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*6.3　三元一次方程组及其解法
1．含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x＋y－z＝1，2a－3b＋4c＝5等都是三元一次方程．
2．一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．
3．(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
考点1?　三元一次方程(组)的定义
【典例1】下列是三元一次方程组的是( A )
A. B．
C． D．
解析：由题意知，含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．A.满足三元一次方程组的定义，故A选项正确；B.xy＝3，含未知数的项的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项错误；C.不是整式方程，故C选项错误；D.含有两个未知数，不满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；故选A.
三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知数即可．
【变式训练】
1．下列方程中，三元一次方程共有(B)
(1)x＋y＋z＝3；(2)xyz＝3；(3)＝1；(4)＝1.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点2?　三元一次方程组的解法
【典例2】解方程组以下解法不正确的是( D )
A．由①，②消去z，再由①，③消去z
B．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去y
D．由①，②消去z，再由①，③消去y
解析：解方程组以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y.故选D.
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
【变式训练】
2．解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取(D)
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
知识点1?　三元一次方程组
1．下列方程组不是三元一次方程组的是(B)
A. B．
C． D．
2．(海南海口期中)若是三元一次方程组的解，则k的值是－15．
知识点2?　三元一次方程组的解法
3．(海南海口龙华区期中)已知a＋b＝16，b＋c＝12，c＋a＝10，则a＋b＋c等于(A)
A．19 B．38
C．14 D．22
4．三元一次方程组的解为
5．解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
(1)②＋③×2，得4x＋3y＝2，④
用方程①④组成一个二元一次方程组
解得
把x＝－1，y＝2代入③，得z＝0，
所以原方程组的解为
(2)①－②，得3y－z＝1，④
③－②，得4y－2z＝－8，⑤
用方程④⑤组成一个二元一次方程组
解得把y＝5，z＝14代入①，得x＝－41，
所以原方程组的解为
6．已知方程组的解x、y的和为12，求n的值．
由题意，可得解得
代入x＋y＝12，得n＝14.
易错易混点　整体思想运用不熟练致错
7．小海、小南两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x＋y＋z的值．
(1)小海的方法：②×3－①×2，整理可得y＝3－2z；
①×3－②×2，整理可得x＝z＋1；∴x＋y＋z＝4.
小南的方法：①＋②：5x＋5y＋5z＝20；
∴x＋y＋z＝4.
(2)已知试求解x＋y＋z的值．
(1)由题意，小海的方法：②×3－①×2，整理可得y＝3－2z；
①×3－②×2，整理可得x＝z＋1，
所以x＋y＋z＝4.
小南的方法：①＋②：5x＋5y＋5z＝20③；
所以③÷5，得x＋y＋z＝4.
故答案为3－2z；z＋1；5x＋5y＋5z＝20；
(2)由题意，得
所以①×3＋②，整理可得z＝6－2x；①＋②×2，
整理可得y＝x－3，所以x＋y＋z＝3.
8．有甲、乙、丙三种商品，如果购进甲商品3件、乙商品2件、丙商品1件共需125元，购进甲商品1件、乙商品2件、丙商品3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元(C)
A．25 B．100 C．50 D．125
9．(海南海口期中)已知x＋y＝1，y＋z＝5，x＋z＝6，则xyz等于(A)
A．0 B．7 C．8 D．9
10．(海南月考)若方程x＋y＝3，x－y＝1和x－2my＝0有公共解，则m的取值为1．
11．某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现在要在63天的生产中使所生产的三种零件全部配套，则这个车间生产这三种零件各需用几天？
设生产甲、乙、丙三种零件分别用x天、y天、z天，根据题意得由②得y＝2x，z＝x，把y＝2x，z＝x代入①，得x＋2x＋x＝63，解得x＝15.所以y＝2x＝2×15＝30，z＝x＝×15＝18，所以生产甲、乙、丙三种零件分别需用15天、30天、18天．
12．下面所示为三元一次方程组的解题过程，请根据提供的做法和有关信息解决问题．
例1解方程组
解：由方程②，得z＝7－3x＋2y.④
步骤一
将④分别代入方程①和③，得
……
步骤二
整理，得
解这个二元一次方程组，得
代入④，得z＝7－3－6＝－2.
所以原方程组的解是
(1)其中的步骤一通过代入消元(或代入)法消去未知数z，将三元一次方程组转化成了二元一次方程组．
(2)仿照以上思路解方程组消去字母z后得到的二元一次方程组为或或等(答案不唯一)．
(1)解方程组
由方程②，得z＝7－3x＋2y，④
将④分别代入方程①和③，得
整理，得
故答案为代入消元(或代入)，二元一次方程组．
(2)解方程组
①＋②，得3x＋3y＝9，
①＋③，得4x＋6y＝14，
③－②，得x＋3y＝5，
由x＋y＝3(3x＋3y＝9)，2x＋3y＝7(4x＋6y＝14)，x＋3y＝5中任意两个组合得到均可．
故答案为或或等，答案不唯一．
13.(应用意识)某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？
水果搭配 A B C
甲 2 4 0
乙 3 8 1
丙 2 6 1
设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，
则由题意，得
即
②－①×11，得31(y＋z)＝465，即y＋z＝15，所以共卖出C水果15千克，C水果的销售额为15×10＝150(元).
答：C水果的销售额为150元．*6.3　三元一次方程组及其解法
1．含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程．如x＋y－z＝1，2a－3b＋4c＝5等都是三元一次方程．
2．一般地，由几个一次方程组成，并且含有 个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．
3．(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
考点1?　三元一次方程(组)的定义
【典例1】下列是三元一次方程组的是( A )
A. B．
C． D．
三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知数即可．
【变式训练】
1．下列方程中，三元一次方程共有( )
(1)x＋y＋z＝3；(2)xyz＝3；(3)＝1；(4)＝1.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
考点2?　三元一次方程组的解法
【典例2】解方程组以下解法不正确的是( D )
A．由①，②消去z，再由①，③消去z
B．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去y
D．由①，②消去z，再由①，③消去y
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．
【变式训练】
2．解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取( )
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
知识点1?　三元一次方程组
1．下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A. B．
C． D．
2．(海南海口期中)若是三元一次方程组的解，则k的值是 ．
知识点2?　三元一次方程组的解法
3．(海南海口龙华区期中)已知a＋b＝16，b＋c＝12，c＋a＝10，则a＋b＋c等于( )
A．19 B．38
C．14 D．22
4．三元一次方程组的解为
5．解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
易错易混点　整体思想运用不熟练致错
7．小海、小南两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组虽然解不出x、y、z的具体数值，但可以解出x＋y＋z的值．
(1)小海的方法：②×3－①×2，整理可得y＝ ；
①×3－②×2，整理可得x＝ ；∴x＋y＋z＝4.
小南的方法：①＋②： ；
∴x＋y＋z＝4.
(2)已知试求解x＋y＋z的值．
8．有甲、乙、丙三种商品，如果购进甲商品3件、乙商品2件、丙商品1件共需125元，购进甲商品1件、乙商品2件、丙商品3件共需75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需多少元( )
A．25 B．100 C．50 D．125
9．(海南海口期中)已知x＋y＝1，y＋z＝5，x＋z＝6，则xyz等于( )
A．0 B．7 C．8 D．9
10．(海南月考)若方程x＋y＝3，x－y＝1和x－2my＝0有公共解，则m的取值为 ．
11．某车间每天可以生产甲种零件600个或乙种零件300个或丙种零件500个，这三种零件各一个可以配成一套，现在要在63天的生产中使所生产的三种零件全部配套，则这个车间生产这三种零件各需用几天？
12．下面所示为三元一次方程组的解题过程，请根据提供的做法和有关信息解决问题．
例1解方程组
步骤一
将④分别代入方程①和③，得
……
步骤二
整理，得
解这个二元一次方程组，得
代入④，得z＝7－3－6＝－2.
所以原方程组的解是
(1)其中的步骤一通过 法消去未知数z，将三元一次方程组转化成了 ．
(2)仿照以上思路解方程组消去字母z后得到的二元一次方程组为 ．
13.(应用意识)某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果，8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？
水果搭配 A B C
甲 2 4 0
乙 3 8 1
丙 2 6 1

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