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专题4.12与圆有关的计算—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积，
故选：．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
2．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.如图，⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设圆外切正六边形的边长为a，
∴OA=a
在Rt△OAB中：∠OAB=60°，∠OBA=90°，∠AOB=30°，
∴AB=，OB=，
∴S△OAB=，
∴圆外切正六边形的面积为：12，
在Rt△OBD中：∠ODB=90°，∠AOB=30°，
∴，，
∴S△OBD= 12×BD×OD=12×34a×34a=3332a2 ∴圆内接正六边形的面积为： 12×3332a2=938a2 ， ∴ ⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是 ：.
故答案为：B.
【分析】首先根据圆内接和园外切正六边形的性质，通过计算三角形的面积得出两个正六边形的面积，进而再求出它们的比即可。
3．如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为8cm的①O，其中圆心O到AB的距离为4cm，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图
由题意可得：OD=4，OA=OB=8
∴∠OAB=30°，
∴∠AOD=60°，∠AOB=2∠AOD=120°，AB=2AD=
∴
故答案为：C
【分析】OD=4，OA=OB=8，根据含30°角的直角三角形可得∠OAB=30°，则∠AOD=60°，∠AOB=2∠AOD=120°，根据勾股定理可得AD，则AB=2AD=，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
4．如图，倒放在地面MN上的靠背椅ABCDE，其中四边形ABCD为正方形，边长为1，点C，D，E在同一直线上，∠BAN=30°.现将其绕点A顺时针旋转后，使得AB与地面MN重合，则点E旋转路径的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为正方形，点C，D，E在同一直线上
∴EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°
∴∠CEA=∠BAN=30°
∵AD=1
∴AE=2AD=2.
根据题意可知点E的旋转路径是以点A为圆心，AE长为半径，旋转角度为30°的弧长
∴
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得出EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°，进而可知∠CEA=∠BAN=30°，由30度直角三角形的性质可知AE=2AD=2，再求出弧长即可.
5．如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该物体为圆锥，底面周长为，
母线长为，
侧面展开图的面积为．
故答案为：B.
【分析】先求出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面面积公式列出算式求解即可.
6．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆锥的计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，过B作于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥底面圆周长为，，
则，
∵，，
∴，
由，可求得，
∴，，
即这根绳子的最短长度是．
故答案为：D.
【分析】将圆锥侧面展开，根据两点之间线段最短得到AC长即为最短长度，先求出展开的扇形的圆心角，连接，过B作于D，求出的长，再利用勾股定理求出长解答即可．
7．如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知OA=AB=9cm，则AB的长是（　　）
A．18πcm B．12πcm C．6πcm D．3πcm
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：，
为等边三角形，
∴，
的长．
故答案为：D.
【分析】根先得到为等边三角形，即可得到，再利用弧长公式计算即可．
8．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故和的面积相等，
∵在中，，将绕点逆时针旋转后得到，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可知，根据阴影部分的面积=扇形的面积解答即可．
9．如图，，，所组成的图形叫做“勒洛三角形”ABC.它是以等边三角形ABC的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形。若AB=2，顶点A与数轴上表示-1的点重合，将“勒洛三角形”ABC沿数轴向右滚动一周，则点A对应的数是（　　）
A．4π-1 B．5 C．2π D．2π-1
【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；三角形内角和定理；等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴，，的长度和即为以AB为半径的半圆的弧长，
以AB为半径的半圆的弧长为，
∵点A表示的数为-1，
∴将勒洛三角形ABC向右沿数轴滚动一周，则点A对应的数是2π-1，
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的三条边相等以及三角形内角和是180°得出，，的长度和即为以AB为半径的半圆的弧长，结合弧长公式和实数与数轴的关系即可求解.
10．如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于弧AB所对的圆周角可求，扇形AOB的半径已知，可直接应用弧长公式计算即可.
11．如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积（　　）
A．6 B．12 C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设半圆的圆心为点，连接，
∵正方形的边长为4，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】本题以正方形内圆弧与半圆的组合为背景，综合考查扇形面积公式、三角形面积公式以及割补法求不规则图形面积。设半圆圆心为 O，连接 OF，利用正方形性质确定相关角度与边长，分别计算扇形 AOF、扇形 BOF 及三角形 AOF 的面积，通过阴影部分面积等于两个扇形面积之和减去三角形面积的倍数关系，或通过整体面积减去空白部分面积来求解。
二、填空题
12．如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，若∠ACB=144°，则n=　 　.
【答案】5
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OA，OB
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形
∴∠D+∠ACB=180°
∵∠ACB=144°
∴∠D=180°-144°=36°
∴∠AOB=2∠D=72°，即正多边形的中心角的度数为72°
∴
故答案为：5
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OA，OB，根据圆内接四边形性质可得∠D，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，再根据圆内接正多边形性质即可求出答案.
13．如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
【分析】根据半径为圆心角为的弧长就是砝码被提起的长度，利用弧长计算公式计算出弧的长度即可。
14．短边与长边之比等于 的矩形称为“黄金矩形”.如图，四边形ABCD 是黄金矩形，且 以AB为边作正方形ABFE，点F，E分别在边 BC，AD上，得到黄金矩形 EFCD；以DE为边作正方形DEHG，点H，G分别在边 EF，CD上，得到黄金矩形HGCF.分别以F，H为圆心作 ，则曲线 BEG称为“黄金螺线”.若AD=4，则“黄金螺线”BEG 的长为　 　.(结果保留π)
【答案】2π
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：
则
∴“黄金螺线”BEG的长为：
故答案为： 2π.
【分析】根据黄金分割的比值求出AB，根据正方形、矩形的性质求出DE长，再根据弧长公式计算得到答案.
15．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…；
（1）　 　；
（2）按此规律，则　 　．
【答案】；
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，，，
∴，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】先利用扇形面积公式 ，结合 圆心角，依次求出 等的具体值，发现每一步的半径 都遵循 的规律，然后将半径规律代入扇形面积公式，得到 ；最后将 代入通项公式，计算出 。
16．某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为　 　（结果保留）．
【答案】平方米
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意知：
圆锥底面半径米，高米，
由勾股定理米 ．
圆锥侧面积公式，代入，，得
（平方米），
故答案为：平方米.
【分析】根据已知条件先求母线长，再根据圆锥侧面积公式进行计算即可得答案.
17．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ，AB弧 所在圆的圆心C恰好是∠ABO的内心，若 则阴影部分面积为　 　。
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： 如图所示： 过点C作CE⊥AB，
由条件可知∠AOB =60°， OA =OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵圆心C恰好是△ABO的内心，
∴∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°，
∴∠ACB=120°，
由条件可知
∴CE=AC·sin30°= 1，
∴弓形AB的面积为：
∴阴影部分面积为：
故答案为：
【分析】过点C作CE⊥AB，根据正多边形的性质得出△AOB为等边三角形，再由内心的性质确定∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°， 得出∠ACB=120°， 求出 再求弓形AB的面积为 即可求解.
18．随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为　 　米．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的弧长公式，
该可视区域形成的扇形弧长（米）．
故答案为：
【分析】本题以汽车360全景影像的可视范围为背景，考查了扇形弧长公式的实际应用。解题的关键是正确识别扇形弧长公式 l = 中的各个量： n 为圆心角度数（即可视角度40°）， r 为扇形半径（3米）。将已知数值代入公式后，进行约分计算： l = == 。注意结果保留 的形式，并正确书写单位（米）。理解公式中角度与弧度的对应关系（此处使用角度制）是正确列式的关键。
19． 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2， ，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．
请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是 　 　 ．
【答案】20
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形OEF的半径为R，扇形ODG的半径为r，
∵DE=4，
∴R-r=4，即R=r+4，
∵两扇形的圆心角相同，
∴，
∴r=3，R=7，
根据题意，图中阴影部分面积=S扇形OEF-S扇形ODG=×7×7-×3×3=20，
故答案为：20 .
【分析】根据类比圆面积公式的推导扇形面积，通过“大扇形-小扇形”计算阴影部分的面积即可.
20．如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接、、、、，
，
由题意可得：，，，
∴、均为等边三角形，，
∴的长为，
∵“玫瑰三叶形”的周长为，
∴，
∴，
作于，则，
∴，
由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，
∴“玫瑰三叶形”的面积为
故答案为：．
【分析】连接、、、、，由题意可得，，，从而可得、均为等边三角形，，利用扇形的面积公式及“玫瑰三叶形”的周长为，可得到关于r的方程，解方程求出r的值；作于，利用勾股定理求出OD的长；由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，故“玫瑰三叶形”的面积为，计算即可得解．
21．综合与实践——硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意，
则 是等边三角形；
则
同理得 是等边三角形，则
；
依题意，
是等边三角形；
则
同理得∠ 8是等边三角形，
则
则
∴则
故答案为：
【分析】先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于2r，证明 是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答.
三、解答题
22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，1），B（－3，1），C（－1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求，
∵B（-3，1），C（-1，4），
∴，
∴线段BC旋转过程中所扫过得面积为．
【知识点】扇形面积的计算；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由坐标点关于y轴对称的规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得△A1B1C1各点的坐标，再画出三角形；
(2)根据旋转的性质得△A2BC2各点的坐标，再画出三角形，然后利用两点距离公式求出BC的值，最后利用扇形面积计算公式进行求解.
23．如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求弧的长；
（3）若弦、弦与弧所围成的封闭图形的面积是，则
①求半圆O的半径长；
②直接写出的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵点C，D是半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的切线，点D是切点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，且，
在中，，
∴，
∴弧的长；
（3）解：①∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴封闭图形的面积=扇形的面积，
∴，
解得，即半圆O的半径长为4；
②
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：②在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【分析】(1) 先由三等分点得到圆心角为，证明，再结合切线性质，推出；
(2) 利用圆周角定理得，结合直角三角形性质求出半径，再用弧长公式计算弧的长；
(3) ①通过证明，将封闭图形面积转化为扇形的面积，从而求出半径；②先在中求出，再在中利用三角函数求出的长。
（1）证明：如图，连接，
∵点C，D是半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的切线，点D是切点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，且，
在中，，
∴，
∴弧的长；
（3）解：①∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴封闭图形的面积=扇形的面积，
∴，
解得，即半圆O的半径长为4；
②在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
24．综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）；
拓展迁移：
如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】解：（1）两点之间线段最短；
（2）剪开后，，，
最短路线的长为；
（3）圆锥的底面周长为，
设侧面展开图的圆心角度数为，
，解得，
如答图，
该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
点为中点，
是的中位线，
蚂蚁爬行的最短距离为．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）两点之间线段最短.
【分析】（1）利用线段的性质（两点之间线段最短）分析求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求解即可.
25．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是菱形，理由如下：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得，再利用圆周角的性质证得，即可证明；
（2）①利用切线的性质得到，从而证明，再证明，推出，即可证明四边形是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式可求出扇形OCD的面积，即可求得阴影部分的面积．
26．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【答案】（1）解：以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点
是正方形
（2）解：原点，为圆心、以为半径作圆
两个圆是等圆
叶瓣①的周长为：；
（3）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到．
【知识点】点的坐标；正方形的判定与性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正方形判定定理可得是正方形，则，即，即可求出答案.
（2）由题意可得两个圆是等圆，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
27． 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白、彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②，已知⊙O和圆上一点 M.作法如下：
①以点 M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分.
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将⊙O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）根据(1)画出的图形，连结AB，AC，BC.若⊙O的半径为 2 cm，则△ABC的周长为　 　cm.
【答案】（1）解：作图如下
（2）
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—边角关系；尺规作图-作圆的内接正多边形；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：（2）连接MA，MB，OA。∵MA=MB∴
又∵CM为直径
∴
∵
∴AC=BC=AB
∴是等边三角形
∵
∴
∴
在中，
∴
∴△ABC的周长为cm。
故答案为：
【分析】（1）按照题干所给的步骤尺规作图即可；
（2）根据作图可知△ABC为等边三角形，易求，进而可知，在中，解得，故△ABC的周长为cm。
28．
某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形.
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形.
（1）判断甲乙两位同学的结论(　　)
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．两位同学都正确 D．两位同学都错误
（2）如图1，⊙O的半径为3，矩形ABCD内接于圆O.丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大.以下是他的证明思路：
根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断 的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少
（3）如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，OA=3，OD=4，矩形 ABCD 的两边AB 和CD 分别为同心圆的两条弦.请你求出矩形ABCD 面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少
【答案】（1）A
（2）解：如图，已知矩形内接于圆O，连接，作，，
∵，
∴是直径，
∴，
∴
∵矩形，
∴，
即当面积最大时，矩形面积最大，
∵，，，
∴面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，
∵，，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：过作于于，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
∴的面积，
∵矩形的面积，
∴，
∴当的面积最大时，矩形的面积最大，
为两圆的半径，值恒定，以为底时，的高，
∴当时，的面积最大，
此时，，，
当时，的面积，
，
，
，
∴此时矩形的周长．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆内接正多边形；圆周角定理的推论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形；
即甲正确，乙错误．
故选：A；
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可；
（2）连接，作，，可知是直径，则，根据矩形的性质可知，即当面积最大时，矩形面积最大，由，，，可知面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，即可得到的形状；
（3）过作于于，判定四边形是矩形，得到，由垂径定理推出，求出的面积，得到，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可．
29．等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，点为半圆弧上一动点．
（1）如图1所示，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，请判断的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出的度数．
（2）如图2所示，是的“沉毅三角形”，当与相切时，判断是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出的长度．
（3）若分别以为底边作的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点从点运动到点时，分别求出点运动的路径长度．
【答案】（1）解：∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为底边作的“朴实三角形”，
∴是以为底边等腰直角三角形，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
所以的度数不发生变化，的度数为
（2）解：是的“完美三角形”，证明如下：
如图，连接，
∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切，
又∵与相切，
∴是的“完美三角形”．
∵为半圆的直径，
∴，
∴在中，．
综上，是的“完美三角形”，的长度为．

（3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴点三点共圆，所在圆的圆心为点，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴此时点运动的路径长度为；
如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴此时点运动的路径长度为；
综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；三角形-动点问题；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先根据“沉毅三角形”和“朴实三角形”的定义可知，，然后利用圆周角定理可得，最后利用圆周角定义计算出即可；
（2）是的“完美三角形”，连接，利用切线性质（OA⊥AD）和等边三角形性质求出，进而利用等腰三角形性质求出=30°，最后可证明出，从而可得，进而可得与相切，最后三角函数即可得的长度；
（3）对于“沉毅三角形”，，点D可看作点C绕点A旋转60°得到，路径长度等于点C的路径长度，对于“朴实三角形”，为等腰直角三角形，点D与点C满足位似旋转关系，找出点运动的路径，利用弧长公式计算即可得．
（1）解：∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为底边作的“朴实三角形”，
∴是以为底边等腰直角三角形，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
所以的度数不发生变化，的度数为．
（2）解：是的“完美三角形”，证明如下：
如图，连接，
∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切，
又∵与相切，
∴是的“完美三角形”．
∵为半圆的直径，
∴，
∴在中，．
综上，是的“完美三角形”，的长度为．
（3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴点三点共圆，所在圆的圆心为点，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴此时点运动的路径长度为；
如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴此时点运动的路径长度为；
综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为．
30．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：连结，取的中点，连接．
，当点在直线外时，
当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ；
【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ．
【答案】（1）4π；（2）
【知识点】坐标与图形性质；圆的相关概念；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接．
，当点在直线外时，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点P在延长线上时，
同理可得，，
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．
∴点的运动路径长为；
故答案为：；
（2）∵点的坐标为，
∴，
∵将线段绕着点逆时针旋转，
∴，
∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，
连接，取中点Q，
∵点N是的中点，
∴是三角形的中位线，
∴，
∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，
∴，
∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值，
∵，，点Q是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
（1）通过作辅助线构造辅助点，利用相似三角形的性质得到，当点在线段上和当点P在延长线上时，利用线段的和差关系得到，进而得到点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆，然后求解即可；
（2）线段OA绕O旋转后可得到OP=OA=2，通过构造辅助点Q，利用三角形中位线定理得到，点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，即可计算点Q坐标，再根据两点间距离公式得到BQ的值，进而求出BN的最小值即可.
31．阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点定长”：
如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________．
②类型二，“定角定弦”：
如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴_______，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长．
【答案】解：（1）①28；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
∵的直径，
∴，
在中，，
∴线段长的最小值为．
（2）4；
（3）如图4，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在点的运动过程中，始终有，
又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动，
∴点的运动路径是在以为直径的圆的上，
如图4，取的中点，连接，
∴，，
∴点的运动路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，
∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且，
∴，
故答案为：28．
（2）如图3，连接，
∵在矩形中，，，
∴，
∵点与点关于直线的对称，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在线段上时，的值最小，最小值为，
故答案为：4．
【分析】）（1）①以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，则点在以（定弦）为直径的上，连接交于点，此时最小，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得AC，再根据对称性质可得，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点在线段上时，的值最小，最小值为，即可求出答案.
（3）连接，交于点，根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则在点的运动过程中，始终有，点的运动路径是在以为直径的圆的上，取的中点，连接，根据弧长公式即可求出答案.
32．材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而　 　 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
1 / 1专题4.12与圆有关的计算—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（　　）
A． B． C． D．
2．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接正多边形或外切正多边形逐步逼近圆来近似地计算圆的面积.如图，⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是(　　)
A． B． C． D．
3．如图所示是某同学自制的一个乒乓球拍，正面是半径为8cm的①O，其中圆心O到AB的距离为4cm，阴影部分需要粘贴胶皮，则胶皮的面积为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，倒放在地面MN上的靠背椅ABCDE，其中四边形ABCD为正方形，边长为1，点C，D，E在同一直线上，∠BAN=30°.现将其绕点A顺时针旋转后，使得AB与地面MN重合，则点E旋转路径的长度为（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　）
A． B． C． D．
7．如图①是岳麓书院屋顶的图片，屋顶由图②中的瓦片构成，瓦片横截面如图③所示，是以点O为圆心，OA为半径的弧，已知OA=AB=9cm，则AB的长是（　　）
A．18πcm B．12πcm C．6πcm D．3πcm
8．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转40°得到，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，，，所组成的图形叫做“勒洛三角形”ABC.它是以等边三角形ABC的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形。若AB=2，顶点A与数轴上表示-1的点重合，将“勒洛三角形”ABC沿数轴向右滚动一周，则点A对应的数是（　　）
A．4π-1 B．5 C．2π D．2π-1
10．如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
11．如图，正方形的边长为4，以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆，以正方形的顶点为圆心，边长为半径在正方形内部作弧，求阴影部分的面积（　　）
A．6 B．12 C． D．
二、填空题
12．如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，若∠ACB=144°，则n=　 　.
13．如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了　 　．（结果保留）
14．短边与长边之比等于 的矩形称为“黄金矩形”.如图，四边形ABCD 是黄金矩形，且 以AB为边作正方形ABFE，点F，E分别在边 BC，AD上，得到黄金矩形 EFCD；以DE为边作正方形DEHG，点H，G分别在边 EF，CD上，得到黄金矩形HGCF.分别以F，H为圆心作 ，则曲线 BEG称为“黄金螺线”.若AD=4，则“黄金螺线”BEG 的长为　 　.(结果保留π)
15．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…；
（1）　 　；
（2）按此规律，则　 　．
16．某环保机构计划为社区沙坑制作防尘罩．沙坑中的沙子自然堆积成一个圆锥形，经测量底面半径为4米，垂直高度为3米．现需用防尘布完全覆盖沙堆的侧面以防止扬尘．则所需防尘布的最小面积为　 　（结果保留）．
17．铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O ，AB弧 所在圆的圆心C恰好是∠ABO的内心，若 则阴影部分面积为　 　。
18．随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为　 　米．
19． 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2， ，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．
请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是 　 　 ．
20．如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为　 　．
21．综合与实践——硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为　 　．
三、解答题
22．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1，1），B（－3，1），C（－1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）
23．如图，是半圆O的直径，点C，D是半圆O上的三等分点，过点D作半圆O的切线，与射线交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若，求弧的长；
（3）若弦、弦与弧所围成的封闭图形的面积是，则
①求半圆O的半径长；
②直接写出的长．
24．综合与实践
“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题：
问题情境：
如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是______；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）；
拓展迁移：
如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹．
（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离．
25．如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接．
（1）求证：；
（2）若是的切线，，连接，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求AD， AC与围成阴影部分的面积．
26．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
27． 马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白、彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图①的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图②，已知⊙O和圆上一点 M.作法如下：
①以点 M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分.
（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图②中将⊙O的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；
（2）根据(1)画出的图形，连结AB，AC，BC.若⊙O的半径为 2 cm，则△ABC的周长为　 　cm.
28．
某学习小组三位同学在探索“圆内接四边形”时，有如下讨论：
甲同学：我发现圆内接平行四边形一定是矩形.
乙同学：我发现圆内接平行四边形一定是正方形.
（1）判断甲乙两位同学的结论(　　)
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．两位同学都正确 D．两位同学都错误
（2）如图1，⊙O的半径为3，矩形ABCD内接于圆O.丙同学发现圆内接矩形有无数个，并进一步发现：当该矩形为正方形时，其面积最大.以下是他的证明思路：
根据丙同学的思路，当圆内接矩形面积最大时，请你判断 的形状，并求出圆内接矩形的最大面积是多少
（3）如图2，这两个圆都是以点O为圆心的同心圆，OA=3，OD=4，矩形 ABCD 的两边AB 和CD 分别为同心圆的两条弦.请你求出矩形ABCD 面积的最大值，并求出此时矩形的周长是多少
29．等腰三角形是指至少有两边相等的三角形，相等的两条边叫做这个三角形的腰，另一条边叫做底边．在中，以一条弦为底边向圆的外侧作等腰三角形，我们不妨约定：当这个三角形为等腰直角三角形时，我们称这个三角形为圆的“朴实三角形”，当这个三角形为等边三角形时，我们称这个三角形为圆的“沉毅三角形”，当“朴实三角形”或“沉毅三角形”的两条边都与圆相切时，我们称这个三角形为圆的“完美三角形”．已知为半圆的直径，点为半圆弧上一动点．
（1）如图1所示，若以为底边作的“沉毅三角形”，以为底边作的“朴实三角形”，请判断的度数是否发生变化，如果变化，请证明；如果不变，请求出的度数．
（2）如图2所示，是的“沉毅三角形”，当与相切时，判断是否为“完美三角形”，如果不是，请证明；如果是，请求出的长度．
（3）若分别以为底边作的“沉毅三角形”和“朴实三角形”，当点从点运动到点时，分别求出点运动的路径长度．
30．【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为6，点在上，点为外一定点，点为的中点．当点在上运动一周时，试探究点的运动的路径．
【问题解决】经过讨论，小组同学做法如下：如图②，连结，取的中点，连接由三角形的中位线性质可以推出点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
下面是部分证明过程：
证明：连结，取的中点，连接．
，当点在直线外时，
当点在直线上时，
易知．
综上，点的运动路径是以点为圆心、3为半径的圆．
【结论应用】（1）在上述问题的条件下，若点为的三等分点，且，如图③，若点在上运动一周，则点的运动路径长为 ；
【拓展提升】（2）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，将线段绕着点逆时针旋转，得到线段，点．点为的中点，点，则的最小值为 ．
31．阅读理解：
（1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型．
①类型一，“定点定长”：
如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．
解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________．
②类型二，“定角定弦”：
如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值．
请将以下解题过程补充完整．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴_______，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
请完成后面的解题过程．
（2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）．
（3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长．
32．材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而　 　 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积，
故选：．
【分析】根据扇形面积即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设圆外切正六边形的边长为a，
∴OA=a
在Rt△OAB中：∠OAB=60°，∠OBA=90°，∠AOB=30°，
∴AB=，OB=，
∴S△OAB=，
∴圆外切正六边形的面积为：12，
在Rt△OBD中：∠ODB=90°，∠AOB=30°，
∴，，
∴S△OBD= 12×BD×OD=12×34a×34a=3332a2 ∴圆内接正六边形的面积为： 12×3332a2=938a2 ， ∴ ⊙O的内接正六边形与外切正六边形的面积比是 ：.
故答案为：B.
【分析】首先根据圆内接和园外切正六边形的性质，通过计算三角形的面积得出两个正六边形的面积，进而再求出它们的比即可。
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图
由题意可得：OD=4，OA=OB=8
∴∠OAB=30°，
∴∠AOD=60°，∠AOB=2∠AOD=120°，AB=2AD=
∴
故答案为：C
【分析】OD=4，OA=OB=8，根据含30°角的直角三角形可得∠OAB=30°，则∠AOD=60°，∠AOB=2∠AOD=120°，根据勾股定理可得AD，则AB=2AD=，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD为正方形，点C，D，E在同一直线上
∴EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°
∴∠CEA=∠BAN=30°
∵AD=1
∴AE=2AD=2.
根据题意可知点E的旋转路径是以点A为圆心，AE长为半径，旋转角度为30°的弧长
∴
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得出EC//AB，∠CDA=∠EDA=90°，进而可知∠CEA=∠BAN=30°，由30度直角三角形的性质可知AE=2AD=2，再求出弧长即可.
5．【答案】B
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：该物体为圆锥，底面周长为，
母线长为，
侧面展开图的面积为．
故答案为：B.
【分析】先求出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面面积公式列出算式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；圆锥的计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，过B作于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥底面圆周长为，，
则，
∵，，
∴，
由，可求得，
∴，，
即这根绳子的最短长度是．
故答案为：D.
【分析】将圆锥侧面展开，根据两点之间线段最短得到AC长即为最短长度，先求出展开的扇形的圆心角，连接，过B作于D，求出的长，再利用勾股定理求出长解答即可．
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：，
为等边三角形，
∴，
的长．
故答案为：D.
【分析】根先得到为等边三角形，即可得到，再利用弧长公式计算即可．
8．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由题意可知，，
故和的面积相等，
∵在中，，将绕点逆时针旋转后得到，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质可知，根据阴影部分的面积=扇形的面积解答即可．
9．【答案】D
【知识点】实数在数轴上的表示；三角形内角和定理；等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴，，的长度和即为以AB为半径的半圆的弧长，
以AB为半径的半圆的弧长为，
∵点A表示的数为-1，
∴将勒洛三角形ABC向右沿数轴滚动一周，则点A对应的数是2π-1，
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的三条边相等以及三角形内角和是180°得出，，的长度和即为以AB为半径的半圆的弧长，结合弧长公式和实数与数轴的关系即可求解.
10．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】由于弧AB所对的圆周角可求，扇形AOB的半径已知，可直接应用弧长公式计算即可.
11．【答案】B
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，设半圆的圆心为点，连接，
∵正方形的边长为4，
，
，
由圆周角定理得：，
，
，
，
，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
【分析】本题以正方形内圆弧与半圆的组合为背景，综合考查扇形面积公式、三角形面积公式以及割补法求不规则图形面积。设半圆圆心为 O，连接 OF，利用正方形性质确定相关角度与边长，分别计算扇形 AOF、扇形 BOF 及三角形 AOF 的面积，通过阴影部分面积等于两个扇形面积之和减去三角形面积的倍数关系，或通过整体面积减去空白部分面积来求解。
12．【答案】5
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OA，OB
∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形
∴∠D+∠ACB=180°
∵∠ACB=144°
∴∠D=180°-144°=36°
∴∠AOB=2∠D=72°，即正多边形的中心角的度数为72°
∴
故答案为：5
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD，BD，OA，OB，根据圆内接四边形性质可得∠D，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，再根据圆内接正多边形性质即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
【分析】根据半径为圆心角为的弧长就是砝码被提起的长度，利用弧长计算公式计算出弧的长度即可。
14．【答案】2π
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；黄金分割
【解析】【解答】解：
则
∴“黄金螺线”BEG的长为：
故答案为： 2π.
【分析】根据黄金分割的比值求出AB，根据正方形、矩形的性质求出DE长，再根据弧长公式计算得到答案.
15．【答案】；
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
同理，，，
∴，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：①；②．
【分析】先利用扇形面积公式 ，结合 圆心角，依次求出 等的具体值，发现每一步的半径 都遵循 的规律，然后将半径规律代入扇形面积公式，得到 ；最后将 代入通项公式，计算出 。
16．【答案】平方米
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：根据题意知：
圆锥底面半径米，高米，
由勾股定理米 ．
圆锥侧面积公式，代入，，得
（平方米），
故答案为：平方米.
【分析】根据已知条件先求母线长，再根据圆锥侧面积公式进行计算即可得答案.
17．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解： 如图所示： 过点C作CE⊥AB，
由条件可知∠AOB =60°， OA =OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵圆心C恰好是△ABO的内心，
∴∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°，
∴∠ACB=120°，
由条件可知
∴CE=AC·sin30°= 1，
∴弓形AB的面积为：
∴阴影部分面积为：
故答案为：
【分析】过点C作CE⊥AB，根据正多边形的性质得出△AOB为等边三角形，再由内心的性质确定∠CAO=∠CAE=∠CBE=30°， 得出∠ACB=120°， 求出 再求弓形AB的面积为 即可求解.
18．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的弧长公式，
该可视区域形成的扇形弧长（米）．
故答案为：
【分析】本题以汽车360全景影像的可视范围为背景，考查了扇形弧长公式的实际应用。解题的关键是正确识别扇形弧长公式 l = 中的各个量： n 为圆心角度数（即可视角度40°）， r 为扇形半径（3米）。将已知数值代入公式后，进行约分计算： l = == 。注意结果保留 的形式，并正确书写单位（米）。理解公式中角度与弧度的对应关系（此处使用角度制）是正确列式的关键。
19．【答案】20
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形OEF的半径为R，扇形ODG的半径为r，
∵DE=4，
∴R-r=4，即R=r+4，
∵两扇形的圆心角相同，
∴，
∴r=3，R=7，
根据题意，图中阴影部分面积=S扇形OEF-S扇形ODG=×7×7-×3×3=20，
故答案为：20 .
【分析】根据类比圆面积公式的推导扇形面积，通过“大扇形-小扇形”计算阴影部分的面积即可.
20．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接、、、、，
，
由题意可得：，，，
∴、均为等边三角形，，
∴的长为，
∵“玫瑰三叶形”的周长为，
∴，
∴，
作于，则，
∴，
由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，
∴“玫瑰三叶形”的面积为
故答案为：．
【分析】连接、、、、，由题意可得，，，从而可得、均为等边三角形，，利用扇形的面积公式及“玫瑰三叶形”的周长为，可得到关于r的方程，解方程求出r的值；作于，利用勾股定理求出OD的长；由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，故“玫瑰三叶形”的面积为，计算即可得解．
21．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：依题意，
则 是等边三角形；
则
同理得 是等边三角形，则
；
依题意，
是等边三角形；
则
同理得∠ 8是等边三角形，
则
则
∴则
故答案为：
【分析】先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于2r，证明 是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答.
22．【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2BC2即为所求，
∵B（-3，1），C（-1，4），
∴，
∴线段BC旋转过程中所扫过得面积为．
【知识点】扇形面积的计算；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由坐标点关于y轴对称的规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得△A1B1C1各点的坐标，再画出三角形；
(2)根据旋转的性质得△A2BC2各点的坐标，再画出三角形，然后利用两点距离公式求出BC的值，最后利用扇形面积计算公式进行求解.
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵点C，D是半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的切线，点D是切点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，且，
在中，，
∴，
∴弧的长；
（3）解：①∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴封闭图形的面积=扇形的面积，
∴，
解得，即半圆O的半径长为4；
②
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（3）解：②在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【分析】(1) 先由三等分点得到圆心角为，证明，再结合切线性质，推出；
(2) 利用圆周角定理得，结合直角三角形性质求出半径，再用弧长公式计算弧的长；
(3) ①通过证明，将封闭图形面积转化为扇形的面积，从而求出半径；②先在中求出，再在中利用三角函数求出的长。
（1）证明：如图，连接，
∵点C，D是半圆O上的三等分点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是半圆O的切线，点D是切点，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，且，
在中，，
∴，
∴弧的长；
（3）解：①∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴封闭图形的面积=扇形的面积，
∴，
解得，即半圆O的半径长为4；
②在中，，，
∴，
∴，
在中，，
∴．
24．【答案】解：（1）两点之间线段最短；
（2）剪开后，，，
最短路线的长为；
（3）圆锥的底面周长为，
设侧面展开图的圆心角度数为，
，解得，
如答图，
该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
点为中点，
是的中位线，
蚂蚁爬行的最短距离为．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）两点之间线段最短.
【分析】（1）利用线段的性质（两点之间线段最短）分析求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求解即可.
25．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①四边形是菱形，理由如下：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
过点作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为
【知识点】菱形的判定与性质；圆内接四边形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质证得，再利用圆周角的性质证得，即可证明；
（2）①利用切线的性质得到，从而证明，再证明，推出，即可证明四边形是菱形；②先计算，再利用扇形的面积公式可求出扇形OCD的面积，即可求得阴影部分的面积．
26．【答案】（1）解：以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点
是正方形
（2）解：原点，为圆心、以为半径作圆
两个圆是等圆
叶瓣①的周长为：；
（3）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到．
【知识点】点的坐标；正方形的判定与性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正方形判定定理可得是正方形，则，即，即可求出答案.
（2）由题意可得两个圆是等圆，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
27．【答案】（1）解：作图如下
（2）
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—边角关系；尺规作图-作圆的内接正多边形；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：（2）连接MA，MB，OA。∵MA=MB∴
又∵CM为直径
∴
∵
∴AC=BC=AB
∴是等边三角形
∵
∴
∴
在中，
∴
∴△ABC的周长为cm。
故答案为：
【分析】（1）按照题干所给的步骤尺规作图即可；
（2）根据作图可知△ABC为等边三角形，易求，进而可知，在中，解得，故△ABC的周长为cm。
28．【答案】（1）A
（2）解：如图，已知矩形内接于圆O，连接，作，，
∵，
∴是直径，
∴，
∴
∵矩形，
∴，
即当面积最大时，矩形面积最大，
∵，，，
∴面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，
∵，，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：过作于于，
∵四边形是矩形，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
，
∴的面积，
∵矩形的面积，
∴，
∴当的面积最大时，矩形的面积最大，
为两圆的半径，值恒定，以为底时，的高，
∴当时，的面积最大，
此时，，，
当时，的面积，
，
，
，
∴此时矩形的周长．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆内接正多边形；圆周角定理的推论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）解：圆内接四边形的对角互补，对角互补的平行四边形是矩形；
即甲正确，乙错误．
故选：A；
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补及对角互补的平行四边形是矩形作答即可；
（2）连接，作，，可知是直径，则，根据矩形的性质可知，即当面积最大时，矩形面积最大，由，，，可知面积最大，矩形面积最大，此时为半径，即与重合，即可得到的形状；
（3）过作于于，判定四边形是矩形，得到，由垂径定理推出，求出的面积，得到，因此当的面积最大时，矩形的面积最大，当时，的面积最大，进而根据矩形的性质及勾股定理作答即可．
29．【答案】（1）解：∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为底边作的“朴实三角形”，
∴是以为底边等腰直角三角形，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
所以的度数不发生变化，的度数为
（2）解：是的“完美三角形”，证明如下：
如图，连接，
∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切，
又∵与相切，
∴是的“完美三角形”．
∵为半圆的直径，
∴，
∴在中，．
综上，是的“完美三角形”，的长度为．

（3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴点三点共圆，所在圆的圆心为点，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴此时点运动的路径长度为；
如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴此时点运动的路径长度为；
综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定与性质；弧长的计算；三角形-动点问题；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）先根据“沉毅三角形”和“朴实三角形”的定义可知，，然后利用圆周角定理可得，最后利用圆周角定义计算出即可；
（2）是的“完美三角形”，连接，利用切线性质（OA⊥AD）和等边三角形性质求出，进而利用等腰三角形性质求出=30°，最后可证明出，从而可得，进而可得与相切，最后三角函数即可得的长度；
（3）对于“沉毅三角形”，，点D可看作点C绕点A旋转60°得到，路径长度等于点C的路径长度，对于“朴实三角形”，为等腰直角三角形，点D与点C满足位似旋转关系，找出点运动的路径，利用弧长公式计算即可得．
（1）解：∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵以为底边作的“朴实三角形”，
∴是以为底边等腰直角三角形，
∴，
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
所以的度数不发生变化，的度数为．
（2）解：是的“完美三角形”，证明如下：
如图，连接，
∵是的“沉毅三角形”，
∴是等边三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴与相切，
又∵与相切，
∴是的“完美三角形”．
∵为半圆的直径，
∴，
∴在中，．
综上，是的“完美三角形”，的长度为．
（3）解：如图，以为底边作的“沉毅三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
取的中点，连接，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴在中，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴点三点共圆，所在圆的圆心为点，
∴当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是等边三角形，且，
∴，
∴此时点运动的路径长度为；
如图，以为底边作的“朴实三角形”，其中，当点运动到点时，与重合，
同理可证：当点从点运动到点时，点运动的路径是在以为直径的半圆上，
∵是以为底边的等腰直角三角形，
∴，
∴在中，，
∴此时点运动的路径长度为；
综上，以为底边作的“沉毅三角形”，点运动的路径长度为；以为底边作的“朴实三角形”，点运动的路径长度为．
30．【答案】（1）4π；（2）
【知识点】坐标与图形性质；圆的相关概念；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）如图所示，在上取点Q，使，连接．
，当点在直线外时，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
当点在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点P在延长线上时，
同理可得，，
综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．
∴点的运动路径长为；
故答案为：；
（2）∵点的坐标为，
∴，
∵将线段绕着点逆时针旋转，
∴，
∴点P在以点O为圆心，半径为2的圆上运动，
连接，取中点Q，
∵点N是的中点，
∴是三角形的中位线，
∴，
∴点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，
∴，
∴当点Q，B，N三点共线，且点N运动到线段上时，有最小值，即的值，
∵，，点Q是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
（1）通过作辅助线构造辅助点，利用相似三角形的性质得到，当点在线段上和当点P在延长线上时，利用线段的和差关系得到，进而得到点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆，然后求解即可；
（2）线段OA绕O旋转后可得到OP=OA=2，通过构造辅助点Q，利用三角形中位线定理得到，点Q在以点N为圆心，半径为1的圆上运动，即可计算点Q坐标，再根据两点间距离公式得到BQ的值，进而求出BN的最小值即可.
31．【答案】解：（1）①28；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，（定角）
∴点在以（定弦）为直径的上，
如图2，连接交于点，此时最小．
∵的直径，
∴，
在中，，
∴线段长的最小值为．
（2）4；
（3）如图4，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在点的运动过程中，始终有，
又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动，
∴点的运动路径是在以为直径的圆的上，
如图4，取的中点，连接，
∴，，
∴点的运动路径长为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，
∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且，
∴，
故答案为：28．
（2）如图3，连接，
∵在矩形中，，，
∴，
∵点与点关于直线的对称，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
∴当点在线段上时，的值最小，最小值为，
故答案为：4．
【分析】）（1）①以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，则点在以（定弦）为直径的上，连接交于点，此时最小，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得AC，再根据对称性质可得，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点在线段上时，的值最小，最小值为，即可求出答案.
（3）连接，交于点，根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，则在点的运动过程中，始终有，点的运动路径是在以为直径的圆的上，取的中点，连接，根据弧长公式即可求出答案.
32．【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
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