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9．5　图形的全等
1．形状、大小相同的图形叠合在一起，能够完全重合的两个图形叫做全等图形．
2．能够完全重合的两个多边形是全等图形，也叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.
3．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
4．全等三角形的对应边、对应角分别相等．
考点1?　全等图形的概念
【典例1】下列各组图形中，属于全等图形的是( C )
　 　 　 　
解析：A.两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；B.两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；C.两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；D.两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；故选C.
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．两个全等图形的周长相等，面积相等．
【变式训练】
1．下列各组图形中，不是全等图形的是(A)
考点2?　全等多边形的性质
【典例2】如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝_105_°.
　　
解析：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′.
∵∠D′＝105°，
∴∠D＝105°.
∵∠B＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝360°－90°－60°－105°＝105°，
∴∠A′＝105°，
故答案为105.
全等多边形的对应边相等，对应角相等；边、角分别对应相等的两个多边形全等．
【变式训练】
2．(湖南衡阳雁峰区期末)如图所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠D＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的e＝11，β＝115°.
　　
知识点1?　全等多边形的概念
1．(海南海口琼山区期中)下列选项中表示两个全等的图形的是(D)
A．形状相同的两个图形
B．周长相等的两个图形
C．面积相等的两个图形
D．能够完全重合的两个图形
2．下列各组中的两个图形属于全等图形的是(B)
　
3．(河南南阳南召月考)下列四个图形中，属于全等图形的是(D)
　　　
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．全部
4．找出下列图形中的全等图形．
由题意，得(1)和(10)，(2)和(12)，(4)和(8)，(5)和(9)是全等图形．
知识点2?　全等多边形的特征
5．(海南三亚期中)如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，则AD的长为(B)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．以上都不对
6．(海南文昌月考)如图，四边形EFGH与四边形ABCD是全等图形，若AD＝5，∠B＝70°.则 EH＝
5，∠F＝70°．
　　
易错易混点　抽象能力较差致错
7．如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如图，依此规律第100个图形的周长为302．
　　
观察图形变化，可知每一个图比前一个图增加一个等腰梯形，且每增加一个等腰梯形周长增加3，
∴第n个图形的周长是3n＋2，∴第100个图形的周长为3×100＋2＝302，故答案为302.
8．如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与(1)是全等形的有(2)、(3)、(6)．
9．如图，在由边长为1 cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度地裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为21_cm．(接缝不计)
∵后面画出的图形与第一个图形完全一样，
∴画第二个图形的时候，需往右移1 cm，画第三个图形的时候，需要再往右移3 cm，画第四个图形的时候，需要再往右走1 cm，…，∴画第10个图形时，网格的长为4＋(1＋3＋1＋3＋1＋3＋1＋3＋1)＝21(cm).
10．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1＋∠2＝90°．
11．如图，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AD＝2 cm，BD＝4 cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
(1)∵△ABD≌△CAE，AD＝2 cm，BD＝4 cm，
∴AE＝BD＝4 cm，∴DE＝AD＋AE＝6(cm).
(2)∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，
∴∠DBA＋∠BAD＝90°.
∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°.
【母题P161练习T4】
如图，已知∠ABD＝110°，∠C＝45°，△ABC与△BAD关于直线l成轴对称，则△ABC≌△BAD，∠BAD＝25°，∠AEC＝50°.
【变式】已知△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3、3x－2、2y－1，若这两个三角形全等，则x＋y＝(D)
A．8　　　　　　　B．或6
C．10 D．或6
∵两个三角形全等，
∴3x－2＝5，2y－1＝7或3x－2＝7，2y－1＝5，解得x＝，y＝4或x＝3，y＝3，
则x＋y＝或6.
12.(推理能力)阅读下面材料：
如图1，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△DEC的位置；
如图2，以BC为轴，把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；
如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．
像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换叫做三角形的全等变换．
回答下列问题：
(1)在图4中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；
(2)指出图中线段BE与DF之间的关系，并说明理由．
　　
图4
(1)在图4中可以通过以点A为中心，逆时针旋转90°使△ABE变到△ADF的位置.
(2)由全等变换的定义可知，通过旋转90°，△ABE变到△ADF的位置，只改变位置，不改变形状大小，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF.
∵∠ADF＋∠F＝90°，
∴∠ABE＋∠F＝90°，
∴BE⊥DF.9．5　图形的全等
1．形状、大小相同的图形叠合在一起，能够完全重合的两个图形叫做 ．
2．能够完全重合的两个多边形是全等图形，也叫做 .相互重合的顶点叫做 ，相互重合的边叫做 ，相互重合的角叫做 .
3．能够完全重合的两个三角形叫做 ．两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
4．全等三角形的对应边、对应角分别 ．
考点1?　全等图形的概念
【典例1】下列各组图形中，属于全等图形的是( )
　 　 　 　
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．两个全等图形的周长相等，面积相等．
【变式训练】
1．下列各组图形中，不是全等图形的是( )
考点2?　全等多边形的性质
【典例2】如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝_ _°.
　　
全等多边形的对应边相等，对应角相等；边、角分别对应相等的两个多边形全等．
【变式训练】
2．(湖南衡阳雁峰区期末)如图所示的是两个全等的五边形，AB＝8，AE＝5，DE＝11，HI＝12，IJ＝10，∠D＝90°，∠G＝115°，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的e＝ ，β＝ °.
　　
知识点1?　全等多边形的概念
1．(海南海口琼山区期中)下列选项中表示两个全等的图形的是( )
A．形状相同的两个图形
B．周长相等的两个图形
C．面积相等的两个图形
D．能够完全重合的两个图形
2．下列各组中的两个图形属于全等图形的是( )
　
3．(河南南阳南召月考)下列四个图形中，属于全等图形的是( )
　　　
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．全部
4．找出下列图形中的全等图形．
知识点2?　全等多边形的特征
5．(海南三亚期中)如图，△ABC≌△BAD，A和B，C和D分别是对应顶点，若AB＝6 cm，AC＝4 cm，BC＝5 cm，则AD的长为( )
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．以上都不对
6．(海南文昌月考)如图，四边形EFGH与四边形ABCD是全等图形，若AD＝5，∠B＝70°.则 EH＝
，∠F＝ ．
　　
易错易混点　抽象能力较差致错
7．如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰长如图，依此规律第100个图形的周长为 ．
　　
8．如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与(1)是全等形的有 ．
9．如图，在由边长为1 cm的小正方形组成的网格中，画如图所示的燕尾形工件，现要求最大限度地裁剪出10个与它全等的燕尾形工件，则这个网格的长至少为 _ ．(接缝不计)
10．如图，在2×2的正方形网格中，线段AB、CD的端点均在格点上，则∠1＋∠2＝ ．
11．如图，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于点D，CE⊥DE于点E，且△ABD≌△CAE，AD＝2 cm，BD＝4 cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【母题P161练习T4】
如图，已知∠ABD＝110°，∠C＝45°，△ABC与△BAD关于直线l成轴对称，则△ABC≌△ ，∠BAD＝ °，∠AEC＝ °.
【变式】已知△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3、3x－2、2y－1，若这两个三角形全等，则x＋y＝( )
A．8　　　　　　　B．或6
C．10 D．或6
12.(推理能力)阅读下面材料：
如图1，把△ABC沿直线BC平行移动线段BC的长度，可以变到△DEC的位置；
如图2，以BC为轴，把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；
如图3，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置．
像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换叫做三角形的全等变换．
回答下列问题：
(1)在图4中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；
(2)指出图中线段BE与DF之间的关系，并说明理由．
　　
图4

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