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5月上旬之数与式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何 ”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1 枚放到黄金这边(互换1枚)，这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少 设黄金一枚重x两，白银一枚重y两，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
2．玉龙沙湖旅游区，坐落于内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗乌丹镇东北部，位于素有八百里瀚海之称的科尔沁沙地的西缘．这里距北京、沈阳、大连等地均在500公里内，被誉为距离北京最近最美的大漠旅游区．玉龙沙湖占地100000000平方米．该旅游区集沙漠、湖泊、湿地、草甸、奇松于一体，是国家AAAA级旅游景区.100000000用科学记数法可表示为（　　）
A．1×107 B．10×107 C．1×108 D．1×109
3．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯.阶梯电费计价方式如下：
阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度）
第一阶梯 2760度及以下部分 0.538
第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588
第三阶梯 4801度及以上部分 0.838
小聪家去年12月份用电量为500度，电费为274元，则小聪家去年全年用电量为（　　）
A．2810度 B．2860度 C．3060度 D．3210度
二、填空题
5．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可)
6． 清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式. 若“”的值为2，“”的值为，则“天”与“地”的和为 　 　.
7．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式：
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【应用体验】
已知（x-3）6=x6+mx5+135x4-540x3+1215x2-1458x+729，则m的值为　 　 .
三、解答题
8．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得： 得正整数解为x=5．
【应用体验】小明用此方法解关于x的方程 已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　．
9．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
（1）请用此方法拆分20242：
（2）请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.
10． 【阅读理解】
我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法.如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积
【推导验证】
已知：如图，在△ABC中，记AB=c， BC=a， AC=b.
求证：△ABC的面积
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
设CD=x，则BD=a-x，
……
（1）请你继续完成上述推导.
（2）【尝试应用】
已知△ABC的三边长分别为 ， 2， ，请用“三斜求积术”求△ABC的面积.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设黄金一枚重x两，白银一枚重y两，列方程组为．
故答案为：A.
【分析】 黄金一枚重x两，白银一枚重y两，根据题意列方程组解答即可 ．
2．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】将100000000用科学记数法表示，首先确定a=1，因为原数绝对值>10，所以是正数。
原数变为1时，小数点向左移动了8位，因此n=8。
所以100000000用科学记数法表示为。
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义，将一个大于10的数表示成的形式，其中1≤|a|<10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。
3．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，每个榫需要的木材比每个卯多0.5千克，因此制作1个卯需要的木材为x-0.5千克．用30千克木材制作榫的数量为，用25千克木材制作卯的数量为．题目中说明这两个数量相同，因此可得方程：.
故答案为：C.
【分析】先根据题意得出每个卯需要的木材为x-0.5千克，再分别用总木材量除以单个所需木材量，得到制作榫的数量为，制作卯的数量为，最后根据“两者数量相同”的条件，列出方程 ．
4．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】根据题意，首先计算各阶梯累计电费上限第一阶梯（2760 度及以下）：总电费 2760×0.538=1484.88 元第二阶梯（2761~4800 度，共 4800 2760=2040 度）：总电费 2040×0.588=1199.52 元第三阶梯（4801 度及以上）：电价 0.838 元 / 度
然后判断 12 月用电的计费档位
12 月用电 500 度，电费 274 元，平均电价 274÷500=0.548 元 / 度，介于第一阶梯 0.538 和第二阶梯 0.588 之间，说明：12 月用电时，全年累计电量跨越了第一阶梯和第二阶梯（即 1~11 月累计用电量在 2760 度以内，12 月用电后，全年累计进入第二阶梯）。
步骤 3：列方程求解全年总用电量
设全年总用电量为x度，则：1~11 月累计用电量为 x 500 度，且 x 500<2760（第一阶梯剩余电量为 2760 (x 500)=3260 x 度），12 月的 500 度电中，3260 x 度按第一阶梯 0.538 元计费，剩余 500 (3260 x)=x 2760 度按第二阶梯 0.588 元计费，
根据 12 月电费 274 元列方程：(3260 x)×0.538+(x 2760)×0.588=274
解得：x=2860
故答案为：B.
【分析】根据题意，先计算各阶梯的累计电费上限，判断 12 月 500 度电的计费档位；设全年总用电量为x度，根据 12 月电费列方程求解；验证结果是否符合档位假设，匹配选项得出答案。
5．【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为x1，x2是方程x2+3x-m=0的两个实数根，
所以由韦达定理可得x1+x2=-3，x1x2=-m。
由于x1+x2=-3<0，可知两根同负或一正一负且负数的绝对值较大，分两种情况讨论：
1.若两根x1，x2均为负数，则|x1|=-x1，|x2|=-x2，
所以|x1|+|x2|=-(x1+x2)=3。根据”偶根方程“定义，3=2k，但3不是2的整数倍，此情况不成立；
2.若两根一正一负且负数绝对值大，则x1+x2=x1-x2。
根据根与系数的关系，。
由定义得，两边平方得9+4m=4k2，即。
因为m为实数且方程有实数根，所以判别式△=32+4m≥0，即。
取k=2(k为整数)，代入得。
因此，常数m可以为（答案不唯一，取k=1时，k=3时等均符合条件）。
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据"偶根方程"的定义，方程x2+3x-m=0的两个实数根x1，x2需满足x1+x2=2k(k为整数)。利用韦达定理得到根与系数的关系，结合根的符号分类讨论，代入条件求解m即可。
6．【答案】9
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设“天”与“地”分别为，，
由题意得：，整理得：，
得：，
∴，
∴“天”与“地”的和为．
故答案为：9 .
【分析】设“天”与“地”分别为，，根据题意列方程，然后两方程相加求出x+y的值即可.
7．【答案】-18
【知识点】多项式的项、系数与次数；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据二项式展开公式：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
令a=x，b=-3，则：(x-3)6=x6+6x5(-3)+15x4(-3)2+……
其中x5项的系数m=6×(-3)=-18．
故答案为：-18.
【分析】先根据题目给出的“杨辉三角”（二项式展开）公式，明确(a+b)6的展开式结构；再将(x-3)6看作(a+b)6的形式（令a=x，b=-3）；最后找到展开式中x5项的对应部分，计算其系数m=6×(-3)即可．
8．【答案】2
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：
如图，
由题意得：
解得：
即该方程的正整数解为2，
故答案为：2.
【分析】构造图形，根据大正方形的面积为81，列出一元二次方程，解方程即可.
9．【答案】（1）20242=2023+20232+2024
（2）根据题意，可知一般的结论为（n+1）2=n+n2+（n+1）
理由：∵左边=（n+1）2，右边：左边=右边，
∴这个结论是正确的
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）仿照材料中等式的形式列式即可；
（2）得到规律，然后分别计算出等式的左边和右边，然后证明即可．
10．【答案】（1）证明：过点A作于点D，
设，则，
∴，
，
，
，
解得，
∴，
∴
．

（2）解：假设 代入，得
【知识点】二次根式的实际应用；三角形的面积；勾股定理；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先解方程求出，即可得到，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）假设， ，，代入（1）中的结论计算即可．
1 / 15月上旬之数与式—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．我国数学著作《九章算术·卷七·盈不足》中有这样一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何 ”译文：现有黄金9枚、白银11枚，放在天平两边，重量正好相等．如果从黄金中拿1枚放到白银那边，从白银中拿1 枚放到黄金这边(互换1枚)，这时黄金一边轻了13两．问：1枚黄金、1枚白银各重多少 设黄金一枚重x两，白银一枚重y两，根据题意，下列方程正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设黄金一枚重x两，白银一枚重y两，列方程组为．
故答案为：A.
【分析】 黄金一枚重x两，白银一枚重y两，根据题意列方程组解答即可 ．
2．玉龙沙湖旅游区，坐落于内蒙古自治区赤峰市翁牛特旗乌丹镇东北部，位于素有八百里瀚海之称的科尔沁沙地的西缘．这里距北京、沈阳、大连等地均在500公里内，被誉为距离北京最近最美的大漠旅游区．玉龙沙湖占地100000000平方米．该旅游区集沙漠、湖泊、湿地、草甸、奇松于一体，是国家AAAA级旅游景区.100000000用科学记数法可表示为（　　）
A．1×107 B．10×107 C．1×108 D．1×109
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】将100000000用科学记数法表示，首先确定a=1，因为原数绝对值>10，所以是正数。
原数变为1时，小数点向左移动了8位，因此n=8。
所以100000000用科学记数法表示为。
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的定义，将一个大于10的数表示成的形式，其中1≤|a|<10，n为整数。确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。
3．榫卯（sǔn mǎo），是中国传统建筑中的一种结构方式，它通过两个构件上凹凸部位相结合来将不同构件组合在一起，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件，体现出中国古老的文化和智慧.小温制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多0.5千克.已知用30千克木材制作榫的数量与用25千克木材制作卯的数量相同.设制作1个榫需要的木材为x千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，每个榫需要的木材比每个卯多0.5千克，因此制作1个卯需要的木材为x-0.5千克．用30千克木材制作榫的数量为，用25千克木材制作卯的数量为．题目中说明这两个数量相同，因此可得方程：.
故答案为：C.
【分析】先根据题意得出每个卯需要的木材为x-0.5千克，再分别用总木材量除以单个所需木材量，得到制作榫的数量为，制作卯的数量为，最后根据“两者数量相同”的条件，列出方程 ．
4．某省居民生活用电实施阶梯电价，年用电量分为三个阶梯.阶梯电费计价方式如下：
阶梯档次 年用电量 电价（单位：元/度）
第一阶梯 2760度及以下部分 0.538
第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588
第三阶梯 4801度及以上部分 0.838
小聪家去年12月份用电量为500度，电费为274元，则小聪家去年全年用电量为（　　）
A．2810度 B．2860度 C．3060度 D．3210度
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】根据题意，首先计算各阶梯累计电费上限第一阶梯（2760 度及以下）：总电费 2760×0.538=1484.88 元第二阶梯（2761~4800 度，共 4800 2760=2040 度）：总电费 2040×0.588=1199.52 元第三阶梯（4801 度及以上）：电价 0.838 元 / 度
然后判断 12 月用电的计费档位
12 月用电 500 度，电费 274 元，平均电价 274÷500=0.548 元 / 度，介于第一阶梯 0.538 和第二阶梯 0.588 之间，说明：12 月用电时，全年累计电量跨越了第一阶梯和第二阶梯（即 1~11 月累计用电量在 2760 度以内，12 月用电后，全年累计进入第二阶梯）。
步骤 3：列方程求解全年总用电量
设全年总用电量为x度，则：1~11 月累计用电量为 x 500 度，且 x 500<2760（第一阶梯剩余电量为 2760 (x 500)=3260 x 度），12 月的 500 度电中，3260 x 度按第一阶梯 0.538 元计费，剩余 500 (3260 x)=x 2760 度按第二阶梯 0.588 元计费，
根据 12 月电费 274 元列方程：(3260 x)×0.538+(x 2760)×0.588=274
解得：x=2860
故答案为：B.
【分析】根据题意，先计算各阶梯的累计电费上限，判断 12 月 500 度电的计费档位；设全年总用电量为x度，根据 12 月电费列方程求解；验证结果是否符合档位假设，匹配选项得出答案。
二、填空题
5．若x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程 =0为“偶根方程”.若 是“偶根方程”，则常数m可以是　 　.（写出一个符合条件的值即可)
【答案】(答案不唯一)
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：因为x1，x2是方程x2+3x-m=0的两个实数根，
所以由韦达定理可得x1+x2=-3，x1x2=-m。
由于x1+x2=-3<0，可知两根同负或一正一负且负数的绝对值较大，分两种情况讨论：
1.若两根x1，x2均为负数，则|x1|=-x1，|x2|=-x2，
所以|x1|+|x2|=-(x1+x2)=3。根据”偶根方程“定义，3=2k，但3不是2的整数倍，此情况不成立；
2.若两根一正一负且负数绝对值大，则x1+x2=x1-x2。
根据根与系数的关系，。
由定义得，两边平方得9+4m=4k2，即。
因为m为实数且方程有实数根，所以判别式△=32+4m≥0，即。
取k=2(k为整数)，代入得。
因此，常数m可以为（答案不唯一，取k=1时，k=3时等均符合条件）。
故答案为：(答案不唯一).
【分析】根据"偶根方程"的定义，方程x2+3x-m=0的两个实数根x1，x2需满足x1+x2=2k(k为整数)。利用韦达定理得到根与系数的关系，结合根的符号分类讨论，代入条件求解m即可。
6． 清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式. 若“”的值为2，“”的值为，则“天”与“地”的和为 　 　.
【答案】9
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设“天”与“地”分别为，，
由题意得：，整理得：，
得：，
∴，
∴“天”与“地”的和为．
故答案为：9 .
【分析】设“天”与“地”分别为，，根据题意列方程，然后两方程相加求出x+y的值即可.
7．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方（a+b）n展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式：
（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
【应用体验】
已知（x-3）6=x6+mx5+135x4-540x3+1215x2-1458x+729，则m的值为　 　 .
【答案】-18
【知识点】多项式的项、系数与次数；探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：根据二项式展开公式：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
令a=x，b=-3，则：(x-3)6=x6+6x5(-3)+15x4(-3)2+……
其中x5项的系数m=6×(-3)=-18．
故答案为：-18.
【分析】先根据题目给出的“杨辉三角”（二项式展开）公式，明确(a+b)6的展开式结构；再将(x-3)6看作(a+b)6的形式（令a=x，b=-3）；最后找到展开式中x5项的对应部分，计算其系数m=6×(-3)即可．
三、解答题
8．【文化欣赏】三国时期的数学家赵爽所著的《勾股圆方图注》中记载了一种图解一元二次方程的方法.以解方程 为例：将原方程整理可得：x(x+2)=35，可视为一个矩形的面积为35，构造如图所示的图形，此时大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积的和．由此得： 得正整数解为x=5．
【应用体验】小明用此方法解关于x的方程 已知在他构造的图形中，大正方形的面积为81，则该方程的正整数解为　 　．
【答案】2
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：
如图，
由题意得：
解得：
即该方程的正整数解为2，
故答案为：2.
【分析】构造图形，根据大正方形的面积为81，列出一元二次方程，解方程即可.
9．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
（1）请用此方法拆分20242：
（2）请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.
【答案】（1）20242=2023+20232+2024
（2）根据题意，可知一般的结论为（n+1）2=n+n2+（n+1）
理由：∵左边=（n+1）2，右边：左边=右边，
∴这个结论是正确的
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）仿照材料中等式的形式列式即可；
（2）得到规律，然后分别计算出等式的左边和右边，然后证明即可．
10． 【阅读理解】
我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》，书中记载了“三斜求积术”，即根据三角形的三边长求面积的方法.如果将三角形的三边长分别记为a，b，c，那么三角形的面积
【推导验证】
已知：如图，在△ABC中，记AB=c， BC=a， AC=b.
求证：△ABC的面积
证明：过点A作AD⊥BC于点D，
设CD=x，则BD=a-x，
……
（1）请你继续完成上述推导.
（2）【尝试应用】
已知△ABC的三边长分别为 ， 2， ，请用“三斜求积术”求△ABC的面积.
【答案】（1）证明：过点A作于点D，
设，则，
∴，
，
，
，
解得，
∴，
∴
．

（2）解：假设 代入，得
【知识点】二次根式的实际应用；三角形的面积；勾股定理；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先解方程求出，即可得到，然后根据三角形面积公式计算即可；
（2）假设， ，，代入（1）中的结论计算即可．
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