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5.10 定时练习
A卷（100分）
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题 4分，共 40分）
1．下列方程中是关于 x的一元二次方程的是
A． x2 = 1 B． ax2 + bx + c = 0 （其中 a、 b、 c是常数）
2 1
C． x + 5 = 0 D． (x 2)(x 3) = x2 1
x
2．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． （笛卡尔爱心曲线） B． （蝴蝶曲线）
C． （费马螺线曲线） D． （科赫曲线）
2x
3．如果把分式 中的 x和 y都扩大 3 倍，那么分式的值
x2 y2
1
A．缩小到原来的 B．扩大 3 倍
3
1
C．不变 D．缩小到原来的
9
4．已知m为实数， 2P = 2m 5，Q = m 1，则 P与Q的大小关系为
A． P Q B． P Q C． P Q D． P Q
5．在四边形 ABCD中，若点 E，F 为对角线 AC上两点（不与 A，C重合），且 AE =CF，则下列说法中
不正确的是
A．若四边形 ABCD为平行四边形，则四边形 BEDF一定为平行四边形
B．若四边形 ABCD为矩形，则四边形 BEDF一定为矩形
C．若四边形 ABCD为菱形，则四边形 BEDF一定为菱形
D．若四边形 ABCD为正方形，则四边形 BEDF一定不是正方形
6．如图，已知长方形纸条 ABCD，点 E、G在 AD边上，点 F 、H 在 BC边上．将
纸条分别沿着 EF 、GH 折叠，如图，当DC恰好落在 EA 上时， 1与 2 的
数量关系是
A． 1+ 2 =135 B． 2 1=15 C． 1+ 2 = 90 D． 2 1= 90
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7．今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？
（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共 3 丈 (1丈 =10尺），它们各自的价值都是 896 文钱．已
知绫和罗各 1 尺总共值 120 文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有 x尺，根据题意可列方程为
896 896 896 896
A． + =120 B． + = 30
3 x x 120 x x
896 896 896 896
C． + =120 D． + = 3
30 x x 120 x x
8．如图，△ ABC中D、E分别是 AB、AC的中点，F 是DE上一点，AF ⊥CF ，
若 BC =16，DF = 2，则边 AC的长是
A．14 B．13 C．12 D．11
9．如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC， BD交于点O，DE ⊥ AB于点 E，
F 是线段 AD的中点，连接OF ．若OA = 8，OF = 5，则DE的长为
48 36 24
A． B． C． 6 D．
5 5 5
10．（多选）已知 a，b是关于 x的一元二次方程 x2 6x n +1= 0 的两个根，若a，b，5为等腰三角形
的边长，则 n的值为
A． 8 B． 4 C．4 D．8
二、填空题：（本大题 4个小题，每小题 4分，共 16分）
11．若八边形的内角中有一个角为 80°，则其余七个内角度数之和为 ．
1 1
12．已知 x + y =1 x2 2，那么 + xy + y 的值为 ．
2 2
13．如图，在平行四边形 ABCD中，AC＝2AB＝8，AE⊥BD于点 E，点 F为 BC中点，则 EF的长度为 ．
2
14．已知一元二次方程mx 6x + 3 = 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
三、解答题：（共 5个小题，15，16，17题各 8分，18题 10分，19题 10分，共 44分）
4x 3(x 1)

15．（1）解不等式组： 2x +1 ； （2）解方程： 2x
2 5x + 2 = 0．
x
3
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x3 25x 4 1
16．先化简，再求值： ( x 4) ，其中 x = ( ) 2 7 ．
x2 + 2x +1 x +1 3
17．如图，在 ABCD中，连接对角线 BD．
（1）用尺规完成以下基本作图：作 BD的垂直平分线，垂足为O，交于 AD点 E，交 BC于点 F ；
（2）在（1）所作的图形中，求证： AE =CF，请完成下面的证明过程．
证明： EF垂直平分 BD
BOF = EOD = 90 ， ①
四边形 ABCD是平行四边形
AD = BC， ②
EDB = FBO
在△ EOD与△ FOB中
EOD = BOF

OD =OB

EDB = FBO
△ EOD≌△ FOB(ASA)
③
AD DE = BC BF
AE =CF
通过进一步探究发现：经过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交将平行四边形分
为两个四边形，这两个四边形的面积以及周长都 ④ ．
18．为迎接 2025 年重庆市青少年信息素养科普创新系列活动，开心中学特开展了“提升信息素养，智领科
创未来”的科普讲座，并举行信息知识挑战赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取 20 名学生的成
绩进行统计、整理和分析（成绩得分用 x表示，共分为四个组 A : 90 x 100，B :80 x 90，C : 70 x 80 ，
D : x 70，得分在 90 分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级 20 名学生在挑战赛中的比赛成绩为：99，97，94，92，92，92，92，91，90，83，83，82，81，
80，77，75，74，71，69，66．
八年级 20 名学生在挑战赛中的比赛成绩在 B组的数据为：81，82，80，86，82，84，88．
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七、八年级选取的学生比赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 84 83 a 45%
八年级 84 b 91 m%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a = ，b = ，m = ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在挑战赛中，哪个年级学生对“信息知识”的了解情
况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共有 1200 名学生参加了此次信息知识挑战赛，请估计该校七、八年级学生在此
次比赛中，比赛成绩为优秀的学生总人数．
19．某工程指挥部，要对某路段工程进行施工，现有甲、乙两个工程队，已知甲队单独完成这项工程所需
2
天数是乙单独完成这项工程所需天数的 ；若由甲队先做 20 天，剩下的工程再由甲、乙两队合作 24
3
天可以完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为 0.8 万元，乙队每天的施工费用为 0.6 万元，该工程的工程预算款不
超过 50 万元，工程期限要求不超过 40 天，在施工中，由于乙队先有其他任务需要完成，先由甲
队独立施工了若干天，然后由甲、乙两队合作完成余下的工程，问此项工程能否在计划的工期和
工程预算下顺利完工？若能求出甲先独立完成的天数，若不能说明理由．
B卷（共 50分）
四、选择题：（本大题共 2个小题，每小题 4分，共 8分）
20．如图，在 ABCD中，∠ABC＝120°，∠BDC＝75°，AB＝2，E为 AD上一
点，且 AB=AE，连接 CE，则 CE的长度为
A． 3 B． 6 C． 2 3 D． 6 +1
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21．(多选)如图，在正方形 ABCD中，E，F分别为 AB，AD边上的
点，且 AE＝AF，连接 DE，BF，AH⊥BF于点 H，交 BD于点
P，交 DC于点 N，PQ⊥DE交 DE于点 Q，交 BF于点 K，交
AD于点M，下列结论正确的是
A．∠QMF＝∠HFM
B．AM＝DF
C．AP+PK＝BK
D．F点在 AD边上移动时，总有 S△ABH＝S 四边形 FHPD
五、填空题：（本大题共 3个小题，每小题 4分，共 12分）
2x a 1
ay + 4 y + 6
22．若关于 x的不等式组 x +1 2x 有且只有两个偶数解，且关于 y的分式方程 = 2 有解，
1 y 2 2 y
2 3
则所有满足条件的整数 a的和是 ．
23．在矩形 ABCD中，AB＝5，BC＝3，点 E为 BC上一点，连接 DE，如图，将矩形沿 DE翻折到矩形
所在平面，点 A落在点 A′处，点 B落在点 B′处，且 A′B′刚好经过点 C，继续将△A′DC沿
DC向下翻折到矩形所在平面，点 A′落在点 A″处，连接 A″E，则 S△A''DE为 ．
24．如果一个四位自然数 abcd的各数位上的数字互不相等且 ab≠0，并满足 a + d = bc，那么称这个四位
数为“长寿数”，例如：四位数 4128，∵4+8＝12，∴4128 是“长寿数”；又如四位数 7143，∵7+3≠
14，∴7143 不是“长寿数”，则最小的“长寿数”是 ；已知“长寿数”M＝ abcd（其中 a≥3），
将 M的千位数字与百位数字的和记为 P（M），个位数字与十位数字的差记为 Q（M），若M能被 14
P(M )
整除，则满足条件的 的最小值为 ．
Q(M )
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六、解答题：（本大题共 3个小题，每题 10分，共 30分）
25．如图，在等腰△ABC中， AB = AC = 5，BC = 8，点D为边BC上的中点，连接 AD，点P从点
D出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿D→ A→ B方向运动，到达点B时停止运动．设点P运动的
时间为 x秒（0 x 8），△BPC的面积为 y．
（1）请直接写出 y关于 x的函数表达式，并注明自变量 x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出△BPC的面积小于或等于 4 时， x的取值范围．（近似数保留小数点后一
位，误差不超过 0.2）
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26．如图 1，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y = kx + b(k 0) 与 x轴， y轴分别交于点 A， B两点，
一次函数 y = x 1与 x轴，y轴分别交于点D，E两点，两直线相交于点C，已知 AD = 4OD，OA = 2OB．
（1）求直线 AB的函数表达式；
（2）如图 2，过点H ( 3,0)作平行于 y轴的直线交直线 AB于点 F ，交直线CD于点G，连接 BG，
DF．点 P是直线CD上一动点，设△CFP的面积为 S1 ，△ BCG的面积为 S2 ，若 S1 = S2 ，求出
点 P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q是直线 FD上一动点，是否存在动点Q，使得 CGQ + BAO = ADC，
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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27．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别为 BC上两动点，BD＝CE．
（1）如图 1，若 EH⊥AD于 H交 AB于 K，求证：AE＝EK；
（2）如图 2，若 EF∥AD交 AC于 F，GF⊥AG，AG＝GF，求证： AD + EF = 2CG；
1
（3）如图 3，若 AB＝4，将 AE绕点 E顺时针旋转 90°得 EM，N为 BM中点，当 AN + AM 取得最小
2
值时，请直接写出△ACD的面积．
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