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7．2　不等式的基本性质
1．基本性质1：不等式两边都加上(或都减去)同一个数，不等号的方向不变．
2．基本性质2：不等式两边都乘以(或都除以)同一个正数，不等号的方向不变．
3．基本性质3：不等式两边都乘以(或都除以)同一个负数，不等号的方向改变．
考点1?　不等式的性质
【典例1】已知a＞b，下列不等式成立的是( C )
A.a＋2＞b＋3 B．－4a＞－4b
C．m－a＜m－b D．am＞bm
解析：A.∵a＞b，∴a＋2＞b＋2，不一定有a＋2＞b＋3，不符合题意；B.∵a＞b，∴－4a＜－4b，不符合题意；C.∵a＞b，∴－a＜－b，∴m－a＜m－b，符合题意；D.∵a＞b，当m＝0时，am＝bm，∴不符合题意，故选C.
“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
【变式训练】
1．(海南期末)若a＜b，则下列式子正确的是(B)
A．a－5＞b－5 B．2a＋4＜2b＋4
C．－2a＜－2b D．＞
考点2?　利用不等式的性质解简单的不等式
【典例2】将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)－x＞60；(2)－2x＋3＜3x＋2.
解：(1)－x＞60，不等式两边同时乘－，解得x＜－40.
(2)－2x＋3＜3x＋2，不等式两边同时减3x，得－5x＋3＜2，不等式两边同时减3，得－5x＜－1，不等式两边同时除以－5，得x＞.
利用不等式的性质进行简单变形，将其转化为“x＞a”或者“x＜a”的形式．
【变式训练】
2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．(1)x－3＜－1；(2)－＞8.
(1)不等式两边同时加上3，得x＜－1＋3，即x＜2.
(2)不等式两边都乘2，得－x＞8×2，不等式两边同时乘－1，得x＜－16.
知识点1?　不等式的性质
1．(海南海口龙华区期中)若m＞n，则下列不等式中正确的是(B)
A．m－2＜n－2 B．1－2m＜1－2n
C．－m＞－n D．n－m＞0
2．(海南儋州开学)下列说法不正确的是(B)
A．若a＜b，则(m2＋1)a＜(m2＋1)b
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＜b，则3－2a＞3－2b
D．若ac2＜bc2，则a＜b
3．用不等号填空：若a－；>；2a－1<2b－1.
知识点2?　利用不等式的性质解简单的不等式
4．不等式1－2x＜3的解集为(C)
A．x＜－1 B．x＜1
C．x＞－1 D．x＞－2
5．不等式2x－4≤0的解集是x≤2．
6．利用不等式的性质解下列不等式．
(1)x－7＞26；　(2)x＞50；　(3)－4x＞3.
(1)根据不等式的性质1，两边都加上7，得x－7＋7＞26＋7，整理得x＞33.(2)根据不等式的性质2，两边都乘以(或除以)，得×x＞×50，整理得x＞75.(3)根据不等式的性质3，两边都乘以－，得－4×(－)x＜3×(－)，整理得x＜－.
7．(海南儋州月考)如果a－b＜0，那么下列不等式成立的是(B)
A．＞1 B．a－2＜b－2
C．a＞b D．2b＜2a
因为a－b＜0，所以a＜b，当a＝2，b＝4时，＝＜1，所以选项A中的不等式不成立，不符合题意；
因为a＜b，所以a－2＜b－2，
所以选项B中的不等式一定成立，符合题意；
因为a＜b，所以a＜b，
所以选项C中的不等式不成立，不符合题意；
因为a＜b，所以2a＜2b，即2b＞2a，
所以选项D中的不等式不成立，不符合题意．故选B.
8．已知a，b，c均为实数，且a＞b，c≠0，则下列结论不一定正确的是(D)
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b
C．＞ D．a2＞ab＞b2
9．定义运算：a*b，当a＞b时，有a*b＝a，当a＜b时，有a*b＝b，如果(x＋3)*2x＝x＋3，那么x的取值范围是(A)
A．x＜3 B．x＞3
C．x＜1 D．1＜x＜3
10．若(m－1)x＞m－1的解集是x＜1，则m的取值范围是(C)
A．m＞1 B．m≤－1
C．m＜1 D．m≥1
11．已知不等式5x－2＜6x＋1的最小正整数解是方程3x－ax＝6的解，求a的值．
由5x－2＜6x＋1，得x＞－3，
所以最小正整数解为x＝1，把x＝1代入方程3x－ax＝6，得3×1－×1×a＝6，所以a＝－2.
12．已知二元一次方程组的解满足不等式ax＋2y＜5，求a的取值范围．
解方程组得把代入不等式ax＋2y＜5，得2a＋2×1＜5，即2a＋2＜5，利用不等式的性质1，两边都减去2，得2a＜3，利用不等式的性质2，两边都除以2，得a＜，所以a的取值范围是a＜.
13．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，则得到的两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大？请写出一个这样的两位数．
设原来的两位数是10b＋a，对调后的两位数是10a＋b，由题意可知，10a＋b＞10b＋a，
由不等式的基本性质，可得9a＞9b，即a＞b.如12，23，35，….
14.(应用意识)(1)根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果a－b＜0，那么a＜b；
②如果a－b＝0，那么a＝b；
③如果a－b＞0，那么a＞b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
(2)请运用上述这种方法尝试回答下面的问题：
①比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小；
②若2a＋2b－1＞3a＋b，比较a、b的大小．
(2)①∵4＋3a2－2b＋b2－(3a2－2b＋1)＝b2＋3＞0，
∴4＋3a2－2b＋b2＞3a2－2b＋1；
②∵2a＋2b－1＞3a＋b，
∴2a＋2b－1－3a－b＞0，即－a＋b－1＞0，
∴b－a＞1＞0，∴a＜b.7．2　不等式的基本性质
1．基本性质1：不等式两边都加上(或都减去)同一个数，不等号的方向 ．
2．基本性质2：不等式两边都乘以(或都除以)同一个正数，不等号的方向 ．
3．基本性质3：不等式两边都乘以(或都除以)同一个负数，不等号的方向 ．
考点1?　不等式的性质
【典例1】已知a＞b，下列不等式成立的是( C )
A.a＋2＞b＋3 B．－4a＞－4b
C．m－a＜m－b D．am＞bm
“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．
【变式训练】
1．(海南期末)若a＜b，则下列式子正确的是( )
A．a－5＞b－5 B．2a＋4＜2b＋4
C．－2a＜－2b D．＞
考点2?　利用不等式的性质解简单的不等式
【典例2】将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式．
(1)－x＞60；(2)－2x＋3＜3x＋2.
(2)－2x＋3＜3x＋2，不等式两边同时减3x，得－5x＋3＜2，不等式两边同时减3，得－5x＜－1，不等式两边同时除以－5，得x＞.
利用不等式的性质进行简单变形，将其转化为“x＞a”或者“x＜a”的形式．
【变式训练】
2．将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．(1)x－3＜－1；(2)－＞8.
知识点1?　不等式的性质
1．(海南海口龙华区期中)若m＞n，则下列不等式中正确的是( )
A．m－2＜n－2 B．1－2m＜1－2n
C．－m＞－n D．n－m＞0
2．(海南儋州开学)下列说法不正确的是( )
A．若a＜b，则(m2＋1)a＜(m2＋1)b
B．若a＞b，则ac2＞bc2
C．若a＜b，则3－2a＞3－2b
D．若ac2＜bc2，则a＜b
3．用不等号填空：若a知识点2?　利用不等式的性质解简单的不等式
4．不等式1－2x＜3的解集为( )
A．x＜－1 B．x＜1
C．x＞－1 D．x＞－2
5．不等式2x－4≤0的解集是 ．
6．利用不等式的性质解下列不等式．
(1)x－7＞26；　(2)x＞50；　(3)－4x＞3.
7．(海南儋州月考)如果a－b＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．＞1 B．a－2＜b－2
C．a＞b D．2b＜2a
8．已知a，b，c均为实数，且a＞b，c≠0，则下列结论不一定正确的是( )
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b
C．＞ D．a2＞ab＞b2
9．定义运算：a*b，当a＞b时，有a*b＝a，当a＜b时，有a*b＝b，如果(x＋3)*2x＝x＋3，那么x的取值范围是( )
A．x＜3 B．x＞3
C．x＜1 D．1＜x＜3
10．若(m－1)x＞m－1的解集是x＜1，则m的取值范围是( )
A．m＞1 B．m≤－1
C．m＜1 D．m≥1
11．已知不等式5x－2＜6x＋1的最小正整数解是方程3x－ax＝6的解，求a的值．
12．已知二元一次方程组的解满足不等式ax＋2y＜5，求a的取值范围．
13．一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，如果把这个两位数的个位数字与十位数字对调，则得到的两位数大于原来的两位数，试判断a与b哪个大？请写出一个这样的两位数．
14.(应用意识)(1)根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果a－b＜0，那么a b；
②如果a－b＝0，那么a b；
③如果a－b＞0，那么a b.
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；
(2)请运用上述这种方法尝试回答下面的问题：
①比较4＋3a2－2b＋b2与3a2－2b＋1的大小；
②若2a＋2b－1＞3a＋b，比较a、b的大小．

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