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5月上旬之图形的性质与变化—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为 （　　)
A．2a-180° B．α-90° C．180°-α D．270°-2α
2．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=4，则△ABC的面积是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．24
3．如图，正方形ABCD的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形EQFP，其中P，Q分别为AD，BC的中点，则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C．2 D．4
4．如图1，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫作小孔成像.图2是小孔成像原理的示意图，已知AB∥CD，光线CB，DA，EF交于点O，EF⊥AB.若OE=8cm，OF=3cm，CD=2.4cm，则AB的长为（　　）
A．1cm B．6.4cm C．9cm D．13.6cm
5．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则当A'C取得最小值时，则∠DCA'的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半圆上，且EF=EB.延长AF，EF分别交CD于点G，H，连结GE，则下列结论错误的是（　　）
A．EA平分∠BEF B．GE⊥AE C．AE=3GE D．
7． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2， 则OE的长度为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
8．如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为　 　米（精确到1米，参考数据
9．2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线AB上升至最高点A 后下落，再沿直线AC精准落在地面C点，且AB=AC．测得最高点A 距地面高度为2.4米，起跳点B 与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线AB 与地面BC的夹角为θ．则tanθ=　 　，机器人起跳路线AB的长度为　 　米．
10．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　.
11．如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD=2DB．C为⊙O上一点，满足AD=AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD．若CF=1，则EF的长为　 　．
12． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， 点 D， E分别在边AC，BC上，连结DE，作DF⊥AB于点 F，连结CF. 若DE垂直平分 CF，BF=12， CE=13， 则AD 的长为　 　.
13．如图，菱形ABCD， AB=4， ∠DAB=60°，将菱形ABCD关于 AB对称，得到菱形ABC'D'，在对角线AC， AC’上有两个动点E， F， AE=C'F，连结CF， EC’交于点 P，连结AP，则 AP 的最小值为　 　．
14．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若则cos∠CPD=　 　.
15．如图，在 ABCD中，点E在BC上，点B关于直线AE的对称点F落在□ABCD内，延长AF交DC于点G，交射线BC于点P，延长EF交CD于点Q。当CP=CE时，设则n=　 　（用含m的代数式表示）。
16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH。延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH。若则的值为　 　。
三、解答题
17．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．
18． 如图， AB 切圆O于点 C，过直径DG上一点 E 作 AE⊥DB，AE交 CD于点 F， AC交 DG的延长线于点 B．
（1）求证： AF=AC；
（2）若E为OD 中点， 求弧CG的长度．
19．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°.
（1）填空：∠APB=　 　°；
（2）求点D到地面AC的距离；
（3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
20．综合与实践：
【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线。
【数学问题】如图2，已知 ABCD，AB=40cm，BC=60cm，∠B=53°。作一条直线EF，使直线EF⊥BC，且将 ABCD分成周长相等的两部分。
【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接AC，BD交于点O；②以AC为直径作半圆交边BC于点H；③连接AH，作∠HAC的角平分线交半圆O于点G；④作直线OG分别交边AD，BC于点E，F，直线EF就是所求作的直线。
（1）【解决问题】
求 ABCD的面积。（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
（2）根据小嘉的作图过程，说明直线EF⊥BC且将 ABCD分成周长相等的两部分的理由。
21． 在等边△ABC中， AB=4， D是BC边上的中点， E， F分别是线段AC， AD上任意一点，连结 EF，将线段EF绕点E顺时针旋转120°得到线段EG，连接FG、AG，EF的延长线交射线AB于点M．
（1）如图1，当点E与点C重合，若CF为∠ACB的平分线， FG交AC于点 P，求AP的长；
（2）如图2，若N为线段AC上一点，且∠AGN=∠AEG， AF=AN，求证：
（3）如图3，设∠AEF=α，求证：
22．在矩形ABCD中，E是BC边的中点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，射线BF与直线CD交于点P，设
（1）如图①，若k=1，求证：AE=BP；
（2）如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定k的值；
（3）作点B关于直线AE的对称点B'，连结AB'，延长AB'交直线CD于点H.当DH=2DP时，求的值，并直接写出相应k的值.
23．如图，在△ABC中，AB=AC，D，P分别为AC，BC的中点，连结BD，E为BD的中点，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，交EP的延长线于点N，连结AE，AN。
（1）若AB=8，求EP的长；
（2）证明：CD=PN；
（3）当AE⊥EN时，求的值。
24．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.
（1）求菱形的边长.
（2）当EF∥AC时，求FC的长.
（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.
25．如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当时，求的值．
26．
（1）【探究发现】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：
（2）【拓展运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用（1）的结论，求EF的值.
（3）【综合提升】如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB，AD=12，CD=8，AC=10，对角线AC，BD交于点E，求DE的长.
27．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E.
（1）如图1，AC平分 求证：
（2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值.
（3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长.
28．如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° α
∠DHC ① ▲ ② ▲
（1）请填表，并证明结论②：
（2）求证： BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．
29． 如图，在四边形ABCD中， 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形.
（2）若
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 在线段CG上取点 F，过点 F作 交DG于点 H，求 GH的最大值.
30．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，△OAB与△ODC关于直线l对称，且E、F分别为等腰△OAB、△ODC底边AB、CD的中点。
根据等腰三角形 “三线合一” 及轴对称性质，OE平分∠AOB，OF平分∠AOD，
因此，。
已知OE⊥OF，即∠EOF=90 ，
由图中角度关系可得∠AOF=∠AOE+∠EOF，所以∠AOE=∠AOF ∠EOF=α 90 。
结合对称性可知∠BOE=∠COF=2(α 90 )=2α 180 ，
观察图形，可得∠BOC=∠EOF ∠BOE ∠COF=90 2(2α 180 )，
化简可得∠BOC=270 2α，对应选项D。
故答案为：D.
【分析】本题核心考查轴对称图形的性质与等腰三角形“三线合一”，关键在于利用对称轴及中点条件锁定角平分线关系，再借助OE⊥OF的垂直关系，通过角度的和差代换推导∠BOC即可。
2．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；图形的剪拼；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵点、分别是的中点，
∴，
由题意可得：，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理可得，利用计算即可．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图，连接EF交DC于点H，设DC交PF于点G，
根据题意知，
，
，
，
∴，即菱形的边长为．
故答案为：C.
【分析】连接EF交DC于点H，设DC交PF于点G，即可得到，然后根据勾股定理求得FG的长解答即可．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
解得
故答案为：B.
【分析】得到，，根据相似三角形的对应边长高的比等于相似比解答即可.
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】因为菱形ABCD边长为4，∠A=60°，M是AD中点，
故MA=MD=2。
由翻折知MA'=MA=2，
所以点A在以M为圆心，2为半径的圆弧上。
根据几何性质，当C、A'、M三点共线时，AC取得最小值。
如图，过点M作MG⊥CD，交CD的延长线于点G。
因为AD‖BC，∠A=60°，所以∠MDG=60°。
在Rt△MDG中，MD=2，∠MDG=60°，得DG=MD·cos60°=1，
MG=MD×sin60°=.
菱形边长为4，则CD=4，故CG=CD+DG=4+1=5.
在Rt△MCG中，由勾股定理得：CM=。
此时A'在CM上，且MA'=2，故CA'=CM-MA'=.
在Rt△MCG中，，
故答案为：B.
【分析】利用翻折的性质确定A的轨迹为以M为圆心、MA为半径的圆弧，根据"点到圆的最短距离”原理，当C、A'、M三点共线时，A'C取得最小值。随后通过解△MCD，构造直角三角形求∠DCA的正弦值。
6．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】由矩形的性质可知在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∵ AE 是直径，∴ ∠AFE=90°。
在 Rt△AFE 中：，
∴ AF=AB=6，
在 △ABE 与 △AFE 中：
∴ △ABE≌△AFE（SSS），
∴AEB=∠AEF，即 EA 平分∠BEF，故A正确；
已知：矩形ABCD，AB‖CD，
∴∠BAG=∠AGD，
又由△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠EAG，
∴∠AGE=∠EAG
∵ AE是直径，
∴∠AEG=∠AFE=90°
即GE⊥AE，故B正确；
在△ABE和△GEA中：∠B=∠AEG=90，∠BAE=∠EGA，
∴△ABE∽△GEA，
∴，
∴，
即AE=3GE，故C正确；
由前面我们可知△CEG∽△BAE，
可得，则，
又∵△FGH∽△DGA， △CEG≌△FEG，
∴，
∴，故D错误；
故答案为：D。
【分析】本题是矩形与圆的综合题，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE；然后由直径所对圆周角为直角，得∠AFE=90°，再用勾股定理求出AF=6=AB；接着用SSS证明△ABE≌△AFE，得出EA平分∠BEF(判断A)：然后利用相以三角形求出GE长度，并证明GE⊥AE(判断B、C)；最后利用平行线分线段成比例求出GH、GC的长度比，判断D是否正确。
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OF=2，CF=3，
∴OC=5，AF=7，
∵ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，
∴∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF，∠CDB=∠DBA，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
设CE=3a，则AB=DC=7a，
∴DE=DC-CE=7a-3a=4a，
由折叠可得∠A'BD=∠ABD，
∴∠CDB=∠A'BD，
∴DE=BE=4a，
又∵OD=OB，
∴OE⊥BD，
在Rt△CBE中，BC2=BE2-CE2=(4a)2-(3a)2=7a2，即BC=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=7a2+(7a)2=56a2=102，
解得a2=，
又∵
∴，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，进而得到△CEF∽△ABF，根据对应边成比例设CE=3a，则AB=DC=7a，然后推理得到DE=BE=4a，根据勾股定理求出BC长，然后再在Rt△BCD中根据勾股定理得到a2=，然后根据△DEB的面积公式解答即可.
8．【答案】85
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意可知，小明走了60步，步距0.6米，因此：AB=60×0.6=36 米，
如图，过M作MC⊥AB，交AB的延长线于C，设MC=x米（即河流宽度）。
在Rt△ACM中，∠MAC=45°，因此AC=MC=x米
在Rt△BCM中，∠MBC=90°-30°-60°，由，得：
，
由AC-BC=AB，代入得：
，
解得：，
所以河流的宽度约为85米。
故答案为：85
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，首先过点M向AB作垂线，垂足为C，然后分别在Rt△ACM与Rt△BCM中设未知数列方程即可求出。
9．【答案】；
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由题意得：米，米，，，
∵，
∴米，
∴，米．
【分析】根据三线合一求出BD长，然后根据正切的定义和勾股定理解答即可．
10．【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。
因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。
由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE，
因此，
因为AD‖BC，
所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC，
根据平行线分线段成比例，分别得到，，
由相似比计算得，
因此，
所以MN的长度为.
故答案为：.
【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结BE，
∵AD=2DB， AD=AC，
∴AB=2DB+DB=3DB， AC=2DB， ∠C=∠ADC，
∵∠C=∠B， ∠ADC=∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE，
∵AF⊥CD于点F， AB是⊙O的直径，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∴△AFC∽△AEB，
∵CF=1，
于点F，
故答案为：
【分析】连结BE，得到AB=3DB，A 而 B，所以 则BE=DE，可证明 根据两角对应相等得到 根据对应边成比例得到 ，即可得到 然后根据线段的和差解答即可.
12．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，且，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为： .
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，然后根据得到，即可得到四边形是平行四边形，根据对边相等得到，然后根据勾股定理求出的长，即可得到的长，然后根据平行线得到，根据对应边成比例求出AC长，再根据线段的和差解答即可．
13．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴优弧圆心角的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值．
故答案为：4.
【分析】连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，根据菱形的性质可得是等边三角形即可得到，然后根据SAS得到，即可得到，进而可得．根据圆周角定理得到，即可得到是等边三角形，进而可得．根据，因此当、、三点共线时，取得最小值，据此解答即可．
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；求余弦值；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分，
又∵，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
在中，，
即．
故答案为：.
【分析】连结交于点，连结，根据弧、弦、圆心角的关系得到，，根据三线合一可得，，即可得到，设，，在中根据余弦的定义解答即可．
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
故答案为：.
【分析】延长交于点，设，，根据平行四边形的性质得到，然后根据对应边成比例求出，再根据两角对应相等得到，求出，进而得到，根据对应边成比例解答即可．
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意，，
连接，
∵为半圆的直径，，
∴，，
∴，，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
将绕点旋转，得到，则，，，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：.
【分析】 设直角三角形的长直角边为，短直角边为，求出正方形的边长，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，利用弧、弦、圆心角的关系得到，推理得到四点共圆，根据圆周角定理的推论得到，即可得到，将绕点旋转得到，进而可得三点共线，求出NH=a+b，再根据三线合一得到，即可得到，求出，解答即可．
17．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∵把 沿着AD方向平移，得到
∴四边形A'ECF是平行四边形，
即平移过程中.线段A'E的长始终与CF相等；
（2）解：
设AA'=x，A'E=a，A'F=b，
即
解得
同理
解得
当A'E=A'F时，四边形A'ECF是菱形，
解得
∴移动的距离.AA'为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据平移的性质得到 推出四边形A'ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到结论即可；
(2)先根据勾股定理求出AC长，然后根据平行可得△DA'F∽△DAC，再根据对应边成成比例解答即可.
18．【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB 切圆O于点 C，
∴OC⊥AB，
∵OD=OC，
∴∠D=∠OCD，
∵AE⊥BD，
∴∠DFE=∠DCA，
∵∠DFE=∠AFC，
∴∠AFC=∠FCA，即AF=AC．
（2）解：如图，设圆的半径为，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，解得，
∴弧的长度为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据垂直可得，根据等边对等角可得，即可得到，进而可得，利用等角对等边证明即可；
（2）设圆的半径为，根据正切可得，解直角三角求出，．根据题意可得，求出r的值，然后根据扇形的弧长公式计算即可．
19．【答案】（1）63
（2）解：延长PD交AC于点M，
则PM⊥AM，在Rt△DMC中，∠DCM=30°，
∴点D到地面AC的距离为8米.
（3）解：过点P作PE⊥AB于E，
则∠PEA=∠PEB=90°，PE∥BG，
∵∠PAC=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠APE=45°，
∴AE=PE，
设AE=PE=x，
∵PE∥BG，
∴∠BPE=∠PBG=18°，
在Rt△PEB中，∠BPE=18°，
∴BE=PE·tan18°=0.325x，
∵AB=53米，
∴0.325x+x=53，
∴x=40，
∴AE=40米，
∵∠PEA=∠EAM=∠AMP=90°，
∴四边形AMPE是矩形，
∴PM=AE=40米，
∴PD=PM-DM=40-8=32米，
答：该风力发电机塔杆PD的高度是32米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）过点作，即可得到，根据平行线的性质得到，，然后利用角的和差解答即可；
（）延长交于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（）过点作于，根据等角对等边得到，设，在中根据正切的定义求出BE长，然后根据AB长列方程求出米，再推理得到是矩形，得到米，利用线段的和差解答即可.
20．【答案】（1）解：因为以AC为直径作圆交BC于点H，所以AH⊥BC。
因为AB=40cm，sin53°≈0.8，所以AH≈32cm。
因为BC=60cm，所以 ABCD的面积≈60×32=1920cm2。
（2）证明：连接，则，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴且将分成周长相等的两部分．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，根据正弦的定义求出长，再根据平行四边形的面积公式计算即可；
（2）连接，根据角平分线的定义和圆周角定理的推论可得，即可得到，进而可得，证明四边形是平行四边形，然后根据SAS得到，即可得到，根据四边形的周长公式证明即可．
21．【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是边上的中点，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
又∵点与点重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在射线上取点，使得，作于点，
∵是等边三角形，D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
在中， ，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴平分，
∵，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．

【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到，根据角平分线的定义和等角对等边得到，进而求出AF与AD的比值，根据旋转可得，即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可；
（2）在射线上取点，使得，作于点，即可得到， 在中 根据余弦的定义得到，即可得到．根据SAS得到，根据对应边、对应角相等得到，，再根据AAS得到，即可得到，因此根据线段的和差证明即可；
（3）过点分别作、的垂线，垂足为、，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的性质得到，然后根据正弦求出FJ和FK的值，然后根据FJ=FK列等式计算即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：同理（1）可得，，，
∴，
∴，即，
∵，，
又∵是边的中点，即，
∴，
∴，即；
（3）当点P在线段CD上时，；
当点P在CD的延长线上时，时，
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；十字架模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设，则，
∵是边的中点，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵点和点关于对称，
∴，，
∴点在上，，
同理（2）可得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点在射线上，
①当点在边上时，如图，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
整理，得，
解得（负值，舍去），此时；
②当点在的延长线上时，如图，
∴，
∵，
∴，
同理①可得，，
∴，即，
∴，
整理，得，
解得（负值，舍去），此时；
综上所述，当时，；当时，．
故答案为：当时，；当时，．
【分析】（1）根据矩形的性质可得可得当时，，然后根据ASA得到，根据对应边相等证明即可；
（2）同（1）可得，根据对应边成比例得到，根据矩形的性质和解答即可；
（3）设，则，，根据勾股定理求出AE长，利用等面积法求出BF长．利用轴对称可得BF=BF'，同（2）得到，求出，，即可求出PF和B'P的长，得到．当点在边上时，，即可得到点在上，根据平行线可得，求出k和 的值即可；点在的延长线上时，同理可得结果．
23．【答案】（1）解：∵D为AC的中点，
∵E，P分别为BD，BC的中点，
（2）如图，连结AP，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC，
∵DM⊥BC，
∴AP∥DM，
∵AD=CD，
∴PM=MC。
∵EP∥CD，
∴∠C=∠MPN，∠CDM=∠PNM，
∴△CDM≌△PNM，
∴CD=PN。
（3）解：∵E、P分别为BD、BC中点，
∴EP∥AC，
∴∠CAP=∠APE，
∵∠AEP=∠APC=90°，
∴△AEP∽△CPA，
∴
设EP=a，则AC=2CD=4EP=4a，
代入得
a，
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）根据中点求出CD长，再根据三角形的中位线定理解答即可；
（2）连接，根据三线合一得到AP⊥BC，进而得到AP∥DM，然后根据平行线分线段成比例求出PM=MC，然后根据ASA得到，利用全等三角形的对应边相得到结论；
（3）设EP=a，两角对应相等得到△AEP∽△CPA，利用对应边成比例求出AP=2a，然后根据勾股定理求出PC长，再根据两边成比例且夹角相等的的两三角形相似得到△AEN∽△APC，再根据面积比等于相似比的平方解答即可．
24．【答案】（1）解∵四边形ABCD是菱形，
。
（2）解：由（1）得，
如图1，
∵EF∥AC，
∴∠CAF+∠EFA=180°，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠CAF+∠BAC=180°，
∴B，A，F三点共线，过点F作直线AC的垂线于点H，连结FC.
在Rt△CFH中，
如图2，
∵EF∥AC，
∴∠EFA=∠FAC，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠BAC=∠FAC，
∴A，B，F三点共线，作FH⊥AC，连结FC，
在Rt△CFH中，
综上可得，或
（3）解：由题意得，点P是射线AC上的动点.
当P，C重合时，BP-CP=BC=5
当P，C不重合时，C，B，P构成三角形，BP-CP<5，
可分两种情况考虑：点P在线段AC上和点P在AC的延长线上.
①当点P在线段AC上，如图3，
设OP=x，则，
的值随着x的增大而增大，
∴当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值.
∵在△AFP中，
∴当AP⊥EF时，AP最小，如图4，
此时
②当点P在AC的延长线上，如图5，
BP>CP，即BP-CP>0.综上可得，
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1） 利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在Rt△OAB中用勾股定理即可求解边长；
（2）利用旋转性质得AF=AC，结合EF‖AC分两种位置情况(F在AC左侧/右侧)，通过平行线性质确定A，B，P共线，再构造直角三角形利用勾股定理计算FC；
（3） 旋转停止时EF∥AC，此时点P在射线AC上运动 ，分两种情况：P在线段AC上：BP-CP随AP增大而增大，最小值：当AP⊥EF时，AP最小，计算可得BP-CP的最小值；最大值：当P与C重合时，BP-CP=BC=5；P在AC延长线上：BP>CP，BP-CP>0。
25．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）解：①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DFAB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴ODAC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m，
∴x，
∴y或y，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴OD2＝OM DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM DM﹣DM2＝0，
∴或（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CNOC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴，
∴，
∵OF＝CD，
∴，
∵FM＝DM，
∴，
∴OG，
∴．
【知识点】正方形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角得∠C=90°，由中位线定理得OD‖AC，推出∠CDO=90°，结合DE⊥EF证得矩形，再由CD=BD=DD证得邻边相等，从而得正方形；
(2)① 连接OD，DF，由DE⊥EF、AC⊥BC得EF‖BC，利用相似三角形、平行线分线段成比
例，结合DE=BD的条件，用x表示AC、BC的长度，进而由 tanB＝y 得到y与x的关系，再由E不与
A重合确定定义域；
②连接OD，由，结合①中AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，进而得到的值，然后根据△OGM∽△CGD，得到，进一步化简，最终得到比值。
26．【答案】（1）解：方法1：如图1-1，过点A作AE⊥BC于点E，再过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M，N.
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN.
∵
∴
方法2：如图1-2，过点C作CE//AB交AD延长线于点E.
∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠E.
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴∠E=∠CAE，
∴CE=AC.

（2）解：在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6
∴
∵CE为斜边AB上的中线，
设EF=x，则CF=5-x.
∵AD平分∠CAB，
∴
即
解得
经检验，是原方程的根.

（3）解：如图3，作EP⊥AD，CQ⊥AD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，且AB=CB，
∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC，
∵AC=10，
∴AE=6，CE=4
∵CQ⊥AD，
∴△CDQ和△ACQ是直角三角形，设DQ=x，AQ=12-x，
有
解得即
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1） 本题是角平分线定理的证明，核心思路为面积法或平行线构造相似法。面积法利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合两三角形同高，面积比等于底之比；平行线法通过作平行线，将比例线段转化为等腰三角形的边，再利用相似三角形求解；
（2）本题属于拓展运用，需先利用勾股定理求出AB，再结合 (1) 的角平分线定理求出CD的长度，接着利用直角三角形斜边中线性质和相似三角形或线段比例关系，最终求出EF的长度。
27．【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD，
所以∠CAD=∠BAC=∠BDC.
又因为∠DCE=∠ACD，
所以△ADC∽△DEC.
（2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F.
因为AB是直径，
所以∠ADB=∠ACB=90°.
因为AC平分∠BAD，
所以∠F=∠ABF，
所以AB=AF=5，
所以DF=2.
在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4.
在直角三角形BDF中，FB=2
（3）解：设圆O的半径为r.
因为∠BAF=∠CAD=∠CBD，
所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC.
因为 tan∠AFE=k1，
所以
因为AC⊥BD.
所以∠ABD+∠BAC=90°，
所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2.
过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA，
所以 sin∠ABC=
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似；
(2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC；
(3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1 ，k2 表示AC。
28．【答案】（1）45°； 45°
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH， OH，如图：
由(1)可知∠AHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OH=OA=OC，
∴OH=OB=OD，
∴∠BHD=90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）解：设BH交AD于K，如图：
由(2)知∠BHD=90°，
∴∠KHD=∠KAB=90°，
∵∠HKD=∠AKB，
∴∠HDK=∠ABK=α，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∵AB=BC，
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由表可知， 为定值 故 时， 当 时， 理由如下：
连接DF， AH，设CF交AD于N，如图：
∵A， F关于DE对称，
即
∴∠AHN=∠CDN=90°，
∴∠AHF=90°，
∵HF=HA， HG⊥AF，
∴∠FHE=∠AHE=45°，
∴∠DHC=∠FHE=45°；
故答案为： 45°； 45°；
【分析】(1)由表可知， 为定值 连接DF， AH，设CF交AD于N，由A， F关于DE对称，可证明 即可得 即可得到结论
(2)连接BD交AC于点O，连接AH， OH，由(1)可知 而四边形ABCD是正方形，有OA=OC=OB=OD，可得 从而得到结论；
(3)设BH交AD于K，证明 可得由，即可解答
29．【答案】（1）证明：如图1，
∵AD=AE， ∴∠1=∠2.
∵AD∥BC， ∴∠1=∠DCG， ∴∠2=∠DCG.
∵∠2+∠AEC=180°， ∠B+∠AEC=180°，
∴∠2=∠B， ∴∠DCG=∠B， ∴AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
（2）解：①如图2，连结AO并延长交BC于点I.
∵四边形ABCD 是平行四边形， AD=AE=6，
∴BC=AD=6.
∴四边形ABCD 的面积=BC×AI=6×12=72.
②如图3，分别过点A， D， H作BG的垂线于点I， M， N，
则四边形AIMD 为矩形， ∴IM=AD=6， DM=AI=12.
设NH=3a，则
∵∠AIF=∠FNH=90°， ∠IAF=∠NFH，
∴△AIF∽△FNH，
令IF=b，则
即
∴由二次函数 的图象得a≤1 (a≥49舍去) ，
∴当a=1时， GH的最大值为 ，此时b=6符合题意.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质得到∠2=∠DCG，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCG=∠B=∠2，即可得到，进而证明结论；
（2）①连结并延长交于点I，根据垂径定理可得BI=IC=3，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式计算即可；
②分别过点A，D，H作的垂线于点I，M，N， 即可得到四边形为矩形，根据正切的定义求出IG长，设NH=3a，IF=b，然后根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例即可得到，把b看作主元，根据方程有诗书根据得到，求出a的最大值解答即可．
30．【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
1 / 15月上旬之图形的性质与变化—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．小红借助两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB 与△ODC 都是顶角为锐角的等腰三角形，且它们关于直线l对称，点 E，F 分别是底边AB，CD 的中点，OE⊥OF，90°<∠AOD<180°.设∠AOF=α，则∠BOC 的大小为 （　　)
A．2a-180° B．α-90° C．180°-α D．270°-2α
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，△OAB与△ODC关于直线l对称，且E、F分别为等腰△OAB、△ODC底边AB、CD的中点。
根据等腰三角形 “三线合一” 及轴对称性质，OE平分∠AOB，OF平分∠AOD，
因此，。
已知OE⊥OF，即∠EOF=90 ，
由图中角度关系可得∠AOF=∠AOE+∠EOF，所以∠AOE=∠AOF ∠EOF=α 90 。
结合对称性可知∠BOE=∠COF=2(α 90 )=2α 180 ，
观察图形，可得∠BOC=∠EOF ∠BOE ∠COF=90 2(2α 180 )，
化简可得∠BOC=270 2α，对应选项D。
故答案为：D.
【分析】本题核心考查轴对称图形的性质与等腰三角形“三线合一”，关键在于利用对称轴及中点条件锁定角平分线关系，再借助OE⊥OF的垂直关系，通过角度的和差代换推导∠BOC即可。
2．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3，AF=4，则△ABC的面积是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；图形的剪拼；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵点、分别是的中点，
∴，
由题意可得：，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据三角形的中位线定理可得，利用计算即可．
3．如图，正方形ABCD的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形EQFP，其中P，Q分别为AD，BC的中点，则菱形的边长为（　　）
A．5 B．6 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：如图，连接EF交DC于点H，设DC交PF于点G，
根据题意知，
，
，
，
∴，即菱形的边长为．
故答案为：C.
【分析】连接EF交DC于点H，设DC交PF于点G，即可得到，然后根据勾股定理求得FG的长解答即可．
4．如图1，用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫作小孔成像.图2是小孔成像原理的示意图，已知AB∥CD，光线CB，DA，EF交于点O，EF⊥AB.若OE=8cm，OF=3cm，CD=2.4cm，则AB的长为（　　）
A．1cm B．6.4cm C．9cm D．13.6cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
解得
故答案为：B.
【分析】得到，，根据相似三角形的对应边长高的比等于相似比解答即可.
5．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则当A'C取得最小值时，则∠DCA'的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】因为菱形ABCD边长为4，∠A=60°，M是AD中点，
故MA=MD=2。
由翻折知MA'=MA=2，
所以点A在以M为圆心，2为半径的圆弧上。
根据几何性质，当C、A'、M三点共线时，AC取得最小值。
如图，过点M作MG⊥CD，交CD的延长线于点G。
因为AD‖BC，∠A=60°，所以∠MDG=60°。
在Rt△MDG中，MD=2，∠MDG=60°，得DG=MD·cos60°=1，
MG=MD×sin60°=.
菱形边长为4，则CD=4，故CG=CD+DG=4+1=5.
在Rt△MCG中，由勾股定理得：CM=。
此时A'在CM上，且MA'=2，故CA'=CM-MA'=.
在Rt△MCG中，，
故答案为：B.
【分析】利用翻折的性质确定A的轨迹为以M为圆心、MA为半径的圆弧，根据"点到圆的最短距离”原理，当C、A'、M三点共线时，A'C取得最小值。随后通过解△MCD，构造直角三角形求∠DCA的正弦值。
6．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E为BC上中点，连结AE.点F在以AE为直径的半圆上，且EF=EB.延长AF，EF分别交CD于点G，H，连结GE，则下列结论错误的是（　　）
A．EA平分∠BEF B．GE⊥AE C．AE=3GE D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【解答】由矩形的性质可知在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∵ AE 是直径，∴ ∠AFE=90°。
在 Rt△AFE 中：，
∴ AF=AB=6，
在 △ABE 与 △AFE 中：
∴ △ABE≌△AFE（SSS），
∴AEB=∠AEF，即 EA 平分∠BEF，故A正确；
已知：矩形ABCD，AB‖CD，
∴∠BAG=∠AGD，
又由△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠EAG，
∴∠AGE=∠EAG
∵ AE是直径，
∴∠AEG=∠AFE=90°
即GE⊥AE，故B正确；
在△ABE和△GEA中：∠B=∠AEG=90，∠BAE=∠EGA，
∴△ABE∽△GEA，
∴，
∴，
即AE=3GE，故C正确；
由前面我们可知△CEG∽△BAE，
可得，则，
又∵△FGH∽△DGA， △CEG≌△FEG，
∴，
∴，故D错误；
故答案为：D。
【分析】本题是矩形与圆的综合题，先在Rt△ABE中用勾股定理求出AE；然后由直径所对圆周角为直角，得∠AFE=90°，再用勾股定理求出AF=6=AB；接着用SSS证明△ABE≌△AFE，得出EA平分∠BEF(判断A)：然后利用相以三角形求出GE长度，并证明GE⊥AE(判断B、C)；最后利用平行线分线段成比例求出GH、GC的长度比，判断D是否正确。
7． 如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点A'是点A关于直线BD的对称点，连结A'B交 CD，AC于点E，F，连结OE. 若CF=3，OF=2， 则OE的长度为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵OF=2，CF=3，
∴OC=5，AF=7，
∵ABCD是矩形，
∴OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，
∴∠CEF=∠ABF，∠ECF=∠BAF，∠CDB=∠DBA，
∴△CEF∽△ABF，
∴，
设CE=3a，则AB=DC=7a，
∴DE=DC-CE=7a-3a=4a，
由折叠可得∠A'BD=∠ABD，
∴∠CDB=∠A'BD，
∴DE=BE=4a，
又∵OD=OB，
∴OE⊥BD，
在Rt△CBE中，BC2=BE2-CE2=(4a)2-(3a)2=7a2，即BC=，
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=7a2+(7a)2=56a2=102，
解得a2=，
又∵
∴，
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得OB=OD=OA=OC=5，AC=BD=10，DC∥AB，进而得到△CEF∽△ABF，根据对应边成比例设CE=3a，则AB=DC=7a，然后推理得到DE=BE=4a，根据勾股定理求出BC长，然后再在Rt△BCD中根据勾股定理得到a2=，然后根据△DEB的面积公式解答即可.
二、填空题
8．如图，小明沿着一条东西朝向的河流散步，他在点A的时候，看到了河对面岸边M处有块巨石，在他北偏东45°方向，他沿着河岸继续走了60步，到达点B时，发现M在他北偏东30°方向，假设河的两岸互相平行，且小明的步距是0.6米，估计河流的宽度（即点M到AB所在直线距离）约为　 　米（精确到1米，参考数据
【答案】85
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意可知，小明走了60步，步距0.6米，因此：AB=60×0.6=36 米，
如图，过M作MC⊥AB，交AB的延长线于C，设MC=x米（即河流宽度）。
在Rt△ACM中，∠MAC=45°，因此AC=MC=x米
在Rt△BCM中，∠MBC=90°-30°-60°，由，得：
，
由AC-BC=AB，代入得：
，
解得：，
所以河流的宽度约为85米。
故答案为：85
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，首先过点M向AB作垂线，垂足为C，然后分别在Rt△ACM与Rt△BCM中设未知数列方程即可求出。
9．2026年春晚《武BOT》节目中，机器人进行腾空弹射表演．如图，某台机器人从水平地面的B点弹射起跳，沿直线AB上升至最高点A 后下落，再沿直线AC精准落在地面C点，且AB=AC．测得最高点A 距地面高度为2.4米，起跳点B 与落地点C相距3.2米，机器人起跳路线AB 与地面BC的夹角为θ．则tanθ=　 　，机器人起跳路线AB的长度为　 　米．
【答案】；
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：由题意得：米，米，，，
∵，
∴米，
∴，米．
【分析】根据三线合一求出BD长，然后根据正切的定义和勾股定理解答即可．
10．如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，对角线BD上有一点E，且BE=BC，在射线CE上有一点F，满足∠FBD=∠ECD，FB，FC分别交AD于点M，N，则MN的长为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，∠C=90°，由勾股定理得对角线BD=5。
因为BE=BC=3，所以DE=BD-BE=2。
由∠FBD=∠ECD，∠BEF=∠DEC，可得△FBE∽△CDE，
因此，
因为AD‖BC，
所以△FAM∽△FBC，△FAN∽△FBC，
根据平行线分线段成比例，分别得到，，
由相似比计算得，
因此，
所以MN的长度为.
故答案为：.
【分析】先在矩形中利用已知条件得出线段长度与角相等关系，证明两组三角形相似，再根据相似得到对应线段成比例，分别求出直线 FB、FC 截 AD 所得线段 AM、AN 的长度，最后作差得到 MN。
11．如图，已知点D为⊙O的直径AB上一点，且AD=2DB．C为⊙O上一点，满足AD=AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，过点A作AF⊥CD．若CF=1，则EF的长为　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连结BE，
∵AD=2DB， AD=AC，
∴AB=2DB+DB=3DB， AC=2DB， ∠C=∠ADC，
∵∠C=∠B， ∠ADC=∠EDB，
∴∠B=∠EDB，
∴BE=DE，
∵AF⊥CD于点F， AB是⊙O的直径，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
∴△AFC∽△AEB，
∵CF=1，
于点F，
故答案为：
【分析】连结BE，得到AB=3DB，A 而 B，所以 则BE=DE，可证明 根据两角对应相等得到 根据对应边成比例得到 ，即可得到 然后根据线段的和差解答即可.
12． 如图， 在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， 点 D， E分别在边AC，BC上，连结DE，作DF⊥AB于点 F，连结CF. 若DE垂直平分 CF，BF=12， CE=13， 则AD 的长为　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，且，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为： .
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，然后根据得到，即可得到四边形是平行四边形，根据对边相等得到，然后根据勾股定理求出的长，即可得到的长，然后根据平行线得到，根据对应边成比例求出AC长，再根据线段的和差解答即可．
13．如图，菱形ABCD， AB=4， ∠DAB=60°，将菱形ABCD关于 AB对称，得到菱形ABC'D'，在对角线AC， AC’上有两个动点E， F， AE=C'F，连结CF， EC’交于点 P，连结AP，则 AP 的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，
∵四边形是菱形，
∴，，，
由轴对称的性质可得，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴优弧圆心角的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴、、三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值．
故答案为：4.
【分析】连接，作的外接圆，圆心为，连接、、、，根据菱形的性质可得是等边三角形即可得到，然后根据SAS得到，即可得到，进而可得．根据圆周角定理得到，即可得到是等边三角形，进而可得．根据，因此当、、三点共线时，取得最小值，据此解答即可．
14．已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若则cos∠CPD=　 　.
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；角平分线的概念；求余弦值；等腰三角形的性质-三线合一；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接，
∵D为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分，
又∵，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，，
在中，，
即．
故答案为：.
【分析】连结交于点，连结，根据弧、弦、圆心角的关系得到，，根据三线合一可得，，即可得到，设，，在中根据余弦的定义解答即可．
15．如图，在 ABCD中，点E在BC上，点B关于直线AE的对称点F落在□ABCD内，延长AF交DC于点G，交射线BC于点P，延长EF交CD于点Q。当CP=CE时，设则n=　 　（用含m的代数式表示）。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵折叠，
∴
∵，即
∴
∴即
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
又∵折叠，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
又∵
∴
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
解得：
故答案为：.
【分析】延长交于点，设，，根据平行四边形的性质得到，然后根据对应边成比例求出，再根据两角对应相等得到，求出，进而得到，根据对应边成比例解答即可．
16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH。延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH。若则的值为　 　。
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意，，
连接，
∵为半圆的直径，，
∴，，
∴，，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
将绕点旋转，得到，则，，，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：.
【分析】 设直角三角形的长直角边为，短直角边为，求出正方形的边长，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，利用弧、弦、圆心角的关系得到，推理得到四点共圆，根据圆周角定理的推论得到，即可得到，将绕点旋转得到，进而可得三点共线，求出NH=a+b，再根据三线合一得到，即可得到，求出，解答即可．
三、解答题
17．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∵把 沿着AD方向平移，得到
∴四边形A'ECF是平行四边形，
即平移过程中.线段A'E的长始终与CF相等；
（2）解：
设AA'=x，A'E=a，A'F=b，
即
解得
同理
解得
当A'E=A'F时，四边形A'ECF是菱形，
解得
∴移动的距离.AA'为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据平移的性质得到 推出四边形A'ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到结论即可；
(2)先根据勾股定理求出AC长，然后根据平行可得△DA'F∽△DAC，再根据对应边成成比例解答即可.
18． 如图， AB 切圆O于点 C，过直径DG上一点 E 作 AE⊥DB，AE交 CD于点 F， AC交 DG的延长线于点 B．
（1）求证： AF=AC；
（2）若E为OD 中点， 求弧CG的长度．
【答案】（1）证明：连结OC，
∵AB 切圆O于点 C，
∴OC⊥AB，
∵OD=OC，
∴∠D=∠OCD，
∵AE⊥BD，
∴∠DFE=∠DCA，
∵∠DFE=∠AFC，
∴∠AFC=∠FCA，即AF=AC．
（2）解：如图，设圆的半径为，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，解得，
∴弧的长度为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据垂直可得，根据等边对等角可得，即可得到，进而可得，利用等角对等边证明即可；
（2）设圆的半径为，根据正切可得，解直角三角求出，．根据题意可得，求出r的值，然后根据扇形的弧长公式计算即可．
19．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.某省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目.电力部门在一处坡角为30°的坡地安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图.已知斜坡CD=16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P的仰角为45°，利用无人机在点A正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°.
（1）填空：∠APB=　 　°；
（2）求点D到地面AC的距离；
（3）求该风力发电机塔杆PD的高度（结果精确到1米）.（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）
【答案】（1）63
（2）解：延长PD交AC于点M，
则PM⊥AM，在Rt△DMC中，∠DCM=30°，
∴点D到地面AC的距离为8米.
（3）解：过点P作PE⊥AB于E，
则∠PEA=∠PEB=90°，PE∥BG，
∵∠PAC=45°，
∴∠PAE=45°，
∴∠APE=45°，
∴AE=PE，
设AE=PE=x，
∵PE∥BG，
∴∠BPE=∠PBG=18°，
在Rt△PEB中，∠BPE=18°，
∴BE=PE·tan18°=0.325x，
∵AB=53米，
∴0.325x+x=53，
∴x=40，
∴AE=40米，
∵∠PEA=∠EAM=∠AMP=90°，
∴四边形AMPE是矩形，
∴PM=AE=40米，
∴PD=PM-DM=40-8=32米，
答：该风力发电机塔杆PD的高度是32米.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】（）过点作，即可得到，根据平行线的性质得到，，然后利用角的和差解答即可；
（）延长交于点，即可得到，根据30°的直角三角形的性质解答即可；
（）过点作于，根据等角对等边得到，设，在中根据正切的定义求出BE长，然后根据AB长列方程求出米，再推理得到是矩形，得到米，利用线段的和差解答即可.
20．综合与实践：
【生活情境】如图1，要将一块形状为平行四边形的木板余料分割成相同的两部分，拼接成一块矩形木板，需要找到合适的分割线。
【数学问题】如图2，已知 ABCD，AB=40cm，BC=60cm，∠B=53°。作一条直线EF，使直线EF⊥BC，且将 ABCD分成周长相等的两部分。
【实践操作】如图3，小嘉的作法：①连接AC，BD交于点O；②以AC为直径作半圆交边BC于点H；③连接AH，作∠HAC的角平分线交半圆O于点G；④作直线OG分别交边AD，BC于点E，F，直线EF就是所求作的直线。
（1）【解决问题】
求 ABCD的面积。（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
（2）根据小嘉的作图过程，说明直线EF⊥BC且将 ABCD分成周长相等的两部分的理由。
【答案】（1）解：因为以AC为直径作圆交BC于点H，所以AH⊥BC。
因为AB=40cm，sin53°≈0.8，所以AH≈32cm。
因为BC=60cm，所以 ABCD的面积≈60×32=1920cm2。
（2）证明：连接，则，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴且将分成周长相等的两部分．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，根据正弦的定义求出长，再根据平行四边形的面积公式计算即可；
（2）连接，根据角平分线的定义和圆周角定理的推论可得，即可得到，进而可得，证明四边形是平行四边形，然后根据SAS得到，即可得到，根据四边形的周长公式证明即可．
21． 在等边△ABC中， AB=4， D是BC边上的中点， E， F分别是线段AC， AD上任意一点，连结 EF，将线段EF绕点E顺时针旋转120°得到线段EG，连接FG、AG，EF的延长线交射线AB于点M．
（1）如图1，当点E与点C重合，若CF为∠ACB的平分线， FG交AC于点 P，求AP的长；
（2）如图2，若N为线段AC上一点，且∠AGN=∠AEG， AF=AN，求证：
（3）如图3，设∠AEF=α，求证：
【答案】（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵是边上的中点，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
又∵点与点重合，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，在射线上取点，使得，作于点，
∵是等边三角形，D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
在中， ，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）证明：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴平分，
∵，，
∴，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．

【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可得到，根据角平分线的定义和等角对等边得到，进而求出AF与AD的比值，根据旋转可得，即可得到，进而可得，根据对应边成比例解答即可；
（2）在射线上取点，使得，作于点，即可得到， 在中 根据余弦的定义得到，即可得到．根据SAS得到，根据对应边、对应角相等得到，，再根据AAS得到，即可得到，因此根据线段的和差证明即可；
（3）过点分别作、的垂线，垂足为、，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的性质得到，然后根据正弦求出FJ和FK的值，然后根据FJ=FK列等式计算即可．
22．在矩形ABCD中，E是BC边的中点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，射线BF与直线CD交于点P，设
（1）如图①，若k=1，求证：AE=BP；
（2）如图②，当点P恰好与点D重合时，试确定k的值；
（3）作点B关于直线AE的对称点B'，连结AB'，延长AB'交直线CD于点H.当DH=2DP时，求的值，并直接写出相应k的值.
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：同理（1）可得，，，
∴，
∴，即，
∵，，
又∵是边的中点，即，
∴，
∴，即；
（3）当点P在线段CD上时，；
当点P在CD的延长线上时，时，
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；十字架模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设，则，
∵是边的中点，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∵点和点关于对称，
∴，，
∴点在上，，
同理（2）可得，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴点在射线上，
①当点在边上时，如图，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
整理，得，
解得（负值，舍去），此时；
②当点在的延长线上时，如图，
∴，
∵，
∴，
同理①可得，，
∴，即，
∴，
整理，得，
解得（负值，舍去），此时；
综上所述，当时，；当时，．
故答案为：当时，；当时，．
【分析】（1）根据矩形的性质可得可得当时，，然后根据ASA得到，根据对应边相等证明即可；
（2）同（1）可得，根据对应边成比例得到，根据矩形的性质和解答即可；
（3）设，则，，根据勾股定理求出AE长，利用等面积法求出BF长．利用轴对称可得BF=BF'，同（2）得到，求出，，即可求出PF和B'P的长，得到．当点在边上时，，即可得到点在上，根据平行线可得，求出k和 的值即可；点在的延长线上时，同理可得结果．
23．如图，在△ABC中，AB=AC，D，P分别为AC，BC的中点，连结BD，E为BD的中点，过点D作DM⊥BC，垂足为点M，交EP的延长线于点N，连结AE，AN。
（1）若AB=8，求EP的长；
（2）证明：CD=PN；
（3）当AE⊥EN时，求的值。
【答案】（1）解：∵D为AC的中点，
∵E，P分别为BD，BC的中点，
（2）如图，连结AP，
∵AB=AC，P为BC中点，
∴AP⊥BC，
∵DM⊥BC，
∴AP∥DM，
∵AD=CD，
∴PM=MC。
∵EP∥CD，
∴∠C=∠MPN，∠CDM=∠PNM，
∴△CDM≌△PNM，
∴CD=PN。
（3）解：∵E、P分别为BD、BC中点，
∴EP∥AC，
∴∠CAP=∠APE，
∵∠AEP=∠APC=90°，
∴△AEP∽△CPA，
∴
设EP=a，则AC=2CD=4EP=4a，
代入得
a，
【知识点】相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】
（1）根据中点求出CD长，再根据三角形的中位线定理解答即可；
（2）连接，根据三线合一得到AP⊥BC，进而得到AP∥DM，然后根据平行线分线段成比例求出PM=MC，然后根据ASA得到，利用全等三角形的对应边相得到结论；
（3）设EP=a，两角对应相等得到△AEP∽△CPA，利用对应边成比例求出AP=2a，然后根据勾股定理求出PC长，再根据两边成比例且夹角相等的的两三角形相似得到△AEN∽△APC，再根据面积比等于相似比的平方解答即可．
24．如图，在菱形ABCD中，对角线BD=6，AC=8，以点A为旋转中心，逆时针旋转记点B，C旋转得到的对应点分别为点E，F.
（1）求菱形的边长.
（2）当EF∥AC时，求FC的长.
（3）若在EF第一次平行于AC时停止旋转，设旋转停止前，直线EF交射线AC于点P，连结BP，求BP-CP的取值范围.
【答案】（1）解∵四边形ABCD是菱形，
。
（2）解：由（1）得，
如图1，
∵EF∥AC，
∴∠CAF+∠EFA=180°，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠CAF+∠BAC=180°，
∴B，A，F三点共线，过点F作直线AC的垂线于点H，连结FC.
在Rt△CFH中，
如图2，
∵EF∥AC，
∴∠EFA=∠FAC，
∵∠EFA=∠BCA=∠BAC；∠BAC=∠FAC，
∴A，B，F三点共线，作FH⊥AC，连结FC，
在Rt△CFH中，
综上可得，或
（3）解：由题意得，点P是射线AC上的动点.
当P，C重合时，BP-CP=BC=5
当P，C不重合时，C，B，P构成三角形，BP-CP<5，
可分两种情况考虑：点P在线段AC上和点P在AC的延长线上.
①当点P在线段AC上，如图3，
设OP=x，则，
的值随着x的增大而增大，
∴当AP最小时，OP最小，BP-CP取到最小值.
∵在△AFP中，
∴当AP⊥EF时，AP最小，如图4，
此时
②当点P在AC的延长线上，如图5，
BP>CP，即BP-CP>0.综上可得，
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1） 利用菱形对角线互相垂直平分的性质，在Rt△OAB中用勾股定理即可求解边长；
（2）利用旋转性质得AF=AC，结合EF‖AC分两种位置情况(F在AC左侧/右侧)，通过平行线性质确定A，B，P共线，再构造直角三角形利用勾股定理计算FC；
（3） 旋转停止时EF∥AC，此时点P在射线AC上运动 ，分两种情况：P在线段AC上：BP-CP随AP增大而增大，最小值：当AP⊥EF时，AP最小，计算可得BP-CP的最小值；最大值：当P与C重合时，BP-CP=BC=5；P在AC延长线上：BP>CP，BP-CP>0。
25．如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当时，求的值．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）解：①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DFAB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴ODAC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m，
∴x，
∴y或y，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴OD2＝OM DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM DM﹣DM2＝0，
∴或（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CNOC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴，
∴，
∵OF＝CD，
∴，
∵FM＝DM，
∴，
∴OG，
∴．
【知识点】正方形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角得∠C=90°，由中位线定理得OD‖AC，推出∠CDO=90°，结合DE⊥EF证得矩形，再由CD=BD=DD证得邻边相等，从而得正方形；
(2)① 连接OD，DF，由DE⊥EF、AC⊥BC得EF‖BC，利用相似三角形、平行线分线段成比
例，结合DE=BD的条件，用x表示AC、BC的长度，进而由 tanB＝y 得到y与x的关系，再由E不与
A重合确定定义域；
②连接OD，由，结合①中AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，进而得到的值，然后根据△OGM∽△CGD，得到，进一步化简，最终得到比值。
26．
（1）【探究发现】如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：
（2）【拓展运用】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AD平分∠CAB，E为斜边AB上的中点，连结CE交AD于点F.利用（1）的结论，求EF的值.
（3）【综合提升】如图3，四边形ABCD为圆内接四边形，其中AB=CB，AD=12，CD=8，AC=10，对角线AC，BD交于点E，求DE的长.
【答案】（1）解：方法1：如图1-1，过点A作AE⊥BC于点E，再过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为点M，N.
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN.
∵
∴
方法2：如图1-2，过点C作CE//AB交AD延长线于点E.
∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠E.
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△ECD，
∴.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴∠E=∠CAE，
∴CE=AC.

（2）解：在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6
∴
∵CE为斜边AB上的中线，
设EF=x，则CF=5-x.
∵AD平分∠CAB，
∴
即
解得
经检验，是原方程的根.

（3）解：如图3，作EP⊥AD，CQ⊥AD，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，且AB=CB，
∴∠ADB=∠CDB，∴DB平分∠ADC，
∵AC=10，
∴AE=6，CE=4
∵CQ⊥AD，
∴△CDQ和△ACQ是直角三角形，设DQ=x，AQ=12-x，
有
解得即
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1） 本题是角平分线定理的证明，核心思路为面积法或平行线构造相似法。面积法利用角平分线上的点到角两边距离相等，结合两三角形同高，面积比等于底之比；平行线法通过作平行线，将比例线段转化为等腰三角形的边，再利用相似三角形求解；
（2）本题属于拓展运用，需先利用勾股定理求出AB，再结合 (1) 的角平分线定理求出CD的长度，接着利用直角三角形斜边中线性质和相似三角形或线段比例关系，最终求出EF的长度。
27．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E.
（1）如图1，AC平分 求证：
（2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值.
（3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长.
【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD，
所以∠CAD=∠BAC=∠BDC.
又因为∠DCE=∠ACD，
所以△ADC∽△DEC.
（2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F.
因为AB是直径，
所以∠ADB=∠ACB=90°.
因为AC平分∠BAD，
所以∠F=∠ABF，
所以AB=AF=5，
所以DF=2.
在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4.
在直角三角形BDF中，FB=2
（3）解：设圆O的半径为r.
因为∠BAF=∠CAD=∠CBD，
所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC.
因为 tan∠AFE=k1，
所以
因为AC⊥BD.
所以∠ABD+∠BAC=90°，
所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2.
过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA，
所以 sin∠ABC=
所以
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆与四边形的综合；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似；
(2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC；
(3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1 ，k2 表示AC。
28．如图，正方形ABCD，直线DA绕点 D顺时针旋转α至DE (0°≤α≤45°)，作A关于直线DE的对称点F， AF交DE于点 G，连CF交DE于点 H，连BH交AC于点M．小明在探究∠DHC与α的大小关系时，发现其对应如下：
α 10° α
∠DHC ① ▲ ② ▲
（1）请填表，并证明结论②：
（2）求证： BH∥AF；
（3）在直线DA旋转过程中，试探究线段AM与线段CM的比(用含α的式子表示)．
【答案】（1）45°； 45°
（2）证明：连接BD交AC于点O，连接AH， OH，如图：
由(1)可知∠AHC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC=OB=OD，
∴OH=OA=OC，
∴OH=OB=OD，
∴∠BHD=90°，
∴BH⊥DE，
∵DE⊥AF，
∴BH∥AF；
（3）解：设BH交AD于K，如图：
由(2)知∠BHD=90°，
∴∠KHD=∠KAB=90°，
∵∠HKD=∠AKB，
∴∠HDK=∠ABK=α，
∵AK∥BC，
∴△AKM∽△CBM，
∵AB=BC，
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（1）解：由表可知， 为定值 故 时， 当 时， 理由如下：
连接DF， AH，设CF交AD于N，如图：
∵A， F关于DE对称，
即
∴∠AHN=∠CDN=90°，
∴∠AHF=90°，
∵HF=HA， HG⊥AF，
∴∠FHE=∠AHE=45°，
∴∠DHC=∠FHE=45°；
故答案为： 45°； 45°；
【分析】(1)由表可知， 为定值 连接DF， AH，设CF交AD于N，由A， F关于DE对称，可证明 即可得 即可得到结论
(2)连接BD交AC于点O，连接AH， OH，由(1)可知 而四边形ABCD是正方形，有OA=OC=OB=OD，可得 从而得到结论；
(3)设BH交AD于K，证明 可得由，即可解答
29． 如图，在四边形ABCD中， 过点A， B， C作⊙O交CD边于点E，连结AE，且.AD=AE.
（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形.
（2）若
①求四边形ABCD 的面积.
②延长BC至点 G，连结DG，使 在线段CG上取点 F，过点 F作 交DG于点 H，求 GH的最大值.
【答案】（1）证明：如图1，
∵AD=AE， ∴∠1=∠2.
∵AD∥BC， ∴∠1=∠DCG， ∴∠2=∠DCG.
∵∠2+∠AEC=180°， ∠B+∠AEC=180°，
∴∠2=∠B， ∴∠DCG=∠B， ∴AB∥CD，
∴四边形ABCD 是平行四边形.
（2）解：①如图2，连结AO并延长交BC于点I.
∵四边形ABCD 是平行四边形， AD=AE=6，
∴BC=AD=6.
∴四边形ABCD 的面积=BC×AI=6×12=72.
②如图3，分别过点A， D， H作BG的垂线于点I， M， N，
则四边形AIMD 为矩形， ∴IM=AD=6， DM=AI=12.
设NH=3a，则
∵∠AIF=∠FNH=90°， ∠IAF=∠NFH，
∴△AIF∽△FNH，
令IF=b，则
即
∴由二次函数 的图象得a≤1 (a≥49舍去) ，
∴当a=1时， GH的最大值为 ，此时b=6符合题意.
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形—边角关系；圆与四边形的综合；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据等边对等角和平行线的性质得到∠2=∠DCG，然后根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠DCG=∠B=∠2，即可得到，进而证明结论；
（2）①连结并延长交于点I，根据垂径定理可得BI=IC=3，利用勾股定理求出的长，然后根据平行四边形的面积公式计算即可；
②分别过点A，D，H作的垂线于点I，M，N， 即可得到四边形为矩形，根据正切的定义求出IG长，设NH=3a，IF=b，然后根据两脚对应相等得到，根据对应边成比例即可得到，把b看作主元，根据方程有诗书根据得到，求出a的最大值解答即可．
30．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
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