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专题5.1 平移与轴对称—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是(　　)
A． B． C． D．
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF，其中A，B，C的对应点分别是点D，E，F.若点E是BC的中点，AB=4，AC=8。则点A与点D之间的距离为(　　)
A． B． C． D．4
4．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，2），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，2） D．（﹣2，）
6．如图是一块矩形ABCD的场地，长米，宽米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（　　）
方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置．
A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行
C．唯方案一可行 D．唯方案二可行
9．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则当A'C取得最小值时，则∠DCA'的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是　 　；
12．在平面直角坐标系xOy中，对于点W和点M（m，n）给出如下定义：将点W先关于直线x=m翻折，再向上（n≥0时）或向下（n<0时）平移|n|个单位，得到的点叫作点W关于点M的“关联点”.若点B（2，1）关于点C的关联点的坐标是（-3，0），则点C的坐标是　 　.
13．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为　 　．
14．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为　 　．
15．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为　 　．
16．如图，中，与之和为，将沿方向平移至处，，则阴影部分周长为　 　．
三、解答题
17．如图，在7×7正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. A，B，C三点均在格点上.现以一个格点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，点B的坐标为B(-2，1).
（1）点C的坐标为　 　；
（2）连接AB，将线段AB平移，使点B平移到点C的位置，点A平移到点 D的位置，请在图中标出点 D 的位置，并写出点 D 的坐标；
（3）连接AC ，BC ，求 的面积.
18．如图所示，三个顶点的坐标分别为．
（1）作关于x轴的对称图形，并给出三个顶点的坐标；
（2）在x轴上存在点P，使得的面积，求出点P的坐标．
19．已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）求的面积；
（3）中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．
20．如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象；
（3）将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
21．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．
22．波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，，，，求连杆的最小值．（结果精确到）
（参考数据：）
23．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
（2）如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知，求的最小值．（可结合图形）
24．综合与实践．
主题：纸张规格的奥秘．
材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性．
探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是：
①各长方形纸张的长宽比都相等；
②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸．
（1）直接写出系纸长与宽的比______．
（2）如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比．
（3）在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明．
25．问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A 的对应点落在边上点 D 处，折痕为， 若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕．
初步尝试：
（1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；
类比探究：
（2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P， 若，，求 的值；
拓展应用：
（3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若是的顶角，折痕，点A到折痕的距离为4，求边的长．
26．综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量. 下面我们来探究以下问题：
在矩形ABCD中， AB=6， AD=9，点E是边AD上一动点，连接BE，作△ABE关于直线BE对称的△FBE，点A 的对称点为点 F.
图1 图2 图3
（1）如图1，当点 F落在边 BC上时，求证：四边形 EFCD 是矩形；
（2）如图2，当AE=8时， EF交BC于点G，以BE为直径作⊙O经过点A.
①求 BG的长；
②求证：CD是⊙O的切线；
（3）当点F落在∠ABC的三等分线上时，请直接写出AE的长.
27．翻折问题是初中数学中重要的几何变换之一，是欧氏几何重要的工具，蕴含着深刻的数学思想，是理解对称，全等图形的重要基础．以下某数学兴趣班在数学活动课中研究四边形的翻折问题．
（1）【探究活动一】如图小明先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，再把把这个矩形展平，连接DM，点E为BC上一点，然后沿直线DE折叠，使得点C的对应点F落在MD上．若AB＝10，BC＝12，则的值为　 　；
　 探究过程 探究方法
第一小组 第一小组同学通过延长AB，DE交于点G，推导出MG＝MD，并利用△BEG∽△CED，求出．
第二小组 第二小组同学通过连接ME，在Rt△BEM与Rt△FEM中，利用勾股定理解方程，求出．
请你选择以上两种方法中的一种，通过推导演算求出的值．
（2）【探究活动二】如图小李将矩形ABCD改为正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，把这个正方形展平，连接DM，点E为BC上一点，然后沿直线DE折叠，使得点C的对应点C'落在MD上．请求出的值为　 　．
（3）【探究活动三】 ABCD中，AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将 ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，折痕与直线AD交于点E，若DE＝1，请求出m的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图，
与成轴对称的格点三角形有共5个．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称的定义画出与成轴对称的格点三角形解答即可．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：如图：
根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现6种等可能情况，只有4种是轴对称图形，分别标有1，2，3，4；
使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：连接AD，
∵中，，，
∴，
∵将沿的方向平移得到，点是的中点，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求得的长，根据平移和中点的定义求出，解答即可．
4．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作轴，作交的延长线于点，则：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移，
∴，
∴，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴；
故选B．
【分析】过点作轴，作交的延长线于点，则：根据相似三角形判定定理可得，则，解直角三角形可得，代入等式可得，根据平移性质可得，根据点的坐标可得，再根据点的平移即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；数形结合
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：
∵点A（1，0）， C（1，2），
∴
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD=，点D（1，）
∴BD=3，
∴点B（-2，），
∴ 将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（-3，），
故答案为：A.
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，由A、C的坐标可知AC⊥x轴，AC∥y轴，由等边三角形的性质可得点B（-2，），再根据坐标系中图形平移的规律即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知，矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新矩形，
且它的长为：99-2=97(m)
宽为：41-1=40(m)
∴草坪的面积应该是长×宽=97×40=3880(m2)
故答案为：B.
【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答.
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最小时，取得最大值，
根据垂线段最短，
∴时，取得最大值，
∴，
故选：A．
【分析】
由折叠知BE＝BC＝12，则当BF最小时EF最大，由垂线段最短知当BE垂直AC时BF最小，此时可分别作的高AM和BM，则由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得AN的长，再由等面积法求出BM的长，则当F与M重合时EF最大．
8．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可．
在方案一中：垂直于河岸，，
连接，与另一条河岸相交于M，作直线，
由平移的性质，知，且，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
故方案一符合题意，方案二不是最短，
故答案为：C．
【分析】利用两点之间的距离公式及平行线的性质并结合图形分析求解即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查折叠性质与平行线性质，折叠得，由得，结合折叠角相等推出，再用三角形内角和求。
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】因为菱形ABCD边长为4，∠A=60°，M是AD中点，
故MA=MD=2。
由翻折知MA'=MA=2，
所以点A在以M为圆心，2为半径的圆弧上。
根据几何性质，当C、A'、M三点共线时，AC取得最小值。
如图，过点M作MG⊥CD，交CD的延长线于点G。
因为AD‖BC，∠A=60°，所以∠MDG=60°。
在Rt△MDG中，MD=2，∠MDG=60°，得DG=MD·cos60°=1，
MG=MD×sin60°=.
菱形边长为4，则CD=4，故CG=CD+DG=4+1=5.
在Rt△MCG中，由勾股定理得：CM=。
此时A'在CM上，且MA'=2，故CA'=CM-MA'=.
在Rt△MCG中，，
故答案为：B.
【分析】利用翻折的性质确定A的轨迹为以M为圆心、MA为半径的圆弧，根据"点到圆的最短距离”原理，当C、A'、M三点共线时，A'C取得最小值。随后通过解△MCD，构造直角三角形求∠DCA的正弦值。
11．【答案】12
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12.
【分析】由平移的性质可得，即可得到AC长，利用线段的和差解答即可．
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图，点B(2，1)关于直线翻折后的横坐标为-3，纵坐标不变为1，再向下平移1个单位长度后坐标为(-3，0)，
∴点C的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据新定义，先确定对称轴，再确定平移距离.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由题意，得，，，，，
作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，
则过点C，，四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质得到，，即可得到PA+PB的最小值为A'B的长，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出的值即可解答．
14．【答案】4
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接， ，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，如图，
∴的最小值为．
故答案为：4．
【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，连接，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，当、、三点共线时，最小，即此时最短距离为r的长，根据可得结论．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
由折叠可知，，，
设，
则，
，
解得
，
．
故答案为：；
【分析】先根据矩形和折叠性质得到 AB=BC+BE 及 BF+EF=BC，再结合等腰直角三角形的边长关系设未知数，列方程求解 BE，最后算出AB的长度。
16．【答案】16
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移性质得，，
∵与之和为，，
∴阴影部分周长为，
故答案为：16．
【分析】利用平移性质可证得，同时可得到CF的长，然后求出阴影部分的周长即可.
17．【答案】（1）（2，2）
（2）解：点 D的位置如图所示， D(4，1).
（3）解：
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）根据平面直角坐标系可得点C的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）.
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点C的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B的对应点，再连接并直接求出点D的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出三角形的面积即可.
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（2）解：由题知，．
∵，
∴，
则，
则．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】
（1）关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标不变、纵坐标互为相反数，即分别作A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）先利用割补法求出的面积，再利用面积关系求出CP的长，再利用数轴上两点间的距离求出点P的坐标即可．
（1）解：如图所示，即为所求作的三角形．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（2）解：由题知，
．
∵，
∴，
则，
则．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为或．
19．【答案】（1），，
（2）解：如图
的面积
；
（3）解：由题意可得：
把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．
如图，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据各点位置求出点的坐标即可.
（2）根据割补法，结合梯形，三角形面积即可求出答案.
（3）根据点的平移作出，再依次连接即可求出答案.
（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；
（2）的面积
；
（3）∵点经平移后对应点为，
∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．
如图，
20．【答案】（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
（3）解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；描点法画函数图象；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据点的平移可得，再将点A'坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
（3）解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
21．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∵把 沿着AD方向平移，得到
∴四边形A'ECF是平行四边形，
即平移过程中.线段A'E的长始终与CF相等；
（2）解：
设AA'=x，A'E=a，A'F=b，
即
解得
同理
解得
当A'E=A'F时，四边形A'ECF是菱形，
解得
∴移动的距离.AA'为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据平移的性质得到 推出四边形A'ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到结论即可；
(2)先根据勾股定理求出AC长，然后根据平行可得△DA'F∽△DAC，再根据对应边成成比例解答即可.
22．【答案】解：如图，
连接交于点，过点作于点，过点作于点．
由题意可知四边形和四边形是矩形．
∴
由轴对称的性质可得
∵
∴
∴
∵
∴，
在中，，
∴
在中，，
∴
∴
∴
解得
∴
当点运动到点处时，即三点共线时，取得最小值，即
答：连杆的最小值是．
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念
【解析】【分析】连接交于点，过点作于点，过点作于点．根据矩形的性质得到，根据轴对称的性质得到，从而计算，HG=1，再计算角度，，根据正切的三角函数得到CG=EG，在中，解直角三角形得到AH，MN，再建立方程求得，，再根据点的位置固定不变，可得的值最小为线段的长度，解答即可．
23．【答案】（1）D
（2）解： 如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）解：如图，设线段，作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
【分析】
（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；
（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；
（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得，显然当A、M、B三点共线时AM+BM最小，即AM+BM＝AB，再利用勾股定理求出AB的长即可．
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
24．【答案】（1）
（2）解：四边形纸片不是系纸片，在长方形中，，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠可得，，
连接，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为．
（3）解：设，则，∵四边形是系纸片，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，
如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片，
证明：由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片是系纸片．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，
∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等，
∴，
∴，
∴，
∴系纸长与宽的比为．
故答案为：
【分析】
（1）设纸的长为，宽为，表示出纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，计算可得， 由此即可解答；
（2）根据折叠的性质得到，，， 在计算角度可得， 根据平行线的判定可得，从而判定得到四边形为正方形，根据正方形的性质得到，， 由此可判定四边形是矩形，根据折叠的性质得到，，连接，设，，可表示出，，， 在由勾股定理可得，根据割补法求面积得到，根据面积公式代入计算，然后判断求出长与宽的比值，解答即可；
（3）设，则，根据系纸的比可得，再表示出，即可计算，结合系纸片长与宽的比进行判断；折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，根据折叠的性质可得，， 再根据平行线的判定可得，，根据平行线的性质和正方形的性质可得，， 从而判定得到四边形是正方形，四边形是矩形，根据正方形和矩形的性质得到，，再计算，即可证明是系纸片，解答即可．
（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，
∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等，
∴，
∴，
∴，
∴系纸长与宽的比为．
（2）解：四边形纸片不是系纸片，
在长方形中，，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠可得，，
连接，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为．
（3）解：设，则，
∵四边形是系纸片，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，
如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片，
证明：由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片是系纸片．
25．【答案】（1）证明：由折叠可知：，
∵点E，F分别是的边，的中点，
∴，
∴，
∴与均为等腰三角形，
∴折痕是的双等腰折痕；
（2）解：∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵点E为的中点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴点F是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理可得，
∴，
过点E作于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，交于点H，过点F作于点N，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵是的顶角，
∴∠BED=∠BDE，
∵在菱形中，，DF∥AE，
∴ ∠BDE=∠C=∠DFC=∠BAC=∠BED，
∴，
过点D作于点R，
∴，
∴，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由折叠性质得，由中点定义得AE=BE，AF=FC，则，然后根据等腰三角形定义可得△BDE与△CDF都是等腰三角形，进而根据新定义即可得出结论；
（2）由题意易得与均为等腰三角形，由中点定义及折叠性质可推出BE=ED，由等边对等角得，由折叠性质、直角三角形两锐角互余、平角定义及等角的余角相等推出∠C=∠FDC，由等角对等边得出FD=FC，结合折叠推出AF=FC，由三角形中位线定理得出EF∥BC，且EF=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得出；在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC=10，由余弦函数定义求出；过点E作于点M，由等哟啊三角形的三线合一得出BD=2BM，在Rt△BME中，由∠ABC的余弦函数求出BM，从而可得BM的长，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可；
（3）由折叠及已知得AE=ED=FD=AF，由四边相等的四边形是菱形得出四边形AEDF是菱形；连接，交于点H，过点F作于点N，由菱形对角线垂直平分得，由勾股定理得AE=ED=DF=AF=5，根据菱形面积公式及等面积法求出FN，再利用勾股定理算出AN，则；由菱形对边平行得ED∥AC，DF∥AE由平行线性质推出∠BDE=∠C=∠DFC=∠BAC=∠BED，由等角对等边得出FD=DC=5；过点D作DR⊥AC于点R，由等腰三角形的三线合一及等角同名三角函数值相等可求出CR，进而得到FC，最后根据线段和差可算出AC.
26．【答案】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
图1
∴∠A=∠C=∠D=90°.
∵△ABE与△FBE关于直线BE对称，
∴△ABE≌△FBE.
∴∠A=∠BFE=90°.
∴∠EFC=90°.
∴∠EFC=∠C=∠D=90°.
∴四边形EFCD是矩形.
（2）解：①由(1)知，△ABE≌△FBE，
∴∠BFE=∠A=90°，∠AEB=∠FEB，EF=EA=8，BF=BA=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠FEB，
∴BG=EG，
设BG=x，则GE=x，GF=8-x，
在Rt△BGF中，
即
解得 即
②如图2，过圆心O作直线MN⊥CD于点N，交AB于点M，
图2
∴∠MND=∠A=∠D=90°.
∴四边形AMND是矩形.
∴MN=AD=9，MN⊥AB.
∴AM=BM，即点M是AB中点.
又∵O是BE中点，
∴OM是△ABE中位线.
∴ON=MN-OM=9-4=5，
在Rt△ABE中，
即ON为⊙O的半径.
∴点N在⊙O上.
又∵ON⊥CD，
∴CD是⊙O的切线.
（3）解：2或12-6
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定；轴对称的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3）当点F落在∠ABC的三等分线上时，有以下两种情况：
①如图3.1，当时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ABF=30°，
在Rt△ABG中，AB=6
∴，
∠AGB=60°，
∵△ABE≌△FBE，
∴∠A=∠BFE=90°，EF=AE，
∴∠EFG=90，
在Rt△EFG中，，
∵AE+EG=AG，
∴，
∴；
②如图3.2，当时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ABF=60°，
∵△ABE≌△FBE，
∴，
在Rt△ABE中，AB=6
∴.
【分析】（1）本题考查矩形的性质与判定，结合轴对称图形的性质即可证明.根据矩形的性质可直接说明∠C=∠D=90°；结合轴对称图形的性质可得∠EFC=90°，利用“三个角是直角的四边形是矩形”判定.
（2）①本小题主要根据勾股定理结合方程思想解答.第一步：根据矩形对边平行得到内错角相等，即∠AEB=∠EBG，结合对称的性质“对应角相等”，得到∠AEB=∠FEB，所以∠EBG=∠FEB，再由“等角对等边”得到BG=EG；第二步：在Rt△BGF中，根据勾股定理列方程，解出x即可；
②本小题考查圆切线的判定“经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线”，即CD满足两点：1、CD垂直于圆的半径；2、CD经过半径外端.由此可作辅助线“过圆心O作直线MN⊥CD于点N，交AB于点M”，那么接下来只需证明ON长度是半径即可：首先可证四边形AMND是矩形，根据“垂径定理”与点O是圆心可知OM是△ABE中位线，再由中位线性质及MN长求出ON的长为5；最后根据勾股定理可求出圆O的直径为10，因此可判断ON长为半径，得证.
（3）分析题干“ 点F落在∠ABC的三等分线上 ”应当有两种情况，对于两种情况分别作出对应图示，根据图示进行分析解答，这里主要运用了锐角三角函数进行相应计算.
27．【答案】（1）
（2）
（3）解：设CD的中点是F，如图4，当点E在线段AD上时，作FG⊥AD，交AD的延长线于G，
∴∠G＝90°，
∵∠FDG＝∠A＝60°，FDCD，
∴DGDF＝1，FGFD，
∴EG＝DG+DE＝2，
∴EF，
∴AE＝EF，
∴m＝AE+DE；
如图5，当点E在AD的延长线上时，
由上可知，DG＝1，FG，
∴DG＝DE，
∴点G和点E重合，
∴AE＝EF，
∴m＝AE﹣DE，
综上所述，AD1或1．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）第一小组：延长AB，DE交于点G
∵将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN
∴
∴
∵AB∥CD
∴∠G=∠CDE
由折叠可得，∠CDE=∠FDE
∴∠G=∠FDE
∴MG=DM=13
∴BG=13-5=8
∵BG∥CD
∴△BGE∽△CDE
∴
故答案为：
第二组：连接ME，设BE=x，则CE=12-x
由折叠可得，DF=CD=10，EF=CE=12-x，∠DFE=∠C=90°
∴∠EFM=90°
∵DM=13
∴FM=DM-DF=3
∵BM2+BE2=EF2+FM2
∴52+x2=(12-x)2+32
解得：
∴
∴
故答案为：
（2）延长DE，交AB的延长线于点G，设正方形的边长为2a，
则
同理（1）可得，
故答案为：
【分析】（1）第一小组：延长AB，DE交于点G，根据折叠性质可得，根据勾股定理可得DM，根据直线平行性质可得∠G=∠CDE，由折叠可得，∠CDE=∠FDE，则∠G=∠FDE，根据等角对等边可得MG=DM=13，根据边之间的关系可得BG，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案；
第二组：连接ME，设BE=x，则CE=12-x，由折叠可得，DF=CD=10，EF=CE=12-x，∠DFE=∠C=90°，根据边之间的关系可得FM，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长DE，交AB的延长线于点G，设正方形的边长为2a，则，同理（1）即可求出答案；
（3）设CD的中点是F，分情况讨论：当点E在线段AD上时，作FG⊥AD，交AD的延长线于G，根据含30°角的直角三角形性质可得DGDF＝1，FGFD，根据边之间的关系可得EG，再根据勾股定理可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案；当点E在AD的延长线上时，由上可知，DG＝1，FG，则点G和点E重合，AE＝EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1专题5.1 平移与轴对称—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，在2×2的正方形网格中，有一个格点△ABC（三角形的三个顶点都在格点上），则网格中所有与△ABC成轴对称的格点三角形有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：如图，
与成轴对称的格点三角形有共5个．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称的定义画出与成轴对称的格点三角形解答即可．
2．如图，正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：如图：
根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现6种等可能情况，只有4种是轴对称图形，分别标有1，2，3，4；
使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是
故答案为：B
【分析】根据概率公式即可求出答案.
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF，其中A，B，C的对应点分别是点D，E，F.若点E是BC的中点，AB=4，AC=8。则点A与点D之间的距离为(　　)
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：连接AD，
∵中，，，
∴，
∵将沿的方向平移得到，点是的中点，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理求得的长，根据平移和中点的定义求出，解答即可．
4．如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作轴，作交的延长线于点，则：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移，
∴，
∴，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴；
故选B．
【分析】过点作轴，作交的延长线于点，则：根据相似三角形判定定理可得，则，解直角三角形可得，代入等式可得，根据平移性质可得，根据点的坐标可得，再根据点的平移即可求出答案.
5．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A（1，0），C（1，2），将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（　　）
A．（﹣3，） B．（，3） C．（，2） D．（﹣2，）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣平移；数形结合
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：
∵点A（1，0）， C（1，2），
∴
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
∵BD⊥AC，
∴AD=CD=，点D（1，）
∴BD=3，
∴点B（-2，），
∴ 将△ABC向左平移1个单位长度，则平移后点B的坐标为（-3，），
故答案为：A.
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，由A、C的坐标可知AC⊥x轴，AC∥y轴，由等边三角形的性质可得点B（-2，），再根据坐标系中图形平移的规律即可得出答案.
6．如图是一块矩形ABCD的场地，长米，宽米，从A，B两处入口的路宽都为1米，两小路汇合处路口宽为2米，其余部分种植草坪面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：由图可知，矩形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新矩形，
且它的长为：99-2=97(m)
宽为：41-1=40(m)
∴草坪的面积应该是长×宽=97×40=3880(m2)
故答案为：B.
【分析】根据已知将道路平移，再利用矩形的性质求出长和宽，再进行解答.
7．如图，在中，，，点D为边上一动点，将沿折叠得到，与交于点F，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点A作于点N，过点B作于点M，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，
∴，
∴当最小时，取得最大值，
根据垂线段最短，
∴时，取得最大值，
∴，
故选：A．
【分析】
由折叠知BE＝BC＝12，则当BF最小时EF最大，由垂线段最短知当BE垂直AC时BF最小，此时可分别作的高AM和BM，则由等腰三角形三线合一结合勾股定理可得AN的长，再由等面积法求出BM的长，则当F与M重合时EF最大．
8．如图，直线、表示一条河的两岸，且．现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案．下列说法正确的是（　　）
方案一： ①格点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点，即桥的位置． 方案二： ①连接交于点；②过点作，交于点，即桥的位置．
A．方案一、二均可行 B．方案一、二均不可行
C．唯方案一可行 D．唯方案二可行
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要最短即可．
在方案一中：垂直于河岸，，
连接，与另一条河岸相交于M，作直线，
由平移的性质，知，且，
根据“两点之间线段最短”，最短，即最短．
故方案一符合题意，方案二不是最短，
故答案为：C．
【分析】利用两点之间的距离公式及平行线的性质并结合图形分析求解即可.
9．如图，在中，，把沿着对折，使得点落在边上的点处，再把沿着翻折得到，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D
【分析】本题考查折叠性质与平行线性质，折叠得，由得，结合折叠角相等推出，再用三角形内角和求。
10．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，M是AD的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则当A'C取得最小值时，则∠DCA'的正弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】因为菱形ABCD边长为4，∠A=60°，M是AD中点，
故MA=MD=2。
由翻折知MA'=MA=2，
所以点A在以M为圆心，2为半径的圆弧上。
根据几何性质，当C、A'、M三点共线时，AC取得最小值。
如图，过点M作MG⊥CD，交CD的延长线于点G。
因为AD‖BC，∠A=60°，所以∠MDG=60°。
在Rt△MDG中，MD=2，∠MDG=60°，得DG=MD·cos60°=1，
MG=MD×sin60°=.
菱形边长为4，则CD=4，故CG=CD+DG=4+1=5.
在Rt△MCG中，由勾股定理得：CM=。
此时A'在CM上，且MA'=2，故CA'=CM-MA'=.
在Rt△MCG中，，
故答案为：B.
【分析】利用翻折的性质确定A的轨迹为以M为圆心、MA为半径的圆弧，根据"点到圆的最短距离”原理，当C、A'、M三点共线时，A'C取得最小值。随后通过解△MCD，构造直角三角形求∠DCA的正弦值。
二、填空题
11．如图1的“方胜”由两个全等正方形交错叠合而成，是中国古代象征同心吉祥的一种装饰图案．如图2，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，如果平移距离为3，且，那么点A到点G的距离是　 　；
【答案】12
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成“方胜”图案，平移距离为3，且，
∴，
∴，
∴．
故答案为：12.
【分析】由平移的性质可得，即可得到AC长，利用线段的和差解答即可．
12．在平面直角坐标系xOy中，对于点W和点M（m，n）给出如下定义：将点W先关于直线x=m翻折，再向上（n≥0时）或向下（n<0时）平移|n|个单位，得到的点叫作点W关于点M的“关联点”.若点B（2，1）关于点C的关联点的坐标是（-3，0），则点C的坐标是　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图，点B(2，1)关于直线翻折后的横坐标为-3，纵坐标不变为1，再向下平移1个单位长度后坐标为(-3，0)，
∴点C的坐标为，
故答案为：.
【分析】根据新定义，先确定对称轴，再确定平移距离.
13．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由题意，得，，，，，
作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，
则过点C，，四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质得到，，即可得到PA+PB的最小值为A'B的长，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出的值即可解答．
14．如图，正方形中，，是上一点，且，是上一动点，若将沿对折后，点落在点处，则点到点的最短距离为　 　．
【答案】4
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接， ，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质可知：，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，如图，
∴的最小值为．
故答案为：4．
【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，连接，，由勾股定理得出，由折叠的性质可得出，当、、三点共线时，最小，即此时最短距离为r的长，根据可得结论．
15．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
由折叠可知，，，
设，
则，
，
解得
，
．
故答案为：；
【分析】先根据矩形和折叠性质得到 AB=BC+BE 及 BF+EF=BC，再结合等腰直角三角形的边长关系设未知数，列方程求解 BE，最后算出AB的长度。
16．如图，中，与之和为，将沿方向平移至处，，则阴影部分周长为　 　．
【答案】16
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移性质得，，
∵与之和为，，
∴阴影部分周长为，
故答案为：16．
【分析】利用平移性质可证得，同时可得到CF的长，然后求出阴影部分的周长即可.
三、解答题
17．如图，在7×7正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点. A，B，C三点均在格点上.现以一个格点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，建立平面直角坐标系，点B的坐标为B(-2，1).
（1）点C的坐标为　 　；
（2）连接AB，将线段AB平移，使点B平移到点C的位置，点A平移到点 D的位置，请在图中标出点 D 的位置，并写出点 D 的坐标；
（3）连接AC ，BC ，求 的面积.
【答案】（1）（2，2）
（2）解：点 D的位置如图所示， D(4，1).
（3）解：
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）根据平面直角坐标系可得点C的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）.
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点C的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B的对应点，再连接并直接求出点D的坐标即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出三角形的面积即可.
18．如图所示，三个顶点的坐标分别为．
（1）作关于x轴的对称图形，并给出三个顶点的坐标；
（2）在x轴上存在点P，使得的面积，求出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（2）解：由题知，．
∵，
∴，
则，
则．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为或．
【知识点】点的坐标；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】
（1）关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标不变、纵坐标互为相反数，即分别作A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）先利用割补法求出的面积，再利用面积关系求出CP的长，再利用数轴上两点间的距离求出点P的坐标即可．
（1）解：如图所示，即为所求作的三角形．
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
（2）解：由题知，
．
∵，
∴，
则，
则．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为或．
19．已知，在平面直角坐标系中的位置如图所示
（1）写出A、B、C三点的坐标；
（2）求的面积；
（3）中任意一点经平移后对应点为，将作同样的平移得到，画出．
【答案】（1），，
（2）解：如图
的面积
；
（3）解：由题意可得：
把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．
如图，
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）根据各点位置求出点的坐标即可.
（2）根据割补法，结合梯形，三角形面积即可求出答案.
（3）根据点的平移作出，再依次连接即可求出答案.
（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：，，；
（2）的面积
；
（3）∵点经平移后对应点为，
∴把向右平移4个单位，再向下平移3个单位得．
如图，
20．如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象；
（3）将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离．
【答案】（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
（3）解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；描点法画函数图象；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点D坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据点的平移可得，再将点A'坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：由反比例函数的解析式为，
得反比例函数过点，，，
描点画图如图：
（3）解：由图可得，
设点向下平移个单位长度得，
则，
由在上，
则，
解得：，
即向下平移单位长度．
21．【问题背景】如图所示，某兴趣小组将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C， A'B'交AC于点E， A'C交CD于点 F．
【数学理解】
（1）在平移过程中，线段A'E的长始终与CF相等，请说明理由；
（2）已知AD=3，AB=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分A'ECF为菱形时，求移动的距离AA'．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∵把 沿着AD方向平移，得到
∴四边形A'ECF是平行四边形，
即平移过程中.线段A'E的长始终与CF相等；
（2）解：
设AA'=x，A'E=a，A'F=b，
即
解得
同理
解得
当A'E=A'F时，四边形A'ECF是菱形，
解得
∴移动的距离.AA'为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；平移的性质；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得到 根据平移的性质得到 推出四边形A'ECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到结论即可；
(2)先根据勾股定理求出AC长，然后根据平行可得△DA'F∽△DAC，再根据对应边成成比例解答即可.
22．波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，，，，求连杆的最小值．（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】解：如图，
连接交于点，过点作于点，过点作于点．
由题意可知四边形和四边形是矩形．
∴
由轴对称的性质可得
∵
∴
∴
∵
∴，
在中，，
∴
在中，，
∴
∴
∴
解得
∴
当点运动到点处时，即三点共线时，取得最小值，即
答：连杆的最小值是．
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念
【解析】【分析】连接交于点，过点作于点，过点作于点．根据矩形的性质得到，根据轴对称的性质得到，从而计算，HG=1，再计算角度，，根据正切的三角函数得到CG=EG，在中，解直角三角形得到AH，MN，再建立方程求得，，再根据点的位置固定不变，可得的值最小为线段的长度，解答即可．
23．材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
（1）在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________．
A． B． C． D．
（2）如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米．
（3）已知，求的最小值．（可结合图形）
【答案】（1）D
（2）解： 如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）解：如图，设线段，作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
【分析】
（1）先利用轴对称的性质作点A关于直线L的对称点A`，则CA＝CA`，则CA+CB转化为CA`+CB，显然两点之间线段最短，即连接A`B，则线段A`B的长度即最短距离；
（2）利用将军饮马模型作点A关于直线L的对称点A`，再连接A`B，再过点A`作直线L的平行线A`P，再过点B作直线A`P的垂线交A`P于点P，再利用勾股定理求出A`B的长度即可；
（3）由于16和4分别是4和2的平方，a与br的和为定值，则可作线段DE＝8，再分别过D、E在线段两侧作DE的垂线段DA和BE，使AD＝2，BE＝4，再在DE任取一点M，则由勾股定理可得，显然当A、M、B三点共线时AM+BM最小，即AM+BM＝AB，再利用勾股定理求出AB的长即可．
（1）解：选：D，
理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，
由轴对称的性质可得：，
，，
在中，，
，
故选：D．
（2）如图，延长至点，使得，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．
过点作，与的延长线交于点，
则．
在中，米，米．
（米）．
（3）如图，设线段，
作，取，，
的值可看作的值．
当三点共线时，的值最小，
即的最小值为的长．
作于点，
∴
则，
，
的最小值为10．
24．综合与实践．
主题：纸张规格的奥秘．
材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性．
探究：如图，系列长方形纸张的规格特征是：
①各长方形纸张的长宽比都相等；
②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为系纸．
（1）直接写出系纸长与宽的比______．
（2）如图2，折叠系纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点为的中点，连接，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，过点作于点，四边形纸片是否是系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比．
（3）在图2中，四边形纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片中折出系纸片，画出图形，并加以证明．
【答案】（1）
（2）解：四边形纸片不是系纸片，在长方形中，，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠可得，，
连接，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为．
（3）解：设，则，∵四边形是系纸片，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，
如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片，
证明：由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片是系纸片．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，
∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等，
∴，
∴，
∴，
∴系纸长与宽的比为．
故答案为：
【分析】
（1）设纸的长为，宽为，表示出纸的长为，宽为，根据系列长方形纸张的规格特征，可得，计算可得， 由此即可解答；
（2）根据折叠的性质得到，，， 在计算角度可得， 根据平行线的判定可得，从而判定得到四边形为正方形，根据正方形的性质得到，， 由此可判定四边形是矩形，根据折叠的性质得到，，连接，设，，可表示出，，， 在由勾股定理可得，根据割补法求面积得到，根据面积公式代入计算，然后判断求出长与宽的比值，解答即可；
（3）设，则，根据系纸的比可得，再表示出，即可计算，结合系纸片长与宽的比进行判断；折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，根据折叠的性质可得，， 再根据平行线的判定可得，，根据平行线的性质和正方形的性质可得，， 从而判定得到四边形是正方形，四边形是矩形，根据正方形和矩形的性质得到，，再计算，即可证明是系纸片，解答即可．
（1）解：设纸的长为，宽为，则纸的长为，宽为，
∵系纸各长方形纸张的长宽比都相等，
∴，
∴，
∴，
∴系纸长与宽的比为．
（2）解：四边形纸片不是系纸片，
在长方形中，，，
由折叠可得，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
由折叠可得，，
连接，
设，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为．
（3）解：设，则，
∵四边形是系纸片，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片不是系纸片，
如图，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接，纸片为系纸片，
证明：由折叠可得，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形纸片是系纸片．
25．问题情境
“综合与实践”课上，老师提出如下概念：将三角形纸片折叠，使顶点A 的对应点落在边上点 D 处，折痕为， 若与均为等腰三角形，我们称折痕是的双等腰折痕．
初步尝试：
（1）如图①，若点E，F分别是的边，的中点，求证：折痕是的双等腰折痕；
类比探究：
（2）如图②，在三角形纸片中，，是的双等腰折痕，且点E为的中点，连接，交于点P， 若，，求 的值；
拓展应用：
（3）如图③，在三角形纸片中，是的双等腰折痕，．若是的顶角，折痕，点A到折痕的距离为4，求边的长．
【答案】（1）证明：由折叠可知：，
∵点E，F分别是的边，的中点，
∴，
∴，
∴与均为等腰三角形，
∴折痕是的双等腰折痕；
（2）解：∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵点E为的中点，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知：，
∴点F是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理可得，
∴，
过点E作于点M，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由折叠可知：，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
连接，交于点H，过点F作于点N，如图所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的双等腰折痕，
∴与均为等腰三角形，
∵是的顶角，
∴∠BED=∠BDE，
∵在菱形中，，DF∥AE，
∴ ∠BDE=∠C=∠DFC=∠BAC=∠BED，
∴，
过点D作于点R，
∴，
∴，
∴
【知识点】菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由折叠性质得，由中点定义得AE=BE，AF=FC，则，然后根据等腰三角形定义可得△BDE与△CDF都是等腰三角形，进而根据新定义即可得出结论；
（2）由题意易得与均为等腰三角形，由中点定义及折叠性质可推出BE=ED，由等边对等角得，由折叠性质、直角三角形两锐角互余、平角定义及等角的余角相等推出∠C=∠FDC，由等角对等边得出FD=FC，结合折叠推出AF=FC，由三角形中位线定理得出EF∥BC，且EF=BC，由平行于三角形一边的直线截其它两边延长线，所截三角形与原三角形相似得出；在Rt△ABC中，利用勾股定理算出BC=10，由余弦函数定义求出；过点E作于点M，由等哟啊三角形的三线合一得出BD=2BM，在Rt△BME中，由∠ABC的余弦函数求出BM，从而可得BM的长，最后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可；
（3）由折叠及已知得AE=ED=FD=AF，由四边相等的四边形是菱形得出四边形AEDF是菱形；连接，交于点H，过点F作于点N，由菱形对角线垂直平分得，由勾股定理得AE=ED=DF=AF=5，根据菱形面积公式及等面积法求出FN，再利用勾股定理算出AN，则；由菱形对边平行得ED∥AC，DF∥AE由平行线性质推出∠BDE=∠C=∠DFC=∠BAC=∠BED，由等角对等边得出FD=DC=5；过点D作DR⊥AC于点R，由等腰三角形的三线合一及等角同名三角函数值相等可求出CR，进而得到FC，最后根据线段和差可算出AC.
26．综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量. 下面我们来探究以下问题：
在矩形ABCD中， AB=6， AD=9，点E是边AD上一动点，连接BE，作△ABE关于直线BE对称的△FBE，点A 的对称点为点 F.
图1 图2 图3
（1）如图1，当点 F落在边 BC上时，求证：四边形 EFCD 是矩形；
（2）如图2，当AE=8时， EF交BC于点G，以BE为直径作⊙O经过点A.
①求 BG的长；
②求证：CD是⊙O的切线；
（3）当点F落在∠ABC的三等分线上时，请直接写出AE的长.
【答案】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
图1
∴∠A=∠C=∠D=90°.
∵△ABE与△FBE关于直线BE对称，
∴△ABE≌△FBE.
∴∠A=∠BFE=90°.
∴∠EFC=90°.
∴∠EFC=∠C=∠D=90°.
∴四边形EFCD是矩形.
（2）解：①由(1)知，△ABE≌△FBE，
∴∠BFE=∠A=90°，∠AEB=∠FEB，EF=EA=8，BF=BA=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠FEB，
∴BG=EG，
设BG=x，则GE=x，GF=8-x，
在Rt△BGF中，
即
解得 即
②如图2，过圆心O作直线MN⊥CD于点N，交AB于点M，
图2
∴∠MND=∠A=∠D=90°.
∴四边形AMND是矩形.
∴MN=AD=9，MN⊥AB.
∴AM=BM，即点M是AB中点.
又∵O是BE中点，
∴OM是△ABE中位线.
∴ON=MN-OM=9-4=5，
在Rt△ABE中，
即ON为⊙O的半径.
∴点N在⊙O上.
又∵ON⊥CD，
∴CD是⊙O的切线.
（3）解：2或12-6
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定；轴对称的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（3）当点F落在∠ABC的三等分线上时，有以下两种情况：
①如图3.1，当时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ABF=30°，
在Rt△ABG中，AB=6
∴，
∠AGB=60°，
∵△ABE≌△FBE，
∴∠A=∠BFE=90°，EF=AE，
∴∠EFG=90，
在Rt△EFG中，，
∵AE+EG=AG，
∴，
∴；
②如图3.2，当时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵，
∴∠ABF=60°，
∵△ABE≌△FBE，
∴，
在Rt△ABE中，AB=6
∴.
【分析】（1）本题考查矩形的性质与判定，结合轴对称图形的性质即可证明.根据矩形的性质可直接说明∠C=∠D=90°；结合轴对称图形的性质可得∠EFC=90°，利用“三个角是直角的四边形是矩形”判定.
（2）①本小题主要根据勾股定理结合方程思想解答.第一步：根据矩形对边平行得到内错角相等，即∠AEB=∠EBG，结合对称的性质“对应角相等”，得到∠AEB=∠FEB，所以∠EBG=∠FEB，再由“等角对等边”得到BG=EG；第二步：在Rt△BGF中，根据勾股定理列方程，解出x即可；
②本小题考查圆切线的判定“经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线”，即CD满足两点：1、CD垂直于圆的半径；2、CD经过半径外端.由此可作辅助线“过圆心O作直线MN⊥CD于点N，交AB于点M”，那么接下来只需证明ON长度是半径即可：首先可证四边形AMND是矩形，根据“垂径定理”与点O是圆心可知OM是△ABE中位线，再由中位线性质及MN长求出ON的长为5；最后根据勾股定理可求出圆O的直径为10，因此可判断ON长为半径，得证.
（3）分析题干“ 点F落在∠ABC的三等分线上 ”应当有两种情况，对于两种情况分别作出对应图示，根据图示进行分析解答，这里主要运用了锐角三角函数进行相应计算.
27．翻折问题是初中数学中重要的几何变换之一，是欧氏几何重要的工具，蕴含着深刻的数学思想，是理解对称，全等图形的重要基础．以下某数学兴趣班在数学活动课中研究四边形的翻折问题．
（1）【探究活动一】如图小明先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，再把把这个矩形展平，连接DM，点E为BC上一点，然后沿直线DE折叠，使得点C的对应点F落在MD上．若AB＝10，BC＝12，则的值为　 　；
　 探究过程 探究方法
第一小组 第一小组同学通过延长AB，DE交于点G，推导出MG＝MD，并利用△BEG∽△CED，求出．
第二小组 第二小组同学通过连接ME，在Rt△BEM与Rt△FEM中，利用勾股定理解方程，求出．
请你选择以上两种方法中的一种，通过推导演算求出的值．
（2）【探究活动二】如图小李将矩形ABCD改为正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，把这个正方形展平，连接DM，点E为BC上一点，然后沿直线DE折叠，使得点C的对应点C'落在MD上．请求出的值为　 　．
（3）【探究活动三】 ABCD中，AB＝4，AD＝m，∠A＝60°，将 ABCD沿某直线翻折，使得点A与CD的中点重合，折痕与直线AD交于点E，若DE＝1，请求出m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：设CD的中点是F，如图4，当点E在线段AD上时，作FG⊥AD，交AD的延长线于G，
∴∠G＝90°，
∵∠FDG＝∠A＝60°，FDCD，
∴DGDF＝1，FGFD，
∴EG＝DG+DE＝2，
∴EF，
∴AE＝EF，
∴m＝AE+DE；
如图5，当点E在AD的延长线上时，
由上可知，DG＝1，FG，
∴DG＝DE，
∴点G和点E重合，
∴AE＝EF，
∴m＝AE﹣DE，
综上所述，AD1或1．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）第一小组：延长AB，DE交于点G
∵将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN
∴
∴
∵AB∥CD
∴∠G=∠CDE
由折叠可得，∠CDE=∠FDE
∴∠G=∠FDE
∴MG=DM=13
∴BG=13-5=8
∵BG∥CD
∴△BGE∽△CDE
∴
故答案为：
第二组：连接ME，设BE=x，则CE=12-x
由折叠可得，DF=CD=10，EF=CE=12-x，∠DFE=∠C=90°
∴∠EFM=90°
∵DM=13
∴FM=DM-DF=3
∵BM2+BE2=EF2+FM2
∴52+x2=(12-x)2+32
解得：
∴
∴
故答案为：
（2）延长DE，交AB的延长线于点G，设正方形的边长为2a，
则
同理（1）可得，
故答案为：
【分析】（1）第一小组：延长AB，DE交于点G，根据折叠性质可得，根据勾股定理可得DM，根据直线平行性质可得∠G=∠CDE，由折叠可得，∠CDE=∠FDE，则∠G=∠FDE，根据等角对等边可得MG=DM=13，根据边之间的关系可得BG，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案；
第二组：连接ME，设BE=x，则CE=12-x，由折叠可得，DF=CD=10，EF=CE=12-x，∠DFE=∠C=90°，根据边之间的关系可得FM，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长DE，交AB的延长线于点G，设正方形的边长为2a，则，同理（1）即可求出答案；
（3）设CD的中点是F，分情况讨论：当点E在线段AD上时，作FG⊥AD，交AD的延长线于G，根据含30°角的直角三角形性质可得DGDF＝1，FGFD，根据边之间的关系可得EG，再根据勾股定理可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案；当点E在AD的延长线上时，由上可知，DG＝1，FG，则点G和点E重合，AE＝EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
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