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山东青岛市2026届高三年级第二次适应性检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某高中一、二、三年级的学生人数分别为，，，为了解学生视力情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则抽取高三学生的人数为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知直线与曲线相切，则的值为( )
A. B. C. D.
4.以等腰直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该几何体体积为，则其侧面积为( )
A. B. C. D.
5.部分传统家用电器如冰箱等使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则( )
A. 随着时间的增加，臭氧含量在增加
B. 当从变化到时，臭氧含量减少
C. 当从变化到时，臭氧含量的平均变化率为
D. 当时，臭氧含量的瞬时变化率为
6.在中，角所对的边分别为，，，则边上的高为( )
A. B. C. D.
7.过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设随机变量的分布列为，，，，，且，则( )
A. 数列是等比数列 B.
C. 数列前项之和为 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则( )
A. B. 直线是曲线的对称轴
C. 在区间单调递增 D. 函数是奇函数
10.已知曲线，点是上一点，则( )
A. 关于原点对称 B. 直线与曲线有且仅有两个交点
C. 到原点的距离可以为 D. 到原点的距离最大值为
11.如图，正八面体中，记侧面为，侧面为，侧面为，若质点从出发，每次等可能地移动到共享一条棱的相邻表面，则( )
A. 质点移动次后返回到的概率为
B. 质点移动次后到达的路径有种
C. 质点移动次后到达的概率为
D. 已知质点移动次后经过的次数为，则第次到达的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为 用数字作答
13.已知角的终边不重合，且，则 ．
14.已知平面内两点，与交于点若，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着新能源产业的快速发展，某新能源车企凭借技术创新与市场扩张，实现近年利润持续增长，其利润情况如下表所示单位：亿元．
第年
利润亿元
建立关于的一元线性回归模型，求出其经验回归方程，并预测该新能源车企第年的利润；
若用另一个非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为，根据残差平方和的值，分析该非线性经验回归方程与所求的线性经验回归方程哪一个拟合效果更好，并说明理由．
参考公式和数据：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
16.本小题分
设抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，，在第一象限，点，为的重心，，与轴的交点分别为，当的斜率为时，到的距离为．
求的方程
若的面积与的面积之比为，求的方程．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，过的截面交于，交于，过点的截面交于，交于，且．
求证：；
若，，直线与平面所成角的正弦值为，求．
18.本小题分
已知函数的定义域为对于正实数，定义集合．
若，求集合；
若，且集合中有个元素，求实数的取值范围；
是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由．
19.本小题分
若数列满足：，则称为“数列”．
已知，判断数列是否为“数列”；
已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足证明：；
若数列为“数列”，，且满足证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由表格数据可得，
又，
所以，
所以，则回归方程为，
当时，，
即该新能源车企第年的利润的估计值为亿元．
记中线性回归方程的残差平方和为，
则，
因为，所以中所求的线性经验回归方程拟合效果更好．

16.
由题意得，抛物线的焦点。
当直线的斜率为时，直线的方程为，即。
焦点到直线的距离。
已知，则，解得。
故抛物线的方程为。
设，，，，因为为的重心，
所以，，
因为的面积与的面积之比为，即，
所以
，
设直线的方程为，
与 联立得：，
，，，，
代入得，，解得，
因为，，所以。
所以直线的方程为，即
17.解：三棱柱中，平面平面，
截面平面，截面平面，
由面面平行的性质定理得，
又，截面与平面分别交于，
，
由平行公理，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故．
已知，，
以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴，
建立下图所示空间直角坐标系，
则，设，则
，
由三棱柱的性质得，
，
设，，，则，
，
，
设平面的法向量为，
则
令，则，
，设直线与平面所成角为，
，
化简整理得，解得，
，故．

18.解：由题意，若，
则，
即，
所以或，
所以或，
所以或．
设，
当时，，所以，
，
所以在上无解；
当时，，
整理得，因为，
所以在实数范围内有两个不相等的实数解为，
又因为，
所以在上最多有两个解．
当时，，所以，
由得，
令，所以，
令即，解得，
易知在单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递增，
所以，
而，
此时在上最多有两个解，
为了满足集合中有个元素，
所以在上有两解且在上有一个解，
或者在上有一个解且在上有两个解，
所以或或，
分别解得或或无解，
综上，的取值范围是或．
存在．
证明：．

19.解：已知，则
，
当时，，即，满足定义，
数列是“数列”．
已知数列为“数列”，则，
变形可得，令，则单调递增，
已知任意不相等的正整数满足，
不妨设，
则，，
单调递增，则，
，即，
，命题得证．
由定义得，数列递增，
若存在使得，则持续递增，
，时，与矛盾，
，即；
设，则单调递减，
对任意有，，
，
，
结合可得，
，
，
，
解得，故，
综上可得，．

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