资源简介

8.1.1．认识三角形
1．由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形．
2．按角分类：
三角形.
按边分类：
3．三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的 中线 三角形的 角平分线
文字 语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
图形 语言
作图 语言 过点A作AD⊥BC于点D 取BC边的中点D，连结AD 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
标示 图形
考点1?　三角形的有关概念
【典例1】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是( A )
解析：由题意，知有A选项中的图形是三角形，故选A.
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【变式训练】
1．如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是(A)
A．① B．②
C．③ D．都不对
考点2?　三角形的分类
【典例2】如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是( B )
　　　
A．①对，②不对 B．①不对，②对
C．①、②都不对 D．①、②都对
解析：∵等腰三角形包括等边三角形，
∴①分类方法不对．
∵三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
∴②分类方法对，故选B.
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形．
【变式训练】
2．三角形按边长关系，可分为(C)
A．等腰三角形、等边三角形
B．直角三角形、不等边三角形
C．等腰三角形、不等边三角形
D．直角三角形、等腰三角形
考点3?　三角形中的重要线段
【典例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( C )
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．BC是△BDE的高
解析：A.由图，可知BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；B.由图，可知BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意；C.∵BD是△BCE的角平分线，∴∠3＝∠2，无法得知∠1与∠2，∠3的关系，说法不正确，符合题意．
D．∵∠C＝90°，∴BC是△BDE的边DE上的高，正确，不符合题意；故选C.
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的 角平分线
用途 举例 1.线段垂直 2．角度相等 1.线段相等 2．面积相等 角度相等
注意 事项 1.与边的垂线不同 2．不一定在三角形内 — 与角的平分线不同
重要 特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点
【变式训练】
3．(重庆模拟)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是(C)
A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
知识点1?　三角形的有关概念
1．如图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是(C)
A. B．
C． D．
2．如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，分别连结AD、DE，则图中的三角形一共有(C)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
3．如图，点B、C、D、E共线，试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形？说明理由．
可以确定6个三角形．理由：经过两点可以确定一条线段，而不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接可组成一个三角形，∴图中可以确定6个三角形．
知识点2?　三角形的分类
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(C)
A． B．
C． D．
5．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点3?　三角形中的三种重要线段
6．(海南三亚崖州区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是(D)
7．(海南三亚崖州区期中)三角形一边上的中线把原三角形分成两个(B)
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
8．任作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的三条高．
如图，锐角△ABC的三条高分别是AD、BE、CF，直角△ABC的三条高分别是AD、BA、CA，钝角△ABC的三条高分别是AD、BE、CF.
易错易混点　三角形与中线面积应用不熟练致错
9．如图，在△ABC中已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝M cm2，则S阴影的值为(C)
A．M cm2
B．M cm2
C．M cm2
D．M cm2
由D为BC的中点，得S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝.
∵E为AD的中点，∴S△AEB＝S△ABD＝＝S△AEC，∴S△BEC＝.
∵F为CE的中点，∴S阴影＝S△BEC＝，故选C.
10．(山东泰安新泰市期末)如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是(C)
A．BA＝2BF
B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE
D．CD⊥AB
11．如图，在△ABC中，如果过点B作PB⊥BC交边AC于点P，过点C作CQ⊥AB交AB的延长线于点Q，那么图中线段CQ是△ABC的一条高．
12．(海南海口秀英区月考)如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为6．
连结CD，如图所示．
∵点D是AG的中点，
∴S△ABD＝S△ABG，S△ACD＝S△AGC，
∴S△ABD＋S△ACD＝S△ABC＝24，
∴S△BCD＝S△ABC＝24.
∵点E是BD的中点，
∴S△CDE＝S△BCD＝12.
∵点F是CE的中点，∴S△DEF＝S△CDE＝6.
13．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3 cm，则AC的长为5_cm.
14．(1)如图，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD的面积有怎样的数量关系？为什么？
(2)你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形．
(1)∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵△ACD与△ABD等底等高，∴△ACD与△ABD的面积相等．
(2)如图：
【母题P84练习T1】
如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC.试画出边BC上的中线和高以及∠A的平分线．从中你发现了什么？
如图所示，AD是BC边上的中线、高及∠A的平分线，发现了等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线三条线段重合，即三线合一．
【变式】(山东德州夏津县期末)如图，在△ABC中，BC边所在直线上的高是线段AD.
15．(创新意识)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，设运动的时间为t秒．
(1)S△ABC＝24_cm2；
(2)当t＝6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
(3)当t＝6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
(4)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2
(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，
∴S△ABC＝AC×BC＝×8×6＝24(cm2).
故答案为24 cm2.
(2)在△ABC中，∵AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm，
∴△ABC的周长＝8＋6＋10＝24(cm)，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA＋AP＝BP＋BC＝12(cm)，
∴2t＝12，解得t＝6.
故答案为6.
(3)当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA＋AP＝8＋5＝13(cm)，∴2t＝13，解得t＝6.5.故答案为6.5.
(4)分两种情况：
①当点P在AC上时，∵△BCP的面积＝12 cm2，
∴×6×CP＝12，∴CP＝4，∴2t＝4，t＝2；
②当点P在AB上时，∵△BCP的面积＝12＝△ABC面积的一半，∴点P为AB的中点，∴2t＝13，t＝6.5.故当t为2或6.5时，△BCP的面积为12 cm2.8.1.1．认识三角形
1．由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做 ．
2．按角分类：
三角形.
按边分类：
3．三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的 中线 三角形的 角平分线
文字 语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作 ，顶点和垂足之间的线段 三角形中，连结一个顶点和它对边 的线段 三角形一个内角的 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段
图形 语言
作图 语言 过点A作AD⊥BC于点D 取BC边的中点D，连结AD 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D
标示 图形
考点1?　三角形的有关概念
【典例1】下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是( )
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．
【变式训练】
1．如图，用数字标注了3个三角形，其中△ABD表示的是( )
A．① B．②
C．③ D．都不对
考点2?　三角形的分类
【典例2】如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是( )
　　　
A．①对，②不对 B．①不对，②对
C．①、②都不对 D．①、②都对
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形；③等边三角形：三边都相等的三角形．
【变式训练】
2．三角形按边长关系，可分为( )
A．等腰三角形、等边三角形
B．直角三角形、不等边三角形
C．等腰三角形、不等边三角形
D．直角三角形、等腰三角形
考点3?　三角形中的重要线段
【典例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，D、E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( )
A．BE是△ABD的中线
B．BD是△BCE的角平分线
C．∠1＝∠2＝∠3
D．BC是△BDE的高
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：
线段 名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的 角平分线
用途 举例 1.线段垂直 2．角度相等 1.线段相等 2．面积相等 角度相等
注意 事项 1.与边的垂线不同 2．不一定在三角形内 — 与角的平分线不同
重要 特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点
【变式训练】
3．(重庆模拟)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是( )
A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
知识点1?　三角形的有关概念
1．如图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是( )
A. B．
C． D．
2．如图，点D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，分别连结AD、DE，则图中的三角形一共有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
3．如图，点B、C、D、E共线，试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形？说明理由．
知识点2?　三角形的分类
4．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是( )
A． B．
C． D．
5．有下列说法：
①等边三角形是等腰三角形；
②等腰三角形也可能是直角三角形；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形；
④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点3?　三角形中的三种重要线段
6．(海南三亚崖州区期中)下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )
7．(海南三亚崖州区期中)三角形一边上的中线把原三角形分成两个( )
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
8．任作一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的三条高．
易错易混点　三角形与中线面积应用不熟练致错
9．如图，在△ABC中已知D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝M cm2，则S阴影的值为( )
A．M cm2
B．M cm2
C．M cm2
D．M cm2
10．(山东泰安新泰市期末)如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )
A．BA＝2BF
B．∠ACE＝∠ACB
C．AE＝BE
D．CD⊥AB
11．如图，在△ABC中，如果过点B作PB⊥BC交边AC于点P，过点C作CQ⊥AB交AB的延长线于点Q，那么图中线段 是△ABC的一条高．
12．(海南海口秀英区月考)如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为 ．
13．如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，若△BCM的周长比△ACM的周长大3 cm，则AC的长为 _ .
14．(1)如图，AD是△ABC的中线，△ACD与△ABD的面积有怎样的数量关系？为什么？
(2)你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图形．
【母题P84练习T1】
如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC.试画出边BC上的中线和高以及∠A的平分线．从中你发现了什么？
【变式】(山东德州夏津县期末)如图，在△ABC中，BC边所在直线上的高是线段 .
15．(创新意识)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，AB＝10 cm.若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2 cm，设运动的时间为t秒．
(1)S△ABC＝ _ ；
(2)当t＝ 秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分；
(3)当t＝ 秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
(4)当t为何值时，△BCP的面积为12 cm2

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