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8.1.2三角形的内角和与外角和
1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于 .
2．直角三角形的两个锐角 ．
3．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角．
4．三角形的外角和等于 ．
考点1?　三角形的内角和
【典例1】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为( C )三角形．
A.锐角 B．钝角 C．直角 D．等腰
考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点2?　三角形外角的性质
【典例2】如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
【变式训练】
2．如图，在△ABC中，点D、E在射线BA上，则∠1、∠2、∠B之间的大小关系为( )
A．∠1＜∠2＜∠B
B．∠B＜∠2＜∠1
C．∠1＜∠B＜∠2
D．∠B＜∠1＜∠2
知识点1?　三角形的内角和
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝( )
A.75° B．105°
C．55° D．65°
2．(海南琼中县期中)如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若∠B＝70°，∠AED＝50°，则∠A的度数为 .
知识点2?　三角形外角的性质
3．(海南海口期末)如图，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠ACD＝( )
A．65° B．60°
C．45° D．110°
4．如图，直线AB∥CD，连结BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的度数为( )
A．27° B．42° C．45° D．70°
5．如图△ABC，延长CB到D，延长BC到E，∠A＝80°，∠ACE＝140°，求∠1的度数．
知识点3?　三角形的外角和
6．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为( )
A．90° B．110° C．100° D．120°
易错易混点　对三角形外角整合能力不足致错
7．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是( )
A.180° B．360°
C．540° D．720°
8．(海南海口期末)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( )
A．65° B．75° C．95° D．105°
9．(海南儋州期末)某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的∠3＝110°，则∠1比∠2大( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
10．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
11．(海南澄迈县期中)如图，∠1＝∠2＝25°，∠3＝∠4，∠A＝80°，则x和y的度数分别是 与 ．
12．如图，E为△ABC内一点，BE的延长线交AC于点D，∠1＝(4m－1)°，∠2＝(3m＋2)°，∠A＝(4m－5)°，求m的取值范围.
13．(海南琼中县月考)如图，△ABC的内角∠ABC平分线与它的外角∠ACD平分线交于点P.
(1)若∠A＝60°，∠ABC＝48°，求∠P的度数；
(2)猜想∠P与∠A的数量关系，并予以证明．
【母题P86练习T1】
如图，∠A＝40°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ ．
【变式】如图，DE分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，交BC的延长线于点F，若∠B＝60°，∠ACB＝75°，∠AED＝50°，求∠BDF的度数．
14.(推理能力)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，所以∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)8.1.2三角形的内角和与外角和
1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2．直角三角形的两个锐角互余．
3．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．
4．三角形的外角和等于360°．
考点1?　三角形的内角和
【典例1】在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC为( C )三角形．
A.锐角 B．钝角 C．直角 D．等腰
解析：∵∠A＝∠B＝∠C，
∴可以假设∠A＝x°，∠B＝(2x)°，∠C＝(3x)°.
由题意，得x＋2x＋3x＝180，
∴x＝30，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故选C.
考查三角形的内角和定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形是(A)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
考点2?　三角形外角的性质
【典例2】如图，点D是△ABC边BC延长线上的一点，∠A＝75°，∠ACD＝105°，则∠B＝( A )
A．30° B．35° C．40° D．45°
解析：∵∠A＝75°，∠ACD＝105°，∴∠B＝∠ACD－∠A＝105°－75°＝30°.故选A.
考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
【变式训练】
2．如图，在△ABC中，点D、E在射线BA上，则∠1、∠2、∠B之间的大小关系为(D)
A．∠1＜∠2＜∠B
B．∠B＜∠2＜∠1
C．∠1＜∠B＜∠2
D．∠B＜∠1＜∠2
∵∠2是△ADC的外角，
∴∠2＝∠1＋∠ACD，
∴∠2＞∠1.∵∠1是△BCD的外角，
∴∠1＝∠B＋∠BCD，∴∠1＞∠B，
∴∠B＜∠1＜∠2.
故选D.
知识点1?　三角形的内角和
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝(A)
A.75° B．105°
C．55° D．65°
2．(海南琼中县期中)如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若∠B＝70°，∠AED＝50°，则∠A的度数为60°.
知识点2?　三角形外角的性质
3．(海南海口期末)如图，∠A＝65°，∠B＝45°，则∠ACD＝(D)
A．65° B．60°
C．45° D．110°
4．如图，直线AB∥CD，连结BC，点E是BC上一点，∠A＝15°，∠C＝27°，则∠AEC的度数为(B)
A．27° B．42° C．45° D．70°
5．如图△ABC，延长CB到D，延长BC到E，∠A＝80°，∠ACE＝140°，求∠1的度数．
∵∠ACE＝140°，∴∠ACB＝40°，∵∠A＝80°，∴∠1＝40°＋80°＝120°.
知识点3?　三角形的外角和
6．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为(C)
A．90° B．110° C．100° D．120°
易错易混点　对三角形外角整合能力不足致错
7．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数是(B)
A.180° B．360°
C．540° D．720°
如图，∵∠1是△ABG的外角，
∴∠1＝∠A＋∠B.
∵∠2是△EFH的外角，
∴∠2＝∠E＋∠F.
∵∠3是△CDI的外角，
∴∠3＝∠C＋∠D.
∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.故选B.
8．(海南海口期末)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是(D)
A．65° B．75° C．95° D．105°
9．(海南儋州期末)某建筑工具是如图所示的人字架，若该人字架中的∠3＝110°，则∠1比∠2大(C)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
10．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为60°或18°．
如图1，当∠BFD＝90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴在Rt△ADF中，∠ADF＝60°；
图1
　　　图2
如图2，当∠BDF＝90°时，
同理可得∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝60°，∠ACB＝78°，∴∠B＝42°，
∴∠BDA＝180°－∠B－∠BAD＝180°－42°－30°＝108°，
∴∠ADF＝∠BDA－∠BDF＝108°－90°＝18°.
综上所述，∠ADF的度数为60°或18°.
故答案为60°或18°.
11．(海南澄迈县期中)如图，∠1＝∠2＝25°，∠3＝∠4，∠A＝80°，则x和y的度数分别是 130°与 105°．
∵∠1＝∠2＝25°，∴∠ABC＝50°.
∵∠A＝80°，
∴∠ACB＝180°－∠ABC－∠A＝180°－50°－80°＝50°，
∴∠3＝∠4＝25°.
∵∠BDC是△ABD的外角，∴y＝25°＋80°＝105°.
∵∠BEC是△CED的外角，∴x＝105°＋25°＝130°，
故答案为130°；105°.
12．如图，E为△ABC内一点，BE的延长线交AC于点D，∠1＝(4m－1)°，∠2＝(3m＋2)°，∠A＝(4m－5)°，求m的取值范围.
根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，得解得3＜m＜7.
13．(海南琼中县月考)如图，△ABC的内角∠ABC平分线与它的外角∠ACD平分线交于点P.
(1)若∠A＝60°，∠ABC＝48°，求∠P的度数；
(2)猜想∠P与∠A的数量关系，并予以证明．
(1)∵∠A＝60°，∠ABC＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠ABC＝108°.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠CBP＝∠ABC＝24°，∠DCP＝∠ACD＝54°，
∴∠P＝∠DCP－∠CBP＝30°；
(2)∠A＝2∠P，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A＋∠ABC，
∴∠A＝∠ACD－∠ABC.
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠CBP＝∠ABC，∠DCP＝∠ACD，
∴∠P＝∠DCP－∠CBP
＝∠ACD－∠ABC.
＝(∠ACD－∠ABC)
＝∠A，
∴∠A＝2∠P.
【母题P86练习T1】
如图，∠A＝40°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°．
【变式】如图，DE分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，交BC的延长线于点F，若∠B＝60°，∠ACB＝75°，∠AED＝50°，求∠BDF的度数．
∵∠B＝60°，∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－60°－75°＝45°.
∵∠AED＝50°，
∴∠BDF＝∠A＋∠AED＝45°＋50°＝95°.
14.(推理能力)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，所以∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
(2)在图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)
(1)不成立．结论是∠BPD＝∠B＋∠D.
如图，延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED＋∠D,
∴∠BPD＝∠B＋∠D.
(2)结论：∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.

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