，本子的数量为y，
∵ 总价30元，笔单价3元，本子单价2元，
∴ ，x、y为正整数，
∴为整数，
∴ 为偶数，故x为偶数，
∵购买单价为3元的笔和单价为2元的本两种学习用品，
∴ x的取值范围为且x为偶数，
当时，；
时，；
时，；
时，；
∴共有4种购买方案，
故选：B．
3．B
解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得：
1．
2．
3．
4．
解前三个方程：
联立方程1、2、3，得：
，，．
比较可知：．
由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）．
综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B．
故选：B．
4．A
解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，
由题意可得：，
解得：．
故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁．
故选：A．
5．B
解：设铅笔单价为x元，橡皮单价为y元．
根据题意得，
解得，
∴，
∴购买10支铅笔与10块橡皮共需60元，
故选：B．
6．A
解：设绳长尺，井深尺，
∵将绳子折成三等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多4尺，
∴，
∵将绳子折成四等份放入井中，一份绳长为尺，且一份绳长比井深多1尺，
∴，
∴可列方程组为．
故选：A．
7．B
解：设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，
根据题意，得
解得 ，
∴ 可做包装盒个数为，
故最多可做4个包装盒．
故选：B．
8．D
解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．
得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为，
设每张长方形纸片的长为，宽为，
根据题意得，，
故选：．
二、填空题
9．2
解：设甲的平均速度是 km/h，乙的平均速度是 km/h，
依题意得：，解得：．
答：甲的平均速度是km/h，乙的平均速度是km/h.
故答案为：.
10．
解：由图可知：，，
∴依据题意可得二元一次方程组为；
故答案为．
11．47
解：由题意，得：，
解得：；
故这个两位数为47；
故答案为：47．
12．50
解：设用x张铁皮制盒身，用y张铁皮制盒底，
依题意得，
解得．
所以用50张制盒身可以正好制成整套罐头盒．
故答案为：50．
13．120
解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，
依题意可得：，
解得：，
∴大套装的单价为120元．
故答案为：120．
14． 7 5
解：设甲种原料购买了，乙种原料购买了，
根据题意得：，
解得：，
即甲种原料购买了，乙种原料购买了．
故答案为：7；5．
15．或10
解：设甲的速度为，乙的速度为．
根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程：
（1）
根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况：
情况一：相遇前相距，得方程：
，即（2）
联立（1）和（2）：
，
解得：，，
甲由A地到B地需要时间：，
情况二：相遇后相距，得方程：
，即（3）
联立（1）和（3）：
，
解得：，
甲由A地到B地需要时间：．
故答案为：或10．
16.
解：设甲的速度是km/h，乙的速度是km/h，
依题意，得：
故答案为：
三、解答题
17．
解：设有x只鸡，y只兔子．根据题意，得
，
解得．
答：鸡有11只，兔子13只．
18．
解：设“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．
根据题意，得，解得：，
答：“神舟”模型的进货单价为元，“天宫”模型的进货单价为元．
19．
（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货x，y吨，依题意，得
解得
因此，甲、乙两种货车每辆分别能装货4吨、3吨；
（2）解：设租用m辆甲种货车，n辆乙种货车．
依题意，得，
则，
，n均为正整数，
则或或
即共有3种租车方案，
方案1：租用3辆甲种货车、11辆乙种货车；
方案2：租用6辆甲种货车、7辆乙种货车；
方案3：租用9辆甲种货车、3辆乙种货车．
20．
（1）解：设宿舍有间，学生有人．
根据题意，列出二元一次方程组：；
（2）解：由（1）得
把②代入①，可得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴二元一次方程组的解为，
答：宿舍有11间，学生有45人．
21．
（1）解：设辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨，
根据题意得：，
解得：，
答：辆型车载满萝卜一次可运送吨，辆型车载满萝卜一次可运送吨；
（2）解：根据题意得：，
，都是正整数，
或或，
该物流公司的租车方案有种：
租用辆型车，辆型车
租用辆型车，辆型车；
租用辆型车，辆型车．
22．
（1）解：设每辆型车满载时一次可运柑橘吨，每辆型车满载时一次可运柑橘吨，由题意可得：
，
解得：，
答：每辆型车满载时一次可运柑橘3吨，每辆型车满载时一次可运柑橘2吨．
（2）解：设租用型车辆，型车辆，由题意可得：
，
∴
均为正整数，
，
当时，总费用：（元）；
当时，总费用：（元）；
当时，总费用：（元）；
∴最省钱方案是租用6辆型车，3辆型车，花费8100元．

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