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6．4　实践与探索
列方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的 关系，用字母(如x、y、z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的 关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称).
考点1?　应用二元一次方程组解决方案问题
【典例1】某中学举行了党史知识竞赛，并计划购买A、B两种奖品奖励学生．若买2件A奖品和1件B奖品要用90元，买3件A奖品和2件B奖品要160元．
(1)A、B两种奖品每件各多少元？
(2)如果学校准备用400元购买A、B两种奖品(400元恰好用完，两种奖品都有)，则有几种购买方案？
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义判断所求数据是否符合题意．
(2)“设”“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【变式训练】
1．(江苏徐州贾汪区期末)我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用11两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两需全部用完)，请你为商人列出所有可能的购买方法．
考点2?　应用数形结合思想解决二元一次方程组的应用问题
【典例2】(吉林松原宁江区期中)学校需要一些酒精灯和漏斗，根据图中信息，回答下列问题：
(1)求酒精灯和漏斗的单价；
(2)买5个酒精灯和20个漏斗，商家打八折出售，求学校花的钱数．
　　
考查了二元一次方程组的应用，根据数形结合得出正确的等量关系是解题关键．
【变式训练】
2．(湖南衡阳衡东县期中)小明用8个一样大的小长方形(长为a cm，宽为b cm)拼图，拼出了如图甲、乙两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2 cm的正方形小洞．求小长方形的长和宽．
　　
知识点　应用二元一次方程组解决实际问题
1．(海南海口期中)有灰、白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，如果每只砝码质量为5克，那么一只灰球和一只白球的质量和是( )
　　
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(河南新乡期末)小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A、B两地之间的距离为10 km，小明骑山地车的速度是13 km/h，小强骑自行车的速度是8 km/h，若小强先出发15 min，则小明追上小强时，两人距离B地( )
A．4.8 km B．5.2 km
C．3.6 km D．6 km
3．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了( )
A．5场 B．7场
C．9场 D．11场
4．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，则可以列方程组
5．(海南澄迈县模拟)某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副．若购买10副直拍球拍和5副横拍球拍共花费3 250元；购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费750元.求两种球拍每副各多少元？
6．某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
7．(海南海口期中)现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a cm、宽为b cm.用3个如图②的全等图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为30 cm，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )
　　
A． B． C． D．
8．(河南新乡期末)如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60 cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80 cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为( )
　　
A．120 cm B．130 cm
C．140 cm D．150 cm
9．(海南海口期中)小明从家到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需20分钟，从学校到家里需30分钟．小明从家到学校的下坡路长 米．
10．一个大正方形和四个全等的小正方形按图1，图2两种方式摆放，根据图中数据，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为 ．
　
11．用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个恰好将库存的纸板用完？
　　
12．某公园的门票价格如表所示：
购票人数 1－50人 51－100人 100人以上 (不含100人)
每人门票价 13元 11元 9元
某校初一(1)(2)两个班去游览公园，其中(1)班人数较少，不足50人，(2)班人数较多，超过50人，但是不超过100人．若两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1 240元；若两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元．
(1)请列出方程组，求出两个班各有多少学生？
(2)你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上(不含100人)买票的钱数相等？如果有，请求出各有多少人时买票钱数相等？
13.(应用意识)某网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
价格 1.8元/千米 0.3元/分钟 0.8元/千米
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程7千米以内(含7千米)不收远途费，超过7千米的，超出部分每千米收0.8元
小王与小张各自乘坐网约快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6千米与8.5千米，两人付给网约快车的乘车费相同.
(1)求这两辆网约快车的实际行车时间相差多少分钟；
(2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．6．4　实践与探索
列方程组解应用题的一般步骤
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x、y、z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称).
考点1?　应用二元一次方程组解决方案问题
【典例1】某中学举行了党史知识竞赛，并计划购买A、B两种奖品奖励学生．若买2件A奖品和1件B奖品要用90元，买3件A奖品和2件B奖品要160元．
(1)A、B两种奖品每件各多少元？
(2)如果学校准备用400元购买A、B两种奖品(400元恰好用完，两种奖品都有)，则有几种购买方案？
解：(1)设A奖品每件x元，B奖品每件y元，
根据题意，得解得
答：A奖品每件20元，B奖品每件50元．
(2)购买A奖品m件，B奖品n件，根据题意，得20m＋50n＝400，∴n＝8－m.
又∵m、n均为正整数，
∴或或，∴共有3种购买方案，
方案1：购买A奖品5件，B奖品6件；
方案2：购买A奖品10件，B奖品4件；
方案3：购买A奖品15件，B奖品2件．
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义判断所求数据是否符合题意．
(2)“设”“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【变式训练】
1．(江苏徐州贾汪区期末)我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值多少两银子？”
根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用11两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两需全部用完)，请你为商人列出所有可能的购买方法．
(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，依题意，得解得
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
(2)设购买m头牛、n只羊，依题意，得3m＋2n＝11，整理，得n＝.
因为m、n均为正整数，所以或
所以商人有2种购买方法．方案1：1头牛、4只羊；方案2：3头牛、1只羊．
考点2?　应用数形结合思想解决二元一次方程组的应用问题
【典例2】(吉林松原宁江区期中)学校需要一些酒精灯和漏斗，根据图中信息，回答下列问题：
(1)求酒精灯和漏斗的单价；
(2)买5个酒精灯和20个漏斗，商家打八折出售，求学校花的钱数．
　　
解：(1)设酒精灯的单价为x元，漏斗的单价为y元，根据题意，得解得
答：酒精灯单价为6元，漏斗单价为2元．
(2)由题意，得(6×5＋2×20)×0.8＝56(元).答：学校花的钱为56元．
考查了二元一次方程组的应用，根据数形结合得出正确的等量关系是解题关键．
【变式训练】
2．(湖南衡阳衡东县期中)小明用8个一样大的小长方形(长为a cm，宽为b cm)拼图，拼出了如图甲、乙两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是2 cm的正方形小洞．求小长方形的长和宽．
　　
根据题意，知小长方形的长为a cm、宽为b cm，
可得解得
答：小长方形的长为10 cm、宽为6 cm.
知识点　应用二元一次方程组解决实际问题
1．(海南海口期中)有灰、白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，如果每只砝码质量为5克，那么一只灰球和一只白球的质量和是(D)
　　
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(河南新乡期末)小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A、B两地之间的距离为10 km，小明骑山地车的速度是13 km/h，小强骑自行车的速度是8 km/h，若小强先出发15 min，则小明追上小强时，两人距离B地(A)
A．4.8 km B．5.2 km
C．3.6 km D．6 km
3．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．一支中学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了(C)
A．5场 B．7场
C．9场 D．11场
4．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完，如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x、y人，则可以列方程组
5．(海南澄迈县模拟)某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副．若购买10副直拍球拍和5副横拍球拍共花费3 250元；购买10副直拍球拍比购买5副横拍球拍多花费750元.求两种球拍每副各多少元？
设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副y元，由题意，得
解得
答：直拍球拍每副200元，横拍球拍每副250元．
6．某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产5%，小麦超产15%，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？
设农场去年计划生产小麦x吨，玉米y吨，根据题意，得解得
则50×(1＋5%)＝52.5(吨)，
150×(1＋15%)＝172.5(吨).
答：农场去年实际生产小麦172.5吨，玉米52.5吨．
7．(海南海口期中)现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a cm、宽为b cm.用3个如图②的全等图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为30 cm，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为(B)
　　
A． B． C． D．
因为大长方形的宽为30 cm，所以a＋3b＝30，根据图③可得3b＝a，组成方程组解得
因为阴影部分面积为3(a－b)2，整个图形的面积为4a(a＋3b)，
所以阴影部分面积与整个图形的面积之比为＝＝，故选B.
8．(河南新乡期末)如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60 cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80 cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为(D)
　　
A．120 cm B．130 cm
C．140 cm D．150 cm
9．(海南海口期中)小明从家到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需20分钟，从学校到家里需30分钟．小明从家到学校的下坡路长800米．
10．一个大正方形和四个全等的小正方形按图1，图2两种方式摆放，根据图中数据，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为24．
　
11．用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个恰好将库存的纸板用完？
　　
设做第一种x个，第二种y个，
由题意，得解得
答：做第一种200个，第二种400个．
12．某公园的门票价格如表所示：
购票人数 1－50人 51－100人 100人以上 (不含100人)
每人门票价 13元 11元 9元
某校初一(1)(2)两个班去游览公园，其中(1)班人数较少，不足50人，(2)班人数较多，超过50人，但是不超过100人．若两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1 240元；若两个班联合起来，作为一个团体购票，则只需付936元．
(1)请列出方程组，求出两个班各有多少学生？
(2)你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上(不含100人)买票的钱数相等？如果有，请求出各有多少人时买票钱数相等？
(1)设初一(1)班有x人，初一(2)班有y人，
根据题意，得解得
答：初一(1)班有48人，初一(2)班有56人．
(2)设各有m、n(51因为m、n均为正整数，且51所以或
答：各有90、110或99、121人时买票钱数相等．
13.(应用意识)某网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
价格 1.8元/千米 0.3元/分钟 0.8元/千米
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式：行车里程7千米以内(含7千米)不收远途费，超过7千米的，超出部分每千米收0.8元
小王与小张各自乘坐网约快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6千米与8.5千米，两人付给网约快车的乘车费相同.
(1)求这两辆网约快车的实际行车时间相差多少分钟；
(2)实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
(1)设小王乘坐的网约快车的实际行车时间为x分钟，小张乘坐的网约快车的实际行车时间为y分钟，
由题意，得1.8×6＋0.3x＝1.8×8.5＋0.3y＋0.8×(8.5－7)，整理得x－y＝19，
答：这两辆网约快车的实际行车时间相差19分钟．
(2)由(1)及题意，得
化简得
①＋②得2y＝36，解得y＝18，
将y＝18代入①得x＝37，
答：小王的实际乘车时间为37分钟，小张的实际乘车时间为18分钟．

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