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5．3　实践与探索
第1课时　列一元一次方程解形积变化问题
1．长方体的体积＝长×高×宽．
2．圆柱体的体积＝底面积×高．
3．圆锥体的体积＝×底面积×高．
4．长方形的面积＝长×宽．
考点　利用一元一次方程解决形积问题
【典例】一个瓶子的容积为1.9 L，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为15 cm，倒放时，空余部分的高度为4 cm(如图).则瓶内溶液的体积是( )
　　
A.1.8 L B．1.3 L C．1.5 L D．1.9 L
根据等量关系“圆柱体的体积＝底面积×高”列出方程是解题的关键．
【变式训练】
一个长方形的周长是20厘米，已知长和宽的比是7∶3，这个长方形的面积是( )
A．84平方厘米
B．21平方厘米
C．14平方厘米
D．6平方厘米
知识点　形积变化问题
1．(海南陵水县期中)将一个周长为42 cm的长方形的长减少3 cm，宽增加2 cm，能得到一个正方形．若设长方形的长为x cm，根据题意可列方程为( )
A．x＋2＝(42－x)－3
B．x－3＝(42－x)＋2
C．x＋2＝(21－x)－3
D．x－3＝(21－x)＋2
2．如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，设甲容器的容积为x cm3，则根据题意得( )
A．80x＝100x－8 B．80x－8＝100x
C．＝－8 D．－8＝
3．一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，最短的边比最长的边短6 cm，则这个三角形的周长为 cm.
4．要锻造一个直径为100 mm，高为80 mm的圆柱形钢坯，应截取直径为80 mm的圆钢的长度为 mm.
5．铸造三个直径为2 cm，高为16 cm的圆柱形零件，需要截取直径为4 cm的圆钢多长？
6．如图，将形状相同、大小相等的长方形A、B和形状相同、大小相等的长方形C、D按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形，若长方形A的长为4，宽为1，设中间正方形的边长为x，当拼成的大长方形的长是宽的1.5倍时，x的值为( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为75 cm，此时木桶中水的深度是( )
A．40 cm B．35 cm
C．30 cm D．10 cm
8．如图，将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体容器，设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h.
(1)用含a和h的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积V.
(2)若a＝12 cm，h＝2 cm，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？
(3)在(2)中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为8 cm的圆柱形容器内，请问该圆柱形容器的高度至少是多少？(π取3.14，结果精确到0.1 cm)
9.(应用意识)实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在10 cm高度处连通(即管子底部离容器底10 cm).现三个容器中，只有乙中有水，水位高4 cm，如图所示．若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，甲的水位上升3 cm.求开始注入多少分钟水量后，甲的水位比乙高1 cm.
第2课时　列一元一次方程解销售问题
1．利润问题
(1)利润率＝×100%；
(2)标价＝成本(或进价)×(1＋ )；
(3)实际售价＝ ×打折率；
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本× ；
2．方案问题
选择设计方案的一般步骤：
(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
(2)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
考点　利润问题
【典例】(河北邯郸成安县期末)2025年五一期间，文化眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如下．
原价：______元．
五一七折优惠，现价：140元．
则广告牌上的原价为_ _元．
“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
【变式训练】
(山东淄博期末)一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．
(1)每件服装的标价是多少元？
(2)打几折销售能恰好保证利润率为50%
知识点　商品销售问题
1．(海南期末)新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，标价为250元，若按标价的8折出售，仍可获利50元，设这款羽绒服进价为x元，根据题意可列方程为( )
A.250×0.8－x＝50 B．250－0.8x＝50
C．250×0.2－x＝50 D．250－0.2x＝50
2．(海南琼海期末)某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的进价是( )
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
3．(海南文昌期末)某商场同时卖出两台电子琴，每台均卖120元，以成本计算，第一台盈利20%，另一台亏损20%，则商场在本次买卖中( )
A．不盈不亏 B．亏损5元
C．盈利5元 D．亏损10元
4．“五一”期间，某电器按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，结果仍能获利12元，设这种电器的进价为x元，则可列出方程为 ．
5．(海南海口期中)某型号彩电每台标价为5 250元，按标价的八折销售，此时每台彩电的利润率是5%，则该型号彩电的进价为每台 _ 元．
6．(海南东方一模)东方市某校为提高学生的阅读能力，该校图书馆现决定购买A、B两类书籍．已知购买1本A类书籍和1本B类书籍需用65元，购买3本A类书籍和2本B类书籍需用160元．求每本A类书籍和每本B类书籍的单价各为多少元．
易错易混点　抽象能力不足致错
7．张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元.张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．”商店经理算了一下，如果减价5%，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 元．
8．(四川泸州泸县校级期末)某商品的销售价为每件800元，为了参加市场竞争，商店按售价的8折再让利90元销售，此时仍可获利10%，则此商品的进价为多少元( )
A．500 B．600 C．700 D．800
9．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．
10．某校七年级社会实践小组去商店调查商品销售情况，了解到该商店以每条80元的价格购进了某品牌牛仔裤50条，并以每条120元的价格销售了40条.商店准备采取促销措施，将剩下的牛仔裤降价销售．请你帮商店计算一下，每条牛仔裤降价多少元时，销售完这批牛仔裤正好达到盈利45%的预期目标？
11.(应用意识)元旦期间，某商场开展促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款)，花100元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的六折购物．
(1)求顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡费用相等？
(2)小明的妈妈要为小明买一台标价为1 200 元的学习机，直接写出小明的妈妈用 (填“买卡”或“不买卡”)方式购买学习机更划算；小明妈妈用划算的方式购买能节省多少元钱？
(3)在(2)的基础上，小明妈妈按划算的方案买下这台学习机，若该商场还能盈利25%，直接写出这台学习机的进价是 元．
第3课时　列一元一次方程解行程和工程问题
1．行程问题
(1)三个基本量间的关系： 路程＝ × ．
(2)基本类型有：
①相遇问题(或相向问题)：
Ⅰ.基本量及关系：相遇路程＝速度和×相遇时间；
Ⅱ.寻找相等关系：甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：
Ⅰ.基本量及关系：追及路程＝速度差×追及时间；
Ⅱ.寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程＋两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：
Ⅰ.基本量及关系：顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
2．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为 ．基本关系式：
(1)总工作量＝工作效率× ；
(2)总工作量＝各单位工作量之和．
考点1?　行程问题
【典例1】如图，已知A、B两点在数轴上，点A表示的数为－10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动(点M、N同时出发)，经过_ _秒，点M、N到原点O的距离相等．
找准等量关系，借助于线段图，并正确依据公式列出一元一次方程是解题的关键.
【变式训练】
1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别是－20和40，点C在线段AB上移动，图中的三条线段AB、AC和BC，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点C在数轴上表示的数为 .
考点2?　工程问题
【典例2】粉刷一个教室甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲、乙合做了x天，则所列方程为( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＋＝1
由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
【变式训练】
2．(海南儋州期末)乡村旅游越来越受广大市民的喜爱，罗甸县为发展乡村旅游，对某村基础设施进行升级改造，若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成，政府决定先由甲工程队单独施工2个月，再由甲、乙两队共同完成剩下的部分，则完成这项工程共需多少个月( )
A.6 B．4 C．5 D．3
知识点1?　工程问题
1．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共做了12天完成，则乙做了 天．
2．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要4 h、6 h完成．现在先由甲单独做1 h，然后两人合作整理完这批图书，那么他们合作整理这批图书的时间是多少？
知识点2?　行程问题
3．(海南月考)一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是( )
A．60秒 B．30秒 C．40秒 D．50秒
4．(海南海口期中)甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要多少小时( )
A．10 B．9 C．8 D．12
5．在400米的环形跑道上，男生每分钟跑320米，女生每分钟跑280米，男女生同时同地同向出发，t分钟后第二次相遇，则t＝ 分钟．
6．两辆汽车从相距84 km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20 km/h，半小时后两车相遇．甲车的速度是多少？(列方程解答)
7．甲、乙两人从学校到2 000米远的展览馆去参观，甲走了4分钟后乙才出发，已知甲的速度是80米/分钟，乙的速度是100米/分钟．
(1)乙出发后经过多长时间能追上甲？
(2)乙追上甲时离展览馆还有多远？
易错易混点　顺流、逆流问题中的速度变化理解不透彻致错
8．甲、乙、丙三地在同一条直线上，某人乘船从甲地顺流而下到达乙地，因为突然有事，马上又逆流而上到达丙地，共花了5个小时(上下船的时间忽略不计).已知：船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米．若甲、丙两地相距18千米，求甲、乙两地的路程．
9．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是( )
A．7.5秒 B．6秒 C．5秒 D．4秒
10．(海南海口期中)如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1 cm，乙的速度为每秒 5 cm，已知正方形轨道ABCD的边长为2 cm，则乙第2 024次追上甲时的位置是在( )
A．AD上 B．AB上
C．CD上 D．BC上
11．(海南儋州期末)某工厂车间有60名工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个(每人每天只能生产一种零件)，一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元．
(1)求该工厂有多少名工人生产A零件？
(2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
12．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a＋b＝80，ab＜0.
(1)求a、b的值；
(2)现有一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．
①设两动点在数轴上的点C相遇，求点C表示的数；
②经过多长时间，两动点在数轴上相距20个单位长度？
13.(应用意识)制造企业有一座对生产设备进行水循环冷却的冷却塔，冷却塔的顶部有一个进水口，3小时恰好可以注满这座空塔，底部有一个出水口，7小时恰好可以放完满塔的水．为了保证安全，塔内剩余水量不得少于全塔水量的，出水口一直打开，保证水的循环，进水口根据水位情况定时对冷却塔进行补水．假设每次恰好在剩余水量为满水量的m倍时开始补水，补满后关闭进水口．
(1)当m＝时，请问：两次补水之间相隔多长时间？每次补水需要多长时间？
(2)能否找到适当的m值，使得两次补水的间隔时间和每次的补水时间一样长？如果能，请求出m值；如果不能，请你分析两次补水的间隔时间和每次的补水时间之间的数量关系，并表示出来．
第4课时　一元一次方程的综合应用习题课
一、选择题
1．(海南屯昌县期末)下列方程中，是一元一次方程的是( )
A.＝－1 B．x2＝4x＋5
C．8－x＝1 D．x＋y＝7
2．(海南文昌期末)下列变形错误的是( )
A．若m＝n，则－3m＝－3n
B．若m＋2＝n＋2，则m＝n
C．若3x＝2，则x＝
D．若m＝－n，则m＋n＝0
3．方程－3(★－9)＝5x－1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝2，那么★处的数字是( )
A．6 B．5
C．4 D．3
4．(海南琼海期末)若关于x的方程6x＋3a＝22和方程3x＋5＝11的解相同，那么a的值为( )
A． B．
C．10 D．3
5．(河南南阳方城月考)《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？(注：步为长度单位)”设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是( )
A．依题意x＝100－x
B．依题意，得x＝100＋x
C．走路快的人要走200步才能追上
D．从走路快的人出发时开始算，当走路慢的人再走600步后，两人相隔400步
二、填空题
6．若－2x2m-3－5m＋1＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ ．
7．(海南海口期中)当m＝ 时，式子3＋m与式子－2m＋1的值相等．
8．(海南定安县期末)某商品按定价的八折出售，售价14.8元，则原定价是 元．
9．设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算：＝ad－bc，则满足等式＝1的x的值为 ．
10．风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般分布在山顶、海上、草原等地．一套风力发电设备由一个风机塔筒和三个风机叶片组成．据了解，1吨碳纤维材料可以制作2个风机塔筒或4个风机叶片．现有75吨碳纤维材料，则用 吨碳纤维材料制作风机塔筒，才能使制作的风机塔筒和风机叶片刚好配套．
三、解答题
11．(海南海口龙华区期中)解方程：
(1)3x－4＝6－2x；(2)＝2－.
12．小彬家和小强家在同一条道路的路边，两家相距200 m，他们相约每天坚持晨跑．一天早晨，小彬与小强7：00同时从家出发沿着门前的道路向东匀速跑去，若小彬的速度为180 m/min，小强的速度为130 m/min，那么小彬用多长时间可以追上小强？
13．小明在解方程＝－1去分母时，方程右边的－1忘记乘以6，因而求得的解为x＝2，试求a的值，并正确解这个方程.
14．列方程解应用题：
我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
15．采摘茶叶是茶农一项很繁重的劳动，利用单人便携式采茶机能大大提高生产效率．实践证明，一台采茶机每天可采茶60公斤，是人手工采摘的5倍，购买一台采茶机需2 400元．茶园雇人采摘茶叶，按每采摘1公斤茶叶m元的标准支付雇工工资，一个雇工手工采摘茶叶20天获得的全部工钱正好购买一台采茶机．
(1)求m的值；
(2)有两家茶叶种植户王家和顾家均雇人采摘茶叶，王家雇用的人数是顾家的2倍，王家所雇的人中有的人自带采茶机采摘，的人手工采摘，顾家所雇的人全部自带采茶机采摘．某一天，王家付给雇工的工资总额比顾家付给雇工的工资总额少600元，问顾家当天采摘了多少公斤茶叶？5．3　实践与探索
第1课时　列一元一次方程解形积变化问题
1．长方体的体积＝长×高×宽．
2．圆柱体的体积＝底面积×高．
3．圆锥体的体积＝×底面积×高．
4．长方形的面积＝长×宽．
考点　利用一元一次方程解决形积问题
【典例】一个瓶子的容积为1.9 L，瓶内装着一些溶液，当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为15 cm，倒放时，空余部分的高度为4 cm(如图).则瓶内溶液的体积是( C )
　　
A.1.8 L B．1.3 L C．1.5 L D．1.9 L
解析：设瓶子的底面积为S cm2，1 L＝1 000 cm3，
依题意，得15S＋4S＝1.9×1 000，
解得S＝100，
100×15＝1 500(cm3)＝1.5(L)，
答：瓶内溶液的体积是1.5 L，故选C.
根据等量关系“圆柱体的体积＝底面积×高”列出方程是解题的关键．
【变式训练】
一个长方形的周长是20厘米，已知长和宽的比是7∶3，这个长方形的面积是(B)
A．84平方厘米
B．21平方厘米
C．14平方厘米
D．6平方厘米
知识点　形积变化问题
1．(海南陵水县期中)将一个周长为42 cm的长方形的长减少3 cm，宽增加2 cm，能得到一个正方形．若设长方形的长为x cm，根据题意可列方程为(D)
A．x＋2＝(42－x)－3
B．x－3＝(42－x)＋2
C．x＋2＝(21－x)－3
D．x－3＝(21－x)＋2
2．如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，设甲容器的容积为x cm3，则根据题意得(D)
A．80x＝100x－8 B．80x－8＝100x
C．＝－8 D．－8＝
3．一个三角形的三边长的比为3∶4∶5，最短的边比最长的边短6 cm，则这个三角形的周长为36cm.
4．要锻造一个直径为100 mm，高为80 mm的圆柱形钢坯，应截取直径为80 mm的圆钢的长度为125mm.
5．铸造三个直径为2 cm，高为16 cm的圆柱形零件，需要截取直径为4 cm的圆钢多长？
设截取的圆钢长x cm.
根据题意，得π×()2x＝3×π×()2×16，
得4x＝48，解得x＝12，
答：需要截取直径为4 cm的圆钢长为12 cm.
6．如图，将形状相同、大小相等的长方形A、B和形状相同、大小相等的长方形C、D按图摆放，拼成一个中间含正方形的大长方形，若长方形A的长为4，宽为1，设中间正方形的边长为x，当拼成的大长方形的长是宽的1.5倍时，x的值为(C)
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
由题意，可知长方形C、D的宽为4－x，长为x＋1，
故大长方形的长为4＋4－x＝8－x，宽为x＋1＋1＝x＋2.
∵拼成的大长方形的长是宽的1.5倍，
∴8－x＝1.5(x＋2)，
整理，得2.5x＝5，
解得x＝2.
7．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的，两根铁棒长度之和为75 cm，此时木桶中水的深度是(C)
A．40 cm B．35 cm
C．30 cm D．10 cm
8．如图，将一张正方形铁片的4个角剪去4个大小一样的小正方形，然后折起来就可以制成一个无盖的长方体容器，设这个正方形铁片的边长为a，做成的无盖长方体容器高为h.
(1)用含a和h的代数式表示出这个无盖长方体容器的容积V.
(2)若a＝12 cm，h＝2 cm，则做成的无盖长方体容器的容积是多少？
(3)在(2)中做成的无盖长方体容器中注满水，再把水全部倒入一个底面直径为8 cm的圆柱形容器内，请问该圆柱形容器的高度至少是多少？(π取3.14，结果精确到0.1 cm)
(1)由题意知，容器底面是一个正方形，其边长为a－2h，
所以这个无盖长方体容器的容积V＝(a－2h)2h.
(2)若a＝12 cm，h＝2 cm，则V＝(12－2×2)2×2＝128(cm3).
(3)设该圆柱形容器的高度为x cm，根据题意，得
π×()2×x＝128，解得x≈2.5.
答：该圆柱形容器的高度至少是2.5 cm.
9.(应用意识)实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在10 cm高度处连通(即管子底部离容器底10 cm).现三个容器中，只有乙中有水，水位高4 cm，如图所示．若每分钟同时向甲和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，甲的水位上升3 cm.求开始注入多少分钟水量后，甲的水位比乙高1 cm.
甲、乙、丙三个相同高度的圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，注水1分钟，甲的水位上升3 cm，丙的水位上升3 cm，乙的水位上升 cm.
设开始注入x分钟的水量后，甲的水位比乙高1 cm.
①甲的水位达到4＋1＝5(cm)，乙不变，由题意，得3x＝5，
解得x＝；
②甲、丙的水位到达管子底部10 cm，
乙的水位上升到10－1＝9(cm)时，
(x－)×2＝9－4，解得x＝.
答：开始注入或分钟水量后，甲的水位比乙高1 cm.
第2课时　列一元一次方程解销售问题
1．利润问题
(1)利润率＝×100%；
(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)；
(3)实际售价＝标价×打折率；
(4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率；
2．方案问题
选择设计方案的一般步骤：
(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．
(2)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．
考点　利润问题
【典例】(河北邯郸成安县期末)2025年五一期间，文化眼镜店开展学生配镜优惠活动，某款式眼镜的广告如下．
原价：______元．
五一七折优惠，现价：140元．
则广告牌上的原价为_200_元．
解析：设广告牌上的原价为x元，根据题意，得0.7x＝140，解得x＝200，∴广告牌上的原价为200元．故答案为200.
“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损．打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
【变式训练】
(山东淄博期末)一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．
(1)每件服装的标价是多少元？
(2)打几折销售能恰好保证利润率为50%
(1)设每件服装的标价是x元，根据题意，得0.5x＋20＝0.8x－40，解得x＝200，
答：每件服装的标价是200元．
(2)设打m折销售能恰好保证利润率为50%，
根据题意，得200×＝(0.5×200＋20)×(1＋50%)，
解得m＝9.
答：打9折销售能恰好保证利润率为50%.
知识点　商品销售问题
1．(海南期末)新年将至，小明的母亲准备为小明网购一件羽绒服，某服装电商销售某新款羽绒服，标价为250元，若按标价的8折出售，仍可获利50元，设这款羽绒服进价为x元，根据题意可列方程为(A)
A.250×0.8－x＝50 B．250－0.8x＝50
C．250×0.2－x＝50 D．250－0.2x＝50
2．(海南琼海期末)某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装的进价是(C)
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
3．(海南文昌期末)某商场同时卖出两台电子琴，每台均卖120元，以成本计算，第一台盈利20%，另一台亏损20%，则商场在本次买卖中(D)
A．不盈不亏 B．亏损5元
C．盈利5元 D．亏损10元
设第一台电子琴的进价为x元/台，由题意得120－x＝20%x，
整理得，1.2x＝120，
解得x＝100.
设第二台电子琴的进价为y元/台，由题意，得y－120＝20%y，
整理，得0.8y＝120，
解得y＝150.
总收入为120＋120＝240(元)，
总成本价为100＋150＝250(元)，
则250－240＝10(元)，
故商场在本次买卖中亏损10元．
4．“五一”期间，某电器按进价提高40%后标价，然后打八折卖出，结果仍能获利12元，设这种电器的进价为x元，则可列出方程为x(1＋40%)×80%－x＝12．
5．(海南海口期中)某型号彩电每台标价为5 250元，按标价的八折销售，此时每台彩电的利润率是5%，则该型号彩电的进价为每台4_000元．
6．(海南东方一模)东方市某校为提高学生的阅读能力，该校图书馆现决定购买A、B两类书籍．已知购买1本A类书籍和1本B类书籍需用65元，购买3本A类书籍和2本B类书籍需用160元．求每本A类书籍和每本B类书籍的单价各为多少元．
设每本A类书籍的单价为x元，则每本B类书籍的单价为(65－x)元，
根据题意，得3x＋2(65－x)＝160，
解得x＝30，
∴65－x＝65－30＝35(元).
答：每本A类书籍的单价为30元，每本B类书籍的单价为35元．
易错易混点　抽象能力不足致错
7．张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元.张先生向商店经理说：“如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件．”商店经理算了一下，如果减价5%，由于张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润，则这种商品的成本是 75元．
设这种商品的成本是x元，
因为4×100×5%＝20(件)，
所以减价5%可多买20件，
根据题意，得(80＋20)(100－100×5%－x)＝80(100－x)，解得x＝75，
故答案为75.
8．(四川泸州泸县校级期末)某商品的销售价为每件800元，为了参加市场竞争，商店按售价的8折再让利90元销售，此时仍可获利10%，则此商品的进价为多少元(A)
A．500 B．600 C．700 D．800
9．某商场将M品牌服装每套按进价的2倍进行销售，恰逢“春节”来临，为了促销，他将售价提高了50元再标价，打出了“大酬宾，八折优惠”的牌子，结果每套服装的利润是进价的，该老板到底给顾客优惠了吗？说出你的理由．
该老板给顾客优惠了．设M品牌服装每套进价为x元，由题意，得
(2x＋50)×0.8－x＝x，解得 x＝600，原来售价为2×600＝1 200(元)，
提价后八折价格为(2×600＋50)×0.8＝1 000(元)，
故该老板给顾客优惠了．
10．某校七年级社会实践小组去商店调查商品销售情况，了解到该商店以每条80元的价格购进了某品牌牛仔裤50条，并以每条120元的价格销售了40条.商店准备采取促销措施，将剩下的牛仔裤降价销售．请你帮商店计算一下，每条牛仔裤降价多少元时，销售完这批牛仔裤正好达到盈利45%的预期目标？
设每条牛仔裤降价x元，根据题意，得120×40＋(120－x)×10＝80×50×(1＋45%)，
解得x＝20.
答：每条牛仔裤降价20元时，销售完这批牛仔裤正好达到盈利45%的预期目标．
11.(应用意识)元旦期间，某商场开展促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款)，花100元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的六折购物．
(1)求顾客购买多少元的商品时，买卡与不买卡费用相等？
(2)小明的妈妈要为小明买一台标价为1 200 元的学习机，直接写出小明的妈妈用买卡(填“买卡”或“不买卡”)方式购买学习机更划算；小明妈妈用划算的方式购买能节省多少元钱？
(3)在(2)的基础上，小明妈妈按划算的方案买下这台学习机，若该商场还能盈利25%，直接写出这台学习机的进价是656元．
(1)设顾客购买x元的商品时，买卡与不买卡费用相等，根据题意，得x－0.6x＝100，
解得x＝250.
答：顾客购买250元的商品时，买卡与不买卡费用相等．
(2)买卡购买需要花：100＋1 200×0.6＝820(元)，1 200－820＝380(元)，
答：买卡购买合算，小明妈妈能节省380元钱．
(3)设这台学习机进价是y元，
根据题意，得y(1＋25%)＝820，
解得y＝656，
所以这台学习机的进价是656元．
故答案为656.
第3课时　列一元一次方程解行程和工程问题
1．行程问题
(1)三个基本量间的关系： 路程＝速度×时间．
(2)基本类型有：
①相遇问题(或相向问题)：
Ⅰ.基本量及关系：相遇路程＝速度和×相遇时间；
Ⅱ.寻找相等关系：甲走的路程＋乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：
Ⅰ.基本量及关系：追及路程＝速度差×追及时间；
Ⅱ.寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：前者走的路程＋两者相距距离＝追者走的路程．
③航行问题：
Ⅰ.基本量及关系：顺流速度＝静水速度＋水流速度，逆流速度＝静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．
2．工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：
(1)总工作量＝工作效率×工作时间；
(2)总工作量＝各单位工作量之和．
考点1?　行程问题
【典例1】如图，已知A、B两点在数轴上，点A表示的数为－10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动(点M、N同时出发)，经过_5或_秒，点M、N到原点O的距离相等．
解析：∵点A表示的数为－10，OB＝2OA，
∴OB＝2OA＝20，
∴点B表示的数为20，
设经过x秒，点M、N到原点O的距离相等，则点M表示的数为x－10，点N表示的数为20－3x，
根据题意，得|x－10|＝|20－3x|，
∴x－10＝20－3x或x－10＝－(20－3x)，解得x＝或x＝5，
即经过5秒或秒后，M、N到原点O的距离相等；故答案为5或.
找准等量关系，借助于线段图，并正确依据公式列出一元一次方程是解题的关键.
【变式训练】
1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别是－20和40，点C在线段AB上移动，图中的三条线段AB、AC和BC，当其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍时，则点C在数轴上表示的数为 0或10或20.
考点2?　工程问题
【典例2】粉刷一个教室甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作，若甲、乙合做了x天，则所列方程为( B )
A.＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＋＝1
解析：甲、乙合做了x天，则甲一共做了(x＋1)天．
可设工程总量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，那么根据题意可得出方程＋＝1，故选B.
由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
【变式训练】
2．(海南儋州期末)乡村旅游越来越受广大市民的喜爱，罗甸县为发展乡村旅游，对某村基础设施进行升级改造，若甲工程队单独施工，5个月完成，乙工程队单独施工，10个月完成，政府决定先由甲工程队单独施工2个月，再由甲、乙两队共同完成剩下的部分，则完成这项工程共需多少个月(B)
A.6 B．4 C．5 D．3
知识点1?　工程问题
1．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做10天完成，现在由乙先独做几天后，剩下的部分由甲独做，先后共做了12天完成，则乙做了8天．
2．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要4 h、6 h完成．现在先由甲单独做1 h，然后两人合作整理完这批图书，那么他们合作整理这批图书的时间是多少？
设他们合作整理这批图书的时间是x h，根据题意，得
＋(＋)x＝1，
解得x＝1.8，
答：他们合作整理这批图书的时间是1.8 h．
知识点2?　行程问题
3．(海南月考)一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过600米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是(D)
A．60秒 B．30秒 C．40秒 D．50秒
设这列火车完全通过隧道所需时间是x秒，
则得到方程：15x＝600＋150，解得x＝50，
答：这列火车完全通过隧道所需时间是50秒．故选D.
4．(海南海口期中)甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120千米，用时6小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80千米用时8小时．则甲驾驶这艘小船在静止水面上行驶150千米需要多少小时(A)
A．10 B．9 C．8 D．12
5．在400米的环形跑道上，男生每分钟跑320米，女生每分钟跑280米，男女生同时同地同向出发，t分钟后第二次相遇，则t＝20分钟．
设t分钟后他们第二次相遇，根据题意，得320t－280t＝800，解得t＝20.
6．两辆汽车从相距84 km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20 km/h，半小时后两车相遇．甲车的速度是多少？(列方程解答)
设甲车的速度是x km/h，则乙车的速度是(x－20) km/h，
根据题意，得0.5x＋0.5(x－20)＝84，
解得x＝94，
答：甲车的速度是94 km/h.
7．甲、乙两人从学校到2 000米远的展览馆去参观，甲走了4分钟后乙才出发，已知甲的速度是80米/分钟，乙的速度是100米/分钟．
(1)乙出发后经过多长时间能追上甲？
(2)乙追上甲时离展览馆还有多远？
(1)设乙出发后经过x分钟能追上甲，
根据题意，得100x＝80x＋4×80，解得x＝16.
答：乙出发后经过16分钟能追上甲．
(2)乙追上甲时离展览馆还有2 000－100×16＝400(米).
答：乙追上甲时离展览馆还有400米．
易错易混点　顺流、逆流问题中的速度变化理解不透彻致错
8．甲、乙、丙三地在同一条直线上，某人乘船从甲地顺流而下到达乙地，因为突然有事，马上又逆流而上到达丙地，共花了5个小时(上下船的时间忽略不计).已知：船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米．若甲、丙两地相距18千米，求甲、乙两地的路程．
设甲、乙两地的路程为x千米，
当丙地在甲、乙两地之间时，＋＝5，
解得x＝；
当甲地在乙、丙两地之间时，＋＝5，
解得x＝.
答：甲、乙两地的路程是千米或千米．
9．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是(D)
A．7.5秒 B．6秒 C．5秒 D．4秒
10．(海南海口期中)如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1 cm，乙的速度为每秒 5 cm，已知正方形轨道ABCD的边长为2 cm，则乙第2 024次追上甲时的位置是在(A)
A．AD上 B．AB上
C．CD上 D．BC上
设乙走x秒第一次追上甲，根据题意，得5x－x＝4，解得x＝1，
所以乙走1秒第一次追上甲，则乙第一次追上甲时的位置是在AB上；
设乙再走y秒第二次追上甲，
根据题意，得5y－y＝8，解得y＝2，
所以乙再走2秒第二次追上甲，则乙第二次追上甲时的位置是在BC上；
同理，乙再走2秒第三次追上甲，则乙第三次追上甲时的位置是在CD上；
同理，乙再走2秒第四次追上甲，则乙第四次追上甲时的位置是在DA上；
所以乙第五次追上甲时的位置又回到AB上；
因为2 024÷4＝506，所以乙第2 024次追上甲时的位置是在AD上，故选A.
11．(海南儋州期末)某工厂车间有60名工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个(每人每天只能生产一种零件)，一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元．
(1)求该工厂有多少名工人生产A零件？
(2)因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
(1)设该工厂有x名工人生产A零件，则生产B零件有(60－x)名工人，
根据题意，得2×15x＝20(60－x)，
解得x＝24，
答：该工厂有24名工人生产A零件；
(2)由(1)，知生产B零件原有工人60－24＝36(名)，
设从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件．
依题意，可得(24＋y)×15×10＋(36－y)×20×5－(24×15×10＋36×20×5)＝600，
解得y＝12，
答：从生产B零件的工人中调出12名工人生产A零件．
12．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|＝10，a＋b＝80，ab＜0.
(1)求a、b的值；
(2)现有一动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．
①设两动点在数轴上的点C相遇，求点C表示的数；
②经过多长时间，两动点在数轴上相距20个单位长度？
(1)由|a|＝10得a＝－10或a＝10，因为ab＜0，且a＜b，所以a＜0，
所以a＝－10，而a＝10不符合题意，舍去，
因为a＋b＝80，所以b＝90，
答：a，b的值分别为－10，90.
(2)设运动的时间为t秒，
①根据题意，得－10＋3t＝90－2t，解得t＝20，
所以－10＋3×20＝50，答：点C表示的数是50.
②若点P与点Q在相遇前相距20个单位长度，则－10＋3t＋20＝90－2t，解得t＝16；
若点P与点Q在相遇后相距20个单位长度，则－10＋3t－20＝90－2t，解得t＝24，
答：经过16秒或24秒，两动点在数轴上相距20个单位长度．
13.(应用意识)制造企业有一座对生产设备进行水循环冷却的冷却塔，冷却塔的顶部有一个进水口，3小时恰好可以注满这座空塔，底部有一个出水口，7小时恰好可以放完满塔的水．为了保证安全，塔内剩余水量不得少于全塔水量的，出水口一直打开，保证水的循环，进水口根据水位情况定时对冷却塔进行补水．假设每次恰好在剩余水量为满水量的m倍时开始补水，补满后关闭进水口．
(1)当m＝时，请问：两次补水之间相隔多长时间？每次补水需要多长时间？
(2)能否找到适当的m值，使得两次补水的间隔时间和每次的补水时间一样长？如果能，请求出m值；如果不能，请你分析两次补水的间隔时间和每次的补水时间之间的数量关系，并表示出来．
(1)设两次补水之间相隔x小时，每次补水需要y小时，满塔水量记为1，进水速度为，出水速度为，
根据题意，得x＋＝1，解得x＝.
y－y＋＝1，解得y＝.
答：两次补水之间相隔小时，每次补水需要小时．
(2)因为两次补水间隔时间t1＝(1－m)÷＝7(1－m)小时，
每次的补水时间t2＝(1－m)÷(－)＝(1－m)小时，
所以t1≠t2，
即不能找到适当的m值，使得两次补水的间隔时间和每次的补水时间一样长．
因为＝，
所以两次补水的间隔时间和每次的补水时间之比为4∶3.
第4课时　一元一次方程的综合应用习题课
一、选择题
1．(海南屯昌县期末)下列方程中，是一元一次方程的是(C)
A.＝－1 B．x2＝4x＋5
C．8－x＝1 D．x＋y＝7
2．(海南文昌期末)下列变形错误的是(C)
A．若m＝n，则－3m＝－3n
B．若m＋2＝n＋2，则m＝n
C．若3x＝2，则x＝
D．若m＝－n，则m＋n＝0
3．方程－3(★－9)＝5x－1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝2，那么★处的数字是(A)
A．6 B．5
C．4 D．3
4．(海南琼海期末)若关于x的方程6x＋3a＝22和方程3x＋5＝11的解相同，那么a的值为(A)
A． B．
C．10 D．3
5．(河南南阳方城月考)《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？(注：步为长度单位)”设走路快的人要走x步才能追上，则正确的是(B)
A．依题意x＝100－x
B．依题意，得x＝100＋x
C．走路快的人要走200步才能追上
D．从走路快的人出发时开始算，当走路慢的人再走600步后，两人相隔400步
二、填空题
6．若－2x2m-3－5m＋1＝0是关于x的一元一次方程，则m＝2．
7．(海南海口期中)当m＝－时，式子3＋m与式子－2m＋1的值相等．
8．(海南定安县期末)某商品按定价的八折出售，售价14.8元，则原定价是18.5元．
9．设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算：＝ad－bc，则满足等式＝1的x的值为－10．
10．风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般分布在山顶、海上、草原等地．一套风力发电设备由一个风机塔筒和三个风机叶片组成．据了解，1吨碳纤维材料可以制作2个风机塔筒或4个风机叶片．现有75吨碳纤维材料，则用30吨碳纤维材料制作风机塔筒，才能使制作的风机塔筒和风机叶片刚好配套．
三、解答题
11．(海南海口龙华区期中)解方程：
(1)3x－4＝6－2x；(2)＝2－.
(1)3x－4＝6－2x，
移项、合并同类项，得5x＝10，
将系数化为1，得x＝2.
(2)＝2－，
去分母，得2(x－1)＝12－3(3x＋1)，
去括号，得2x－2＝12－9x－3，
移项、合并同类项，得11x＝11，
将系数化为1，得x＝1.
12．小彬家和小强家在同一条道路的路边，两家相距200 m，他们相约每天坚持晨跑．一天早晨，小彬与小强7：00同时从家出发沿着门前的道路向东匀速跑去，若小彬的速度为180 m/min，小强的速度为130 m/min，那么小彬用多长时间可以追上小强？
设小彬用x min追上小强，由题意，得
130x＋200＝180x.
解得x＝4.
答：小彬用4 min可以追上小强．
13．小明在解方程＝－1去分母时，方程右边的－1忘记乘以6，因而求得的解为x＝2，试求a的值，并正确解这个方程.
由小明的解法，可知去分母后的方程为：
2(2x－1)＝3(x＋a)－1，即x＝3a＋1，
因为x＝2，所以3a＋1＝2，解得a＝.
原方程去分母，得2(2x－1)＝3(x＋a)－6，
去括号，得4x－2＝3x＋3a－6，
移项，得4x－3x＝3a－6＋2，
合并同类项，得x＝3a－4，
把a＝代入，得x＝3×－4＝－3.
14．列方程解应用题：
我国元代数学家朱世杰所撰写的《算学启蒙》中有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”
译文：良马平均每天能跑240里，驽马平均每天能跑150里．现驽马出发12天后良马从同一地点出发沿同一路线追它，问良马多少天能够追上驽马？
设良马x天能够追上驽马．根据题意，得
240x＝150×(12＋x)，解得x＝20.
答：良马20天能够追上驽马．
15．采摘茶叶是茶农一项很繁重的劳动，利用单人便携式采茶机能大大提高生产效率．实践证明，一台采茶机每天可采茶60公斤，是人手工采摘的5倍，购买一台采茶机需2 400元．茶园雇人采摘茶叶，按每采摘1公斤茶叶m元的标准支付雇工工资，一个雇工手工采摘茶叶20天获得的全部工钱正好购买一台采茶机．
(1)求m的值；
(2)有两家茶叶种植户王家和顾家均雇人采摘茶叶，王家雇用的人数是顾家的2倍，王家所雇的人中有的人自带采茶机采摘，的人手工采摘，顾家所雇的人全部自带采茶机采摘．某一天，王家付给雇工的工资总额比顾家付给雇工的工资总额少600元，问顾家当天采摘了多少公斤茶叶？
(1)由题意，得×20×m＝2 400，
解得m＝10.
(2)设顾家雇了x人，则王家雇了2x人，其中人自带采茶机采摘，人手工采摘，
由题意，得60x×10＝×x×10＋60×x×10＋600，
解得x＝15，
所以顾家当天共采摘了15×60＝900(公斤).
答：顾家当天采摘了900公斤茶叶．

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