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5．2　解一元一次方程
1．等式的性质与方程的简单变形
第1课时　等式的性质与方程的简单变形
1．等式的性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个 或同一个 ，所得的结果仍是 ．
2．等式的性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为 )，所得结果仍是 ．
3．方程两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以(或都除以)同一个不等于 的数，方程的解不变．
考点1?　等式的性质
【典例1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是( )
A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么＝
D．如果＝，那么a＝b
(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2)等式的性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立；(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零.
【变式训练】
1．下列等式变形，正确的是( )
A．由1－2x＝6，得2x＝6－1
B．由－x＝8，得x＝4
C．由x－2＝y－2，得x＝y
D．由ax＝ay，得x＝y
考点2?　方程的变形规则
【典例2】下列根据等式的性质变形正确的是( B )
A．由＝2，得x＝1
B．由3(x－2)＝6，得x－2＝2
C．由x－2＝6，得x－2＋2＝6
D．由2x＋3＝x－1，得2x＋x＝－1－3
考查了等式的性质，性质1：等式两边加或减同一个数(或整式)结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【变式训练】
2．下列变形正确的是( )
A．4x－5＝3x＋2变形得4x－3x＝－2＋5
B．x－1＝x＋3变形得4x－1＝3x＋18
C．3(x－1)＝2(x＋3)变形得3x－1＝2x＋6
D．3x＝2变形得x＝
知识点1?　等式的基本性质
1．(海南临高县期末)根据等式的性质，下列变形错误的是( )
A.若a＝b，则a－1＝b－1
B．若＝，则a＝b
C．若a＝b，则－3a＝－3b
D．若ac＝bc，则a＝b
2．若等式x＝y可以变形为＝，则有( )
A．a＞0 B．a＜0
C．a≠0 D．a为任意有理数
3．用适当的数或式子填空．
(1)若2x＋5＝8，则2x＝8－ ；
(2)若5x＝－2x＋7，则5x＋ ＝7；
(3)若5x－1＝2x＋8，则5x－ ＝8＋ ．
知识点2?　方程的变形规则
4．由方程5x＝4x－2得x＝ ，依据是方程的变形规则 ，它是将方程两边 ．
5．用适当的数或整数填空，使变形后方程的解不变．
(1)4x－3＝5，则4x＝5 ．
(2)3x＝2＋2x，则3x ＝2.
6．在方程x＝3的两边 ，得到x＝9，依据是方程的变形规则 ，也可以根据方程的变形规则 ，在方程的两边同时乘以 ，得到x＝9.
易错易混点　等式的基本性质隐含条件挖掘不透彻致错
7．已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是( )
A．b＋ax＝b＋ay B．x＝y
C．x－ax＝x－ay D．＝
8．(广东深圳龙华区校级开学)2a＝3b(a、b为非0自然数)，根据等式的性质，下面的等式不成立的是( )
A．200a＝300b B．20a＝3b＋18a
C．4a＝9b D．12b＝8a
9．用适当的数或字母填空，使所得结果仍是等式，并在后面的括号内填上变形的根据．
(1)3x－2＝x，则2x＝ ( )；
(2)x＝9，则x＝ ( )；
(3)2πR＝2πr，则R＝ ( ).
10．(海南琼中县月考)如图，、、分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放 个．
11．已知x－3y＝2，则代数式－x＋3y＋5＝ ．
12．已知m－1＝n，试用等式的性质比较m与n的大小．
13.(推理能力)某同学在对一等式变形时得到了1＝－1的错误结果，可他又找不出原因，聪明的同学，你能帮他“诊断”吗？他的变形过程如下：
4x＝－6y，
等式两边都减去2x－3y，得4x－(2x－3y)＝－6y－(2x－3y)，
所以2x＋3y＝－3y－2x，
两边都除以(2x＋3y)，得＝，整理得1＝－1.
第2课时　解简单的方程
1．移项：在解方程的过程中，等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从方程的一边移到另一边．这种变形过程叫做 ．
2．移项与解一元一次方程的步骤
解一元一次 方程的步骤 注意事项
移项 移项要改变 ．(注意移项与加法交换律的区别)
合并同类项 应用合并同类项法则，注意系数的符号
系数化为1 前面的系数化为1作分母
考点1?　移项
【典例1】解方程5x－3＝2x＋2，移项正确的是( A )
A.5x－2x＝2＋3 B．5x＋2x＝2＋3
C．5x－2x＝2－3 D．5x＋2x＝2－3
移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项．
【变式训练】
1．(广东惠州龙门县期末)解方程x－3＝2x，正确的移项是 ．
考点2?　利用移项解简单的方程
【典例2】当x取何值时，代数式3x＋1与x－3的值互为相反数？
掌握互为相反数的两数之和为0是解决本题的关键．
【变式训练】
2．(山东聊城临清市月考)解方程：5－x＝4.
知识点1?　移项
1．(海南东方月考)方程5＋x＝0的解是( )
A.x＝5 B．x＝－5
C．x＝0 D．无解
2．下列方程变形中移项正确的是( )
A．从5x＝x－3得5x－x＝－3
B．从7＋x＝3得x＝3＋7
C．从2x＋3－x＝7得2x＋x＝7－3
D．从2x－3＝x＋6得2x＋x＝6＋3
知识点2?　系数化为1
3．下列变形正确的是( )
A．由＝3，得x＝3
B．由＝6，得x＝1
C．由2y＝3，得y＝
D．由x－4＝－1，得x＝5
知识点3?　用移项和系数化为1法解方程
4．(海南东方二模)若代数式m－3的值是7，则m等于( )
A．10 B．－10 C．4 D．－4
5．已知关于x的方程2x＋3a－10＝0的解是x＝2，则a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(海南东方校级月考)若a、b互为相反数，则关于x的一元一次方程2x－4＋b＋a＝0的解是 ．
易错易混点　移项变号失误导致错误
7．解方程：2x＋2－3x＋6＝4＋x.
8．(海南海口期末)已知y＝kx＋3，当x＝－4时，y＝1，则k的值为( )
A．－1 B．1 C．－ D．
9．(海南临高县期末)如果方程2x＝4与方程3x＋k＝－1的解相同，则k的值为( )
A．－7 B．－3 C．3 D．7
10．(海南琼海期中)若x＝2是关于x的一元一次方程mx－n＝3的解，则4m－2n的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知ax+1b4与9a2x-1b4是同类项，求x的值.
12．(海南文昌期末)解下列方程：
(1)5x＋2＝3x＋6；
(2)x－4＝1.2.
13．规定一种运算“?”，若a?b＝a－b，求方程x?2＝1?x的解.
14．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝2a＋b，则称该方程为“合并式方程”．例如：2x＝－8的解为x＝－4，又－4＝2×2＋(－8)，所以2x＝－8是合并式方程．
(1)请判断x＝1是不是合并式方程并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程3x＝m＋1是合并式方程，求m的值．
15.(创新意识)如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x－3＝0是方程x－2＝0的后移方程．
(1)请判断方程2x＋3＝0是否为方程 2x＋5＝0的后移方程 ．(填“是”或“否”)；
(2)若关于x的方程3x＋m＋n＝0是关于x的方程3x＋m＝0的后移方程，求n的值.5．2　解一元一次方程
1．等式的性质与方程的简单变形
第1课时　等式的性质与方程的简单变形
1．等式的性质1：等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
2．等式的性质2：等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
3．方程两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，方程的解不变．方程两边都乘以(或都除以)同一个不等于0的数，方程的解不变．
考点1?　等式的性质
【典例1】下列运用等式性质进行的变形，正确的是( D )
A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c
B．如果a2＝3a，那么a＝3
C．如果a＝b，那么＝
D．如果＝，那么a＝b
解析：A.当a＝b时，a＋c＝b＋c，故A错误；B.当a＝0时，此时a≠3，故B错误；C.当c＝0时，此时与无意义，故C错误；故选D.
(1)根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2)等式的性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立；(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零.
【变式训练】
1．下列等式变形，正确的是(C)
A．由1－2x＝6，得2x＝6－1
B．由－x＝8，得x＝4
C．由x－2＝y－2，得x＝y
D．由ax＝ay，得x＝y
考点2?　方程的变形规则
【典例2】下列根据等式的性质变形正确的是( B )
A．由＝2，得x＝1
B．由3(x－2)＝6，得x－2＝2
C．由x－2＝6，得x－2＋2＝6
D．由2x＋3＝x－1，得2x＋x＝－1－3
解析：A.由＝2，得x＝4，所以A选项不符合题意；B.由3(x－2)＝6，得x－2＝2，所以B选项符合题意；C.由x－2＝6，得x－2＋2＝6＋2，所以C选项不符合题意；D.由2x＋3＝x－1，得2x－x＝－1－3，所以D选项不符合题意；故选B.
考查了等式的性质，性质1：等式两边加或减同一个数(或整式)结果仍得等式；性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【变式训练】
2．下列变形正确的是(D)
A．4x－5＝3x＋2变形得4x－3x＝－2＋5
B．x－1＝x＋3变形得4x－1＝3x＋18
C．3(x－1)＝2(x＋3)变形得3x－1＝2x＋6
D．3x＝2变形得x＝
知识点1?　等式的基本性质
1．(海南临高县期末)根据等式的性质，下列变形错误的是(D)
A.若a＝b，则a－1＝b－1
B．若＝，则a＝b
C．若a＝b，则－3a＝－3b
D．若ac＝bc，则a＝b
2．若等式x＝y可以变形为＝，则有(C)
A．a＞0 B．a＜0
C．a≠0 D．a为任意有理数
3．用适当的数或式子填空．
(1)若2x＋5＝8，则2x＝8－5；
(2)若5x＝－2x＋7，则5x＋2x＝7；
(3)若5x－1＝2x＋8，则5x－2x＝8＋1．
知识点2?　方程的变形规则
4．由方程5x＝4x－2得x＝－2，依据是方程的变形规则1，它是将方程两边同时减去4x．
5．用适当的数或整数填空，使变形后方程的解不变．
(1)4x－3＝5，则4x＝5＋3．
(2)3x＝2＋2x，则3x－2x＝2.
6．在方程x＝3的两边同时除以，得到x＝9，依据是方程的变形规则2，也可以根据方程的变形规则2，在方程的两边同时乘以3，得到x＝9.
易错易混点　等式的基本性质隐含条件挖掘不透彻致错
7．已知ax＝ay，下列等式变形不一定成立的是(B)
A．b＋ax＝b＋ay B．x＝y
C．x－ax＝x－ay D．＝
8．(广东深圳龙华区校级开学)2a＝3b(a、b为非0自然数)，根据等式的性质，下面的等式不成立的是(C)
A．200a＝300b B．20a＝3b＋18a
C．4a＝9b D．12b＝8a
9．用适当的数或字母填空，使所得结果仍是等式，并在后面的括号内填上变形的根据．
(1)3x－2＝x，则2x＝2(等式的性质1)；
(2)x＝9，则x＝45(等式的性质2)；
(3)2πR＝2πr，则R＝r(等式的性质2).
10．(海南琼中县月考)如图，、、分别表示三种不同的物体，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右边应放5个．
由题意知，在第二个天平两边都加入一个，对比第一个天平即可得出＝，把第二个天平中的换成，则＝，所以＝，故答案为5.
11．已知x－3y＝2，则代数式－x＋3y＋5＝3．
因为－x＋3y＋5＝－(x－3y)＋5，所以当x－3y＝2时，原式＝－2＋5＝3.
12．已知m－1＝n，试用等式的性质比较m与n的大小．
根据等式性质2，在等式两边都乘以4，得3m－4＝3n，再根据等式性质1，在等式两边都减去3n，同时加上4，得3m－3n＝4，整理得3(m－n)＝4，在等式两边都除以3，得m－n＝，所以m－n＞0，则m＞n.
13.(推理能力)某同学在对一等式变形时得到了1＝－1的错误结果，可他又找不出原因，聪明的同学，你能帮他“诊断”吗？他的变形过程如下：
4x＝－6y，
等式两边都减去2x－3y，得4x－(2x－3y)＝－6y－(2x－3y)，
所以2x＋3y＝－3y－2x，
两边都除以(2x＋3y)，得＝，整理得1＝－1.
在变形的过程中，同时除以(2x＋3y)时，没有考虑其值是否为0，因此得到了1＝－1的错误结果．
第2课时　解简单的方程
1．移项：在解方程的过程中，等号的两边加上(或减去)方程中某一项的变形过程，相当于将这一项改变符号后，从方程的一边移到另一边．这种变形过程叫做移项．
2．移项与解一元一次方程的步骤
解一元一次 方程的步骤 注意事项
移项 移项要改变符号．(注意移项与加法交换律的区别)
合并同类项 应用合并同类项法则，注意系数的符号
系数化为1 未知数前面的系数化为1作分母
考点1?　移项
【典例1】解方程5x－3＝2x＋2，移项正确的是( A )
A.5x－2x＝2＋3 B．5x＋2x＝2＋3
C．5x－2x＝2－3 D．5x＋2x＝2－3
解析：移项，得5x－2x＝2＋3，故选A.
移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项．
【变式训练】
1．(广东惠州龙门县期末)解方程x－3＝2x，正确的移项是x－2x＝3．
考点2?　利用移项解简单的方程
【典例2】当x取何值时，代数式3x＋1与x－3的值互为相反数？
解：∵代数式3x＋1与x－3的值互为相反数，
∴3x＋1＋x－3＝0，
∴3x＋x＝－1＋3，∴4x＝2，∴x＝.
掌握互为相反数的两数之和为0是解决本题的关键．
【变式训练】
2．(山东聊城临清市月考)解方程：5－x＝4.
解：移项，得－x＝4－5，
合并同类项，得－x＝－1，系数化为1，得x＝4.
知识点1?　移项
1．(海南东方月考)方程5＋x＝0的解是(B)
A.x＝5 B．x＝－5
C．x＝0 D．无解
2．下列方程变形中移项正确的是(A)
A．从5x＝x－3得5x－x＝－3
B．从7＋x＝3得x＝3＋7
C．从2x＋3－x＝7得2x＋x＝7－3
D．从2x－3＝x＋6得2x＋x＝6＋3
知识点2?　系数化为1
3．下列变形正确的是(C)
A．由＝3，得x＝3
B．由＝6，得x＝1
C．由2y＝3，得y＝
D．由x－4＝－1，得x＝5
知识点3?　用移项和系数化为1法解方程
4．(海南东方二模)若代数式m－3的值是7，则m等于(A)
A．10 B．－10 C．4 D．－4
5．已知关于x的方程2x＋3a－10＝0的解是x＝2，则a的值为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(海南东方校级月考)若a、b互为相反数，则关于x的一元一次方程2x－4＋b＋a＝0的解是x＝2．
易错易混点　移项变号失误导致错误
7．解方程：2x＋2－3x＋6＝4＋x.
移项，得2x－3x－x＝4－2－6，
合并同类项，得－2x＝－4，
系数化为1，得x＝2.
8．(海南海口期末)已知y＝kx＋3，当x＝－4时，y＝1，则k的值为(D)
A．－1 B．1 C．－ D．
9．(海南临高县期末)如果方程2x＝4与方程3x＋k＝－1的解相同，则k的值为(A)
A．－7 B．－3 C．3 D．7
10．(海南琼海期中)若x＝2是关于x的一元一次方程mx－n＝3的解，则4m－2n的值为(C)
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知ax+1b4与9a2x-1b4是同类项，求x的值.
因为ax+1b4与9a2x-1b4是同类项，所以x＋1＝2x－1，解这个方程，得x＝2.
12．(海南文昌期末)解下列方程：
(1)5x＋2＝3x＋6；
(2)x－4＝1.2.
(1)移项，得5x－3x＝6－2，合并同类项，得2x＝4，系数化为1，得x＝2；
(2)移项，得x＝1.2＋4，
合并同类项，得x＝5.2，
系数化为1，得x＝26.
13．规定一种运算“?”，若a?b＝a－b，求方程x?2＝1?x的解.
x?2＝1?x，
x－×2＝×1－x，
x－＝－x，
x＋x＝＋，
x＝，
x＝，
即方程x?2＝1?x的解是x＝.
14．我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝2a＋b，则称该方程为“合并式方程”．例如：2x＝－8的解为x＝－4，又－4＝2×2＋(－8)，所以2x＝－8是合并式方程．
(1)请判断x＝1是不是合并式方程并说明理由；
(2)若关于x的一元一次方程3x＝m＋1是合并式方程，求m的值．
(1)x＝1是“合并式方程”．理由如下：由x＝1，得x＝2.
因为2＝×2＋1，所以x＝1是“合并式方程”．
(2)解3x＝m＋1，得x＝.
因为关于x的一元一次方程3x＝m＋1是合并式方程，
所以＝2×3＋m＋1.所以m＝－10.
15.(创新意识)如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x－3＝0是方程x－2＝0的后移方程．
(1)请判断方程2x＋3＝0是否为方程 2x＋5＝0的后移方程是．(填“是”或“否”)；
(2)若关于x的方程3x＋m＋n＝0是关于x的方程3x＋m＝0的后移方程，求n的值.
(1)解方程2x＋3＝0得x＝－，解方程 2x＋5＝0得x＝－，
因为－－(－)＝－＋＝1，所以方程2x＋3＝0是方程2x＋5＝0的后移方程．故答案为是．
(2)解方程3x＋m＋n＝0得x＝，解方程3x＋m＝0得x＝－，
因为关于x的方程3x＋m＋n＝0是关于x的方程3x＋m＝0的后移方程，
所以－(－)＝1，所以－＝1，所以n＝－3.

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