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广东省河源地区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称又是中心对称的图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项N是中心对称图形，不是轴对称图形。
B选项是轴对称图形，不是中心对称图形。
C选项即是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意。
D选项是中心对称图形，不是轴对称图形。
故答案为：C
【分析】轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合。
中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能与自身完全重合。
根据定义可以判断N是中心对称图形，不是轴对称图形。C是轴对称图形，不是中心对称图形H是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意。S是中心对称图形，不是轴对称图形。
2．若m＞n，则下列结论正确的是（　　）
A．m+2＜n+2 B．m﹣2＜n﹣2 C．2m＞2n D．-2m＞-2n
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：选项A：m+2 < n+2，根据不等式性质1：不等式两边加同一个数，不等号方向不变因为m > n，两边同时加2，应该得到m+2 > n+2，所以A错误。
选项B：m-2 < n-2，根据不等式性质1：不等式两边减同一个数，不等号方向不变因为m > n，两边同时减2，应该得到m-2 > n-2，所以B错误。
选项C：2m > 2n，根据不等式性质2：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变因为m > n，两边同时乘正数2，不等号方向不变，得到2m > 2n，所以C正确。
选项D：-2m > -2n，根据不等式性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变因为m > n，两边同时乘负数-2，不等号方向改变，应该得到-2m < -2n，所以D错误
故答案为：C
【分析】解：因为m＞n根据不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去同一个数或式子不等号方向不变可得出A，B选项错误。
根据不等式性质2不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，故C选项正确。
根据不等式性质3不等式两边乘以同一个负数不等号的方向发生改变，故D选项错误。
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．﹣6ab2c3＝﹣abc 6bc2 B．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）
C．a（a﹣3b）＝a2﹣3ab D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】 A选项：左边是单项式，不是多项式，不满足因式分解的对象要求，所以不属于因式分解。
B选项：左边是多项式4a2-1，右边是两个整式(2a+1)和(2a-1)的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解（这是用平方差公式分解）。
C选项：左边是整式的乘积，右边是多项式，这是整式乘法（因式分解的逆运算），不属于因式分解。
D选项：右边是a(a+2)与1的和，不是整式的积的形式，所以不属于因式分解。
故答案为：B
【分析】首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。根据因式分解的定义即可选出答案。
4．每一个外角都是的正多边形为（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： 选项A：正三角形
正三角形（等边三角形）的每个外角为不是72°，所以A错误。
选项B：正四边形
正四边形（正方形）的每个外角为：，不是72°，所以B错误。
选项C：正五边形
正五边形的每个外角为：，符合题目要求，所以C正确。
选项D：正六边形
正六边形的每个外角为：，不是72°，所以D错误。
故答案为：C
【分析】我们先明确核心知识点：任意多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，正多边形边数即，逐题分析可选出答案。
5．若关于的分式方程有增根，则增根为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：x-3=0，解得：x=3，
因此分式方程的增根就是3。
故答案为：A.
【分析】在解分式方程时，去分母过程中会产生令分母为零的根，这就是增根。
6．如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若 ABCD的周长为20，则△CED的周长为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E. O，
∴AE=CE，
∵ ABCD的周长为20，
∴AD+DC=10，
∴=4，
∴△CDE的周长为CD+ED+CE=CD+AD=10，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD+DC=10，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，△CDE的周长为CD+ED+CE=CD+AD=10，
7．把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】我们先明确原分式：，再把x、y都扩大2倍后，将x替换为2x，y替换为2y，代入分式：，
所得新分式和原分式完全相等，所以分式的值不变，A正确.
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质把x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变。
8．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：选项A：虽然也能判定，但这不是该作图的直接依据。
选项B：题目中没有直接给出两组对边分别相等的条件，无法用这个判定。
选项C：由平移可知，符合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理，这是该作图的依据。
选项D：题目中没有涉及对角线的相关内容，无法用这个判定。
故答案为：C。
【分析】根据平移的性质，平移前后对应线段平行且相等即可得出答案。
9．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：在△ABF中，∠B = 180° -∠ AFB - ∠ BAD = 180°- 90° - 55° = 35°，不是25°，所以A，B，D错误。
故答案为：C
【分析】我们先梳理已知条件：将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ ADE，根据旋转的性质，∠BAD=55°又因∵AD⊥ BC于点F，∴∠AFB=90°，在△ABF中，∠B = 180° -∠ AFB - ∠ BAD = 180°- 90° - 55° = 35°，不是25°，所以A，B，D错误。
10．如图，在中，，现将绕着顶点顺时针旋转至处，其中点，的对应点分别为，，点在内部，过作于点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：△ABC绕点A顺时针旋转得到△ ADE，由旋转可知：
AC = AE，∠CAE = ∠BAD = ∠ BAC - ∠ CAD
∵ EF ⊥ AC
∴∠AFE = 90°
∵在Rt△AEF中，∠EAF = 45°，EF =
∴sin 45° =
∴AE = =
∵AC = AE（旋转对应边相等）
∴ AC= 2
故答案为：C。
【分析】利用旋转的性质，确定对应边和对应角相等。利用旋转的性质：旋转前后，对应边相等，对应角相等，旋转角相等。再结合45°三角函数即可求出答案
二、填空题（6小题，每小题3分，共15分）
11． 分解因式：　 　．
【答案】n(1-m)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】因式分解步骤第一步有公因式先提公因式，提完公因式为括号里是三项，根据完全平方公式逆运算刚好组成完全平方.
12．正十二边形每个内角的度数为　 　．
【答案】150°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是： =30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．
故答案为：150°．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
13．如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则 ABCD的面积为 　 　 ．
【答案】32
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的概念
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD为平形四边形
∴AD∥BC
∴∠DEC=∠ECB
∵EC平分∠BED
∴∠BEC=∠DEC
∴∠ECB=∠BEC
∵ ∠EBC＝30°
∵△BEC内角和为180°
∴∠ECB=∠BEC=75°
∴BC=BE=8
过点E作EG⊥BC于点G
∵∠EBC＝30° ，BE=8
∴根据在Rt△BEG中，30°所对直角边是斜边一半
∴EG=4
∴ ABCD的面积=。
故答案为：32
【分析】根据平行四边形的性质，对边分别平行，利用角平分线的定义加上平行即可求出BE和BC边相等，再利用直角三角形30°直角边与斜边的关系即求出高EG，从而求出面积
14．关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则a﹣b的值为 　 　 ．
【答案】-3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解第一个不等式得x＜2+a
解第二个不等式得2x＞1-b，解得x＞
所以不等式组的解集为：＜x＜a+2
已知解集为-1＜x＜2，
∴=-1，a+2=2，
解得b=3，a=0，
所以a-b=-3。
故答案为：-3
【分析】考查不等式组含参问题时，我们要先把参数看成常数，去解未知数的值，即解x-a＜2，把a看成常数解得x＜a+2，再解第二个不等式2x+b＞1，2x＞1-b，x＞ 已知解集为-1＜x＜2，∴=-1，a+2=2，解得1-b=-2，1+2=b，b=3，a=2-2=0，所以a-b=-3。
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H．下列结论：
①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．其中所有正确结论的序号是 　 　 ．
【答案】①②③
【知识点】对顶角及其性质；相似三角形的性质-对应角；直角三角形的两锐角互余；三角形的角平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：
①，∵BE是的中线，
∴AE = EC。
∵以AE、EC为底时，高相同（都是从B到AC的距离），∴，故①正确。
②∠ AFG = ∠ AGF
∵CF是角平分线，∴∠ ACF = ∠ BCF。∵∠ BAC = 90° ∴∠AFC+∠ACF=90°∵AD是高 ∴∠ADC=90°，∴∠ DGC + ∠ BCF= 90°
∴∠ AFG = ∠ DGC∵∠AGF=∠DGC，∴∠ AFG=∠AGF∴②正确。
③ ∠FAG＝2∠ACF
∵ AD是高 ∴∠ADC=90°∵∠ BAC = 90° ∴∠ADC=∠ BAC∵∠ABC=∠DBA∴
∴∠BAD=∠ACB ∵CF是角平分线，∴∠ACB=2∠ ACF ，∴∠BAD=2∠ ACF∴ ∠AFG＝∠AGF 故③正确。
④ BH = CH
若BH=CH，∴∠HBC=∠HCB∵BE是中线∴在Rt△ACB中，BE=AE=EC∴∠HBC=∠ACB若∠ACB=∠HCB，则∠ACB=∠HCB=∠ACB矛盾∴BH≠CH ，故④错误
综上，正确结论的序号是①②③。
故答案为：①②③。
【分析】本题①考查三角形中线求面积，∵BE是的中线，∴AE = EC。∵以AE、EC为底时，高相同（都是从B到AC的距离），∴，故①正确。
②考察三角形角平分线的性质，直角三角形另外两锐角和为90°，AD是高得90°再等量代换得到答案∵CF是角平分线，∴∠ ACF = ∠ BCF。∵∠ BAC = 90° ∴∠AFC+∠ACF=90°∵AD是高 ∴∠ADC=90°，∴∠ DGC + ∠ BCF= 90°
∴∠ AFG = ∠ DGC∵∠AGF=∠DGC，∴∠ AFG=∠AGF∴②正确。
③考察角平分线定义，两个角相等得两个三角形相似∵AD是高 ∴∠ADC=90°∵∠ BAC = 90° ∴∠ADC=∠ BAC∵∠ABC=∠DBA∴
∴∠BAD=∠ACB ∵CF是角平分线，∴∠ACB=2∠ ACF ，∴∠BAD=2∠ ACF∴ ∠AFG＝∠AGF，故③正确。
④ 假设成立，利用结论推出与已知不符而判断出结果是错误的 若BH=CH，∴∠HBC=∠HCB∵BE是中线∴在Rt△ACB中，BE=AE=EC∴∠HBC=∠ACB若∠ACB=∠HCB，则∠ACB=∠HCB=∠ACB矛盾∴BH≠CH，故④错误
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．解分式方程：
【答案】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
当时，，
∴这个方程的解为
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】考查去分母解分式方程的方法，利用等差公式逆运算先把分母分解为由于所以x-3=-(3-x)所以最简公分母为去分母得3-=-x(x+3)，去括号得，所以12=-3x，所以x=-4，检验当时，，∴这个方程的解为
解这个分式方程时先注意把左边分母因式分解，分解完可以看出所以x-3=-(3-x)所以最简公分母为去分母时还需要注意作为一个整体要加括号。
17．化简：，并从，，中选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
，
，，，，
或，
当时，原式．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】按照分式混合运算的运算法则，先对括号内部分作通分计算，再将除法变形成乘法运算，并对分子分母分别作因式分解，再作乘法运算即可；最后根据题意确定未知数的取值范围并代入求值即可.
18．在中，点D，F分别为边AC，AB的中点.延长DF到点E，使，连接BE.
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形.
【答案】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得BF=AF，由已知可得DF=EF，根据对顶角性质得∠AFD=∠BFE，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）根据中点的概念可得AD=DC，根据全等三角形的性质可得AD=BE，∠ADF=∠BEF，推出DC=BE，DC∥BE，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
由（1）得：， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；补角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据垂线的定义得到， ， 再根据等角的余角相等得到，由此即可解答；
（2）结合（1）中的信息得到， ，再利用AAS证明根据全等三角形的性质和线段的和差计算即可解答.
20．如图，
（1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形．
①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： ① ：作角平分线如图1；
②，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据两直线平行同旁内角互补得到， 等量代换得到，根据平行线的判定得到， 由此根据平行四边形的判定可得到四边形是平行四边形；
（2）①根据尺规作图作出角平分线，解答即可；
②根据平行四边形的性质得到， 根据角平分线的概念得到， 根据平行线的判定得到，再根据等腰三角形的性质得到， 再计算线段的和差即可解答.
21．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
【答案】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
(元)．
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台．
根据题意，得，
解得．
设共花费w元，则，
∵，
∴w随m的减小而减小，
∵，
∴当时，w值最小．
，
(台)．
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)通过分式方程求解A、B两种型号机器人的单价，由于设B型机器人模型单价为x元，根据 A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元 ，可以求出A型机器人单价，再根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，即可列出分式方程。
（2）在给定约束条件下，利用线性规划或函数单调性求解最小花费问题。可以设购买A型机器人m台，根据购买A型和B型机器人模型共40台，即可表示出B型机器人台，再根据第（1）问，A、B型机器人单价已经求出，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠，设花费总钱数为W，即可列出一次函数，再根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，根据一次函数单调性，即可求出结果。
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22． 如图①， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）如图②，已知AD=1，BD=2，AC=2 ，∠DOF=∠α.
①当∠α为多少度时，EF⊥AC？
②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD.
∴∠EBO=∠FDO.
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）.
∴OE=OF.
（2）解：①∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=BD=1，OA=AC=.
又∵AD=1，
∴AD2+OD2=OA2.
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°.
∵EF⊥AC， ∠AOF=90°.
∴∠α=∠AOF-∠AOD=90°-45°=45°.
②∵OA=OC，EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC.
∴AF=FC.
∵在Rt△ABD中，AB=，∴CD=AB=.
∴△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1+.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】(1)要证明OE=OF，可利用平行四边形对角线互相平分，及对边平行的性质及全等三角形的判定，即可得出结论。
(2)①通过分析直角三角形及角度关系，确定α的值；②在EF⊥AC的条件下，利用对称性及线段长度求解周长。
本题综合运用平行四边形性质、全等三角形判定、勾股定理及几何对称性。关键在于通过角度分析确定EF⊥AC时的α值，并利用垂直平分线性质简化周长计算。
23．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
（1）【解决问题】勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点，，在同一条直线上），连接，．发现，请你给予证明；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“在（2）题的位置处，将的边放在线段上滑动，并带动一起在线段上来回滑动，记作，点在线段右侧，连接，求线段的取值范围．
【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图1，
作于F，作，交的延长线于G，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
（3）解：如图2，
∵到直线的距离是，
∴点在的右侧且离距离得直线l上运动，
当时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
，
当点在C时，（即图1中的位置）最大，
由上图1知：，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；平行四边形的判定与性质；三角形-动点问题；手拉手全等模型
【解析】【分析】
(1)根据等边三角形的性质得到，，， 再根据等角的补角相等得到，即可利用SAS证明 ， 再根据全等三角形的性质得到，解答即可；
（2）作于F，作，交的延长线于G，先利用平行线的判定得到， 即可判定四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质得到再利用勾股定理计算得到BG，CF的值，最后再用三角形的面积计算即可解答.
(3)先分析得到点在的右侧且离距离得直线l上运动，根据垂线段最短得到当时，取得最小值，根据30直角三角形的性质得到，再根据勾股定理计算得到AQ，即可算得最小值；当点在C时，（即图1中的位置）最大，利用勾股定理计算得到AB，再根据最小值和最大值写出范围，解答即可.
1 / 1广东省河源地区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．如果把下列化学元素符号看成图形，那么既是轴对称又是中心对称的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．若m＞n，则下列结论正确的是（　　）
A．m+2＜n+2 B．m﹣2＜n﹣2 C．2m＞2n D．-2m＞-2n
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．﹣6ab2c3＝﹣abc 6bc2 B．4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1）
C．a（a﹣3b）＝a2﹣3ab D．a2+2a+1＝a（a+2）+1
4．每一个外角都是的正多边形为（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
5．若关于的分式方程有增根，则增根为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若 ABCD的周长为20，则△CED的周长为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．20
7．把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．扩大4倍
8．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
9．如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，现将绕着顶点顺时针旋转至处，其中点，的对应点分别为，，点在内部，过作于点，若，，则线段的长为（　　）
A． B． C．2 D．4
二、填空题（6小题，每小题3分，共15分）
11． 分解因式：　 　．
12．正十二边形每个内角的度数为　 　．
13．如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝8，则 ABCD的面积为 　 　 ．
14．关于x的不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则a﹣b的值为 　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于G，交BE于H．下列结论：
①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．其中所有正确结论的序号是 　 　 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．解分式方程：
17．化简：，并从，，中选择一个合适的数代入求值．
18．在中，点D，F分别为边AC，AB的中点.延长DF到点E，使，连接BE.
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．【跨学科组合】
小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，．
（1）求证：；
（2）求的长
20．如图，
（1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形．
①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
21．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22． 如图①， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E和点F.
（1）求证：OE=OF；
（2）如图②，已知AD=1，BD=2，AC=2 ，∠DOF=∠α.
①当∠α为多少度时，EF⊥AC？
②在①的条件下，连接AF，求△ADF的周长.
23．综合与实践
【问题情境】数学活动课上，分为三个小组，让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
（1）【解决问题】勤奋小组将和按图1所示的方式摆放（点，，在同一条直线上），连接，．发现，请你给予证明；
（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“在（2）题的位置处，将的边放在线段上滑动，并带动一起在线段上来回滑动，记作，点在线段右侧，连接，求线段的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项N是中心对称图形，不是轴对称图形。
B选项是轴对称图形，不是中心对称图形。
C选项即是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意。
D选项是中心对称图形，不是轴对称图形。
故答案为：C
【分析】轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合。
中心对称图形：绕某一点旋转180°后，能与自身完全重合。
根据定义可以判断N是中心对称图形，不是轴对称图形。C是轴对称图形，不是中心对称图形H是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意。S是中心对称图形，不是轴对称图形。
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：选项A：m+2 < n+2，根据不等式性质1：不等式两边加同一个数，不等号方向不变因为m > n，两边同时加2，应该得到m+2 > n+2，所以A错误。
选项B：m-2 < n-2，根据不等式性质1：不等式两边减同一个数，不等号方向不变因为m > n，两边同时减2，应该得到m-2 > n-2，所以B错误。
选项C：2m > 2n，根据不等式性质2：不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变因为m > n，两边同时乘正数2，不等号方向不变，得到2m > 2n，所以C正确。
选项D：-2m > -2n，根据不等式性质3：不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变因为m > n，两边同时乘负数-2，不等号方向改变，应该得到-2m < -2n，所以D错误
故答案为：C
【分析】解：因为m＞n根据不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去同一个数或式子不等号方向不变可得出A，B选项错误。
根据不等式性质2不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，故C选项正确。
根据不等式性质3不等式两边乘以同一个负数不等号的方向发生改变，故D选项错误。
3．【答案】B
【知识点】因式分解的正确性判断
【解析】【解答】 A选项：左边是单项式，不是多项式，不满足因式分解的对象要求，所以不属于因式分解。
B选项：左边是多项式4a2-1，右边是两个整式(2a+1)和(2a-1)的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解（这是用平方差公式分解）。
C选项：左边是整式的乘积，右边是多项式，这是整式乘法（因式分解的逆运算），不属于因式分解。
D选项：右边是a(a+2)与1的和，不是整式的积的形式，所以不属于因式分解。
故答案为：B
【分析】首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。根据因式分解的定义即可选出答案。
4．【答案】C
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： 选项A：正三角形
正三角形（等边三角形）的每个外角为不是72°，所以A错误。
选项B：正四边形
正四边形（正方形）的每个外角为：，不是72°，所以B错误。
选项C：正五边形
正五边形的每个外角为：，符合题目要求，所以C正确。
选项D：正六边形
正六边形的每个外角为：，不是72°，所以D错误。
故答案为：C
【分析】我们先明确核心知识点：任意多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，正多边形边数即，逐题分析可选出答案。
5．【答案】A
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：x-3=0，解得：x=3，
因此分式方程的增根就是3。
故答案为：A.
【分析】在解分式方程时，去分母过程中会产生令分母为零的根，这就是增根。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E. O，
∴AE=CE，
∵ ABCD的周长为20，
∴AD+DC=10，
∴=4，
∴△CDE的周长为CD+ED+CE=CD+AD=10，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD+DC=10，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，△CDE的周长为CD+ED+CE=CD+AD=10，
7．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】我们先明确原分式：，再把x、y都扩大2倍后，将x替换为2x，y替换为2y，代入分式：，
所得新分式和原分式完全相等，所以分式的值不变，A正确.
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质把x，y都扩大为原来的2倍，分式的值不变。
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：选项A：虽然也能判定，但这不是该作图的直接依据。
选项B：题目中没有直接给出两组对边分别相等的条件，无法用这个判定。
选项C：由平移可知，符合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理，这是该作图的依据。
选项D：题目中没有涉及对角线的相关内容，无法用这个判定。
故答案为：C。
【分析】根据平移的性质，平移前后对应线段平行且相等即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】垂线的概念；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】
解：在△ABF中，∠B = 180° -∠ AFB - ∠ BAD = 180°- 90° - 55° = 35°，不是25°，所以A，B，D错误。
故答案为：C
【分析】我们先梳理已知条件：将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ ADE，根据旋转的性质，∠BAD=55°又因∵AD⊥ BC于点F，∴∠AFB=90°，在△ABF中，∠B = 180° -∠ AFB - ∠ BAD = 180°- 90° - 55° = 35°，不是25°，所以A，B，D错误。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：△ABC绕点A顺时针旋转得到△ ADE，由旋转可知：
AC = AE，∠CAE = ∠BAD = ∠ BAC - ∠ CAD
∵ EF ⊥ AC
∴∠AFE = 90°
∵在Rt△AEF中，∠EAF = 45°，EF =
∴sin 45° =
∴AE = =
∵AC = AE（旋转对应边相等）
∴ AC= 2
故答案为：C。
【分析】利用旋转的性质，确定对应边和对应角相等。利用旋转的性质：旋转前后，对应边相等，对应角相等，旋转角相等。再结合45°三角函数即可求出答案
11．【答案】n(1-m)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】因式分解步骤第一步有公因式先提公因式，提完公因式为括号里是三项，根据完全平方公式逆运算刚好组成完全平方.
12．【答案】150°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是： =30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．
故答案为：150°．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
13．【答案】32
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；平行四边形的面积；角平分线的概念
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD为平形四边形
∴AD∥BC
∴∠DEC=∠ECB
∵EC平分∠BED
∴∠BEC=∠DEC
∴∠ECB=∠BEC
∵ ∠EBC＝30°
∵△BEC内角和为180°
∴∠ECB=∠BEC=75°
∴BC=BE=8
过点E作EG⊥BC于点G
∵∠EBC＝30° ，BE=8
∴根据在Rt△BEG中，30°所对直角边是斜边一半
∴EG=4
∴ ABCD的面积=。
故答案为：32
【分析】根据平行四边形的性质，对边分别平行，利用角平分线的定义加上平行即可求出BE和BC边相等，再利用直角三角形30°直角边与斜边的关系即求出高EG，从而求出面积
14．【答案】-3
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解第一个不等式得x＜2+a
解第二个不等式得2x＞1-b，解得x＞
所以不等式组的解集为：＜x＜a+2
已知解集为-1＜x＜2，
∴=-1，a+2=2，
解得b=3，a=0，
所以a-b=-3。
故答案为：-3
【分析】考查不等式组含参问题时，我们要先把参数看成常数，去解未知数的值，即解x-a＜2，把a看成常数解得x＜a+2，再解第二个不等式2x+b＞1，2x＞1-b，x＞ 已知解集为-1＜x＜2，∴=-1，a+2=2，解得1-b=-2，1+2=b，b=3，a=2-2=0，所以a-b=-3。
15．【答案】①②③
【知识点】对顶角及其性质；相似三角形的性质-对应角；直角三角形的两锐角互余；三角形的角平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：
①，∵BE是的中线，
∴AE = EC。
∵以AE、EC为底时，高相同（都是从B到AC的距离），∴，故①正确。
②∠ AFG = ∠ AGF
∵CF是角平分线，∴∠ ACF = ∠ BCF。∵∠ BAC = 90° ∴∠AFC+∠ACF=90°∵AD是高 ∴∠ADC=90°，∴∠ DGC + ∠ BCF= 90°
∴∠ AFG = ∠ DGC∵∠AGF=∠DGC，∴∠ AFG=∠AGF∴②正确。
③ ∠FAG＝2∠ACF
∵ AD是高 ∴∠ADC=90°∵∠ BAC = 90° ∴∠ADC=∠ BAC∵∠ABC=∠DBA∴
∴∠BAD=∠ACB ∵CF是角平分线，∴∠ACB=2∠ ACF ，∴∠BAD=2∠ ACF∴ ∠AFG＝∠AGF 故③正确。
④ BH = CH
若BH=CH，∴∠HBC=∠HCB∵BE是中线∴在Rt△ACB中，BE=AE=EC∴∠HBC=∠ACB若∠ACB=∠HCB，则∠ACB=∠HCB=∠ACB矛盾∴BH≠CH ，故④错误
综上，正确结论的序号是①②③。
故答案为：①②③。
【分析】本题①考查三角形中线求面积，∵BE是的中线，∴AE = EC。∵以AE、EC为底时，高相同（都是从B到AC的距离），∴，故①正确。
②考察三角形角平分线的性质，直角三角形另外两锐角和为90°，AD是高得90°再等量代换得到答案∵CF是角平分线，∴∠ ACF = ∠ BCF。∵∠ BAC = 90° ∴∠AFC+∠ACF=90°∵AD是高 ∴∠ADC=90°，∴∠ DGC + ∠ BCF= 90°
∴∠ AFG = ∠ DGC∵∠AGF=∠DGC，∴∠ AFG=∠AGF∴②正确。
③考察角平分线定义，两个角相等得两个三角形相似∵AD是高 ∴∠ADC=90°∵∠ BAC = 90° ∴∠ADC=∠ BAC∵∠ABC=∠DBA∴
∴∠BAD=∠ACB ∵CF是角平分线，∴∠ACB=2∠ ACF ，∴∠BAD=2∠ ACF∴ ∠AFG＝∠AGF，故③正确。
④ 假设成立，利用结论推出与已知不符而判断出结果是错误的 若BH=CH，∴∠HBC=∠HCB∵BE是中线∴在Rt△ACB中，BE=AE=EC∴∠HBC=∠ACB若∠ACB=∠HCB，则∠ACB=∠HCB=∠ACB矛盾∴BH≠CH，故④错误
16．【答案】解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，
当时，，
∴这个方程的解为
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】考查去分母解分式方程的方法，利用等差公式逆运算先把分母分解为由于所以x-3=-(3-x)所以最简公分母为去分母得3-=-x(x+3)，去括号得，所以12=-3x，所以x=-4，检验当时，，∴这个方程的解为
解这个分式方程时先注意把左边分母因式分解，分解完可以看出所以x-3=-(3-x)所以最简公分母为去分母时还需要注意作为一个整体要加括号。
17．【答案】解：原式
，
，，，，
或，
当时，原式．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】按照分式混合运算的运算法则，先对括号内部分作通分计算，再将除法变形成乘法运算，并对分子分母分别作因式分解，再作乘法运算即可；最后根据题意确定未知数的取值范围并代入求值即可.
18．【答案】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；线段的中点；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得BF=AF，由已知可得DF=EF，根据对顶角性质得∠AFD=∠BFE，然后根据全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）根据中点的概念可得AD=DC，根据全等三角形的性质可得AD=BE，∠ADF=∠BEF，推出DC=BE，DC∥BE，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：由题意得：，
由（1）得：， ，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；补角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据垂线的定义得到， ， 再根据等角的余角相等得到，由此即可解答；
（2）结合（1）中的信息得到， ，再利用AAS证明根据全等三角形的性质和线段的和差计算即可解答.
20．【答案】（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： ① ：作角平分线如图1；
②，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据两直线平行同旁内角互补得到， 等量代换得到，根据平行线的判定得到， 由此根据平行四边形的判定可得到四边形是平行四边形；
（2）①根据尺规作图作出角平分线，解答即可；
②根据平行四边形的性质得到， 根据角平分线的概念得到， 根据平行线的判定得到，再根据等腰三角形的性质得到， 再计算线段的和差即可解答.
21．【答案】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
(元)．
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台．
根据题意，得，
解得．
设共花费w元，则，
∵，
∴w随m的减小而减小，
∵，
∴当时，w值最小．
，
(台)．
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】(1)通过分式方程求解A、B两种型号机器人的单价，由于设B型机器人模型单价为x元，根据 A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元 ，可以求出A型机器人单价，再根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，即可列出分式方程。
（2）在给定约束条件下，利用线性规划或函数单调性求解最小花费问题。可以设购买A型机器人m台，根据购买A型和B型机器人模型共40台，即可表示出B型机器人台，再根据第（1）问，A、B型机器人单价已经求出，商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠，设花费总钱数为W，即可列出一次函数，再根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，根据一次函数单调性，即可求出结果。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OB=OD，AB∥CD.
∴∠EBO=∠FDO.
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）.
∴OE=OF.
（2）解：①∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=BD=1，OA=AC=.
又∵AD=1，
∴AD2+OD2=OA2.
∴∠ADO=90°，∠AOD=45°.
∵EF⊥AC， ∠AOF=90°.
∴∠α=∠AOF-∠AOD=90°-45°=45°.
②∵OA=OC，EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC.
∴AF=FC.
∵在Rt△ABD中，AB=，∴CD=AB=.
∴△ADF的周长=AD+DF+FA=AD+CD=1+.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】(1)要证明OE=OF，可利用平行四边形对角线互相平分，及对边平行的性质及全等三角形的判定，即可得出结论。
(2)①通过分析直角三角形及角度关系，确定α的值；②在EF⊥AC的条件下，利用对称性及线段长度求解周长。
本题综合运用平行四边形性质、全等三角形判定、勾股定理及几何对称性。关键在于通过角度分析确定EF⊥AC时的α值，并利用垂直平分线性质简化周长计算。
23．【答案】（1）证明：∵和是等边三角形，
，，，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图1，
作于F，作，交的延长线于G，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
（3）解：如图2，
∵到直线的距离是，
∴点在的右侧且离距离得直线l上运动，
当时，取得最小值，
∵，
∴，
∴，
，
当点在C时，（即图1中的位置）最大，
由上图1知：，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离；平行四边形的判定与性质；三角形-动点问题；手拉手全等模型
【解析】【分析】
(1)根据等边三角形的性质得到，，， 再根据等角的补角相等得到，即可利用SAS证明 ， 再根据全等三角形的性质得到，解答即可；
（2）作于F，作，交的延长线于G，先利用平行线的判定得到， 即可判定四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质得到再利用勾股定理计算得到BG，CF的值，最后再用三角形的面积计算即可解答.
(3)先分析得到点在的右侧且离距离得直线l上运动，根据垂线段最短得到当时，取得最小值，根据30直角三角形的性质得到，再根据勾股定理计算得到AQ，即可算得最小值；当点在C时，（即图1中的位置）最大，利用勾股定理计算得到AB，再根据最小值和最大值写出范围，解答即可.
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