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2025-2026学年安徽省合肥市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.书架上层放有本不同的数学书，下层放有本不同的语文书从书架上任取数学书和语文书各本，不同的选取方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A. B. C. D.
3.一包装箱内有件产品，其中有件合格品现从中随机取出件，设取出的件产品中有件合格品，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.某次考试有人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在之间的考生约有参考数据：若，则有，，
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
6.已知点在直线：上移动，椭圆以和为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
7.某学校有，两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐如果某天去餐厅，那么第天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第天还去餐厅的概率为若张同学第天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第天去餐厅用餐的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个阶的杨辉三角，则下列说法正确的是( )
A.
B. 第行所有数字之和为
C. 第行的第个数最大
D. 第行中从左到右第个数与倒数第个数之比为：
10.已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，过的直线交于，两点，交的准线于点若，则下列说法中正确的有( )
A. 抛物线的方程为： B.
C. D. 的面积为
11.数的进制是人们利用符号来计数的方法我们在日常生活中习惯于采用十进制计数与运算，但是在其它领域中，其它进制计数方式也应用广泛，例如计算机处理数据时，采用的就是二进制方法二进制数是用和表示的数，它的基数为，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”若十进制数，其中，，则对应的二进制数为以下说法正确的是( )
A. 十进制数用二进制表示为
B. 满足，，，，中有且只有个的所有二进制数对应的十进制数的和为
C. 将对应的二进制数中的个数记为，则
D. 将对应的二进制数中的个数记为，令，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 ．
13.已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴、轴分别相交于，两点，且，，则的方程为______．
14.某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
求函数在区间上的最大值与最小值．
16.本小题分
为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了名学生进行调查，统计其每周整理错题时长单位：小时及期末数学成绩，按照“整理错题时长小时”和“整理错题时长小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于分满分分分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表：
成绩优秀 成绩一般 合计
时长充足组
时长不足组
合计
同时，从样本中随机选取名学生，记录其每周整理错题时长记为变量，单位：小时与对应数学成绩记为变量，单位：分，得到如下数据：
学生编号
根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？
请你结合第问得出的独立性检验结论，根据选取的组数据，建立关于的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为小时，其数学成绩大约为多少分？
参考数据与公式：．
经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
17.本小题分
已知函数．
若在上存在极小值，求实数的取值范围；
讨论在上的零点个数．
18.本小题分
如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔等可能地向左或向右移动一个单位设移动次后质点位于位置．
若，求的值；
若，求和的值；
已知移动次后，求质点在这次移动中，前次移动后质点位于的概率．
19.本小题分
元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下：
游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖．
现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为．
当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望；
当且时，求甲同学获奖的概率用含的表达式表示；
记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.单调递增区间是：和，单调减区间是： 最小值为，最大值为
16.能认为有关联 经验回归方程为，预测数学成绩约为分
17.；
当或时，在上无零点；
当或时，在上有个零点；
当时，在上有个零点．
18.；
，；
．
19.
期望为
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