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第12章《定义 命题 证明》章节复习题
一、选择题
1．下列句子中属于命题的是（ ）
A．美丽的天空 B．你的作业完成了吗？
C．过直线外一点作的垂线 D．两直线平行，同位角相等
2．下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C．对顶角相等 D．同角的余角相等
3．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两点之间，线段最短
D．若，则
4．“如果，那么”是假命题，那么、的值可能为（ ）
A．、 B．、
C．、 D．、
5．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
6．命题“如果，那么或”的结论是( )
A．或 B．
C．或 D．或
7．以下四个例子中，不能说明“一个角的余角大于这个角”是假命题的是（ ）
A．设这个角是，它的余角是，但
B．设这个角是，它的余角是，但
C．设这个角是，它的余角是，但
D．设这个角是，它的余角是，但
8．命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列说法中，错误的是（ ）
A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实
B．定义是命题，并且是真命题
C．“两点之间，线段最短”是基本事实
D．“两点之间，线段最短”是定理
10．老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：
证明：如图，，
．
，
，
，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
二、填空题
11．把命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为________．
12．命题“同位角相等”的条件是______．
13．定理“如果两个数互为倒数，那么它们的乘积等于1”的逆定理是：_________．
14．请举出一个关于角相等的定理：_____．
15．若要说明命题“若，则”是假命题，c的值可以是________．
16．甲，乙，丙，丁4人打靶，每人打4枪，每人各自中靶的环数之积都是72（中靶环数最高为10），且4人中靶的总环数恰为4个连续整数，那么，其中打中过4环的人数为_______．
三、解答题
17．判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果，那么；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果，那么，．
18．证明：是平方数．
19．如图，，的平分线交于点，交的延长线于点，
．
求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：，
（理由： ）．
平分，
．
．
，
，
（理由： ）．
（理由： ）．
20．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、美丽的天空，不是命题，故此选项不符合题意；
B、你的作业完成了吗？，不是命题，故此选项不符合题意；
C、过直线l外一点作l的垂线，不是命题，故此选项不符合题意；
D、两直线平行，同位角相等，是命题，故此选项符合题意；
故选：D．
2．B
解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意；
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故B符合题意；
C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意；
D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意．
故选：B．
3．C
A．缺少“直线外一点”的条件，故A错误；
B．相等的角不一定是对顶角，故B错误；
C．两点之间，线段最短，故C正确；
D．若，则，故D错误．
故选：C．
4．D
解：A选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故A选项不符合题意；
B选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意；
C选项：当、时，、，满足且同时满足，不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意；
D选项：当、时，、，满足但不满足，能说明命题是假命题，故D选项符合题意．
故选：D．
5．C
解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，
故选：C．
6．C
解：如果后面的部分是题设，那么后面的部分是结论．
命题“如果，那么或”的结论是或，
故答案为：C．
7．A
解：A、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故A选项符合题意；
B、所设的角与它的余角相等，和原结论相符合，故B选项不符合题意；
C、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故C选项不符合题意；
D、所设的角大于它的余角，和原结论相符合，故D选项不符合题意．
故选：A．
8．B
解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题，
∴①正确；
∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题，
∴②正确；
∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实，
∴③错误；
∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理，
∴④错误；
综上，正确的说法有2个．
9．C
解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确；
选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确；
选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确；
选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误．
故选：C．
10．A
解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则，
故选：A．
二、填空题
11．如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
解：命题“等角的余角相等”中，题设为两个角相等，结论为这两个角的余角相等，因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
12．两角是同位角
解：命题“同位角相等”的完整表述是“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，其中“如果”后面的部分是条件，即“两个角是同位角”，简写为“两角是同位角”．
故答案为：两角是同位角．
13．如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数
解：根据逆定理的定义，将原命题“如果，那么”中的条件和结论互换，得到逆命题“如果，那么”．
这里是“两个数互为倒数”，是“它们的乘积等于1”，
所以逆定理为“如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数”．
故答案为：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数互为倒数．
14．两直线平行，同位角相等
解：关于角相等的定理：两直线平行，同位角相等
故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一）．
15．
解：∵命题“若，则”是假命题，
∴存在，使得，
∵c为分式的分母，
∴，
∴根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号的方向改变，可知当时，若，则，即原命题是假命题，
∴c的值可以是．
16．2人
解：，共7种情况，在这7种情况中，总环数分别为，
人中靶的总环数恰为4个连续整数，
其中3个人的总环数一定为15，14，13，第4个人总环数为16或，
打中过4环的人数为2人．
故答案为：2人．
三、解答题
17．（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
∴原命题是真命题；
逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题；
（2）解：∵，，满足，但不满足；
∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题；
其逆命题为：如果，那么，这是假命题，
例如：，，满足，但不满足；
（3）解：∵相反数的和为零，
∴原命题是真命题；
逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题；
（4）解：∵当时，或．
∴原命题是假命题；
逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题．
18．解：
，
又的各位数字之和为6，被3整除，
所以，被3整除，于是是整数，
故是平方数.
19．证明：，
（理由：两直线平行，内错角相等）．
平分，
．
．
，
．
（理由：同位角相等，两直线平行）．
（理由：两直线平行，同旁内角互补）．
20．解：假设m不是偶数，则m为奇数，
设（n为整数），则．
因为为偶数，
所以为奇数，与为偶数矛盾，
所以假设不成立，故m为偶数．

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