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(共32张PPT)
第23章 一次函数
23.3一次函数与方程 （组）、不等式
（人教版）八年级
下
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
会根据一次函数的图象解释一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
和二元一次方程（组）的关系，增强几何直观。
经历用函数图象表示方程、不等式解（集）的过程，进一步体会“以形
表示数，以数解释形”的数形结合思想
02
章节导入
现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．例如，在匀速直线运动中，任意相同时间的变化都会引起相同路程的变化，即路程随时间均匀变化．像这样，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在．例如，高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路程s随时间t的变化；一年期存款到期时在计算本息和的过程中，本息和y随本金x的变化；登山队员在攀登高峰的过程中，所在位置的气温y随海拔x的变化；等等．
在本章中，我们将学习刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函数——一次函数．通过具体问题体会一次函数的意义，结合其图象讨论它的性质，体会其在解决运动变化问题中的作用．在此基础上，还将从一次函数的角度再次认识一次方程和不等式，并用一次函数解决一些实际问题．
02
新知导入
数数去超市买水果，苹果每斤5元. 假设他买了 x 斤，总价 y 元.
问：(1) 如果数数付了30元，他买了几斤苹果？
(2) 如果数数只带了30元，他最多能买几斤苹果？
(3) 总价 y 与 x 的关系是什么？
5x = 30
5x ≤ 30
y = 5x
方程
不等式
函数
方程、不等式、函数有什么联系呢？
03
新知讲解
思考
如图，一次函数 y = 2x-1 的图象与 x 轴交点的横坐标是0.5.当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程 2x－1= 0 的解吗？
0.5
O
x
y
-1
0.5
y=2x-1
-0.5
解：当自变量 的值为 0.5 时，函数值是 0 ；
一元一次方程 2 1 = 0 的解是 = 0.5 。
03
新知讲解
思考
如图，一次函数 y = 2x-1 的图象与 x 轴交点的横坐标是0.5.当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程 2x－1= 0 的解吗？
0.5
O
x
y
-1
0.5
y=2x-1
-0.5
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程,
从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值；
从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标.
03
新知讲解
归纳总结
求ax+b=0（a，b 是
常数，a≠0）的解
一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标
数形结合
03
新知讲解
思考
分析：当图象上点的纵坐标大于0时,点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是 x>0.5；
当图象上点的纵坐标小于0时,点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是 x<0.5.
如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式 2x-1＞0与 2x-1＜0 的解集吗？
∴不等式 2x-1>0 的解集是 x > 0.5,不等式 2x-1<0 的解集是 x < 0.5.
03
新知讲解
归纳总结
一次函数与一元一次不等式的关系
对于可化为 ax+b > 0或 ax+b < 0 (a≠0) 的一元一次不等式，在求它的解集时，
从函数值考虑，相当于在某个一次函数y = ax+b 的值大于0或小于0时，求自变量 x 的取值范围；
从函数的图象考虑，相当于已知直线 y = ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.
03
新知讲解
归纳总结
从“数”的角度看
求ax+b>0(或ax+b <0)
(a, b是常数，a≠0)的解集
求一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围
求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围
从“形”的角度看
数形结合
03
新知讲解
思考
如何用一次函数的图象解释二元一次方程？以方程 2x-y=1为例.
分析：方程2x-y=1可以转化为y=2x-1，它们有相同的解.
y=2x-1对应一次函数y=2x-1，它的图象是一条直线.
这条直线上每个点的坐标(x,y)都是方程2x-y=1的解，
以方程2x-y=1的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上.
03
新知讲解
归纳总结
由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x, y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x, y)为坐标的点都在这条直线上．
二元一次方程
二元一次方程的解
一次函数
一条直线
一次函数
两变量的值
直线上
点的坐标
对应
对应
对应
对应
03
新知讲解
思考
对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
分析：
方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与y=﹣x+·
解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.
因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
03
新知讲解
思考
对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数 y = 2x-1与 y=﹣x+的图象.
这两条直线的交点坐标为 ( 1 , 1 )，
由此得出方程组
的解是.
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =2x-1
p （1,1）
y=x+
03
新知讲解
归纳总结
从数的角度看：
解这样的方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值；
由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从形的角度看：
解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
03
新知讲解
例
同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s 的速度上升. 两个气球都上升了1 min.
(1) 分别写出表示两个气球所在位置的高度 y (单位：m) 关于上升时间 x (单位：s) 的函数解析式.
解：(1) 气球上升时间 x 满足0 ≤ x ≤ 60.
对于1号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = x+5.
对于2号气球，y 关于x的函数解析式为 y = 0.5x+15.
03
新知讲解
例
(2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(2) 两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于 x (0 ≤ x ≤ 60)的某个值，函数 y = x+5 和 y = 0.5x+15 有相同的值 y.
由此可以列二元一次方程组 解得
这就是说，当气球上升 20s 时，两个气球都距离地面 25m.
y = x+5,
y = 0.5x+15 ,
x = 20.
y = 25.
03
新知讲解
例
也可以画一次函数的图象解答此问题.
如图，在同一平面直角坐标系中，画出
一次函 数 y = x+5 与y = 0.5x+15 的图象.
这两条直线的交点坐标为(20，25)，
这说明当气球上升 20 s 时，
两个气球都距离地面 25 m.
04
课堂练习
基础题
1. 若关于x的方程4x－b＝0的解是x＝－2，则直线y＝4x－b一定经过点（　C　）
A. （2，0） B. （0，－2）
C. （－2，0） D. （0，2）
C
04
课堂练习
基础题
2. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于点A（0，2），B（4，0），则关于x的不等式kx＋b≥2的解集为（　A　）
A. x≤0
B. x≤4
C. x≥0
D. x≥4
A
04
课堂练习
基础题
3. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 则一次函数y＝ax＋b和y＝－x－2的图象的交点坐标为 　（－4，2）　.
（－4，2）　
4. 在平面直角坐标系中，直线l1经过点（1，－3），（3，1），直线l2经过点（1，0），且与直线l1交于点A（2，a）.
（1） 求a的值.
解：（1） 设直线l1对应的函数解析式为y＝kx＋b.将（1，－3），（3，1）代入，得 解得 ∴ 直线l1对应的函数解析式为y＝2x－5.将A（2，a）代入y＝2x－5，得a＝2×2－5＝－1
04
课堂练习
基础题
（2） 可看成怎样的二元一次方程组的解？　
（2） 设直线l2对应的函数解析式为y＝mx＋n.将（2，－1），（1，0）代入，得 解得 ∴ 直线l2对应的函数解析式为y＝－x＋1.∴ 可看成关于x，y的二元一次方程组 的解
04
课堂练习
基础题
（3） 设直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求△ABC的面积.
（3） 将x＝0代入y＝2x－5，得y＝－5.将x＝0代入y＝－x＋1，得y＝1.
∴ 点B的坐标为（0，－5），点C的坐标为（0，1）.∴ BC＝1－（－5）＝6.
∵ 点A的坐标为（2，－1），∴ S△ABC＝ ×6×2＝6，即△ABC的面积为6
04
课堂练习
提升题
1. 若函数y＝kx－b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x－3）－b＞0的解集为（　D　）
A. x＜1 B. x＜2 C. x＜3 D. x＜5
D
04
课堂练习
提升题
2. （数形结合思想）如图，经过点B（－2，0）的直线y＝kx＋b与直线y＝4x＋2交于点A（－1，－2），则不等式组4x＋2≤kx＋b＜0的解集为 　－2＜x≤－1　.
x≤－1　
04
课堂练习
拓展题
如图，一次函数y＝－ x＋b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）.
（1） 求a，b的值.
解：（1） 由题意，得点C（1，a）在函数y＝2x的图象上，∴ a＝2×1＝2.∴ 点C的坐标为（1，2）.∵ 点C（1，2）在函数y＝－ x＋b的图象上，
∴ － ＋b＝2.∴ b＝
（2） 方程组 的解为 　 　.
　
04
课堂练习
拓展题
（3） 存在　∵ 点P在函数y＝2x的图象上，∴ 设点P的坐标为（x，2x）.
∵ 一次函数的解析式为y＝－ x＋ ，∴ 易得A ，B（5，0）.∴ OA＝ ，OB＝5.过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N. ∴ S△BOP＝ OB·PM＝ ×5×｜2x｜＝5｜x｜，S△AOP＝ OA·PN＝ × ×｜x｜＝ ｜x｜.由题意，得5｜x｜＝ ｜x｜＋5，解得x＝ 或x＝－ .∴ 点P的坐标为（ ， ）或（－ ，－ ）
（3） 在函数y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
05
课堂小结
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程
解一元一次不等式
解二元一次方程组
对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 .
求对应两条直线交点的坐标 .
06
板书设计
23.3一次函数与方程 （组）、不等式
1.一次函数与一元一次方程的关系：
2.一次函数与一元一次不等式的关系：
3.一次函数与二元一次方程的关系：
Thanks!
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