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规律探索之代数—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、代数式规律探索
1． 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（　　）
A．676 B．675 C．674 D．1350
2．黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（　　）
A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或
3．观察，，，，，根据这些代数式的变化规律，可得第2026个代数式是　 　．
4．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为　 　．
5．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
（1）请用此方法拆分20242：
（2）请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.
二、数阵类规律探索
6．如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，第行有个数．探究其中规律，你认为第行从左至右第3个数不可能是（　　）
A．36 B．96 C．226 D．426
7．如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为， ，第个数记为，则（　　）
A．20108 B．20119 C．20110 D．20111
8．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）”展开式的系数规律.
当代数式的值为81时，则x的值为　 　.
9． 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年)一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为　 　.
10．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 腰开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ．
【应用体验】
已知 ，则 的值为　 　.
三、末尾数字规律探索
11．已知一列数…中，则的个位数字是(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
12． 对于每个正整数n， 设f(n)表示 n(n+2)的末位数字. 例如， f(1)=3(1×3的末位数字)， f(2)=8(2×4的末位数字)， f(3)=5(3×5的末位数字)， …， 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)的值是 (　　)
A．9115 B．9123 C．9126 D．11141
13．观察下列等式：，.由上述规律可知，的末位数字是（　　）
A．3 B．9 C．2 D．0
14．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，当的值最小时，的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．若 ， 则 的末位数字是 ( )
A．6 B．7 C．3 D．5
四、点的坐标规律
16．如图，已知 则点A2025的坐标是 (　　)
A． B． C． D．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
18． 如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，4)，以OA为斜边在y轴右侧作等腰直角△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为A2，以A1A2为斜边在右侧以作等腰直角△A1A2A3，再过点A3作x轴的垂线，垂足为A4，以A3A4为斜边在右侧作等腰直角△A3A4A5.....按此规律继续作下去，则点A2025的纵坐标为(　　)
A． B． C． D．
20． 如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵，
∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．
故答案为：B．
【分析】发现这列数连续三个数中必有两个奇数，一个偶数，据此解答即可．
2．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：，
这20数的和的个位数为0，
经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，
或，
另一个数是或6．
故选：C．
【分析】
由题意知这20数的和的个位数为0，则无论多少次操作后剩余数字的个位数字的和总是0，即当剩余两个数且一个是时，另一个一定是一个个位数且两个个位数字的和是0．
3．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】第个式子：，
第个式子：，
第个式子：，
第个式子：，
第个代数式为．
故答案为：.
【分析】根据所给式子的指数变化规律，得到第个式子为，解答即可．
4．【答案】1350
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2025个数共有组，
∴奇数有个．
故答案为：．
【分析】
首先观察斐波那契数列数列的奇偶性，利用周期规律，计算总奇数的个数即可.
5．【答案】（1）20242=2023+20232+2024
（2）根据题意，可知一般的结论为（n+1）2=n+n2+（n+1）
理由：∵左边=（n+1）2，右边：左边=右边，
∴这个结论是正确的
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）仿照材料中等式的形式列式即可；
（2）得到规律，然后分别计算出等式的左边和右边，然后证明即可．
6．【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题知2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6....
从第三行怦，第n行的左起第三个数可表示为n(n-1)+6
36=5×6+6，故A不符合题意；
9×10+6=96，故B不符合题意；
14×15+6=216，216<226<246，故C符合题意；
20×21+6=426，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】根据每行最后一个数字的规律n(n-1)，可得每行第三个数字的规律n(n-1)+6，分别验证各选项即可得结果.
7．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据题意，，，，， ，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】通过对前几个数进行分析，可归纳出an=1+2+3+……+n，进而利用等差数列求和公式得an=，然后将n=200代入计算求出a200得值，最后根据有理数加法法则算出a4+a200即可.
8．【答案】5或-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意，得
即x-2=3或x-2=-3，
解得x=5或-1.
故答案为：5或-1.
【分析】根据题意得到(x-2)4=81，解方程求出x的值即可.
9．【答案】21
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：找规律发现 的第三项系数为：
的第三项系数为(
的第三项系数为：
不难发现( 的第三项系数为
因为第八行为(
展开式的第三项的系数是
∴第八行从左到右第三个数为为21.
故答案为：21.
【分析】根据图形中的规律即可求出 的展开式中第三项.
10．【答案】8
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：
故填：8.
【分析】直接对照公式可得.
11．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题知，
∵a1=2
∴a2=2a1-1=3
a3=2a2-1=5
a4=2a3-1=9
a5=2a4-1=17
a6=2a5-1=33
a7=2a6-1=65
由此可见，这列数字的个位数字除了第一项，后续按3，5，9，7循环，
又∵(2025-1)÷4=506
∴a2025的个位数字为7
∵(2026-1)÷4=506....1
∴a2026的个位数字为3
∴a2026-a2025的个位数字是13-7=6
故选：B.
【分析】根据所给计算方式，依次求出运算结果的个位数字，发现规律即可解决问题.
12．【答案】B
【知识点】探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题知，
因为f（1）＝3（1×3的末位数字），f（2）＝8（2×4的末位数字），f（3）＝5（3×5的末位数字），
则f（4）＝4（4×6的末位数字），
f（5）＝5（5×7的末位数字），
f（6）＝8（6×8的末位数字），
f（7）＝3（7×9的末位数字），
f（8）＝0（8×10的末位数字），
f（9）＝9（9×11的末位数字），
f（10）＝0（10×12的末位数字），
f（11）＝3（11×13的末位数字），
f（12）＝8（12×14的末位数字），
…，
由此可见，这列数从f（1）开始按3，8，5，4，5，8，3，0，9，0循环．
因为2026÷10＝202余6，
则202×（3+8+5+4+5+8+3+0+9+0）+3+8+5+4+5+8＝9123，
即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2026）＝9123．
故答案为：B．
【分析】根据题意，依次求出f（4），f（5），f（6），…，找到规律即可解决问题．
13．【答案】B
【知识点】探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，
发现规律：
末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，
每4个数一组循环，
∴2023÷4＝505……3，
∵3＋9＋7＋1＝20，
∴20×505＝10100，
∵0+3+9+7=19
∴算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．
故答案为：9．
【分析】先求出规律：每4个数一组循环，再结合2023÷4＝505……3，求出20×505＝10100，再求出0+3+9+7=19，即可得到算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．
14．【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，
设m，n是正整数，且，与的末两位数字相同，当的值最小时，m-n=6-2=4，为，=3，2<<3，=2，<2，<2，<2，……，可见的最大值为3.
故答案为：D.
【分析】先找出的末两位数的规律，再求出m-n的最小值，通过观察m-n为最小值时的值，从中确定的最大值.
15．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：
=…
∵
由此可知：个位数字每4个一次循环
∴32÷4=8
故232的个位数字为6，因此232+1的个位数字为7.
故选：B.
【分析】先根据平方差公式把A计算出来，再计算2n的个位数字规律，得出：每4个个位数字每4个一次循环，得出232的个位数字为6，故232+1的个位数字为7.
16．【答案】A
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第一组：，，，
第二组：，，，
第三组：，，……，
每组内的坐标规律为：第1个点，第2个点，第3个点，（k为组数），
∵无余数，
∴2025是第675组的第3个点，
∴根据规律，第675组的第3个点的坐标为，即，
∴点的坐标是．
故答案为：A.
【分析】先从所给的点中可得到3个点为一组呈现循环规律，再得到点的规律，由此求解即可．
17．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在矩形中，，，
∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，
∴依此规律，，．
故答案为：D.
【分析】根据旋转依次找出点A的对应点的坐标，得到规律即可解答．
18．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察坐标特点，可得
相邻两个坐标的横坐标是按照等差数列规律出现：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，......，故2025次运动后的点P的横坐标为：2025
相邻两个坐标的纵坐标是按照（1，0）、（2，0）、（1，0）......重复出现
所以2025÷2=1012......1
所以2025次运动后的点P的纵坐标为：1
故答案为： .D。
【分析】观察坐标中各个点，可发现，相邻两坐标的横坐标是：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，......；纵坐标是按照1，0；2，0；1，0；2，0，......，1，0；2，0重复出现，用2025除以2，求出周期数，即可求解
19．【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是(0，4)，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
即
的纵坐标为2，
同理可得： 的纵坐标为： …
的纵坐标为：
故答案为：A .
【分析】易得OA的长，根据等腰直角三角形斜边和直角边的关系分别求得( 的长度，得到点. 的纵坐标和OA长度之间的关系，进而得到. 的纵坐标和OA长度之间的关系，根据规律即可得到点. 的纵坐标.
20．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-点的坐标规律；直角三角形的两锐角互余；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点A1作x轴的垂线段A1C，设A1的坐标为.
，即B1、A1、C三点共线
轴
同理：，
当时，，即
故正确答案为：D
【分析】过点A1作x轴的垂线段A1C，由直线上点的坐标特征可设点，则由直线上两点间的距离可得OA1＝2x，则由直角三角形中30度角的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再由互为余角可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理可得，进而可得点，再由已知可利用HL判定，则可得，即B1、A1、C三点共线，则可得点，同理可依次得，，，再把代入计算即可.
1 / 1规律探索之代数—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、代数式规律探索
1． 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（　　）
A．676 B．675 C．674 D．1350
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵，
∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．
故答案为：B．
【分析】发现这列数连续三个数中必有两个奇数，一个偶数，据此解答即可．
2．黑板上有按规律排列的20个整数：1，，3，，5，，7，，，19，．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同，然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，，，则添写数字．经过9次操作后剩下两个数，若一个数是，则另一个数是（　　）
A．6或4 B．2或8 C．或6 D．2或
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：，
这20数的和的个位数为0，
经过9次操作后剩下两个数，一个是，另一个一定是一个个位数，
或，
另一个数是或6．
故选：C．
【分析】
由题意知这20数的和的个位数为0，则无论多少次操作后剩余数字的个位数字的和总是0，即当剩余两个数且一个是时，另一个一定是一个个位数且两个个位数字的和是0．
3．观察，，，，，根据这些代数式的变化规律，可得第2026个代数式是　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】第个式子：，
第个式子：，
第个式子：，
第个式子：，
第个代数式为．
故答案为：.
【分析】根据所给式子的指数变化规律，得到第个式子为，解答即可．
4．1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，奇数的个数为　 　．
【答案】1350
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：这一列数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…
可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数．
由于，
即前2025个数共有组，
∴奇数有个．
故答案为：．
【分析】
首先观察斐波那契数列数列的奇偶性，利用周期规律，计算总奇数的个数即可.
5．“字母表示数”的系统化阐述是16世纪提出的，被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，从而大大推动了数学的发展.经过初中数学的学习，我们知道了用字母表示数可以分析从特殊到一般的数学规律，字母与数一样，也可以参与运算.请同学们观察下列关于正整数的平方拆分的等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
（1）请用此方法拆分20242：
（2）请将上面的规律归纳出一个一般性的结论（用含n的等式表示，n为正整数），并运用有关知识说明这个结论是正确的.
【答案】（1）20242=2023+20232+2024
（2）根据题意，可知一般的结论为（n+1）2=n+n2+（n+1）
理由：∵左边=（n+1）2，右边：左边=右边，
∴这个结论是正确的
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）仿照材料中等式的形式列式即可；
（2）得到规律，然后分别计算出等式的左边和右边，然后证明即可．
二、数阵类规律探索
6．如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为2，第二行有2个数为4，6，第行有个数．探究其中规律，你认为第行从左至右第3个数不可能是（　　）
A．36 B．96 C．226 D．426
【答案】C
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题知2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6....
从第三行怦，第n行的左起第三个数可表示为n(n-1)+6
36=5×6+6，故A不符合题意；
9×10+6=96，故B不符合题意；
14×15+6=216，216<226<246，故C符合题意；
20×21+6=426，故D不符合题意；
故答案：C.
【分析】根据每行最后一个数字的规律n(n-1)，可得每行第三个数字的规律n(n-1)+6，分别验证各选项即可得结果.
7．如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为， ，第个数记为，则（　　）
A．20108 B．20119 C．20110 D．20111
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据题意，，，，， ，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】通过对前几个数进行分析，可归纳出an=1+2+3+……+n，进而利用等差数列求和公式得an=，然后将n=200代入计算求出a200得值，最后根据有理数加法法则算出a4+a200即可.
8．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了（a+b）”展开式的系数规律.
当代数式的值为81时，则x的值为　 　.
【答案】5或-1
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题意，得
即x-2=3或x-2=-3，
解得x=5或-1.
故答案为：5或-1.
【分析】根据题意得到(x-2)4=81，解方程求出x的值即可.
9． 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年)一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为　 　.
【答案】21
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：找规律发现 的第三项系数为：
的第三项系数为(
的第三项系数为：
不难发现( 的第三项系数为
因为第八行为(
展开式的第三项的系数是
∴第八行从左到右第三个数为为21.
故答案为：21.
【分析】根据图形中的规律即可求出 的展开式中第三项.
10．【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 腰开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ．
【应用体验】
已知 ，则 的值为　 　.
【答案】8
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：
故填：8.
【分析】直接对照公式可得.
三、末尾数字规律探索
11．已知一列数…中，则的个位数字是(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题知，
∵a1=2
∴a2=2a1-1=3
a3=2a2-1=5
a4=2a3-1=9
a5=2a4-1=17
a6=2a5-1=33
a7=2a6-1=65
由此可见，这列数字的个位数字除了第一项，后续按3，5，9，7循环，
又∵(2025-1)÷4=506
∴a2025的个位数字为7
∵(2026-1)÷4=506....1
∴a2026的个位数字为3
∴a2026-a2025的个位数字是13-7=6
故选：B.
【分析】根据所给计算方式，依次求出运算结果的个位数字，发现规律即可解决问题.
12． 对于每个正整数n， 设f(n)表示 n(n+2)的末位数字. 例如， f(1)=3(1×3的末位数字)， f(2)=8(2×4的末位数字)， f(3)=5(3×5的末位数字)， …， 则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2026)的值是 (　　)
A．9115 B．9123 C．9126 D．11141
【答案】B
【知识点】探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：由题知，
因为f（1）＝3（1×3的末位数字），f（2）＝8（2×4的末位数字），f（3）＝5（3×5的末位数字），
则f（4）＝4（4×6的末位数字），
f（5）＝5（5×7的末位数字），
f（6）＝8（6×8的末位数字），
f（7）＝3（7×9的末位数字），
f（8）＝0（8×10的末位数字），
f（9）＝9（9×11的末位数字），
f（10）＝0（10×12的末位数字），
f（11）＝3（11×13的末位数字），
f（12）＝8（12×14的末位数字），
…，
由此可见，这列数从f（1）开始按3，8，5，4，5，8，3，0，9，0循环．
因为2026÷10＝202余6，
则202×（3+8+5+4+5+8+3+0+9+0）+3+8+5+4+5+8＝9123，
即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2026）＝9123．
故答案为：B．
【分析】根据题意，依次求出f（4），f（5），f（6），…，找到规律即可解决问题．
13．观察下列等式：，.由上述规律可知，的末位数字是（　　）
A．3 B．9 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：观察下列等式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，
发现规律：
末位数字为：3，9，7，1，3，9，7，…，
每4个数一组循环，
∴2023÷4＝505……3，
∵3＋9＋7＋1＝20，
∴20×505＝10100，
∵0+3+9+7=19
∴算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．
故答案为：9．
【分析】先求出规律：每4个数一组循环，再结合2023÷4＝505……3，求出20×505＝10100，再求出0+3+9+7=19，即可得到算式：3＋32＋33＋34＋…＋32023结果的末位数字是9．
14．设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，当的值最小时，的最大值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，……，
设m，n是正整数，且，与的末两位数字相同，当的值最小时，m-n=6-2=4，为，=3，2<<3，=2，<2，<2，<2，……，可见的最大值为3.
故答案为：D.
【分析】先找出的末两位数的规律，再求出m-n的最小值，通过观察m-n为最小值时的值，从中确定的最大值.
15．若 ， 则 的末位数字是 ( )
A．6 B．7 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：
=…
∵
由此可知：个位数字每4个一次循环
∴32÷4=8
故232的个位数字为6，因此232+1的个位数字为7.
故选：B.
【分析】先根据平方差公式把A计算出来，再计算2n的个位数字规律，得出：每4个个位数字每4个一次循环，得出232的个位数字为6，故232+1的个位数字为7.
四、点的坐标规律
16．如图，已知 则点A2025的坐标是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第一组：，，，
第二组：，，，
第三组：，，……，
每组内的坐标规律为：第1个点，第2个点，第3个点，（k为组数），
∵无余数，
∴2025是第675组的第3个点，
∴根据规律，第675组的第3个点的坐标为，即，
∴点的坐标是．
故答案为：A.
【分析】先从所给的点中可得到3个点为一组呈现循环规律，再得到点的规律，由此求解即可．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在矩形中，，，
∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，
∴依此规律，，．
故答案为：D.
【分析】根据旋转依次找出点A的对应点的坐标，得到规律即可解答．
18． 如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：观察坐标特点，可得
相邻两个坐标的横坐标是按照等差数列规律出现：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，......，故2025次运动后的点P的横坐标为：2025
相邻两个坐标的纵坐标是按照（1，0）、（2，0）、（1，0）......重复出现
所以2025÷2=1012......1
所以2025次运动后的点P的纵坐标为：1
故答案为： .D。
【分析】观察坐标中各个点，可发现，相邻两坐标的横坐标是：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，......；纵坐标是按照1，0；2，0；1，0；2，0，......，1，0；2，0重复出现，用2025除以2，求出周期数，即可求解
19．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，4)，以OA为斜边在y轴右侧作等腰直角△OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为A2，以A1A2为斜边在右侧以作等腰直角△A1A2A3，再过点A3作x轴的垂线，垂足为A4，以A3A4为斜边在右侧作等腰直角△A3A4A5.....按此规律继续作下去，则点A2025的纵坐标为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰直角三角形；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是(0，4)，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
即
的纵坐标为2，
同理可得： 的纵坐标为： …
的纵坐标为：
故答案为：A .
【分析】易得OA的长，根据等腰直角三角形斜边和直角边的关系分别求得( 的长度，得到点. 的纵坐标和OA长度之间的关系，进而得到. 的纵坐标和OA长度之间的关系，根据规律即可得到点. 的纵坐标.
20． 如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-点的坐标规律；直角三角形的两锐角互余；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点A1作x轴的垂线段A1C，设A1的坐标为.
，即B1、A1、C三点共线
轴
同理：，
当时，，即
故正确答案为：D
【分析】过点A1作x轴的垂线段A1C，由直线上点的坐标特征可设点，则由直线上两点间的距离可得OA1＝2x，则由直角三角形中30度角的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再由互为余角可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理可得，进而可得点，再由已知可利用HL判定，则可得，即B1、A1、C三点共线，则可得点，同理可依次得，，，再把代入计算即可.
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