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2026年天津市部分区高考数学质检试卷（二）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为( )
A.
B.
C.
D.
4.设为等差数列，为其前项和，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两条直线，，是两个平面下列命题正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6.下列结论中正确的是( )
A. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
B. 若随机变量服从正态分布，且，则
C. 若，，，则
D. 多选题的正确答案可能是所提供选项中的一个或多个，一道有个选项的多选题的答案种数可能有个
7.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
8.把函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
9.如图，阴影部分的边界为四叶草曲线，该曲线由顶点在原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线围成，且这四条抛物线的焦点共圆记轴上的两个焦点为，，在第一象限端点为，若点在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位， ．
11.的展开式中，的系数为______．
12.若过点的直线与圆只有一个公共点，则的斜率为 ．
13.甲、乙两名同学参加汉语听写比赛，每次由其中一人听写，规则如下：若听写正确则此人继续听写，若未听写正确则换对方听写无论之前听写情况如何，甲每次听写的正确率均为，乙每次听写的正确率均为若第次听写的人是甲，则第次甲听写错误且第次乙听写正确的概率为 ；若第次听写的人是甲、乙的概率各为，则第次听写的人是甲的概率为 ．
14.在平行四边形中，，，，，，点在线段上若，则 ；的最小值为 ．
15.设，函数若关于的方程恰有一个根，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求的值；
Ⅲ求的值．
17.本小题分
如图，多面体是直四棱柱被平面所截剩余的较大部分，其中正方形的边长为，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ若点在线段上，且，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点已知的面积为．
Ⅰ求椭圆的离心率；
Ⅱ已知直线：与椭圆相切，过点的直线与椭圆交于，两点，过点，做的垂线，垂足分别为，两点两点不重合记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列：，，，的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为．
Ⅰ若数列：，，，，求集合；
Ⅱ已知为正项等比数列，，是与的等差中项．
求；
令，求．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ证明：；
Ⅲ证明：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.

15.
16.
17.证明：补全直四棱柱，则底面是边长为的正方形，连接，
则，
由直四棱柱的性质可知，平面，平面，
，
直四棱柱中，，
又，，平面，
平面
18.．

19.；
；

20. 证明：由函数，
要证，，，
只需证，
令，，
，
易知时，，故在区间上单调递增，
当时，令，
可得，
因为，可得，，
所以，在递增，又由，
此时，即，
故在区间上单调递减，
所以，即 证明：由Ⅱ知，当时，，
令，则，
即，
可得，
所以，
又由对数的运算性质，可得，
所以对于任意正整数，总有
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