资源简介

湖北黄冈中学等校2025-2026学年高二年级下学期期中考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
2.某化工厂生产中需依次投放种化工原料，现已知有种原料可用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放．那么不同的投放方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.设为等差数列的前项和，已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在其准线上，三角形为等边三角形，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
5.若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数在上存在最大值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知定义域为的奇函数，其图象为连续不断的曲线，的导函数为若对任意，都有，且，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的上焦点为，直线：是的一条渐近线，是上支上的一点，为坐标原点，则( )
A. 到的距离为
B. 的焦距为
C. 的离心率为
D. 若，则的最小值为
10.大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用已知大衍数列满足，，则正确的有( )
A. B.
C. D. 数列的前项和为
11.我们把方程的实数解称为“欧米加常数”，记为和一样，都是无理数，还被称为指数函数中的“黄金比例”下列关于的结论正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D. 函数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.用种不同的颜色给下图的个三角形格子标注为涂色，每个格子各涂一种颜色，要求相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法数为 请用数字作答
14.已知数列满足：，，则
首项的取值范围是 ．
当时，记，且，则整数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和满足，且．
求数列的通项公式；
设，证明：．
16.本小题分
已知椭圆：的焦距为，离心率为．
求的标准方程；
若，直线：交椭圆于，两点，且的面积为，求的值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且，，数列满足：，，，．
求数列，的通项公式；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数
若函数，求函数的单调区间；
若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，，且．
求的取值范围；
已知，若不等式 恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知抛物线：的焦点为，上任意一点到的距离与到点的距离之和的最小值为．
求抛物线的标准方程；
如图，已知过点的直线，与分别交于点与点，其中点在第一象限直线与直线交于点，线段与的中点分别为．
证明：点在定直线上；
若直线，直线的斜率分别为，，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，时，，
得，即，
又，，是等比数列，
．
由，
，
．

16.解：因为，．
所以，，．
所以椭圆的标准方程为．
设，坐标分别为，，点到直线的距离为．
直线的标准方程为：．
所以．
联立，得：．
由韦达定理可得：．
所以
．
由．
化简可得：．
因为，所以．
17.解：数列的前项和为，，，
当时，，则，
而当时，，即得，
因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，则．
数列中，，，则数列是等差数列，
而，，即有公差，则，
所以数列，的通项公式分别是：，．
由知，，
对任意恒成立，设，则，
当，，为单调递减数列，当，，为单调递增数列，
显然有，则当时，取得最大值，即最大值是，因此，，所以实数的取值范围是．

18.解：函数的定义域为，，
当时，，则在区间内单调递增
当时，由，得或舍去，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
依题意，函数的定义域为，
所以方程在有两个不同根
等价于函数与函数的图象在上有两个不同交点．
又，即当时，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
从而．
又有且只有一个零点是，且在 时， ，在时，，
所以的图象如下：
可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需．
由可知，分别为方程的两个根，即，，
所以原式等价于
因为，，所以原式等价于．
又由，作差得，，即．
所以原式等价于．
因为，原式恒成立，即恒成立．
令，，则不等式在上恒成立．
令，则．
当时，可见时，，所以在上单调递增，
又，在恒成立，符合题意
当时，可见当时，当时，，
所以在时单调递增，在时单调递减．
又，所以在上不能恒小于，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式恒成立，只须，
又，所以
19.解：如图，设点到准线的距离为，
抛物线的准线方程为，由抛物线的定义，得，解得，
当且仅当三点共线时，等号成立，所以抛物线的标准方程为．
设，，，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立消去整理得，
所以，，
联立，消去，可得，所以，，
所以直线的方程为，
即，
同理直线的方程为，
联立，得，
即，
即，
即，
所以，即点在直线上
由题意可知，，的斜率存在且均不为，
因为，所以设直线的方程为，则直线的方程为，
由知，，所以，，
所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，又易知，所以的取值范围为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑