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7．3　解一元一次不等式
第1课时　解一元一次不等式
1．只含有一个未知数、左右两边都是整式，并且未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式．
2．解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
3．一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为xa)的形式．
考点1?　一元一次不等式的概念
【典例1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是( C )
A.x＋y＞0 B．3＞1
C．7x－16＜4 D．3x－1＜2x2
解析：A.x＋y＞0含有2个未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；B.3＞1中没有未知数，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；C.7x－16＜4含有一个未知数x，次数为1，不等式两边都是整式，属于一元一次不等式，故本选项符合题意；D.3x－1＜2x2中含有一个未知数x，但未知数x的最高次数是2，不属于一元一次不等式，故本选项不符合题意；故选C.
一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边都是整式；②不等式中只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
【变式训练】
1．若(m＋1)x|m|－5＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为(D)
A．0 B．±1 C．－1 D．1
考点2?　解简单的一元一次不等式
【典例2】将不等式2(x＋1)－1＞3x的解集表示在数轴上，正确的是( D )
A． B．
C． D．
解析：2(x＋1)－1＞3x，去括号，得2x＋2－1＞3x，
移项，得2x－3x＞－2＋1，
合并同类项，得－x＞－1，
系数化为1，得x＜1，解集表示在数轴上如图所示：．故选D.
解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变；⑤在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向．
【变式训练】
2．解不等式x－1＜，并把它的解集在数轴上表示出来.
去分母，得2x－2＜x，移项、合并同类项，得x＜2，在数轴上表示为：
知识点1?　一元一次不等式的概念
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是(B)
A.x－y<1 B．x<2
C．3>2 D．x2<2
2．若(a－2)x|a-1|－2<0是关于x的一元一次不等式．则a的值为(C)
A．2 B．－1 C．0 D．0或2
知识点2?　解一元一次不等式
3．(海南昌江县模拟)不等式4x＜3x＋2的解集是(D)
A．x＞－2 B．x＜－2
C．x＞2 D．x＜2
4．不等式4x－2＞0的解集为x＞0.5．
5．解不等式2(x＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
去括号，得2x＋2－1≥3x＋2，移项，得2x－3x≥2－2＋1，合并同类项，得－x≥1，两边都除以－1，得x≤－1.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示．
6．解下列不等式．
(1)x－≤＋；
(2)≥－2.
(1)去分母，得12x－3(3x＋2)≤4(2x－3)＋x＋5，去括号，得12x－9x－6≤8x－12＋x＋5，移项、合并同类项，得－6x≤－1，两边都除以－6，得x≥.
(2)去分母、去括号，得6＋3x≥4x－14－12，移项、合并同类项，得－x≥－32，两边都除以－1，得x≤32.
易错易混点　去分母时常数项漏乘导致解答出错
7．下面是小明解不等式－1＜的过程：
【解】 去分母，得x＋5－1＜3x＋2…①
移项，得x－3x＜2－5＋1…②
合并同类项，得－2x＜－2…③
两边同时除以－2，得x＜1…④
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是(C)
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8．已知(k＋3)x|k|-2＋5＜k－4是关于x的一元一次不等式，则k的值是(A)
A．3 B．－3
C．±3 D．无法确定
9．(海南海口期中)要使代数式－的值不大于1，那么m的取值范围是(D)
A．m＞5 B．m＞－5
C．m≥5 D．m≥－5
10．(海南儋州期中)对任意有理数a、b、c、d，规定＝ad－bc，若＜10，则x的取值范围为x＞－3．
根据规定运算，不等式＜10化为－4x－2＜10，解得x＞－3.故答案为x＞－3.
11．(湖南长沙期末)如图，在数轴上点M、N分别表示数2、－2x＋1，则x的取值范围是x＜－.
【母题P69习题T6】解关于x的不等式：ax>1－x.
ax>1－x，
移项，得ax＋x>1，
合并同类项，得(a＋1)x>1.
①当a＋1<0时，两边同除以(a＋1)，
得x<；
②当a＋1＝0时，不等式无解；
③当a＋1>0时，两边同除以(a＋1)，得x>.
【变式】已知关于x的方程4(x＋2)－2＝5＋3a的解不小于方程＝的解，求a的取值范围．
解方程4(x＋2)－2＝5＋3a得，x＝，解方程＝，得x＝a.根据题意得≥a，解得a≤－.
13.(模型观念)已知|2m－6|＋(3m－n－5)2＝0，且(3n－2m)x＜－15，化简|2x＋5|－|2x－5|＋3.
因为|2m－6|≥0，(3m－n－5)2≥0，|2m－6|＋(3m－n－5)2＝0，所以解得把m＝3，n＝4代入(3n－2m)x＜－15，得(3×4－2×3)x＜－15，解得x＜－，则2x＋5＜0，2x－5＜0，故|2x＋5|－|2x－5|＋3＝－(2x＋5)－(－2x＋5)＋3＝－7.
第2课时　列一元一次不等式解应用题
1．常见的一些等量关系
(1)行程问题：路程＝速度×时间；
(2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量；
(3)利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，利润率＝×100%；
(4)和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率．
2．列一元一次不等式解应用题的步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
(4)解：解所列的不等式；
(5)答：写出答案，并检验是否符合题意．
考点1?　不等式的特殊解
【典例1】若关于x的不等式5x＋m≥7x的正整数解是1、2、3、4，则m的取值范围为( D )
A.m＜10 B．m≥8
C．8≤m≤10 D．8≤m＜10
解析：解5x＋m≥7x，得x≤，
∵该不等式的正整数解为1、2、3、4，
∴4≤＜5，解得8≤m＜10.故选D.
考查一元一次不等式的整数解，熟记运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．(海南海口期中)不等式3(x＋2)≥4＋2x的最小整数解为－2．
考点2?　列一元一次不等式解决实际问题
【典例2】某社区决定购买黑芝麻汤圆和水晶汤圆共150袋慰问社区困难家庭，超市里黑芝麻汤圆每袋6元，水晶汤圆每袋10元，如果预算资金不超过1 260元，请问最多能购买水晶汤圆多少袋？
解：设购买水晶汤圆x袋，则购买黑芝麻汤圆(150－x)袋，
可列不等式为6(150－x)＋10x≤1 260，
解得x≤90.
答：最多能购买水晶汤圆90袋．
在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．
【变式训练】
2．今年植树节，某班同学共同种植270棵树苗，这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵35元，乙树苗每棵20元，购买这批树苗的总费用不超过5 700元，请问最多购买甲树苗多少棵？
设购买甲树苗x棵，则购买乙树苗(270－x)棵，
由题意，得35x＋20(270－x)≤5 700，
解得x≤20，所以x的最大值为20.
答：最多购买甲树苗20棵．
知识点1?　求不等式的特殊解
1．(海南东方期中)不等式4(1－x)＞2－3x的非负整数解的个数是(B)
A．3 B．2 C．1 D．0
2．(海南海口期中)不等式3－2x＞0的最大整数解是(C)
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．(海南澄迈县月考)不等式＜1的正整数解有(B)
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
4．解不等式2(x－2)≤6－3x，并写出它的正整数解．
解不等式2(x－2)≤6－3x，得x≤2，
所以正整数解为1和2.
知识点2?　列一元一次不等式解应用题
5．(海南澄迈县期末)一次生活常识竞赛共有50题，答对一题得2分，不答得0分，答错一题扣1分，小聪有4题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则(B)
A．95－5x＞80 B．2(46－x)－x≥80
C．100－5x≥80 D．2(50－x)－x≥80
6．在一次数学竞赛中，竞赛题共有25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的，选对得4分，不选或选错扣2分．规定得分不低于60分得奖，那么得奖者至少应选对(B)
A．18道题 B．19道题
C．20道题 D．21道题
7．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，设护眼灯最多可降价x元．则根据题意可列不等式为≥20%．
8．学校准备为“中国古诗词”朗诵比赛购买奖品．已知在中央商场购买3个甲种奖品和2个乙种奖品共需120元；购买5个甲种奖品和4个乙种奖品共需210元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价；
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共80个，且此次购买奖品的费用不超过1 500元．正逢中央商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在中央商场最多能购买多少个甲种奖品．
(1)设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元．
根据题意，得解得
答：甲种奖品的单价为30元，乙种奖品的单价为15元．
(2)设学校购买a个甲种奖品，则购买(80－a)个乙种奖品，
根据题意，得0.8×[30a＋15(80－a)]≤1 500，
解得a≤45.
答：学校在中央商场最多能购买45个甲种奖品．
9．(海南模拟)如果不等式3x－m≤0的正整数解为1、2、3，则m的取值范围是(A)
A．9≤m＜12 B．9＜m＜12
C．m＜12 D．m≥9
10．(河南洛阳期末)某家电超市从厂家购进一批扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1 200元，后来由于经营不善，该商品积压，家电超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可以打7折．
11．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为10元/千克．
12．(陕西西安蓝田县三模)求不等式1－≥的非负整数解．
1－≥，
去分母，得6－3(x－2)≥2(2＋x)，
去括号，得6－3x＋6≥4＋2x，
移项、合并同类项，得－5x≥－8，
系数化为1，得x≤，
∴不等式的非负整数解为0、1.
13．医药集团紧急投产口罩生产线，每天生产医用防护口罩或者医用外科口罩．若2天生产医用防护口罩，1天生产医用外科口罩，可生产两种口罩共8万个；若1天生产医用防护口罩，3天生产医用外科口罩，可生产两种口罩共9万个．
(1)求平均每天生产医用防护口罩和医用外科口罩各多少万个；
(2)该集团现接到180万个口罩的订单，要求生产时间不能超过70天，则至少能生产多少万个医用防护口罩？
(1)设平均每天生产医用防护口罩x万个，医用外科口罩y万个，由题意，得解得
答：平均每天生产医用防护口罩3万个，医用外科口罩2万个．
(2)设生产n万个医用防护口罩，则生产(180－n)万个医用外科口罩，
根据题意，得＋≤70，解得n≥120.
因为n为正整数，所以n的最小值为120.
答：至少能生产120万个医用防护口罩．
14．在精准扶贫中，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划用8个大棚种植香瓜和甜瓜，根据种植经验及市场情况，他打算两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下表：
品种 项目 产量 (斤/棚) 销售价格 (元/斤) 成本 (元/棚)
香瓜 2 000 12 8 000
甜瓜 4 500 3 5 000
根据以上信息，求李师傅至少种植多少个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于10万元．
设种植x个大棚的香瓜，则种植(8－x)个大棚的甜瓜，
根据题意，得(2 000×12－8 000)x＋(4 500×3－5 000)(8－x)≥100 000，解得x≥4，
因为x取整数，
所以至少要种植5个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于10万元．
15.(应用意识)(海南琼海期末)端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6 200元．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情端午”礼包(每个礼包含甲、乙共20个粽子)，并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？
(1)设每个甲种粽子的进价是x元，则每个乙种粽子的进价是(x＋2)元，
根据题意，得500x＋400(x＋2)＝6 200，
解得x＝6，所以x＋2＝6＋2＝8.
答：每个甲种粽子的进价是6元，每个乙种粽子的进价是8元．
(2)设每个礼包中含乙种粽子y个，则每个礼包中含甲种粽子(20－y)个，
根据题意，得(8×0.8－6)(20－y)＋(11×0.8－8)y≥14，
解得y≥15，所以y的最小值为15.
答：每个礼包中至少含乙种粽子15个．7．3　解一元一次不等式
第1课时　解一元一次不等式
1．只含有一个 、左右两边都是 ，并且未知数的次数都是 的不等式，叫做一元一次不等式．
2．解不等式：求不等式解的过程叫做 ．
3．一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为xa)的形式．
考点1?　一元一次不等式的概念
【典例1】下列不等式中，属于一元一次不等式的是( )
A.x＋y＞0 B．3＞1
C．7x－16＜4 D．3x－1＜2x2
一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边都是整式；②不等式中只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．
【变式训练】
1．若(m＋1)x|m|－5＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为( )
A．0 B．±1 C．－1 D．1
考点2?　解简单的一元一次不等式
【典例2】将不等式2(x＋1)－1＞3x的解集表示在数轴上，正确的是( )
A． B．
C． D．
解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变；⑤在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向．
【变式训练】
2．解不等式x－1＜，并把它的解集在数轴上表示出来.
知识点1?　一元一次不等式的概念
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是( )
A.x－y<1 B．x<2
C．3>2 D．x2<2
2．若(a－2)x|a-1|－2<0是关于x的一元一次不等式．则a的值为( )
A．2 B．－1 C．0 D．0或2
知识点2?　解一元一次不等式
3．(海南昌江县模拟)不等式4x＜3x＋2的解集是( )
A．x＞－2 B．x＜－2
C．x＞2 D．x＜2
4．不等式4x－2＞0的解集为 ．
5．解不等式2(x＋1)－1≥3x＋2，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．
6．解下列不等式．
(1)x－≤＋；
(2)≥－2.
易错易混点　去分母时常数项漏乘导致解答出错
7．下面是小明解不等式－1＜的过程：
【解】 去分母，得x＋5－1＜3x＋2…①
移项，得x－3x＜2－5＋1…②
合并同类项，得－2x＜－2…③
两边同时除以－2，得x＜1…④
小明的计算过程中，没掌握好基本知识或粗心出错的步骤是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8．已知(k＋3)x|k|-2＋5＜k－4是关于x的一元一次不等式，则k的值是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．无法确定
9．(海南海口期中)要使代数式－的值不大于1，那么m的取值范围是( )
A．m＞5 B．m＞－5
C．m≥5 D．m≥－5
10．(海南儋州期中)对任意有理数a、b、c、d，规定＝ad－bc，若＜10，则x的取值范围为 ．
11．(湖南长沙期末)如图，在数轴上点M、N分别表示数2、－2x＋1，则x的取值范围是 .
【母题P69习题T6】解关于x的不等式：ax>1－x.
.
【变式】已知关于x的方程4(x＋2)－2＝5＋3a的解不小于方程＝的解，求a的取值范围．
13.(模型观念)已知|2m－6|＋(3m－n－5)2＝0，且(3n－2m)x＜－15，化简|2x＋5|－|2x－5|＋3.
第2课时　列一元一次不等式解应用题
1．常见的一些等量关系
(1)行程问题：路程＝ × ；
(2)工程问题：工作量＝工作效率× ，各部分劳动量之和＝总量；
(3)利润问题：商品利润＝商品 －商品 ，利润率＝×100%；
(4)和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率．
2．列一元一次不等式解应用题的步骤：
(1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等；
(2)设：设出适当的未知数；
(3)列：根据题中的不等关系，列出不等式；
考点1?　不等式的特殊解
【典例1】若关于x的不等式5x＋m≥7x的正整数解是1、2、3、4，则m的取值范围为( )
A.m＜10 B．m≥8
C．8≤m≤10 D．8≤m＜10
考查一元一次不等式的整数解，熟记运算法则是解题的关键．
【变式训练】
1．(海南海口期中)不等式3(x＋2)≥4＋2x的最小整数解为 ．
考点2?　列一元一次不等式解决实际问题
【典例2】某社区决定购买黑芝麻汤圆和水晶汤圆共150袋慰问社区困难家庭，超市里黑芝麻汤圆每袋6元，水晶汤圆每袋10元，如果预算资金不超过1 260元，请问最多能购买水晶汤圆多少袋？
在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．
【变式训练】
2．今年植树节，某班同学共同种植270棵树苗，这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵35元，乙树苗每棵20元，购买这批树苗的总费用不超过5 700元，请问最多购买甲树苗多少棵？
知识点1?　求不等式的特殊解
1．(海南东方期中)不等式4(1－x)＞2－3x的非负整数解的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2．(海南海口期中)不等式3－2x＞0的最大整数解是( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．(海南澄迈县月考)不等式＜1的正整数解有( )
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
4．解不等式2(x－2)≤6－3x，并写出它的正整数解．
知识点2?　列一元一次不等式解应用题
5．(海南澄迈县期末)一次生活常识竞赛共有50题，答对一题得2分，不答得0分，答错一题扣1分，小聪有4题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则( )
A．95－5x＞80 B．2(46－x)－x≥80
C．100－5x≥80 D．2(50－x)－x≥80
6．在一次数学竞赛中，竞赛题共有25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的，选对得4分，不选或选错扣2分．规定得分不低于60分得奖，那么得奖者至少应选对( )
A．18道题 B．19道题
C．20道题 D．21道题
7．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，设护眼灯最多可降价x元．则根据题意可列不等式为 ．
8．学校准备为“中国古诗词”朗诵比赛购买奖品．已知在中央商场购买3个甲种奖品和2个乙种奖品共需120元；购买5个甲种奖品和4个乙种奖品共需210元．
(1)求甲、乙两种奖品的单价；
(2)学校计划购买甲、乙两种奖品共80个，且此次购买奖品的费用不超过1 500元．正逢中央商场促销，所有商品一律八折销售，求学校在中央商场最多能购买多少个甲种奖品．
9．(海南模拟)如果不等式3x－m≤0的正整数解为1、2、3，则m的取值范围是( )
A．9≤m＜12 B．9＜m＜12
C．m＜12 D．m≥9
10．(河南洛阳期末)某家电超市从厂家购进一批扫地机器人，进价为800元，出售时标价为1 200元，后来由于经营不善，该商品积压，家电超市准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可以打 折．
11．商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为 元/千克．
12．(陕西西安蓝田县三模)求不等式1－≥的非负整数解．
13．医药集团紧急投产口罩生产线，每天生产医用防护口罩或者医用外科口罩．若2天生产医用防护口罩，1天生产医用外科口罩，可生产两种口罩共8万个；若1天生产医用防护口罩，3天生产医用外科口罩，可生产两种口罩共9万个．
(1)求平均每天生产医用防护口罩和医用外科口罩各多少万个；
(2)该集团现接到180万个口罩的订单，要求生产时间不能超过70天，则至少能生产多少万个医用防护口罩？
14．在精准扶贫中，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划用8个大棚种植香瓜和甜瓜，根据种植经验及市场情况，他打算两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下表：
品种 项目 产量 (斤/棚) 销售价格 (元/斤) 成本 (元/棚)
香瓜 2 000 12 8 000
甜瓜 4 500 3 5 000
根据以上信息，求李师傅至少种植多少个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于10万元．
15.(应用意识)(海南琼海期末)端午节吃粽子是中国的传统习俗，某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，若购进甲种粽子500个和乙种粽子400个共需6 200元．
(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
(2)甲、乙两种粽子的原售价分别为8元/个和11元/个，为减少库存，超市将这两种粽子搭配成“粽情端午”礼包(每个礼包含甲、乙共20个粽子)，并且按原价八折促销，若使每个礼包利润不低于14元，则每个礼包中至少含乙种粽子多少个？

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