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河南省许昌市襄城县名校联考2025-2026学年高三下学期4月期中
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，质数，则( )
A. B. C. D.
2.虚数满足等式是( )
A. B. C. D.
3.若，则下列不等式不成立的是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中为真命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.已知抛物线的焦点为，点是上的一点，到直线的距离是到的准线距离的倍，且，则( )
A. B. C. D.
6.若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是( )
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数
8.已知为无穷递增数列，为递减数列，则下列选项中正确的是( )
A. ，使得
B. ，都有
C. ，都有
D. ，使得
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列论述正确的是( )
A. 已知随机变量，则
B. 数据，，，，，，，的下四分位数为
C. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近，线性相关程度越强
D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中 表示概率值所对应的临界值
10.若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是( )
A. 是函数的一个下界
B. 函数有下界，无上界
C. 函数有下界，无上界
D. 函数有界
11.已知双曲线，，为的左、右焦点，点，，过作实轴的垂线与从下到上依次交于，两点，线段与的虚轴长相等．则( )
A. 双曲线的离心率
B. 以为直径的圆与的渐近线相切
C. 若点是上任意一点，则直线，的斜率之积的范围是
D. 若点是上任意一点，分别与，交于点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调减区间是 ．
13.已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为 ．
14.如图，已知正四棱锥中，在平面内，正四棱锥可绕着任意旋转，平面若，则正四棱锥在平面内的投影面积的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角的对边分别为．
若，求角；
若的面积为，且为锐角，求的值．
16.本小题分
如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点．
当时，证明：平面；
若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小．
17.本小题分
人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧某科技公司计划开发三款不同的大语言模型，，每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布已知，，三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为．
求，，三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
若已知，，三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；
经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，，，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望．
18.本小题分
若函数在开区间内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为内的“缘分函数”．
判断是否为内的“缘分函数”，并说明理由
若为内的“缘分函数”，求实数的取值范围
证明：不是内的“缘分函数”
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值．
求椭圆的标准方程；
过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在点，之间．
求的取值范围；
若为椭圆上一点，且，求四边形的面积．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，所以，，
由，得，
因为，所以，所以；
因为的面积为，所以，
因为，所以，解得，
因为为锐角，所以，
所以，所以．

16.解：在直棱柱中，令，则是的中点，
由，，得是的中点，而点为的中点，则，
即，而平面，平面，
平面．
分别取，的中点，，
则。
又平面，
平面，由，得，则直线，，两两垂直，
以点为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
令，，
则，，，，，，，，，
设平面与平面的法向量分别为，，
则
令，得，
令，得，
由平面与平面所成角的余弦值为，
得，
解得或，
由是锐角三角形，得，即，则，即，
又，则，
而，因此，
异面直线与所成的角为．

17. 的分布列为：

18.解：不是．
理由如下：
由，得，
若是内的“缘分函数”，
则，即有两个不相等的正根，
但的两根分别为和，故不成立，
即不是区间内的“缘分函数”；
由，得，
若为内的“缘分函数”，
则，
即在区间内有两个不相等的实数根，
也即直线与函数有两个公共点，且两个公共点的横坐标均在区间内，
由在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，
当时，
当时，，
若有两个交点，则的取值范围为，
即的取值范围为．
证明：由，得，
若是内的“缘分函数”，
则在内有个不相等的实数根．
令，，
则，，
令，，
则在上单调递增，，，
故存在，使得，即，
则在上，，即，故单调递减
在上，，即，故单调递增，
故，
又，故，，
故，
故只有一个正实数根，
即在内只有一个实数根，
所以不是内的“缘分函数”
19. ；
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