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第四章《三角形》 章节复习题
一、单选题
1．下列图形中，运用四边形不稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
2．根据下列已知条件，能画出唯一的 ABC的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，
3.如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．20 C．40 D．80
4．如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
6.如图，已知，若，，则的长为_____．
7．如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律如图②，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点A，B，C，D在同一条直线上已知，，则小红和木板之间的距离为_____．
8．如图，在 ABC中，，将 ABC平移6个单位长度得到，M是的中点，则的最大值为______．
9．如图，为 ABC的中线，为的中线，为的中线，....，按此规律，为的中线．
（1）若，，则的周长与的周长相差_____．
（2）若 ABC的面积为64，则的面积为_____．
10．如图，在 ABC中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，．
三、解答题
11.已知 ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)若a，b，c满足，试判断 ABC的形状；
(2)若，，且c为整数，求 ABC的周长；
(3)直接写出化简结果：________．
12.如图，在 ABC和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得．
(1)你选择的补充条件是___________（填序号）；
(2)根据你选择的补充条件，写出的证明过程．
13. ABC的顶点在如图所示的网格中的格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图中作 ABC的中线；
(2)在图中作 ABC的高．
14.为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点．
(1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由．
(2)若米，米，求旗杆高度．
15.如图， ABC和 ADE都是等腰直角三角形，，，，连接、；
(1)求证：．
(2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______．
16.综合探究
(1)如图1，在中，，则的长为_____．
(2)如图2，在 ABC中，，，，为 ABC的高，试分析，的数量关系．
(3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）．
17.结合图形，解答下列问题：
(1)【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图中可以通过推理得到，进而得到______，______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型：
(2)【类比应用】如图③，在中，，点、、都在直线上，并且．若，，求的长；
(3)【拓展探究】如图④，正方形中，，，直接写出的面积______．
18.八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
【初步探索】
如图1，在 ABC中，若，求边上的中线的取值范围．
以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
（1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____；
【灵活应用】
（2）如图2，是 ABC的中线，延长到点，连接，使，求证：；
【拓展提升】
（3）如图3，在 ABC中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出 ABC的面积．
参考答案
一、单选题
1．B
解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性，不符合题意；
B选项伸缩门是用到了四边形的不稳定性，符合题意．
2．B
解：A、已知两边及其中一边的对角，即，不符合全等三角形的判定，不能画出唯一 ABC，故本选项错误；
B、已知，，夹边，符合全等三角形判定，因此能画出唯一 ABC，故本选项正确；
C、仅已知一个角和一条边，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误；
D、仅已知一条边和一个角，条件不足，不能画出唯一三角形，故本选项错误．
3．C
解：∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．B
解：如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点，
四边形是长方形，
，，
，，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示，
当点，重合时，线段的值最小，
根据作图，，
四边形和四边形都是长方形，
，，
到边的距离为，
故选：B．
5．B
解：，
∴，即，
在和中，
，
，则①正确；
，，，则②正确；
由三角形的外角性质得：，
，则③正确；
如图，作于，于，则，
在和中，
，
，
，，
平分，即，
，
∴，
假设，
，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，即，与矛盾，
则假设不成立，则④错误；
综上，正确的结论有①②③．
二、填空题
6．5
解：
，
．
7．6
解：由题意，得
，
，
在和中，
，
，
∴．
8．10
解：如图，连接，
由平移得，
因为点M是的中点，
所以，
因为
所以当点A在上时，取得最大值，即的长度，
因为
所以的最大值为10．
9． 4 2
解：（1）∵为 ABC的中线，
∴，
∵，，
∴的周长与的周长的差为；
故答案为：4
（2）为 ABC的中线，
，
同理，
，
，
∴．
故答案为：2．
10．或
解：∵CD AB,∠ACB=90 ,EF BC，
∴∠ACD+∠∠A=∠ACD+∠DCB=90 ,∠ACB=∠CEF=90 ，
∴，
由题意可分：当点E在直线的上方时，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为；
当点E在直线的下方时，
同理可得：，
∴，
∴点E的运动时间为；
综上所述：当点E运动或时，有；
故答案为：或．
三、解答题
11.（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴ ABC是等边三角形．
（2）解：∵，，
∴，即，
∵c为整数，
∴，
∴当时， ABC的周长，
当时， ABC的周长，
当时， ABC的周长，
∴ ABC的周长是11或12或13．
（3）解：∵ ABC的三边长分别为a，b，c，
∴，，，
∴，，，
∴原式
．
12（1）解：选①或③；
（2）解：选①，
证明：∵，
∴，即，
在 ABC和中，
，
∴；
选③，
证明：在 ABC和中，
，
∴．
13.（1）解：如图，线段即为所求；
（2）如图，线段即为所求．
14.（1）认同小明的观点，理由如下：
由题意可知： ，，，，
，，，
．
在和中，
，
，
，
因此认同小明的观点．
（2）∵，
∴米，
又∵米，
米，
由（1）已证，
米．
15.（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，，，
∴；
（2）解：如图，
∵，
∴，，
∵点、分别为线段、的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
16.（1）解：在中，，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即．
17.（1）解：∵，
∴，．
（2）解：∵．
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：将图④转变为赵爽弦图，如下图所示：
故此可得出，
∴．
18.解：（1）如图1：先延长至点，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，
∵线段的长度为整数，
∴．
故答案为：，2．
（2）证明：如图：延长到点F，使，连接．
∵是 ABC的中线，
∴，
在和中，
∴．
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）如图3：延长到点E，使，连接．
∵点D是的中点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，，
∴．
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在 ABC和中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴AC=2×6=12．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ABC的面积为．

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