资源简介

8.1.3三角形的三边关系
1．三角形的三边关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边．推论：三角形任意两边之差小于第三边．
2．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
考点1?　三角形的三边关系
【典例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( A )
A.3、4、5 B．2、5、8
C．5、5、10 D．1、6、7
解析：A.3＋4＞5，故能构成三角形，故此选项符合题意；B.2＋5＜8，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；C.5＋5＝10，故不能构成三角形，故此选项不符合题意；D.1＋6＝7，故不能构成三角形，故此选项不符合题意．故选A.
判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
【变式训练】
1．(海南中考)已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是(B)
A．2 B．5 C．8 D．11
考点2?　三角形的稳定性
【典例2】生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( C )
解析：屋顶支撑架、自行车脚架、旧门钉木条都是利用了三角形的稳定性，伸缩门是利用了四边形的不稳定性，故选C.
考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
【变式训练】
2．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的(B)
A．全等性 B．稳定性
C．不稳定性 D．美观性
知识点1?　三角形的三边关系
1．(海南万宁月考)以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是(D)
A.2、4、7 B．3、3、6
C．5、8、2 D．4、5、6
2．如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝13 m，PB＝10 m，那么A、B间的距离不可能是(A)
A．3 m B．5 m C．8 m D．15 m
3．若三角形的三边长分别为3、4、x－1，则x的取值范围是2＜x＜8．
4．在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
根据三角形的三边关系，得9－2＜BC＜9＋2，即7＜BC＜11，∵BC为偶数，∴BC＝8或10，
∴△ABC的周长为9＋2＋8＝19或9＋2＋10＝21.
知识点2?　三角形的稳定性
5．以下图形不具有三角形稳定性的是(C)
A． B．
C． D．
6．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有稳定性．
易错易混点　模型观念不强致错
7．平面内，将长分别为1、1、3、x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是(B)
A．1 B．3 C．5 D．7
8．有长度分别是4 cm、5 cm、8 cm和9 cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为(D)
A．0 B．1
C．2 D．3
若选取长度分别是4 cm、5 cm、8 cm的小棒，4＋5＞8，故能围成三角形；若选取长度分别是4 cm、5 cm、9 cm的小棒，4＋5＝9，故不能围成三角形；若选取长度分别是5 cm、8 cm、9 cm的小棒，5＋8＞9，故能围成三角形；若选取长度分别是4 cm、8 cm、9 cm 的小棒，4＋8＞9，故能围成三角形．综上所述，可以围成3个不同形状的三角形．
9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是(B)
A．7 B．10
C．11 D．14
10．(海南保亭县期中)已知a、b、c是△ABC的三边长，满足|a－7|＋(b－2)2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 16．
11．一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，三角形的一边长6 cm，求其他两边长．
分两种情况．(1)当6是腰时，底边＝20－6×2＝8(cm)，即其他两边是6 cm、8 cm，此时6＋6＝12>8，能构成三角形；(2)当6是底边时，腰长＝(20－6)÷2＝7(cm)，此时能构成三角形，∴其他两边是7 cm、7 cm.
综上所述，其他两边长分别为6 cm、8 cm或 7 cm、7 cm.
12．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学原理．
　　　
如图：
图1　　　　 　 　图2　　　　 　 　图3
原理是三角形的稳定性．
13．如图，O是△ABC内任意一点，连结OB、OC.
(1)求证：∠BOC＞∠A；
(2)比较AB＋AC与OB＋OC的大小，并说明理由.
(1)延长BO交AC于点D，
∴∠BOC＞∠ODC，
又∠ODC＞∠A，
∴∠BOC＞∠A；
(2)AB＋AC＞OB＋OC，
∵AB＋AD＞OB＋OD，OD＋CD＞OC，
∴AB＋AD＋CD＞OB＋OC，
即AB＋AC＞OB＋OC.
14．已知三角形的三边长分别为3、5和m.
(1)若3是该三角形的最短边长，求m的取值范围；
(2)当m为整数时，求三角形周长的最大值和最小值．
(1)由三角形三边关系定理，得到5－3＜m＜5＋3，
即2＜m＜8.
∵3是该三角形的最短边长，
∴3≤m＜8；
(2)由(1)，知2＜m＜8.
∵m为整数，
∴m的最小值为3，最大值为7，
∴三角形周长最小值为3＋3＋5＝11，三角形周长的最大值为3＋5＋7＝15.
15.(几何直观)在平面内，分别用3根、5根、6根同样的火柴棒首尾顺次连结，能搭成什么形状的三角形呢？
通过尝试，列表如下所示，问：
(1)4根火柴能搭成三角形吗？
(2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
火柴数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
(1)4根火柴不能搭成三角形；
(2)8根火柴能搭成一种三角形(3、3、2)；
示意图(等腰三角形)：
12根火柴能搭成3种不同形状的三角形(4、4、4；5、5、2；3、4、5).示意图：
4．三角形习题课
一、选择题
1．三角形是(B)
A.连结任意三点组成的图形
B．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
C．由三条线段组成的图形
D．以上说法均不对
2．(海南琼海期末)若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是(C)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
3．已知某三角形的两边长分别为2和4，且第三边为偶数，则该三角形周长为(A)
A．10 B．11 C．12 D．13
4．(海南琼中县期中)如图，点E、D分别在AB、AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(A)
A．85° B．80° C．75° D．70°
5．在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的(A)
A．稳定性 B．灵活性
C．对称性 D．全等性
　　　
6．如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是(C)
A．∠ABE B．∠BAD
C．∠DAC D．∠C
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB，AD于点F、G.则下列结论正确的是(D)
①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠EAD；③∠BAE＝∠BEA；④∠DAB＋2∠AEF＝90°.
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．①②③④
∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACB＋∠CAD＝90°.
∵∠ACB＝∠BAD，∴∠BAD＋∠CAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，故①正确，∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE＝∠CAE.∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE，∠ACB＝∠BAD，∴∠BAE＝∠ACB＋∠CAE＝∠BEA，故③正确，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE.∵∠CAD＝2∠CAE＝2∠EAD，∴∠CAD＝2∠AEF，∴∠AEF＝∠EAD，故②正确；∵∠CAD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，∴2∠AEF＋∠DAB＝90°，故④正确，∴正确的有①②③④.
二、填空题
8．如图，AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有6个．
9．(海南海口龙华区校级开学)若一个三角形中的两个角分别是50°和80°，那么第三个角是50°；按角分，这是锐角三角形．
10．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x－5|＋|x－13|＝8．
11．(海南琼中县月考)如图，AD与CE交于点B，若∠C＝90°，∠A＝36°，则∠D＝∠E，则∠D＝63度．
12．(海南临高县期中)在△ABC中，AD是中线，若△ABC的面积是20，则△ABD的面积为 10．
13．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如下两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的.
(1)图1中∠ABC的度数为75°．
(2)图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为75°．
(1)∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，
∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，
∵∠FBC＝90°，∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°.
(2)∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠C＝30°，
∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠CAE＋∠E＝30°＋45°＝75°.
三、解答题
14．(海南三亚期中)如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，∠A＝68°，∠BCD＝31°.求∠B，∠ADC的度数．
∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°，
∴∠ACB＝2∠BCD＝62°.
又∵∠A＝68°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝50°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BCD＝50°＋31°＝81°.
综上所述，∠B，∠ADC的度数分别是50°、81°.
15．(甘肃兰州期末)如图，已知AD平分∠BAC，F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°.求：∠B和∠F的度数．
∵AD平分∠BAC，
∠1＝40°，
∴∠1＝∠DAC＝40°，
∴∠BAC＝∠1＋∠DAC＝40°＋40°＝80°.
∵∠C＝65°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－80°－65°＝35°，
∴∠EDF＝∠B＋∠1＝35°＋40°＝75°.
∵EF⊥BC，∴∠FED＝90°，
∴∠F＝180°－∠FED－∠EDF＝180°－90°－75°＝15°.
16．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.求：
(1)∠ACD的度数；
(2)∠AEC的度数．
(1)∵∠ACD＝∠B＋∠BAC，∠B＝25°，∠BAC＝31°，
∴∠ACD＝25°＋31°＝56°.
(2)∵AD⊥BD，∴∠D＝90°.
∵∠ACD＝56°，CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACD＝28°，
∴∠AEC＝∠ECD＋∠D＝28°＋90°＝118°.
17．(海南澄迈县月考)(1)如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段AC、直线BC；
(2)已知△ABC的面积为6，AB＝3，求C点到射线AB的距离．
(1)画射线BA，线段AC.直线BC，如图．
(2)∵△ABC的面积为6，AB＝3，∴C点到射线AB的距离为6×2÷3＝4.
18．如图，P是△ABC内一点，连结BP并延长，交AC于点D.
(1)试探究线段AB＋BC＋CA与线段2BD的大小关系；
(2)试探究AB＋AC与PB＋PC的大小关系．
(1)根据三角形三边关系，可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD，
∴AB＋BC＋AD＋CD＞2BD，
即AB＋BC＋CA＞2BD；
(2)根据三角形三边关系，可得AB＋AD＞BD，CD＋PD＞PC，
∴AB＋AD＋CD＋PD＞BD＋PC，
∴AB＋AC＞PB＋PC.
19．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．
∵BE是AC上的高，∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，∴∠A＝180°－60°－50°＝70°，
∴∠ABE＝180°－90°－70°＝20°.
∵CF是AB上的高，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF＝180°－90°－70°＝20°，
∵∠ABE＝20°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－20°＝40°.
∵∠ACF＝20°，∠ACB＝50°，∴∠BCH＝30°，
∴∠BHC＝180°－40°－30°＝110°.8.1.3三角形的三边关系
1．三角形的三边关系：定理：三角形任意两边之和 第三边．推论：三角形任意两边之差 第三边．
2．三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的 .
考点1?　三角形的三边关系
【典例1】下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A.3、4、5 B．2、5、8
C．5、5、10 D．1、6、7
判断三条线段能否组成三角形：若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
【变式训练】
1．(海南中考)已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是( )
A．2 B．5 C．8 D．11
考点2?　三角形的稳定性
【典例2】生活中处处有数学，用数学的眼光观察世界，在生活实践中发现数学的奥秘．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是( )
考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，关键是分析能否在同一平面内组成三角形．
【变式训练】
2．如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的( )
A．全等性 B．稳定性
C．不稳定性 D．美观性
知识点1?　三角形的三边关系
1．(海南万宁月考)以下列数值为长度的各组线段中，能组成三角形的是( )
A.2、4、7 B．3、3、6
C．5、8、2 D．4、5、6
2．如图所示，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝13 m，PB＝10 m，那么A、B间的距离不可能是( )
A．3 m B．5 m C．8 m D．15 m
3．若三角形的三边长分别为3、4、x－1，则x的取值范围是 ．
4．在△ABC中，AB＝9，AC＝2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
知识点2?　三角形的稳定性
5．以下图形不具有三角形稳定性的是( )
A． B．
C． D．
6．如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有 性．
易错易混点　模型观念不强致错
7．平面内，将长分别为1、1、3、x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形(如图)，x可能是( )
A．1 B．3 C．5 D．7
8．有长度分别是4 cm、5 cm、8 cm和9 cm的小棒各一根，任选其中三根首尾相接围成三角形，可以围成不同形状的三角形的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
9．如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )
A．7 B．10
C．11 D．14
10．(海南保亭县期中)已知a、b、c是△ABC的三边长，满足|a－7|＋(b－2)2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 ．
11．一个三角形有两条边相等，周长为20 cm，三角形的一边长6 cm，求其他两边长．
12．小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学原理．
　　　
13．如图，O是△ABC内任意一点，连结OB、OC.
(1)求证：∠BOC＞∠A；
(2)比较AB＋AC与OB＋OC的大小，并说明理由.
14．已知三角形的三边长分别为3、5和m.
(1)若3是该三角形的最短边长，求m的取值范围；
(2)当m为整数时，求三角形周长的最大值和最小值．
15.(几何直观)在平面内，分别用3根、5根、6根同样的火柴棒首尾顺次连结，能搭成什么形状的三角形呢？
通过尝试，列表如下所示，问：
(1)4根火柴能搭成三角形吗？
(2)8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
火柴数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形

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