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第十二章《定义 命题 证明》章节复习题
一、选择题
1．下列语句中，属于定义的是（ ）
A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于
C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等
2．下列句子中，是真命题的是（ ）
A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0
C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角
3．下列命题，是真命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行
D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
4．对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．内错角相等
C．若，则 D．若，则
6．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（ ）
A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角
7．下列命题中，判断错误的是（ ）
A．所有定理都有逆命题
B．对顶角相等的逆命题是真命题
C．假命题的逆命题不一定是假命题
D．两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行
8．下列说法中，错误的是（ ）
A．基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实
B．定义是命题，并且是真命题
C．“两点之间，线段最短”是基本事实
D．“两点之间，线段最短”是定理
9．已知四个正数的和等于1，下列说法正确的是（ ）
A．这四个数都等于 B．至少有一个数大于
C．至少有一个数不大于 D．这四个数中恰有两个数大于，两个数小于
10．用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（ ）
A． B．a与b不平行 C． D．
二、填空题
11．命题“等角的补角相等”的条件是_______．
12．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________．
13．要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例．
14．有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）．
15．“落红不是无情物，化作春泥更护花”，杨校恰似这诗句中的落红，以诲人不倦的精神，默默滋养着一届又一届学生．鲜有人知，她将自己钟爱的四位数字设为手机密码，这密码背后似乎藏着她对教育的独特情怀．现在，就让我们依据以下四个条件，一同探寻这串神秘的手机密码：___________．
①7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
②7、2、4、6只有两个数字正确但位置都不正确；
③9、5、8、3四个数字都不正确；
④0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确．
16．8个学生各有若干本书，每人自己的书中没有相同的，但每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，则这8个学生共有不同的书____本．
三、解答题
17．如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题．
(1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号）
(2)证明你构造的命题是真命题．
18．小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题：
(1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明．
(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题．
19．补全下列推理过程：
如图，，，，试说明．
解：∵，，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（____________）．
∴（____________）．
∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（____________）．
20．已知实数满足，且是正整数，．
(1)请判断是奇数，还是偶数？并说明理由；
(2)求证：是完全平方数．
参考答案
一、选择题
1．C
解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定，
所以都不是定义，只有是定义．
故选：C．
2．B
解：选项A是疑问句，不能判断真假，不是命题，不符合要求；
选项B“负数都小于0”是能判断真假的陈述句，且结论正确，因此是真命题，符合要求；
选项C是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不是命题，不符合要求；
选项D“相等的角是对顶角”是命题，但相等的角不一定是对顶角，结论错误，是假命题，不符合要求．
3．C
解：A、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，故A是假命题，不符合要求；
B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角三角板的直角相等，并非对顶角，故B是假命题，不符合要求；
C、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线，与已知直线形成的同位角都是，根据同位角相等，两直线平行，可判定两条直线平行，故C是真命题，符合要求；
D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论，故D是假命题，不符合要求．
4．D
解：A选项：，，其中，不符合命题的条件，所以不符合要求，故A选项不符合题意；
B选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意；
C选项：，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意；
D选项：，，其中，并且，即，这个例子能说明命题是假命题，故D选项符合题意．
故选：D．
5．C
解：A、“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意；
B、“内错角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是内错角”，这个命题是假命题，故不合题意；
C、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意：
D、“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意．
故选：C．
6．D
解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角，
∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角．
故选：D．
7．B
解：选项A：任何命题都有逆命题，定理属于命题，因此定理都有逆命题，该判断正确；
选项B：“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角(如两直线平行时的同位角)，因此逆命题是假命题，该判断错误；
选项C：假命题的逆命题可能为真，也可能为假，例如假命题“若，则”的逆命题“若，则”也是假命题；而假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，因此该判断正确．
选项D：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，其角平分线分得的角也相等，可推出两条角平分线的内错角相等，故角平分线互相平行，该判断正确．
因此，判断错误的是选项B．
故选：B．
8．C
解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本事实、定理等，该说法正确；
选项B：定义是对概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正确；
选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确；
选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法错误．
故选：C．
9．C
解：先要假设每个数大于，
则四个正数的和大于1，
与已知已知四个正数的和等于1矛盾，
故至少有一个数不大于，
故选：C．
10．B
解：反证法证明“在同一平面内，若，，则”时，应假设与不平行，即与相交．
故选：B．
二、填空题
11．两个角相等
解：“等角的补角相等”可改写成“如果两个角相等，那么它们的补角也相等”，
所以：“等角的补角相等”的条件是：两个角相等；
故答案为：两个角相等．
12．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
解：原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”中，
题设为“点在线段的垂直平分线上”，结论为“该点到线段两端的距离相等”，
交换题设与结论后，得到逆命题为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
13． 证明 举反例 结论
解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．
故答案为：证明；举反例；结论．
14．①②③④⑤⑦
解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等.
①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据；
②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据；
③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据；
④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据；
⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据；
⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据；
⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据；
⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据；
⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据；
故答案为：①②③④⑤⑦ ．
15．2401
解：由③可知，9、5、8、3四个数字都不正确，
即密码中没有9、5、8、3四个数字；
由④可知，0、1、2、3只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有0、1、2三个数字，且位置都不正确；
由①可知，7、4、9、1只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字1在第四位，另一个正确的数字为7在第一位或4在第二位；
若7在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字2不在第二位和第三位，即在第一位．
则数字0在第三位，
即正确的密码是2401，
故答案为：2401．
16．828
解：假设8个学生为1，2，3，4，5，6，7，8，
因为每两个人都恰好有1本相同的书，并且每本书也恰好只有两个人有，
所以有12，13，14，15，16，17，18 ，
23，24，25，26，27，28，
34，35，36，37，38，
45，46，47，48，
56，57，58，
67，68，
78，
即共有本不同的书，
故答案为：28．
三、解答题
17．（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）；
（2）条件为①②，结论④；
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
条件为②③，结论为④：
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
条件为①④，结论为②；
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
条件为③④，结论为②：
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
条件为②④，结论为③：
证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
条件为②④，结论为①：
证明：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
18．（1）解：例如：，，，，，得到．
（2）证明：∵，
∴，，
∴．
19．解：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（　同位角相等，两直线平行　），
∴（　两直线平行，同位角相等　），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（　内错角相等，两直线平行　）．
20．（1）解：是奇数，理由如下：
∵是正整数，，
∴是一个奇数、一个偶数，
∴是偶数，
∵奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数，
∴是奇数，是偶数，
∴是奇数加偶数，结果为奇数；
（2）证明：∵，
∴，，
∴
，
即是完全平方数．

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