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2026届成都中考数学一轮基础知识专项训练题12 命题与证明
A卷（100分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．下列语句不是命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．垂线段最短 D．在线段AB上取点C，使得CA=2CB
2．下列命题中是假命题的是（　　）
A．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 B．全等三角形的面积相等
C．负数都小于零 D．三角形的三个内角的和等于180°
3．下列关于命题“同位角相等”的说法，正确的是（　　）
A．原命题、逆命题都是真命题 B．原命题为假命题，逆命题为真命题
C．原命题为真命题，逆命题为假命题 D．原命题、逆命题都是假命题
4．如图，有三只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线1爬行，乙虫沿路线2爬行，丙虫沿直线AB爬行，则下列结论正确的是（　　）。
A．甲虫先到B点 B．乙虫先到B点
C．丙虫先到B点 D．无法确定
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．如果x+2＞0，那么x＞0 B．有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等
C．两个锐角之和一定是钝角 D．三个内角都相等的三角形是等边三角形
6．如图，点D在△ABC的边BC上，点P在射线AD上（不与点A，D重合），连接PB，PC．下列命题中，假命题是（　　）
A．若AB＝AC，AD⊥BC，则PB＝PC
B．若PB＝PC，AD⊥BC，则AB＝AC
C．若AB＝AC，∠1＝∠2，则PB＝PC
D．若PB＝PC，∠1＝∠2，则AB＝AC
7．下列命题，写出其逆命题后，两者是互逆定理的是（　　）
A．若两条直线垂直，则两条直线有交点 B．若a+b＝0，则a与b相等
C．同位角相等，两直线平行 D．若直线a⊥c，b⊥c，则a∥b
8．小明花整数元网购了一本趣味数学，让同学们猜书的价格甲说：“至少15元”乙说“至多13元”丙说：“至多10元”小明说：“你们都猜错了”则这本书的价格为（　　）
A．12元 B．13元 C．14元 D．无法确定
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9．有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了。甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1。根据以上信息，可以确定密码是 .
10．判断命题“如果n<2，那么n2<0”是假命题，举出一个反例，反例中的n可以为 .
11．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是　 　．
12．推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令x＝m，
等式两边都乘以x，得x2＝mx．①
等式两边都减m2，得x2m2＝mxm2．②
等式两边分别分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（xm）．③
等式两边都除以xm，得x+m＝m．④
等式两边都减m，得x＝0．⑤
所以任意一个实数都等于0．
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是　 　．
13．某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了其中5位参赛者的得分情况，参赛者F说自己得分是71至80之间的一个整数，请根据图表信息推断参赛者F的得分为 　 　．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
C 18 2 88
D 14 6 64
E 10 10 40
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（9分）如图，CD是五边形ABCDE的一边，若AM垂直平分CD，垂足为M，且 　 　，　 　，则 　 　．给出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB＝AE；③BC＝DE．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．
15．（9分）阅读正文并解答下列问题：
如图，已知在△ABC中，AB＞AC，求证：∠ACB＞∠ABC．
证明：假设∠ACB≤∠ABC，
①若∠ACB＜∠ABC，则在BC上取点D，联结AD，使∠ADB＝∠B．
∵∠ADB＝∠B，
∴AD＝AB；
在AC上取点E，使AE＝AD，则AC＝AE+CE＝AD+CE＞AD，
即：AC＞AD，
∴AC＞AB．
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
②若∠ACB＝∠ABC，
综上，∠ACB＞∠ABC．
（1）上述证明过程采用的方法是 　 　（填写：“A”或“B”）；
A．直接证明法；B．反证法．
（2）请你补充②中所缺失的部分．
16．（10分）求证：全等三角形对应边上的中线相等．
在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容．
（1）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示：
（2）结合（1）中的示意图，请完善已知、求证：
已知：如图，　 　，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线．
求证：　 　．
（3）写出证明过程．
17．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D，E，G分别在BA，AC，BC的延长线上，连接DE交BG于点F，从①BD＝CE；②DF＝EF；③DG∥AC中，选择两个作为条件，剩余一个作为结论，写出一个真命题，并证明（请注明每一步的推理依据）．
已知：AB＝AC，　 　，　 　．
求证：　 　．
18．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，有下列三个条件：①直线CD是⊙O的切线；②AD⊥CD于点D；③AC平分∠DAB．
（1）请在上述三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论构成一个真命题：
已知：　 　；
求证：　 　．
（2）给出（1）命题的证明．
B卷（20分）
一、填空题（本大题共3个小题，每小题2分，共6分）
19．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°．下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾； ②因此假设不成立，所以∠B＜90°；
③假设在△ABC中，∠B ≥90°； ④由AB＝AC，得∠B＝∠C ≥90°，即∠B+∠C ≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是 　 　．（填序号）
20．给出以下命题：
①平分弦的直径垂直于这条弦； ②若关于x的不等式组 无解，则a≥﹣1；
③已知点A（－1，）、B（1，）、C（2，）均在反比例函数（k＜0）的图象上，则y2＜y3＜y1；
④将点A（1，n）向左平移3个单位到点A1，再将A1绕原点逆时针旋转90°到点A2，则A2的坐标为（－n，－2）．其中所有真命题的序号是　 　．
21．如图，点E为正方形ABCD内部一点，∠E=90°，AB=10，F为EB边上一点，且AE=BF，连接DF，AF，则△ADF面积的最小值为 ．
二、解答题（本大题共2个小题，共14分）
22．（6分）定义：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若以点P、原点O、垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”．
（1）若“美好点”E（m，6）（m＞0）在反比例函数（k≠0，且k为常数）的图象上，求k的值；
（2）命题“F（2，n）（n≠0）是‘美好点’．”是 　 　命题（填“真”或“假”）
23．（8分）如图1，图2，点是线段AC的中点，OB⊥AC，OA＝9．
（1）如图1，若∠B＝30°，求AB的长；
（2）如图1，在（1）的条件下，若点D在射线AC上，点D在点C右侧，且是等边三角形，QC的延长线交直线OB于点P，求PC的长度；
（3）如图2，在（1）的条件下，若点M在线段BC上，△OMN是等边三角形，且点M沿着线段BC从点B运动到点C，点N随之运动，求点N的运动路径的长度．
参考答案
A卷 100分
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A D C D D C C
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 127 ； 10. －3（答案不唯一）； 11.到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上；
12. ④ ； 13. 25.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14.证明：根据题意补全图形并连接AC、AD，如图所示：
（1）且②③则①：
∵AM垂直平分CD，
∴CM＝DM，AC＝AD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在△ACM与△ADM中，，
∴△ACM≌△ADM（SSS），
∴∠CAM＝∠DAM，
在△ABC与△AED中，，
∴△ABC≌△AED（SSS），
∴∠BAC＝∠EAD，
又∵∠CAM＝∠DAM，
∴∠BAC+∠CAM＝∠EAD+∠DAM，
即∠BAM＝∠EAM=∠BAE，
∴AM平分∠BAE．
（2）且①②则③：
∵AM垂直平分CD，
∴CM＝DM，AC＝AD（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
在△ACM与△ADM中，，
∴△ACM≌△ADM（SSS），
∴∠CAM＝∠DAM，
∵AM平分∠BAE，
∴∠BAM＝∠EAM，
又∵∠CAM＝∠DAM，
∴∠BAM﹣∠CAM＝∠EAM﹣∠DAM，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC＝DE．
故答案为：②③①或①②③．
15.解：（1）上述证明过程采用的方法是B；
故答案为：B；
（2）②若∠ACB＝∠ABC，
∴AB＝AC，
这与已知AC＜AB相矛盾，
∴假设不成立；
综上，∠ACB＞∠ABC．
16.解：（2）△ABC≌△A′B′C′，AD＝A′D′；
（3）证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，
∵AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线，
∴BD=BC，B′D′=B′C′，
∴BD＝B′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，，
∴△ABD≌△A′B′D′（SAS），
∴AD＝A′D′．
17.解：选择②③作为条件，①作为结论，
已知：AB＝AC，DF＝EF，DG∥AC．
求证：BD＝CE．
证明：∵AB＝AC（已知），
∴∠B＝∠ACB（等边对等角），
∵DG∥AC（已知），
∴∠G＝∠ACB（两直线平行，同位角相等），
∴∠G＝∠B（等量代换），
∴BD＝DG（等角对等边），
∵DG∥AC（已知），
∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
又∵DF＝EF（已知），
∴△DGF≌△ECF（AAS）
∴DG＝CE（全等三角形对应边相等），
∴BD＝CE（等量代换）
18.（1）解：已知：直线CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，求证：AC平分∠DAB．
故答案为：直线CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D；AC平分∠DAB．（答案不唯一）
（2）证明：如图：连接OC．
∵直线CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD．
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠CAO．
∴AC平分∠DAB．
B卷 20分
一、填空题（本大题共3个小题，每小题2分，共6分）
19. ③④①②；　　20. ②③④；　21.
二、解答题（本大题共2个小题，共14分）
22.解：（1）∵E（m，6）是“美好点”，
∴6m＝2（m+6），
∴m＝3，
E的坐标是（3，6），
∵E（3，6）在反比例函数的图象上，
∴，
∴k＝18；
（2）如果F（2，n）（n≠0）是美好点，
∴2|n|＝2（2+|n|），方程无解，
∴F（2，n）不是“美好点”，
∴命题F（2，n）（n≠0）是美好点是假命题．
故答案为：假．
23.解：解：，，
，
是线段中点，，
，又，
是等边三角形，
；
和为等边三角形，
，，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
取的中点，连接，连接，如图，
则，
为等边三角形，
，，
当在上时，，，
，
在和中，
，
≌，
，
当点与点重合时，如图，
在和中，
，
≌，
，
，即、、在同一条直线上，
，
点从起点到做直线运动路径为，
当在上时，为等边三角形，
，
点从到终点做直线运动路径长为，
综上所述，的路径长度为：．

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