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5月上旬之函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．抛物线当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最小值为，
∵，，，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
若，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最大值为，
∵，，，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
综上，a的值为或．
故答案为：D.
【分析】分和两种情况讨论，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性求出y的最大值与最小值，根据题意列方程解答即可．
2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为边BC上一动点，作DE⊥BC，交AB于点D，连接CD.记CE=x，△DEC的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，CD的长最小 B．△DEC的面积最大为
C．BC=3 D．∠B=60°
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图2可知，函数图象过点和，
当时，，即点与点重合，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
由图象对称性可知，对称轴为直线，
当时，取得最大值，
设，
将点代入得：，
解得，
，
当时，，
故B选项说法正确，不符合题意；
，
，
在中，，
，
，
故D选项说法正确，不符合题意；
在中，，
，抛物线开口向上，
当时，最小，
即最小，
，
当时，的长不是最小，
故A选项说法错误，符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的对称性的到当时，，得到BC长判断C选项；根据交点式求出二次函数的解析式，配方为顶点式得到最大值判断B选项；根据三角形面积公式表示DE长，再根据正切的定义求出的度数判断D选项；根据长度关于的函数关系式，利用二次函数的最值得到的最小值判断A选项解答即可．
3．如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm2)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是(　　)
A．m=4 B．BC=12
C．y的最大值为2.75 D．点(5， )在该函数图象上
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，故D正确．
【分析】由题意可分当点P在线段上或点P在线段上两种情况，过点P作高，根据正弦的定义求出高的长，利用三角形的面积公式求出y与x的函数关系式，然后逐项判断解答即可．
4．如图1，在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，点P从点 D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B—C—D向终点 D匀速运动，两点同时到达终点.设运动时间为x秒，PQ2为y.如图2，y关于x的函数图象经过最低点E(2，m).下列说法不正确的是(　　)
A．n=7 B．m=25
C． D．点(4， 28)在该函数图象上
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图，
∵菱形中，，
∴，，，，
∴为等边三角形．
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，
由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，
那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，
当点Q在线段运动时，
∴，，，
∴，解得，，
则，
那么，为，
当时即为图2的点E，，
当时，，
当点Q在线段运动时，
同理可得，，，
∴，，
则，
那么，为
，
当时，，
故答案为：B .
【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，根据菱形的性质可得，，，然后根据两角对应相等得到，即可得到，根据图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，即，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到和，结合图2可知时，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，得到、且，根据勾股定理求得关于x的函数关系式，进而可得点E的坐标；当点Q在线段运动时，即可得到，，利用勾股定理求得关于x的函数关系式，代入x=4，求出y的值解答即可．
二、填空题
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点均在反比例函数的图象上，AB经过原点O，延长AC交x轴于点D，且AC=CD.若△ABC的面积为6，则k=　 　.
【答案】4
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的中点公式；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
设点，
∵均在反比例函数的图象上，且经过原点，
∴关于原点对称，且，
∴，
∵，
∴为线段中点，
设，则，且，即，
又∵均在上，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，点到线段和线段的距离相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴解得：，即．
故答案为：4.
【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象的对称性得到点的坐标，根据为线段中点求出点的坐标，以及根据列方程求出mn解答即可．
6．如图，M为双曲线（x＞0）上的一点，分别交直线y＝﹣x+m于点D、C两点．若直线y＝﹣x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B，则AD BC的值为 　 　 ．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】对于直线y=-x+m，令x=0，得y=m，
因此点A的坐标为(0，m)，OA=m；
令y=0，得0=-x+m，解得c=m，
因此点B的坐标为(m，0)，OB=m。
因为OA=OB=m，且∠AOB=90°，
所以△AOB是等腰直角三角形，
因此∠OAB=∠OBA=45°.
设点M在双曲线上，设M的坐标为，
由图可知：CM‖轴，因此C点的纵坐标与M点纵坐标相同，即。
将代入直线y=-x+m，得，解得，
因此C点坐标为.
DM‖y轴，因此D点的横坐标与M点横坐标相同，即xD=t。
将x=t代入直线y=-x+m，得y=m-t，
因此D点坐标为(t，m-t).
过D作DH⊥y轴于H，则DH=t，AH=m-(m-t)=t。
因为△AOB是等腰直角三角形，DH‖OB，
所以△ADH也是等腰直角三角形，∠HAD=45°，
因此斜边。
过C作CG⊥轴于G，则CG=，。
同理，△BCG是等腰直角三角形，∠CBG=45°，
因此斜边。
所以.
故答案为：6.
【分析】先确定直线y=-x+m与坐标轴围成△AOB为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边长关系，结合CM‖x轴、DM‖y轴的性质，用坐标表示AD和BC的长度，再结合双曲线的性质消去参数，求出AD·BC的定值。
7．某科技公司研发了一批AI机器人，计划分配给甲、乙、丙、丁四家经销商点进行销售.当一家分配到n台机器人全部售出后，科技公司从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：
　 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 …
甲 4 6 / / / / /
乙 3 5.5 7.5 9 10 10.5 /
丙 2 4 6 7 8 9 …
丁 1.4 3.8 6.2 8.6 11 13.4 …
如果科技公司将5台机器人分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么5台机器人都售出后，该科技公司可获得的总利润的最大值为　 　万元.
【答案】13.5
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】首先整理各经销商的利润数据：
甲：最多分配2台，1台利润4万，2台利润6万：
乙：分配1~5台的利润依次为3、5.5、7.5、9、10万；
丙：分配1~5台的利润依次为2、4、6、7、8万；
丁：分配台的利润为1.4+2.4(m-1)=2.4n-1万，即1台1.4万，2台3.8万，3台6.2万，4台8.6万，5台11万。
枚举所有合法分配方案，计算总利润：
1.全部分配给一家：乙5台10万，丁5台11万，均小于13.5万：
2.分配给两家：甲2台(6万)+乙3台(7.5万)：总利润6+7.5=13.5万；
甲2台(6万)+丁3台(6.2万)：总利润6+6.2=12.2万：
甲1台(4万)+丁4台(8.6万)：总利润4+8.6=12.6万：
乙4台(9万)+甲1台(4万)：总利润9十4=13万：
3.分配给三家及以上：
甲2台(6万)+乙2台(5.5万)+丙1台(2万)：总利润6+5.5+2=13.5万；
甲1台+乙1台+丁3台：总利润4+3十6.2=13.2万，均不超过13.5万。
对北比所有方案，总利润的最大值为13.5万元。
故答案为：13.5
【分析】 要使总利润最大，需先明确各经销商的利润上限与分配限制，枚举 5 台机器人的所有合法分配方案，计算总利润后取最大值，同时注意甲最多分配 2 台的限制。
三、解答题
8．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.
（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.
【答案】（1）解：设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有
解得
∴y=x+4
当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有
解得，
∴y=x，
综上，该一次函数的表达式为或。
（2）∴其对称轴为直线x=2.
∵二次函数的图象的关联矩形是矩形OABC，
∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则
解得
当a<0时，图象经过点(0，0)，(2，4），
则
解得
∴a=1，m=0或a=-1，m=4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据关联矩形的定义，一次函数图象需完全落在矩形OABC(0≤x≤3，0≤y≤4)内，因此一次函数的图象需经过矩形的顶点，分两种情况：过A(3，0)和C(0，4)，或过O(0，0)和B(3，4)，分别用待定系数法求解析式；
（2）先将二次函数配方，确定其对称轴，再根据关联矩形OABC的范围0≤x≤3，0≤y≤4，分a>0(开口向上)和a<0(开口向下)两种情况，结合函数在区间上的最值，列方程求解a和m。
9．【阅读理解】
对于两个函数，当自变量x任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”。例如：y=x与y=2-x互为“关联函数”。
（1）【初步探究】
如图，函数y=kx经过点（1，2），求该函数的“关联函数”表达式：
（2）【深入思考】
在（1）条件下，函数图象的一段y=kx（-2≤x≤0）向上平移m个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点.求m的最小值。
【答案】（1）解：将（1，2）代入y=kx，解得k=2，即该函数为表达式y=2x，
∴y=2x的“关联函数”表达式是y=-2x+2。
（2）解：函数在上向上平移m个单位后，
解析式为：，
它的“关联函数”为，
∵两个函数有交点，即方程在范围内有解，
解方程：，得，
∴，
解不等式：，得，
解不等式：，得，
∴的取值范围是，则的最小值为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入求出原函数为，根据“关联函数”的定义解答即可；
（2）根据函数有交点，即可得到方程的解在中，求出m的最大值解答即可．
10．已知抛物线
（1）若a=1，求图象与x轴的交点坐标；
（2）若 是抛物线上不同的两点，且点 也在抛物线上，求m的值；
（3）在(1)的条件下，作一条垂直于x轴的直线x=n，交抛物线于点 P，交直线y=x-1于点Q，当线段PQ随n的增大而增大时，求字母n的取值范围．
【答案】（1）解：当a=1时，
当y=0时，
∴图象与x轴的交点为(2， 0) ， (1， 0) ．
（2）解：∵A与B关于对称轴对称，
将 代入

（3）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
①当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向上，
又∵，
∴当时，线段随的增大而减小，不符合题意；
②当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向下，
∴当时，线段随的增大而增大；当时，线段随的增大而减小，
又∵，
∴；
③当时，，
∴，图象开口向上，
∴当时，线段随的增大而增大，符合题意；
综上所述，的取值范围为或．

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将代入，再令，解方程求出x的值，即可得到与x轴交点的坐标；
（2）根据点和点关于抛物线的对称轴对称即可得到，然后把点C 的坐标代入解析式计算即可；
（3）将代入二次函数与一次函数的解析式得到点和点的坐标，即可得到．分三类讨论：当时，；当时，；当时，根据二次函数的增减性判断解答即可．
11．已知二次函数的图象经过点（4，0）和（1，3），点P（x1，y），Q（x2，y1）是该二次函数图象上的两个动点，满足且
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求x1+x2的值；
（3）已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M，一条平行于x轴的直线过点A（0，t）交函数图象于B，C两点，且BC=3PM，求BC的最大值及此时对应的t值。
【答案】（1）解：把（4，0）和（1，3）代入得解得
∴该二次函数的表达式为
（2）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该二次函数的图象上，
化简得x1+x2=4。
（3）设x1=m，则
∵x1+x2=4，∴x2=4-m，
∴OQ所在直线解析式为y=mx，M点的纵坐标是m2。
∴当m=1时，BC取最大值6。
根据抛物线的对称性且BC∥x轴，∴B，C两点的横坐标为-1和5。
将x=-1代入得y=-5，
∴t=-5。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）把点P，Q的坐标代入解析式得到，，然后代入等式化简即可；
（3）设，则，即可得到，，求出直线的解析式，即可求出，进而得到，即时，有最大值为6，根据对称性求出点B的横坐标，代入解析式求出点B的纵坐标即可．
12．一次函数 的图象记为（ 二次函数 的图象记为（ 其中为常数，m≠0.
（1）当m=1时，求 的顶点坐标.
（2）求证：（ 与 一定有交点.
（3）点A（n，p)与点B（n，q)分别在（ 上，若n-m=1且-1【答案】（1）解：当m=1时，C2解析式为： ，
故C2的顶点坐标为(1，0)。
（2）证明：因为
y1=x-m，
所以C1与C2一定有一个交点(m，0).
（3）解：因为p=n-m，q=(mn-1)(n-m)，
所以AB=|p-q|=|< mn-2)(n-m)|.
因为n-m=1，所以AB=|(n-1)n-2|.
因为-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)代入m=1，写出C2的解析式，用配方法求出顶点坐标。
(2)将y2进行因式分解，即可发现与y1有交点。
(3)由n-m=1得n=m+1，表示出A、B纵坐标的差值q一p，得到关于m的函数，结合定义域求最大值。
13．我们在函数的学习过程中，都是通过列表描点的方法来研究函数图象，请用类似方法探究的图象：
（1）观察函数表达式，填写下表：
x … -4 -2 -1 1 2 4 …
y 　 -2 -3 　 　 1 0 …
在平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象：
（2）观察图象，回答下列问题：
①当x>-1时，求y的取值范围；
②函数的图象可由函数的图象如何平移得到
（3）类比探索函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移得到
【答案】（1）解：当x=-1时，y=-5，当x=1时，y=3；
用依次连接各点，用平滑曲线连接，图象如图：
（2）解：观察图象可知：
①y<-5或y>-1；
②向下平移1个单位长度
（3）解：由，
根据函数平移规律 “左加右减”
函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到的。
【知识点】函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）将对应的x值代入函数解析式得：
当x=-1时，；
当x=1时，.
在平面直角坐标系中描出(-4，-2)、（-2，-3)、（一1，-5)、(1，3)、(2，1)、(4，0)等点，用平滑曲线连接，图象如图：
【分析】（1）将对应的值代入解析式，得到对应的y的值填入表格，然后在平面直角坐标系中描出图象即可；
（2）观察图象即可确定，当x>-1时，y的取值范围，以及对照 观察函数 的图象变化；
（3）将函数解析式进行变形，类比上面探索过程即可.
14．甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶4h至距离A地160km的C地时发生故障原地维修，2.4h后维修完毕，于是甲车匀速行驶1.6h到达 B地.乙车匀速行驶4h到达距离A地240km的B地，接着花费 h卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达 B地.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y(单位： km)与它们离开A地的时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示.
请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填表：
甲车离开A地的时间 (单位：h) 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离(单位： km) 　 160 　 　
（2）请直接写出乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式.
（3） ①图中b的值为 ▲ ；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距50km时x的值.
【答案】（1）解：
甲车离开A地的时间 (单位：h) 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离(单位： km) 40 160 160 240
（2）解：乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式为：
（3）解：①144；
②令，
解得，
当时，两车相遇，
当时，甲车的速度为，
根据题意得：，
解得：
当时，甲、乙两车相距；
当时，
根据题意得：，
解得；
当时，
根据题意得：，
解得
综上所述，当或或时，两车相距．
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，当时，甲车的速度为，
∴甲车离开A地时，离A地的距离为，
由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和；
∴填表如下：
甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240
故答案为：40；160；240；
（2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为，
代入，得，则；
∵，
则当时，此时；
当，设乙车的与的函数关系式为，
代入和，得，
解得，
综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为；
故答案为：；
（3）①解：①由（2）可知，；
故答案为：144；
【分析】（1）根求出时甲车的速度，进而得到x=1时行进路程，根据图象的到x=6.4和x=8时的函数值；
（2）分为，，三种情况，利用打定系数法求出函数的解析式即可；
（3）先求处两车相遇时的时间，然后分，，，四种情况，根据题意列方程求出x的值解答即可．
15．已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
【答案】（1）解：抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．将点（1，0）代入得：
1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）解：由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝3，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xC＝2xB，
∴，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，
m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)把点（1，0)代入抛物线解析式，解关于a的一元一次方程即可求出a；
(2)先将抛物线配方得到对称轴，利用抛物线的对称性得到B、C横坐标的关系，结合B是AC中点的条件求出B的横坐标，再代入抛物线求纵坐标，即t的值；
(3)由直线 l1，l2 距离为16，结合抛物线顶点坐标确定两条直线的纵坐标，分别求出对应交点的横坐标，再根据m<316．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
【答案】（1）解：二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：y'＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y'的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法，将点B(3，0)、C(0，-3)代入二次函数解析式，求解a、c，得到抛物线解析式；
(2)先求直线BC的解析式，设抛物线上点P的坐标，作PM⊥x轴交BC于M，用P、M的纵坐标差表示PM，将△PBC的面积表示为关于P横坐标的二次函数，求最大值及对应P的坐标；
(3)先根据平移规律得到新抛物线y的解析式及对称轴，设对称轴上点D的坐标，分BC为矩形的边、对角线两种情况，利用矩形的性质（勾股定理、中点坐标公式）求解点B的坐标。
1 / 15月上旬之函数—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．抛物线当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或 D．或
2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E为边BC上一动点，作DE⊥BC，交AB于点D，连接CD.记CE=x，△DEC的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（　　）
A．当时，CD的长最小 B．△DEC的面积最大为
C．BC=3 D．∠B=60°
3．如图1， △ABC中， ∠A=30°，点P从A点出发沿折线A—C—B运动，点Q从点A 出发沿线段AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到B时，另一点同时停止运动，已知点 P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，设P 点运动时间为x(s)， △APQ的面积为y(cm2)．如图2是y关于x的函数图象，下列选项正确的是(　　)
A．m=4 B．BC=12
C．y的最大值为2.75 D．点(5， )在该函数图象上
4．如图1，在菱形ABCD中， ∠ABC=120°，点P从点 D出发，以每秒1个单位的速度沿DB向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线B—C—D向终点 D匀速运动，两点同时到达终点.设运动时间为x秒，PQ2为y.如图2，y关于x的函数图象经过最低点E(2，m).下列说法不正确的是(　　)
A．n=7 B．m=25
C． D．点(4， 28)在该函数图象上
二、填空题
5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点均在反比例函数的图象上，AB经过原点O，延长AC交x轴于点D，且AC=CD.若△ABC的面积为6，则k=　 　.
6．如图，M为双曲线（x＞0）上的一点，分别交直线y＝﹣x+m于点D、C两点．若直线y＝﹣x+m与y轴交于点A，与x轴交于点B，则AD BC的值为 　 　 ．
7．某科技公司研发了一批AI机器人，计划分配给甲、乙、丙、丁四家经销商点进行销售.当一家分配到n台机器人全部售出后，科技公司从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下：
　 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 …
甲 4 6 / / / / /
乙 3 5.5 7.5 9 10 10.5 /
丙 2 4 6 7 8 9 …
丁 1.4 3.8 6.2 8.6 11 13.4 …
如果科技公司将5台机器人分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么5台机器人都售出后，该科技公司可获得的总利润的最大值为　 　万元.
三、解答题
8．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.
（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.
9．【阅读理解】
对于两个函数，当自变量x任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”。例如：y=x与y=2-x互为“关联函数”。
（1）【初步探究】
如图，函数y=kx经过点（1，2），求该函数的“关联函数”表达式：
（2）【深入思考】
在（1）条件下，函数图象的一段y=kx（-2≤x≤0）向上平移m个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点.求m的最小值。
10．已知抛物线
（1）若a=1，求图象与x轴的交点坐标；
（2）若 是抛物线上不同的两点，且点 也在抛物线上，求m的值；
（3）在(1)的条件下，作一条垂直于x轴的直线x=n，交抛物线于点 P，交直线y=x-1于点Q，当线段PQ随n的增大而增大时，求字母n的取值范围．
11．已知二次函数的图象经过点（4，0）和（1，3），点P（x1，y），Q（x2，y1）是该二次函数图象上的两个动点，满足且
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求x1+x2的值；
（3）已知一条平行于y轴的直线过点P交OQ于点M，一条平行于x轴的直线过点A（0，t）交函数图象于B，C两点，且BC=3PM，求BC的最大值及此时对应的t值。
12．一次函数 的图象记为（ 二次函数 的图象记为（ 其中为常数，m≠0.
（1）当m=1时，求 的顶点坐标.
（2）求证：（ 与 一定有交点.
（3）点A（n，p)与点B（n，q)分别在（ 上，若n-m=1且-113．我们在函数的学习过程中，都是通过列表描点的方法来研究函数图象，请用类似方法探究的图象：
（1）观察函数表达式，填写下表：
x … -4 -2 -1 1 2 4 …
y 　 -2 -3 　 　 1 0 …
在平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象：
（2）观察图象，回答下列问题：
①当x>-1时，求y的取值范围；
②函数的图象可由函数的图象如何平移得到
（3）类比探索函数的图象可由函数的图象经过怎样的平移得到
14．甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶4h至距离A地160km的C地时发生故障原地维修，2.4h后维修完毕，于是甲车匀速行驶1.6h到达 B地.乙车匀速行驶4h到达距离A地240km的B地，接着花费 h卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达 B地.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y(单位： km)与它们离开A地的时间x(单位：h)之间的函数图象如图所示.
请结合图象信息，解答下列问题：
（1）填表：
甲车离开A地的时间 (单位：h) 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离(单位： km) 　 160 　 　
（2）请直接写出乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式.
（3） ①图中b的值为 ▲ ；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距50km时x的值.
15．已知抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．
（1）求a的值．
（2）过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值．
（3）设m＜3＜n，抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间．若直线l1，l2之间的距离为16，求n﹣m的最大值．
16．如图1，若二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：若，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最小值为，
∵，，，
∴当时，y取得最大值，最大值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
若，
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为，
∴y的最大值为，
∵，，，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∵y的最大值与最小值的差为7，
∴，
解得；
综上，a的值为或．
故答案为：D.
【分析】分和两种情况讨论，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性求出y的最大值与最小值，根据题意列方程解答即可．
2．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图2可知，函数图象过点和，
当时，，即点与点重合，
，
故C选项说法正确，不符合题意；
由图象对称性可知，对称轴为直线，
当时，取得最大值，
设，
将点代入得：，
解得，
，
当时，，
故B选项说法正确，不符合题意；
，
，
在中，，
，
，
故D选项说法正确，不符合题意；
在中，，
，抛物线开口向上，
当时，最小，
即最小，
，
当时，的长不是最小，
故A选项说法错误，符合题意．
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的对称性的到当时，，得到BC长判断C选项；根据交点式求出二次函数的解析式，配方为顶点式得到最大值判断B选项；根据三角形面积公式表示DE长，再根据正切的定义求出的度数判断D选项；根据长度关于的函数关系式，利用二次函数的最值得到的最小值判断A选项解答即可．
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当点P在线段上时，则，，过点P作于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
由图象可知：当时，则有，解得：（负根舍去），故A错误；
当时，，说明此时点P与点B重合，
∴，故B错误；
当点P在线段上时，分别过点C、P作，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积最大，最大值为，故C错误；
∴，
∴当时，，故D正确．
【分析】由题意可分当点P在线段上或点P在线段上两种情况，过点P作高，根据正弦的定义求出高的长，利用三角形的面积公式求出y与x的函数关系式，然后逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图，
∵菱形中，，
∴，，，，
∴为等边三角形．
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，
由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，
那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，
当点Q在线段运动时，
∴，，，
∴，解得，，
则，
那么，为，
当时即为图2的点E，，
当时，，
当点Q在线段运动时，
同理可得，，，
∴，，
则，
那么，为
，
当时，，
故答案为：B .
【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，根据菱形的性质可得，，，然后根据两角对应相等得到，即可得到，根据图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，即，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理得到和，结合图2可知时，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，得到、且，根据勾股定理求得关于x的函数关系式，进而可得点E的坐标；当点Q在线段运动时，即可得到，，利用勾股定理求得关于x的函数关系式，代入x=4，求出y的值解答即可．
5．【答案】4
【知识点】反比例函数图象的对称性；待定系数法求反比例函数解析式；几何图形的面积计算-割补法；坐标系中的中点公式；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
设点，
∵均在反比例函数的图象上，且经过原点，
∴关于原点对称，且，
∴，
∵，
∴为线段中点，
设，则，且，即，
又∵均在上，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，点到线段和线段的距离相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴解得：，即．
故答案为：4.
【分析】连接，设点，根据反比例函数的图象的对称性得到点的坐标，根据为线段中点求出点的坐标，以及根据列方程求出mn解答即可．
6．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】对于直线y=-x+m，令x=0，得y=m，
因此点A的坐标为(0，m)，OA=m；
令y=0，得0=-x+m，解得c=m，
因此点B的坐标为(m，0)，OB=m。
因为OA=OB=m，且∠AOB=90°，
所以△AOB是等腰直角三角形，
因此∠OAB=∠OBA=45°.
设点M在双曲线上，设M的坐标为，
由图可知：CM‖轴，因此C点的纵坐标与M点纵坐标相同，即。
将代入直线y=-x+m，得，解得，
因此C点坐标为.
DM‖y轴，因此D点的横坐标与M点横坐标相同，即xD=t。
将x=t代入直线y=-x+m，得y=m-t，
因此D点坐标为(t，m-t).
过D作DH⊥y轴于H，则DH=t，AH=m-(m-t)=t。
因为△AOB是等腰直角三角形，DH‖OB，
所以△ADH也是等腰直角三角形，∠HAD=45°，
因此斜边。
过C作CG⊥轴于G，则CG=，。
同理，△BCG是等腰直角三角形，∠CBG=45°，
因此斜边。
所以.
故答案为：6.
【分析】先确定直线y=-x+m与坐标轴围成△AOB为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的边长关系，结合CM‖x轴、DM‖y轴的性质，用坐标表示AD和BC的长度，再结合双曲线的性质消去参数，求出AD·BC的定值。
7．【答案】13.5
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】首先整理各经销商的利润数据：
甲：最多分配2台，1台利润4万，2台利润6万：
乙：分配1~5台的利润依次为3、5.5、7.5、9、10万；
丙：分配1~5台的利润依次为2、4、6、7、8万；
丁：分配台的利润为1.4+2.4(m-1)=2.4n-1万，即1台1.4万，2台3.8万，3台6.2万，4台8.6万，5台11万。
枚举所有合法分配方案，计算总利润：
1.全部分配给一家：乙5台10万，丁5台11万，均小于13.5万：
2.分配给两家：甲2台(6万)+乙3台(7.5万)：总利润6+7.5=13.5万；
甲2台(6万)+丁3台(6.2万)：总利润6+6.2=12.2万：
甲1台(4万)+丁4台(8.6万)：总利润4+8.6=12.6万：
乙4台(9万)+甲1台(4万)：总利润9十4=13万：
3.分配给三家及以上：
甲2台(6万)+乙2台(5.5万)+丙1台(2万)：总利润6+5.5+2=13.5万；
甲1台+乙1台+丁3台：总利润4+3十6.2=13.2万，均不超过13.5万。
对北比所有方案，总利润的最大值为13.5万元。
故答案为：13.5
【分析】 要使总利润最大，需先明确各经销商的利润上限与分配限制，枚举 5 台机器人的所有合法分配方案，计算总利润后取最大值，同时注意甲最多分配 2 台的限制。
8．【答案】（1）解：设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有
解得
∴y=x+4
当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有
解得，
∴y=x，
综上，该一次函数的表达式为或。
（2）∴其对称轴为直线x=2.
∵二次函数的图象的关联矩形是矩形OABC，
∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则
解得
当a<0时，图象经过点(0，0)，(2，4），
则
解得
∴a=1，m=0或a=-1，m=4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据关联矩形的定义，一次函数图象需完全落在矩形OABC(0≤x≤3，0≤y≤4)内，因此一次函数的图象需经过矩形的顶点，分两种情况：过A(3，0)和C(0，4)，或过O(0，0)和B(3，4)，分别用待定系数法求解析式；
（2）先将二次函数配方，确定其对称轴，再根据关联矩形OABC的范围0≤x≤3，0≤y≤4，分a>0(开口向上)和a<0(开口向下)两种情况，结合函数在区间上的最值，列方程求解a和m。
9．【答案】（1）解：将（1，2）代入y=kx，解得k=2，即该函数为表达式y=2x，
∴y=2x的“关联函数”表达式是y=-2x+2。
（2）解：函数在上向上平移m个单位后，
解析式为：，
它的“关联函数”为，
∵两个函数有交点，即方程在范围内有解，
解方程：，得，
∴，
解不等式：，得，
解不等式：，得，
∴的取值范围是，则的最小值为．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入求出原函数为，根据“关联函数”的定义解答即可；
（2）根据函数有交点，即可得到方程的解在中，求出m的最大值解答即可．
10．【答案】（1）解：当a=1时，
当y=0时，
∴图象与x轴的交点为(2， 0) ， (1， 0) ．
（2）解：∵A与B关于对称轴对称，
将 代入

（3）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
①当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向上，
又∵，
∴当时，线段随的增大而减小，不符合题意；
②当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向下，
∴当时，线段随的增大而增大；当时，线段随的增大而减小，
又∵，
∴；
③当时，，
∴，图象开口向上，
∴当时，线段随的增大而增大，符合题意；
综上所述，的取值范围为或．

【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将代入，再令，解方程求出x的值，即可得到与x轴交点的坐标；
（2）根据点和点关于抛物线的对称轴对称即可得到，然后把点C 的坐标代入解析式计算即可；
（3）将代入二次函数与一次函数的解析式得到点和点的坐标，即可得到．分三类讨论：当时，；当时，；当时，根据二次函数的增减性判断解答即可．
11．【答案】（1）解：把（4，0）和（1，3）代入得解得
∴该二次函数的表达式为
（2）∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在该二次函数的图象上，
化简得x1+x2=4。
（3）设x1=m，则
∵x1+x2=4，∴x2=4-m，
∴OQ所在直线解析式为y=mx，M点的纵坐标是m2。
∴当m=1时，BC取最大值6。
根据抛物线的对称性且BC∥x轴，∴B，C两点的横坐标为-1和5。
将x=-1代入得y=-5，
∴t=-5。
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）把点P，Q的坐标代入解析式得到，，然后代入等式化简即可；
（3）设，则，即可得到，，求出直线的解析式，即可求出，进而得到，即时，有最大值为6，根据对称性求出点B的横坐标，代入解析式求出点B的纵坐标即可．
12．【答案】（1）解：当m=1时，C2解析式为： ，
故C2的顶点坐标为(1，0)。
（2）证明：因为
y1=x-m，
所以C1与C2一定有一个交点(m，0).
（3）解：因为p=n-m，q=(mn-1)(n-m)，
所以AB=|p-q|=|< mn-2)(n-m)|.
因为n-m=1，所以AB=|(n-1)n-2|.
因为-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】(1)代入m=1，写出C2的解析式，用配方法求出顶点坐标。
(2)将y2进行因式分解，即可发现与y1有交点。
(3)由n-m=1得n=m+1，表示出A、B纵坐标的差值q一p，得到关于m的函数，结合定义域求最大值。
13．【答案】（1）解：当x=-1时，y=-5，当x=1时，y=3；
用依次连接各点，用平滑曲线连接，图象如图：
（2）解：观察图象可知：
①y<-5或y>-1；
②向下平移1个单位长度
（3）解：由，
根据函数平移规律 “左加右减”
函数的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到的。
【知识点】函数的图象；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）将对应的x值代入函数解析式得：
当x=-1时，；
当x=1时，.
在平面直角坐标系中描出(-4，-2)、（-2，-3)、（一1，-5)、(1，3)、(2，1)、(4，0)等点，用平滑曲线连接，图象如图：
【分析】（1）将对应的值代入解析式，得到对应的y的值填入表格，然后在平面直角坐标系中描出图象即可；
（2）观察图象即可确定，当x>-1时，y的取值范围，以及对照 观察函数 的图象变化；
（3）将函数解析式进行变形，类比上面探索过程即可.
14．【答案】（1）解：
甲车离开A地的时间 (单位：h) 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离(单位： km) 40 160 160 240
（2）解：乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式为：
（3）解：①144；
②令，
解得，
当时，两车相遇，
当时，甲车的速度为，
根据题意得：，
解得：
当时，甲、乙两车相距；
当时，
根据题意得：，
解得；
当时，
根据题意得：，
解得
综上所述，当或或时，两车相距．
【知识点】分段函数；一次函数的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意，当时，甲车的速度为，
∴甲车离开A地时，离A地的距离为，
由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和；
∴填表如下：
甲车离开A地的时间（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） 40 160 160 240
故答案为：40；160；240；
（2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为，
代入，得，则；
∵，
则当时，此时；
当，设乙车的与的函数关系式为，
代入和，得，
解得，
综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为；
故答案为：；
（3）①解：①由（2）可知，；
故答案为：144；
【分析】（1）根求出时甲车的速度，进而得到x=1时行进路程，根据图象的到x=6.4和x=8时的函数值；
（2）分为，，三种情况，利用打定系数法求出函数的解析式即可；
（3）先求处两车相遇时的时间，然后分，，，四种情况，根据题意列方程求出x的值解答即可．
15．【答案】（1）解：抛物线y＝x2﹣ax+5（a为常数）经过点（1，0）．将点（1，0）代入得：
1﹣a+5＝0，
解得：a＝6；
（2）解：由（1）知：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝3，
∵点A（0，t）在y轴上，过点A（0，t）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴B，C关于对称轴对称，B，C的纵坐标均为t，
又∵点B为线段AC的中点，
∴xC＝2xB，
∴，
∴xB＝2，
∴x＝2代入y＝x2﹣6x+5，得：y＝22﹣6×2+5＝﹣3，
∴t＝﹣3；
（3）解：∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标（3，﹣4），
当抛物线的一段y＝x2﹣ax+5（m≤x≤n）夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间时，
m，n为直线与抛物线的交点，
∴要使n﹣m最大，则，m，n为一条直线与抛物线的交点，x＝m和x＝n关于对称轴对称，
又∵直线l1，l2之间的距离为16，为定值，
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点（3，﹣4），即：y＝﹣4时，n﹣m最大，此时另一条直线的解析式为y＝16﹣4＝12，如图：
∴当x2﹣6x+5＝12时，
解得：x1＝7，x2＝﹣1，
∴n＝7，m＝﹣1，
∴n﹣m的最大值为：7﹣（﹣1）＝8．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)把点（1，0)代入抛物线解析式，解关于a的一元一次方程即可求出a；
(2)先将抛物线配方得到对称轴，利用抛物线的对称性得到B、C横坐标的关系，结合B是AC中点的条件求出B的横坐标，再代入抛物线求纵坐标，即t的值；
(3)由直线 l1，l2 距离为16，结合抛物线顶点坐标确定两条直线的纵坐标，分别求出对应交点的横坐标，再根据m<316．【答案】（1）解：二次函数y＝ax2﹣2x+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．将点B，点C的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）解：设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），点C（0，﹣3）分别代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2，
设P（a，a2﹣2a﹣3），
∴M（a，a﹣3），
∴，
当时，，
∴，
∴△PBC面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：y'＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
y'的对称轴为x＝2．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°，
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF⊥y轴于点F，
∵D在y'的对称轴上，
∴FD＝2，
∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点E（5，﹣2）；
当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为x＝2与x轴交于点F，如图4，
∵D在y'的对称轴上，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
FD＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点E（﹣1，﹣2）；
当BC为矩形对角线时，如图5，设D（2，d），E（m，n），BC的中点F的坐标为，
依意得：，
解得：，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点E的坐标为或．
综上所述，点E的坐标为（5，﹣2）或（﹣1，﹣2）或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法，将点B(3，0)、C(0，-3)代入二次函数解析式，求解a、c，得到抛物线解析式；
(2)先求直线BC的解析式，设抛物线上点P的坐标，作PM⊥x轴交BC于M，用P、M的纵坐标差表示PM，将△PBC的面积表示为关于P横坐标的二次函数，求最大值及对应P的坐标；
(3)先根据平移规律得到新抛物线y的解析式及对称轴，设对称轴上点D的坐标，分BC为矩形的边、对角线两种情况，利用矩形的性质（勾股定理、中点坐标公式）求解点B的坐标。
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