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02规律探索之几何—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、图形的个数规律探索
1． 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1种有4个氢原子，，
第2种有6个氢原子，，
第3种有8个氢原子，，
……
以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．
故答案为：B.
【分析】观察可得规律：氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可．
2．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(　　)
A．32 B．28 C．24 D．20
【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是个，
故选：C．
【分析】根据前几个图案中黑点的个数总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n=6计算即可．
3．五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察题图可知，从第个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少，第个图形有条分支，每条分支上有个点，
所以第n个图形中点的个数y与n的关系式是，
即 .
故答案为：D.
【分析】观察题图可知，从第2个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少1，且第n个图形有条n分支，每条分支上有(n-1)个点，然后根据第n个图形中点的总个数等于分支上的点数+中间的点数即可建立出y关于n的函数关系式.
4．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n=　 　．
【答案】500
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形： ，
第2幅图中有3个菱形： ，
第3幅图中有5个菱形： ，
……
∴第幅图中有个菱形，
当时，
解得：，
故答案为：500．
【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第幅图中有个菱形，然后令，解方程求出的值即可.
5．一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有　 　个.
【答案】38
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据图形数量的算法知，第n个图形下上各有(n+1)个图形，左右两列各有n个，则第n个有图形2(n+1)+2n-4=4n-2，当n=10时，4-2=38个.
故答案为：38.
【分析】由图形的计算方法可找到图形变化的规律，得第n个有4n-2个图形，即知第10个图形的个数.
6．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有　 　个．
【答案】n2+（n﹣1）2
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】因为组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为；
又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为， ∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，
所得到的完整圆的个数共有： ．
故答案为．
【解答】观察图中的数量关系，类比得到规律解题即可．
二、图形的递变规律
7． 如图，已知 ，点 A1，A2，A3，... 在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，... 在射线 OM 上， ，，，... 均为等边三角形，若 ，则 的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；探索数与式的规律；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故答案为：C .
【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22 OA1，A4B4＝A4A5＝23 OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，即可求解．
8．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（　　）度．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；探索规律-图形的递变规律；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
同理，
和的平分线，交点为，
，，
，
同理，
，
……
，
度，
度．
故选：A．
【分析】本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义。解题时，通过过点E作EF∥AB，利用平行线的内错角相等性质，可以推导出∠BEC=∠ABE+∠DCE。类似地，对于其他点E1、E2等，同样有∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1。
根据角平分线的定义，可以进一步得出∠BE1C=1/2∠ABE+1/2∠DCE=1/2(∠ABE+∠DCE)=1/2∠BEC。依此类推这样就得到了题目所求的结论。
9． 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为，
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和.
10．如图，已知以等腰Rt△ABC1的斜边BC1为直角边向外作第1个等腰Rt△C1BC2，再以等腰Rt△C1BC2的斜边BC2为直角边向外作第2个等腰Rt△C2BC3，……，以此类推，若则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：在等腰 中，，
由勾股定理得，
在第①个等腰直角三角形中，，；
在第②个等腰直角三角形中，，；
在第③个等腰直角三角形中，，；
故可得规律：第个等腰直角三角形的斜边长为，
则第2026个等腰直角三角形的斜边长为 ．
故答案为：A.
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理找出规律“第个等腰直角三角形的斜边长为”解答即可.
11．如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，且直角边长为，
，，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，，即可得到，进而可得，根据勾股定理求出，于是可得，同理可得，，，，，于是得解．
12．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第4个三角形中以A4为顶点的内角的度数为 　 　
【答案】17.5°
【知识点】三角形外角的概念及性质；探索规律-图形的递变规律；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵在 中，
是 的外角
同理可得： 、
故答案为 .
【分析】先根据等腰三角形的性质求出 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 及 的度数，解答即可.
13．某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法：
①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O；
②过O作 于点E1，连结CE1交BD于点 P1；
③过P1作 于点E2，连结CE2交BD于点 P2；
④过P2作 于点 E3，连结CE3交BD于点 P3；……
则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点；
（1）求证：
（2）已知AB=3BC，
①求∠ACE3的正弦值；
②按上述方法继续画图得到点 若 则n的值为 ▲ .
【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD为矩形， 0°，
同理可证，
（2）解：
解：
类比(1)同理可证
设BC=x，则AB=3x，
记 到AC的距离为h，则
即
解得
② n=8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）②类比(1)同理证得
∵四边形ABCD为矩形， AB=3BC，
解得n=8.
故答案为：8.
【分析】(1)利用矩形性质证明 利用相似三角形性质推出 ，再证明 最后利用相似三角形性质分析求解，即可解题；
(2)①先证明 推出 ，类比(1)同理证得 设BC=x，则AB=3x，结合勾股定理推出 AC， 记 到AC的距离为h，利用等面积法求出h，再根据正弦定义求解，即可解题；
②类比(1)同理证得 利用矩形性质推出CD=AB=3BC，根据 得到 再整理求解，即可解题.
14．如图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依此类推，第次折叠后，　 　（用含α和n的代数式表示）
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵ PN∥QM，
∴ ∠AR1B=∠ABR1，
翻折1次时，∠R1BM=，；
翻折2次时，∠R2BR1=，；
……，
折叠次时，，.
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质可得，折叠次可得，然后根据四边形内角和即可求得．
三、图形的循环规律
15．四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，，这样一直下去，第2024次交换位置后，小鼠所在的座号是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：第1次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
第2次交换位置后，小鼠所在位置是：4；
第3次交换位置后，小鼠所在位置是：2；
第4次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
第5次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
，
以此可见，每次交换后小鼠所在位置的序号按：3，4，2，1循环出现，
又因为，
所以第2024次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
故答案为：A．
【分析】求出每次交换后小鼠所在的位置，得到规律解题即可．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在矩形中，，，
∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
，
∴点A1的坐标为（3，2）；
∵第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，点A2在x轴上，
且A2O=2OC+CB1=2×2+1=5，
∴A2的坐标为（5，0）；
然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，
∴由此规律可得，，．
故答案为：D.
【分析】根据矩形和旋转的性质依次找出所求点的对应坐标可得规律：旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，根据这个规律可求解．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：因为，
所以每旋转六次，点的位置重复出现．
又因为余2，
所以第2024次旋转后点的位置与第2次旋转后点的位置相同．
过点作轴的垂线，垂线为，
因为，
所以，
因为点坐标为，
所以．
在中，，
所以，
所以，，
所以点的坐标为．
显然点和点关于轴对称，
所以点的坐标为，
即第2024次旋转后，点的坐标为．
故答案为：C．
【分析】每次旋转60°，旋转6次后回到原始位置，故旋转后期是6，用总旋转次数除以周期求出余数为2，即第2024次旋转后点B的位置与第二次旋转后的位置B'相同；过点B作y轴的垂线，垂线为H，根据含30°角直角三角形性质求出AH=2，利用勾股定算出BH，可得点B的坐标；进而根据点B和点B'关于x轴对称，从而根据关于x轴对称的点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求出点B'的坐标，可得答案.
18．在平面直角坐标系中，等边△ABC 如图放置，点A的坐标为(1，0).每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△AOB1，第二次旋转后得到△AOB2，…，以此类推，则点A2025的坐标为(　　)
A．(22025，0) B．
C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；旋转的性质；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在x轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在x轴正半轴，，
……，
每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴，
而，
在x轴负半轴上，且，
∴点的坐标为．
故答案为：C .
【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，且边长每次扩大2倍，得到点落在x轴负半轴，且，据此解答即可．
19． 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4）。将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（　　）
A．(-6，2) B．(6，) C．(2，) D．(，6)
【答案】B
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；探索数与式的规律；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵ 点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4） ，四边形OABC为平行四边形，
∴点B（2，6），
每旋转一个90°后的点B的位置依次记作B1，B2，B3，........
∴B1（6，-2）；B2（-2，-6）；B3（-6，2）；B4（2，6）......
∵2025÷4=506......1，
∴ 第2025次旋转结束时，点B的旋转到B1的位置，即此时点B的坐标为（6，-2）。
故答案为：B.
【分析】首先根据平行四边形的性质可得出B（2，6），每旋转一个90°后的点B的位置依次记作B1，B2，B3，........进而根据旋转的性质可得出B1（6，-2）；B2（-2，-6）；B3（-6，2）；B4（2，6）......再根据旋转规律即可得出第2025次旋转结束时，点B的旋转到B1的位置，即此时点B的坐标为（6，-2）。
20．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；正多边形的性质；探索规律-图形的循环规律；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，，如图
在正六边形中，
∴∠C=∠ABC=，且CD=BC，
∴∠CBD=，
∴，
而，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，360°÷60=6次，
次一个循环，
，
即经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故答案为：A．
【分析】根据多边形内角和、正多边形的性质、等腰三角形的性质，计算得出，此时利用勾股定理即可得出，
然后利用“含30°直角三角形的性质”计算出，从而得出，此时即可得出D点的坐标；再根计算出6次一个循环，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同，最后结合图中信息以及关于原点对称的点的性质，即可得出答案。
1 / 102规律探索之几何—2026浙江中考数学高阶能力拓展专题
一、图形的个数规律探索
1． 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种有1个碳原子和4个氢原子，第2种有2个碳原子和6个氢原子，第3种有3个碳原子和8个氢原子，…，按照这一规律，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
2．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(　　)
A．32 B．28 C．24 D．20
3．五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第个图形中点的个数与的关系式是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n=　 　．
5．一些大小相同的“”按如图所示的规律摆放：第①个图形有2个，第②个图形有6个，第③个图形有10个，第④个图形有14个，…，依此规律，第⑩个图形有　 　个.
6．如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个．按照这个规律，若这样铺成一个n×n的正方形图案，则其中完整的圆共有　 　个．
二、图形的递变规律
7． 如图，已知 ，点 A1，A2，A3，... 在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，... 在射线 OM 上， ，，，... 均为等边三角形，若 ，则 的边长为（　　）
A．16 B．32 C．64 D．128
8．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（　　）度．
A． B． C． D．
9． 将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知以等腰Rt△ABC1的斜边BC1为直角边向外作第1个等腰Rt△C1BC2，再以等腰Rt△C1BC2的斜边BC2为直角边向外作第2个等腰Rt△C2BC3，……，以此类推，若则第2026个等腰直角三角形的斜边长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积　 　．
12．如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第4个三角形中以A4为顶点的内角的度数为 　 　
13．某学习小组同学学习了九年级上册《4.2由平行线截得的比例线段》，提出了另一种通过构造矩形来等分线段的方法：
①以AB为边构造矩形ABCD，连结AC、BD交点为O；
②过O作 于点E1，连结CE1交BD于点 P1；
③过P1作 于点E2，连结CE2交BD于点 P2；
④过P2作 于点 E3，连结CE3交BD于点 P3；……
则点E1、E2、E3即为线段AB的等分点；
（1）求证：
（2）已知AB=3BC，
①求∠ACE3的正弦值；
②按上述方法继续画图得到点 若 则n的值为 ▲ .
14．如图1是一张足够长的纸条，其中，点A、B分别在、上，记．如图2，将纸条折叠，使与重合，得折痕，如图3，将纸条展开后再折叠，使与重合，得折痕，将纸条展开后继续折叠，使与重合，得折痕…依此类推，第次折叠后，　 　（用含α和n的代数式表示）
三、图形的循环规律
15．四个电子宠物排座位，一开始，小鼠，小猴，小兔，小猫分别坐在1，2，3，4号座位上（如图所示），以后它们不停地交换位置，第一次上下两排交换位置，第二次是在第一次交换位置后再左右两列交换位置，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换位置，，这样一直下去，第2024次交换位置后，小鼠所在的座号是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形，点、在轴、轴上，，将矩形绕着点C顺时针旋转得到矩形，再将矩形，绕着点顺时针旋转得到矩形，按此方式依次进行，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
18．在平面直角坐标系中，等边△ABC 如图放置，点A的坐标为(1，0).每一次将△AOB绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△AOB1，第二次旋转后得到△AOB2，…，以此类推，则点A2025的坐标为(　　)
A．(22025，0) B．
C． D．
19． 如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4）。将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（　　）
A．(-6，2) B．(6，) C．(2，) D．(，6)
20．如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为（　　）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：第1种有4个氢原子，，
第2种有6个氢原子，，
第3种有8个氢原子，，
……
以此类推，第8种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是．
故答案为：B.
【分析】观察可得规律：氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可．
2．【答案】C
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是个，
故选：C．
【分析】根据前几个图案中黑点的个数总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入n=6计算即可．
3．【答案】D
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察题图可知，从第个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少，第个图形有条分支，每条分支上有个点，
所以第n个图形中点的个数y与n的关系式是，
即 .
故答案为：D.
【分析】观察题图可知，从第2个图形开始，不算中间的点，每个图形中，每条分支上的点数比分支条数少1，且第n个图形有条n分支，每条分支上有(n-1)个点，然后根据第n个图形中点的总个数等于分支上的点数+中间的点数即可建立出y关于n的函数关系式.
4．【答案】500
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第1幅图中有1个菱形： ，
第2幅图中有3个菱形： ，
第3幅图中有5个菱形： ，
……
∴第幅图中有个菱形，
当时，
解得：，
故答案为：500．
【分析】先根据前3幅图中菱形的个数得到规律：第幅图中有个菱形，然后令，解方程求出的值即可.
5．【答案】38
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：根据图形数量的算法知，第n个图形下上各有(n+1)个图形，左右两列各有n个，则第n个有图形2(n+1)+2n-4=4n-2，当n=10时，4-2=38个.
故答案为：38.
【分析】由图形的计算方法可找到图形变化的规律，得第n个有4n-2个图形，即知第10个图形的个数.
6．【答案】n2+（n﹣1）2
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】因为组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为；
又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为， ∴若这样铺成一个n×n的正方形图案，
所得到的完整圆的个数共有： ．
故答案为．
【解答】观察图中的数量关系，类比得到规律解题即可．
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；探索数与式的规律；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，
∴∠A1B1O＝∠B1A1A2﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
∴∠A1B1O＝∠MON，
∴A1B1＝OA1，
∴A1B1＝A1A2＝OA1，
同理可得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，
∴A3B3＝A3A4＝OA3＝2OA2＝22 OA1，
A4B4＝A4A5＝OA4＝2OA3＝23 OA1，
…
∴AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，
∴△A6B6A7的边长：A6B6＝26＝64，
故答案为：C .
【分析】由等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，再由三角形外角的性质求出∠A1B1O＝30°，则A1B1＝A1A2＝OA1，同理得A2B2＝A2A3＝OA2＝2OA1，A3B3＝A3A4＝22 OA1，A4B4＝A4A5＝23 OA1，由此得出规律AnBn＝AnAn+1＝2n﹣1 OA1＝2n，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】角平分线的概念；猪蹄模型；探索规律-图形的递变规律；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，过作，
，
，
，，
，
；
同理，
和的平分线，交点为，
，，
，
同理，
，
……
，
度，
度．
故选：A．
【分析】本题主要考查平行线的性质以及角平分线的定义。解题时，通过过点E作EF∥AB，利用平行线的内错角相等性质，可以推导出∠BEC=∠ABE+∠DCE。类似地，对于其他点E1、E2等，同样有∠BE1C=∠ABE1+∠DCE1。
根据角平分线的定义，可以进一步得出∠BE1C=1/2∠ABE+1/2∠DCE=1/2(∠ABE+∠DCE)=1/2∠BEC。依此类推这样就得到了题目所求的结论。
9．【答案】C
【知识点】正方形的性质；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为，
n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为
故答案为：C.
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：在等腰 中，，
由勾股定理得，
在第①个等腰直角三角形中，，；
在第②个等腰直角三角形中，，；
在第③个等腰直角三角形中，，；
故可得规律：第个等腰直角三角形的斜边长为，
则第2026个等腰直角三角形的斜边长为 ．
故答案为：A.
【分析】根据等腰直角三角形的性质和勾股定理找出规律“第个等腰直角三角形的斜边长为”解答即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，且直角边长为，
，，
由题意可得：，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，，即可得到，进而可得，根据勾股定理求出，于是可得，同理可得，，，，，于是得解．
12．【答案】17.5°
【知识点】三角形外角的概念及性质；探索规律-图形的递变规律；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：
∵在 中，
是 的外角
同理可得： 、
故答案为 .
【分析】先根据等腰三角形的性质求出 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 及 的度数，解答即可.
13．【答案】（1）证明： ∵四边形ABCD为矩形， 0°，
同理可证，
（2）解：
解：
类比(1)同理可证
设BC=x，则AB=3x，
记 到AC的距离为h，则
即
解得
② n=8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（2）②类比(1)同理证得
∵四边形ABCD为矩形， AB=3BC，
解得n=8.
故答案为：8.
【分析】(1)利用矩形性质证明 利用相似三角形性质推出 ，再证明 最后利用相似三角形性质分析求解，即可解题；
(2)①先证明 推出 ，类比(1)同理证得 设BC=x，则AB=3x，结合勾股定理推出 AC， 记 到AC的距离为h，利用等面积法求出h，再根据正弦定义求解，即可解题；
②类比(1)同理证得 利用矩形性质推出CD=AB=3BC，根据 得到 再整理求解，即可解题.
14．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵ PN∥QM，
∴ ∠AR1B=∠ABR1，
翻折1次时，∠R1BM=，；
翻折2次时，∠R2BR1=，；
……，
折叠次时，，.
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质和平行线的性质可得，折叠次可得，然后根据四边形内角和即可求得．
15．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：第1次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
第2次交换位置后，小鼠所在位置是：4；
第3次交换位置后，小鼠所在位置是：2；
第4次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
第5次交换位置后，小鼠所在位置是：3；
，
以此可见，每次交换后小鼠所在位置的序号按：3，4，2，1循环出现，
又因为，
所以第2024次交换位置后，小鼠所在位置是：1；
故答案为：A．
【分析】求出每次交换后小鼠所在的位置，得到规律解题即可．
16．【答案】D
【知识点】矩形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：∵，
∴在矩形中，，，
∵第一次将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，且，
，
∴点A1的坐标为（3，2）；
∵第二次再将矩形绕右下角顶点顺时针旋转得到矩形，点A2在x轴上，
且A2O=2OC+CB1=2×2+1=5，
∴A2的坐标为（5，0）；
然后再重复以上过程，旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，
∴由此规律可得，，．
故答案为：D.
【分析】根据矩形和旋转的性质依次找出所求点的对应坐标可得规律：旋转4次一个循环，每一个循环结束，点A的对应点横坐标增加6个单位，在一个循环中点A纵坐标依次为2，0，1，根据这个规律可求解．
17．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；坐标与图形变化﹣旋转；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：因为，
所以每旋转六次，点的位置重复出现．
又因为余2，
所以第2024次旋转后点的位置与第2次旋转后点的位置相同．
过点作轴的垂线，垂线为，
因为，
所以，
因为点坐标为，
所以．
在中，，
所以，
所以，，
所以点的坐标为．
显然点和点关于轴对称，
所以点的坐标为，
即第2024次旋转后，点的坐标为．
故答案为：C．
【分析】每次旋转60°，旋转6次后回到原始位置，故旋转后期是6，用总旋转次数除以周期求出余数为2，即第2024次旋转后点B的位置与第二次旋转后的位置B'相同；过点B作y轴的垂线，垂线为H，根据含30°角直角三角形性质求出AH=2，利用勾股定算出BH，可得点B的坐标；进而根据点B和点B'关于x轴对称，从而根据关于x轴对称的点的坐标特点“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求出点B'的坐标，可得答案.
18．【答案】C
【知识点】点的坐标；旋转的性质；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第一次旋转后，在第一象限，，
第二次旋转后，在第二象限，，
第三次旋转后，在x轴负半轴，，
第四次旋转后，在第三象限，，
第五次旋转后，在第四象限，，
第六次旋转后，在x轴正半轴，，
……，
每旋转6次，A的对应点回到x轴正半轴，
而，
在x轴负半轴上，且，
∴点的坐标为．
故答案为：C .
【分析】根据题意得到每旋转6次是一个循环，且边长每次扩大2倍，得到点落在x轴负半轴，且，据此解答即可．
19．【答案】B
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；探索数与式的规律；探索规律-图形的循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵ 点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4） ，四边形OABC为平行四边形，
∴点B（2，6），
每旋转一个90°后的点B的位置依次记作B1，B2，B3，........
∴B1（6，-2）；B2（-2，-6）；B3（-6，2）；B4（2，6）......
∵2025÷4=506......1，
∴ 第2025次旋转结束时，点B的旋转到B1的位置，即此时点B的坐标为（6，-2）。
故答案为：B.
【分析】首先根据平行四边形的性质可得出B（2，6），每旋转一个90°后的点B的位置依次记作B1，B2，B3，........进而根据旋转的性质可得出B1（6，-2）；B2（-2，-6）；B3（-6，2）；B4（2，6）......再根据旋转规律即可得出第2025次旋转结束时，点B的旋转到B1的位置，即此时点B的坐标为（6，-2）。
20．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；正多边形的性质；探索规律-图形的循环规律；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：连接，，如图
在正六边形中，
∴∠C=∠ABC=，且CD=BC，
∴∠CBD=，
∴，
而，，
，
在中，，，
，
，
，
，，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，360°÷60=6次，
次一个循环，
，
即经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同，
与关于原点对称，
，，
经过第2025次旋转后，顶点的坐标，，
故答案为：A．
【分析】根据多边形内角和、正多边形的性质、等腰三角形的性质，计算得出，此时利用勾股定理即可得出，
然后利用“含30°直角三角形的性质”计算出，从而得出，此时即可得出D点的坐标；再根计算出6次一个循环，推出经过第2025次旋转后，顶点的坐标与第3次旋转得到的的坐标相同，最后结合图中信息以及关于原点对称的点的性质，即可得出答案。
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