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7．4　解一元一次不等式组
1．一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了 ．
2．一元一次不等式组中几个不等式的 的公共部分叫做这个一元一次不等式组的 ．
3．列不等式组解应用题步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
考点1?　一元一次不等式组的概念
【典例1】(河南期中)下列各项中，是一元一次不等式组的是( )
A. B．
C． D．
(1)不等式可以是两个、三个或三个以上．(2)几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
【变式训练】
1．下列不是一元一次不等式组的是( )
A． B．
C． D．
考点2?　解一元一次不等式组
【典例2】不等式组的解集是( )
A．x＞－2 B．x＜3
C．－2＜x＜3 D．x＞－2或x＜3
为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
【变式训练】
2．如图，在数轴上A、B、C、D四个点所对应的数中是不等式组的解的是( )
A．点A对应的数 B．点B对应的数
C．点C对应的数 D．点D对应的数
考点3?　一元一次不等式组的应用
【典例3】某市出租车起步价是8元(3 km及3 km以内为起步价)，以后每千米收费1.6元，不足1 km按1 km收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为( )
A．5.5 km B．6.9 km
C．7.5 km D．8.1 km
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景进行取舍．
【变式训练】
3．(山东烟台莱州市期末)一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件，则玩具数为 件．
知识点1?　解一元一次不等式组
1．(海南一模)一元一次不等式组的解集为( )
A．1＜x＜4 B．x＜4
C．x＜1 D．无解
2．(海南琼海期末)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
3．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
知识点2　一元一次不等式组的应用
4．(海南海口秀英区月考)把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本(且至少有一本).这些图书有( )
A．23本 B．24本 C．25本 D．26本
5．某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg；生产一件B产品需要甲种原料4 kg，乙种原料10 kg，则符合题意的生产方案共有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
6．七年级某班部分同学参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后一名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个，则参加端午节包粽子活动的学生有 人．
7．(海南海口期中节选)某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本(万元∕件) 3 5
利润(万元∕件) 1 2
(1)若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
易错易混点　不等式组的整数解问题理解不透彻致错
8．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足( )
A．a＝10 B．10≤a＜12
C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
9．(海南海口期中)某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否≥33”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是( )
A．x＝15 B．x＜15
C．5≤x＜9 D．x≥5
10．(海南海口期中)若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是( )
A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4
11．已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，求实数a的取值范围．
12．某商场销售A、B两种品牌篮球，售出1个A品牌篮球和2个B品牌篮球所得利润为260元；售出2个A品牌篮球和3个B品牌篮球所得利润为440元．
(1)每个A品牌篮球和B品牌篮球售出后所得利润分别为多少元？
(2)由于需求量大，A、B两种品牌篮球很快售完，该商场决定再一次购进A、B两种品牌篮球共65个，且A品牌篮球不多于42个，如果将这65个篮球全部售完后所得利润不低于6 000元，那么该商场有几种进货方案？
【母题P74习题T6】某研学小组由a名男生和b名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的2倍多于男生人数．
(1)列出a、b满足的不等式．
(2)该研学小组最少有多少名学生？
【变式】江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
　(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
(2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元，有几种方案？请指出总费用最低的一种方案，并求出相应的总费用．
13.(运算能力)(海南陵水县期中)某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？运费最少是多少元？7．4　解一元一次不等式组
1．一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．
2．一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．
3．列不等式组解应用题步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．
考点1?　一元一次不等式组的概念
【典例1】(河南期中)下列各项中，是一元一次不等式组的是( D )
A. B．
C． D．
解析：A.该不等式组中的第二个不等式的右边不是整式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；B.该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；C.该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；D.该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；故选D.
(1)不等式可以是两个、三个或三个以上．(2)几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．
【变式训练】
1．下列不是一元一次不等式组的是(C)
A． B．
C． D．
考点2?　解一元一次不等式组
【典例2】不等式组的解集是( C )
A．x＞－2 B．x＜3
C．－2＜x＜3 D．x＞－2或x＜3
解析：解不等式①，得x＞－2，
解不等式②，得x＜3，
∴不等式组的解集为－2＜x＜3，故选C.
为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
【变式训练】
2．如图，在数轴上A、B、C、D四个点所对应的数中是不等式组的解的是(B)
A．点A对应的数 B．点B对应的数
C．点C对应的数 D．点D对应的数
考点3?　一元一次不等式组的应用
【典例3】某市出租车起步价是8元(3 km及3 km以内为起步价)，以后每千米收费1.6元，不足1 km按1 km收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，则此出租车行驶的路程可能为( B )
A．5.5 km B．6.9 km
C．7.5 km D．8.1 km
解析：设出租车行驶的路程为s km，由已知，得
解得6＜s≤7.故选B.
(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景进行取舍．
【变式训练】
3．(山东烟台莱州市期末)一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件，则玩具数为13件．
知识点1?　解一元一次不等式组
1．(海南一模)一元一次不等式组的解集为(C)
A．1＜x＜4 B．x＜4
C．x＜1 D．无解
2．(海南琼海期末)不等式组的解集在数轴上表示正确的是(A)
3．解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
解不等式2x≥－9－x，得x≥－3，
解不等式5x－1＞3(x＋1)，得x＞2，
则不等式组的解集为x＞2，
所以不等式组的解集为x>2.
将解集表示在数轴上如图：
知识点2　一元一次不等式组的应用
4．(海南海口秀英区月考)把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本(且至少有一本).这些图书有(D)
A．23本 B．24本 C．25本 D．26本
5．某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg；生产一件B产品需要甲种原料4 kg，乙种原料10 kg，则符合题意的生产方案共有(B)
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
6．七年级某班部分同学参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后一名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个，则参加端午节包粽子活动的学生有8或9人．
设参加端午节包粽子活动的学生有x人，
由题意，得2≤(4x＋6)－5(x－1)＜4，
解得7＜x≤9，
因为x为正整数，所以x可取8或9，
所以参加端午节包粽子活动的学生有8或9人．
故答案为8或9.
7．(海南海口期中节选)某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
A种产品 B种产品
成本(万元∕件) 3 5
利润(万元∕件) 1 2
(1)若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
(1)设A种产品生产x件，则B种产品生产(10－x)件，根据题意，得
x＋2(10－x)＝14，解得x＝6，
∴10－x＝10－6＝4.
答：A种产品生产6件，B种产品生产4件；
(2)设A种产品生产m件，则B种产品生产(10－m)件，
根据题意，得
解得3≤m＜6，
所以共有3种生产方案，方案如下：
方案一：A种产品生产3件，B种产品生产7件；
方案二：A种产品生产4件，B种产品生产6件；
方案三：A种产品生产5件，B种产品生产5件．
易错易混点　不等式组的整数解问题理解不透彻致错
8．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足(B)
A．a＝10 B．10≤a＜12
C．10＜a≤12 D．10≤a≤12
由6－3x＜0，得x＞2，由2x≤a，得x≤，
因为不等式组恰好有3个整数解，
所以不等式组的整数解为3、4、5，
所以5≤＜6，解得10≤a＜12，故选B.
9．(海南海口期中)某程序的操作框图如图所示，规定：程序运行从“开始”到“结果是否≥33”为一次操作．如果程序恰好操作了三次就停止，那么开始输入的x的取值情况是(C)
A．x＝15 B．x＜15
C．5≤x＜9 D．x≥5
10．(海南海口期中)若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是(D)
A．m＞4 B．m≥4 C．m＜4 D．m≤4
由①，得x≥2，
由②，得x＜.
∵关于x的不等式组无解，
∴m≤2，解得m≤4.
11．已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，求实数a的取值范围．
由5x＋1＞3(x－1)得x＞－2，
由x≤8－x＋2a得x≤4＋a，
则不等式组的解集是－2＜x≤4＋a.
不等式组只有2个整数解，是－1和0，
根据题意，得0≤4＋a＜1，
解得－4≤a＜－3.
12．某商场销售A、B两种品牌篮球，售出1个A品牌篮球和2个B品牌篮球所得利润为260元；售出2个A品牌篮球和3个B品牌篮球所得利润为440元．
(1)每个A品牌篮球和B品牌篮球售出后所得利润分别为多少元？
(2)由于需求量大，A、B两种品牌篮球很快售完，该商场决定再一次购进A、B两种品牌篮球共65个，且A品牌篮球不多于42个，如果将这65个篮球全部售完后所得利润不低于6 000元，那么该商场有几种进货方案？
(1)设每个A品牌篮球售出后所得利润为x元，每个B品牌篮球售出后所得利润为y元，
根据题意，得解得
答：每个A品牌篮球售出后所得利润为100元，每个B品牌篮球售出后所得利润为80元．
(2)设该商场再次购进A品牌篮球m个，则购进B品牌篮球(65－m)个，根据题意，得
解得40≤m≤42.
又因为m为正整数，所以m可以为40、41、42，
所以该商场有3种进货方案．
答：该商场有3种进货方案．
【母题P74习题T6】某研学小组由a名男生和b名女生组成，已知男生人数多于女生人数，女生人数的2倍多于男生人数．
(1)列出a、b满足的不等式．
(2)该研学小组最少有多少名学生？
(1)
(2)由(1)，可知2b>a>b.
又因为a、b为正整数，所以b的最小值为2，a的最小值为3，
所以该研学小组最少有5名学生．
【变式】江南农场收割小麦，已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷，2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷．
　(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷？
(2)大型收割机每小时费用为300元，小型收割机每小时费用为200元，两种型号的收割机一共有10台，要求2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元，有几种方案？请指出总费用最低的一种方案，并求出相应的总费用．
(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷，每台小型收割机1小时收割小麦y公顷，根据题意得解得
答：每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷，每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷．
(2)设大型收割机有m台，总费用为w元，则小型收割机有(10－m)台，根据题意，得w＝300×2m＋200×2(10－m)＝200m＋4 000.因为2小时完成8公顷小麦的收割任务，且总费用不超过5 400元，所以解得5≤m≤7，所以有三种不同方案．当m＝5时，总费用取最小值，最小值为5 000元．
答：有三种方案，当大型收割机和小型收割机各5台时，总费用最低，最低总费用为5 000元．
13.(运算能力)(海南陵水县期中)某市部分地区遭受了罕见的旱灾，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共310件，其中饮用水比蔬菜多90件．
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件？
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；
(3)在(2)的条件下，如果甲种货车每辆需付运费500元，乙种货车每辆需付运费450元，运输部门应选择哪种方案可使运费最少？运费最少是多少元？
(1)设饮用水有x件，则蔬菜有(310－x)件，依题意，得x－(310－x)＝90，解得x＝200，
所以310－x＝110.
答：饮用水有200件，蔬菜有110件．
(2)设安排m辆甲种货车，则安排(8－m)辆乙种货车，
依题意，得解得2≤m≤5.
又因为m为整数，所以m可以为2、3、4、5，所以共有4种安排方案，
方案1：安排2辆甲种货车、6辆乙种货车；
方案2：安排3辆甲种货车、5辆乙种货车；
方案3：安排4辆甲种货车、4辆乙种货车；
方案4：安排5辆甲种货车、3辆乙种货车．
(3)选择方案1所需运费为500×2＋450×6＝3 700(元)，
选择方案2所需运费为500×3＋450×5＝3 750(元)，
选择方案3所需运费为500×4＋450×4＝3 800(元)，
选择方案4所需运费为500×5＋450×3＝3 850(元).
因为3 700＜3 750＜3 800＜3 850，所以选择方案1可使运费最少，最少运费是3 700元．

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