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云南省楚雄州多校2025-2026学年高一下学期4月期中阶段自测
数学试卷
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题中正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．共线向量一定是相等向量
C．若向量，同向，且，则 D．单位向量的模都相等
3．已知向量，若，则（ ）
A．-3 B．0 C．3 D．4
4．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（ ）
A． B．0 C．12 D．
二、多选题
9．在下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．记的内角的对边分别为，已知，若有且只有一个，则的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
11．受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表：
时刻
水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
若该天从与的关系可近似地用函数来表示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．时的水深约为
D．一天中水深低于的时间为4小时
三、填空题
12．若从同一发射源射出的两个粒子，在某一时刻的位移分别为，，则该时刻相对于的位移的坐标为_______.
13．已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为________．
14．如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为__________．
四、解答题
15．已知向量.
(1)求；
(2)当为何值时，与共线？
16．已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边.
(1)若，求；
(2)若，，，求.
17．将的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到的图象.
(1)求的单调递增区间；
(2)求的图象的对称轴方程；
(3)求不等式的解集.
18．设锐角的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)若，求的取值范围.
19．如图，在中，，，分别是边上的点，与交于点，且，.
(1)若，.
（i）求的值；
（ii）求的值；
(2)若存在实数，使得，求的取值范围.
参考答案及解析
1．C
解析：.
2．D
解析：对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；
对于C：向量不可以比较大小，故C错误；
对于D：单位向量的模为，都相等，故D正确.
故选：D
3．A
解析：由，得，解得.
4．B
解析：因为，所以，
又因为，所以，所以.
5．A
解析：由题意可知.
6．D
解析：由余弦定理得，所以.
故选：D.
7．D
解析：因为，则，由函数在区间上单调递减，可知，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：D
8．D
解析：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
因为，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选:D.
9．BCD
解析：对于A，不共线，可以作为基底；
对于B，方向相反，共线，不能作为基底；
对于C，，共线，不能作为基底；
对于D，，则方向相同，共线，不能作为基底.
故选：BCD
10．AB
解析：对于A：由正弦定理，得，所以，当时，，
又，所以，或，当时，，不合题意，
此时有且只有一个，A正确；
对于B：当时，，又，所以，或，
当时，，不合题意，此时有且只有一个，B正确；
对于C：当时，，又，所以，或，
此时有两个，C错误；
对于D：当，，此时不存在，D错误.
11．BC
解析：由表格数据知，所以，A错误；
由，，B正确；
由，可得，则，所以，C正确；
由，得或，故水深低于3.75的时间为8小时，D错误.
12．
解析：相对于的位移为.
故答案为：
13．
解析：由题意可得在上的投影向量为.
故答案为：.
14．
解析：在中，由余弦定理得
，
所以，在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以，
在中，
，故．
15．(1)
(2)
解析：（1）由，得，解得.
所以.
（2），
，
因为与共线，所以，
解得.
16．(1)
(2)
解析：（1）由及正弦定理得，
所以，
因为，，
所以.
（2）法一：因为，，，
由余弦定理得，即，
解得（负值舍去），
由，得，
由正弦定理得，得.
法二：由及，得，
由正弦定理，得，
因为，所以，
所以，
所以.
17．(1)递增区间为；
(2)对称轴的方程为；
(3).
解析：（1）根据函数图象变换，可得，
因为的递增区间为，
令，得，
所以的递增区间为.
（2）令，得，
所以图象的对称轴方程为.
（3）由，得，
所以，解得，
所以的解集为.
18．(1)
(2)
(3)
解析：（1）由正弦边角关系得，所以，又，所以；
（2）由余弦定理得，解得，
故的面积为.
（3）由，得，所以，
因为，所以，
则
因为为锐角三角形，所以，则，
所以，故，
因此的取值范围为.
19．(1)（i）；（ii）
(2)
解析：（1）（i），，
，
.
（ii），.
设，则，
三点共线，，解得：，即.
（2），，
，
，，
，
，，，
，即的取值范围为.

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