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第4章《三角形》章节复习题
一、选择题（共10题，每小题3分，合计30分）
1．已知三角形三条边的长分别为3、5、，则的值可能是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．11
2．如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中 AOB与全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，，，则的长度为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在 ABC中，直线，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，用纸板挡住了部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
8．如图，用一种简易的测距工具测量地面上点与点的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点处立垂直于地面的杆，并将顶端的活动杆对准点（点在射线上），固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空地处，标记活动杆的延长线与地面的交点，测得点，之间的距离为，则点与点的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是 ABC的中线，，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．2
10．如图，在 ABC中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（共9题，每小题4分，合计36分）
11．等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________．
12．已知， ABC的三边长度为4、和，的三边长度为6、、，则 ABC的周长是______．
13．如图， _______．
14．如图，一个正方体箱子卡在了两面墙之间，已知砌墙所用的每块砖块的厚度（每块砖厚度相等）为，则两面墙之间的距离的长为______．
15．如图为货车长方体货箱的平面示意图，货箱长为6.8米，高始终与水平地面垂直．现有一较重但分布均匀的正方体货物，工人师傅将货物沿坡面推送至重心处在适当位置时，无需借助工具即可将货物轻松平放进货箱．此时，正方体货物点H到直线的距离为1米，则正方体货物点G到直线的距离为____米．
16．如图，在中，，，延长到点B，连接，在上找一点F，延长交于点E，若，，的面积为，则的长为__________．
17．如图，在 ABC中，是边上的中线，设，，若a，b满足，则的取值范围是________．
18．如图，在中，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E．
（1）若，，则的长为_____；
（2）在（1）条件下，点M为边上一点，连接CM，过点C作，且（点N在直线l的上方），连接交直线l于点F，若，则的长为______．
三、解答题（共6题，合计54分）
19．（6分）“燕尾脊”是闽南传统建筑最具代表性的屋顶形式，如图是小明设计的一个“燕尾”平面图案，已知求证：
20．（6分）用直尺和圆规，按照下面要求作出 ABC．
21．（10分）在作的平分线的过程中，阿天用了如下的办法：①以为圆心，任意长为半径画两条弧，分别与、交于点、，、；②连接、交于点；③作射线．请证明阿天作图的正确性．
22．（10分）如图，某数学小组想要测量倾斜的树的长，设计了如下方案：①在点的正下方地面上取一点，测得的长；②在上取一点，使；③过点作交地面于点；④测得的长就是的长．（假设所有的点都在同一平面内．）
（1）请你说明这样设计的理由；
（2）设与交于点，求证：．
23．（10分）在 ABC中，，
（1）如图1，，为上一点，于点，于点，，，求的长；
（2）如图2，点、分别是、上一点，连接、交于点．点是上一点，连接，若，且，，求与面积之和．
24．（12分）八年级数学兴趣小组在一次活动中对“倍长中线法”进行了探究试验活动，请你和他们一起参与本次探究活动吧．
【探究与发现】
（1）如图，在 ABC中，是 ABC的中线，小聪同学表示：延长至点，使，连接，就可以求证 ADC≌ EDB，请你帮助他写出证明过程．
【理解与应用】请你运用类似方法解决下列问题：
（2）请你运用如图，在 ABC中，为中线，为上一点，、交于点，且．求证：；
（3）如图，是 ABC的中线，且，求证：．
参考答案
一、选择题
1．B
解：∵三角形的三边长分别为3，x，5，
∴，
即，
故选B．
2．B
解：在 AOB与，
∵，
∴，
∴ AOB与全等的依据是，
故选：．
3．B
解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．C
解：∵，
∴，
∵，
∴．
5．A
解：已知该三角形为直角三角形，且露出了一个锐角、直角以及这两个角所夹的一条边．
选项（）：
∵图中露出了直角、一个锐角，以及这两个角所夹的一条边，满足两角及其夹边对应相等的条件
∴可以依据判定全等，故项正确，符合题意．
选项（）：
∵图中未提供两角及其中一角的对边的信息，不满足的判定条件
∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意．
选项（）：
∵图中未提供两条边及其夹角的信息，不满足的判定条件
∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意．
选项（）：
∵图中未提供三条边的信息，不满足的判定条件
∴不能依据判定全等，故项错误，不符合题意．
故选：．
6．C
解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7．C
解：如图，，，，
∴，
∴，
∵在的内部，
∴．
故选：C．
8．B
解：由题意可得：，，，
即，
∴，
∴，
∴，
∴点与点的距离为；
故选：B；
9．D
解：如图所示，过点A作，交的延长线于点H，
∵，，
∴；
∵是 ABC的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10．D
解：∵，，
∴，
在 CAF与中，
∵，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
如图，记交于点，的交点为，
∵，
∴，
∴，故②正确，
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故③正确，④正确．
二、填空题
11．7
解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意；
当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意；
故第三边长为7；
故答案为：7．
12．18
解：∵，根据全等三角形的性质，对应边相等，分情况讨论如下：
情况1：列方程组
解得，
此时 ABC的三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意；
情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去；
情况3：列方程组，
由得，边长不能为，不符合题意，舍去；
情况4：列方程组，
由得，则，此时，这与矛盾，舍去，
故 ABC的周长为．
13．
解：由三角形内角和定理可知，．
故答案为：．
14．45
解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：45．
15．5.8
解：分别过点H、G作，垂足为点F、P，连接，交于点O，如图所示：
∴，
根据重心的定义可知：正方形的对角线的交点即为重心，即为图中点O，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意可知，
∴正方体货物点G到直线的距离为；
故答案为5.8．
16．2
解：由题可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：2．
17．
解：已知等式整理得：，
即，
∵，
∴
∴，
解得：，
∴，
延长到E，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，,
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18． 4
解：∵，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴；
如图，过点N作交直线l于点G，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
三、解答题
19．
解：证明：连接，
在和中，
（）
．
20．
解：如图： ABC即为所求．
21．
解：证明：由作图可得，，，
在与中，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
即OP为的平分线．
22．（1）解：由图可知：，
∵，，
∴ NMO≌ PQO，
∴；
（2）证明：∵ NMO≌ PQO，
∴，
∴，即，
∵，，
∴ KNQ≌ KPM，
∴；
23．（1）解：，，，
．
，，
．
，
，
，．
，
，
．
（2）解：，，
又，，
，．
，
，
．
，，
，
．
24．（1）证明：是 ABC的中线，延长至点，
使，
，
在 BDE和中，
，
；
（2）证明：在 ABC中，为中线，如图，延长至点，使，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，即；
（3）证明：是 ABC的中线，如图，延长至点，使，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
在 BEC和中，
，
，即．

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