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四川省成都市郫都区2025年中考数学第二次模拟检测试卷
一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能+”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，其中六位参赛选手的成绩分别为：，则这组数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
6．下列数学曲线（不含x轴、y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井。若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。绳长，井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，是边的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点；④连接并延长，交于点．
下列结论不能由上述操作结果得出的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．分解因式：　 　．
10．如图，点表示的是一个无理数，则可以是　 　．（写出一个值即可）．
11．如图，，点在线段上，若，，则的长为　 　．
12．不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个红球，这些球除颜色外无其他差别，现再放入个除颜色外无其他差别的红球．如果从袋子中随机取出个球，它是红球的概率为，那么的值为　 　．
13．按如下操作进行折纸活动：①对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图）：②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展开（如图）；③过所得的点折出折痕，使（如图）．则所得矩形中，的值为　 　．
三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（）计算：；
（）解不等式组：．
15．学校计划在各班设立“图书角”，为合理搭配各类书籍，校团委以“我最喜爱的书籍”为题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型有A哲学，B历史、C科学、D文学．根据调查统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
类别 人数
A哲学 20
B历史 60
C科学 180
D文学 m
（1）本次参与调查的学生共有多少人，并求出m的值；
（2）求扇形统计图中B所对应的圆心角的度数；
（3）所收集整理的四类书籍中，全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有多少人？
16．小明将一个照明光线始终都与灯带垂直的L型台灯放在水平的书桌上，已知灯柱高，他发现：当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为．当灯带与水平线夹角为时（图2），求台灯最高点C到桌面的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
17．如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若，求直径和的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）若的面积为8，求点D的坐标；
（3）若，求k的值．
四、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．化简：　 　．
20．已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为　 　．
21．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则　 　．
22．如图，，直角的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为　 　；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为　 　．
23．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是　 　．
五、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
25．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求的面积；
（3）若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
26．如图，等腰中，，，点分别在边上，且，
（1）求证：；
（2）试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）连接交于点，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是，
故答案为：D.
【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看的图形为：，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案．
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式可对A作出判断；利用积的乘方法则进行计算，可对B作出判断；再利用只有同类项才能合并，可对C作出判断；利用平方差公式可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AD∥BC，AB∥CD，OA=OB=OC=OD，
∴，∠OBC=∠OCB，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】矩形性质为：①对角线相等且互相平分，②四个内角都是直角，③对边平行且相等，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据按由小到大排列为，，，，，，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：．
【分析】
根据中位数的定义：把数据按由小到大排列为，，，，，，取中间两个数的平均数，即可求解．
6．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，也是中心对称图形，∴此选项符合题意；
D、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形能够完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；根据定义并结合各选项即可判断求解．
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺，
∴；
∵将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，
∴.
∴根据题意可列方程组，
故答案为：C.
【分析】根据题意，设绳长x尺，井深y尺，找出等量关系，列出方程组，即可求解.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；同位角相等，两直线平行；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图可知，，
∴，故选项正确；
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，故选项正确；
∵题目条件中和未告知是否相等，
∴无法确定与是否相等，
即无法确定与是否相等，
∴与不一定相等，故选项错误；
故答案为：．
【分析】由作图可得，可对作出判断；利用DE∥BC可推出利用相似三角形的性质可对D作出判断；由题目条件中和未告知是否相等，可对A作出判断.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的概念
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
∴无理数可以是，
故答案为：．
【分析】利用点M的位置可得到x的取值范围，据此可写出一个符合题意的x的值.
11．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2 ．
【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差计算．根据，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的运算可得，代入数据进行计算可求出HG的长.
12．【答案】4
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，符合题意，
∴的值为，
故答案为：．
【分析】利用已知条件及红球的概率为，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
13．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由折叠可得，，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用折叠的性质可证得，，，，利用矩形的性质可证得，可推出四边形是矩形 ，利用矩形的性质可知，设，可表示出MN、BF的长，利用勾股定理表示出BN的长，然后求出BN与MN的比值.
14．【答案】解：（）原式
；
（）由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（）先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式即可.
（）分别求出不等式组中的每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
15．【答案】（1）解：本次参与调查的学生共有（人）
∴
（2）解：扇形统计图中B 所对应的圆心角
（3）解：人；
∴全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有100人
【知识点】扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）首先由C类别的人数和所占的百分比求出总人数，然后减去其他类别的人数即可求出D类别的人数，得到m的值，；
（2）用乘以B类别所占的百分比即可求出扇形统计图中B所对应的圆心角度数；
（3）用2000乘以样本中A的人数所占的百分比即可求解．
（1）解：本次参与调查的学生共有（人）
∴；
（2）解：扇形统计图中B 所对应的圆心角；
（3）解：人；
∴全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有100人．
16．【答案】解：由题意可知：，，在图1中，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
在中，，
在图2中，由题意可知：，则：
∴
∴点到桌面的距离为；
答：此时台灯最高点到桌面的距离为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在图1中，利用已知易证四边形BDEM是平行四边形，利用平行四边形的性质可求出BM的长，利用解直角三角形可表示出BC的长；在图2中，利用解直角三角形求出CJ的长，由此可求出台灯最高点C到桌面的距离.
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
，
，

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理，可得出，再根据圆周角定理，得出，根据圆内接四边形及平行线的性质可得出，故而得出∠CAG=∠AGC，根据等腰三角形的判定可得出结论；
（2）如图，连接，首先根据垂径定理得出CE=DE=1，于是AE=3，再根据AA可证得，得出BE=，进而可得出直径AB=；再根据勾股定理求得，所以DF=，根据面积法可求得AH，根据勾股定理求得，利用等腰三角形的性质即可求得，即可求得．
（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
，
，
18．【答案】（1）解：把代入，可得，
，即，
，
，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为
（2）解：延长与双曲线交于点E，
点关于原点中心对称，
，
，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
，
，
设，则点的横坐标为，
把代入直线解析式可得，
，
点都在双曲线上，
，
解得，
（3）解：列方程，
整理得，
直线与双曲线交于点C、D，
点的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入直线解析式可得，
，
，
，
，
，
解得（舍去），
，
把代入反比例函数可得，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用一次函数解析式由x=0可求出对应的y的值，可得到点B的坐标，即可得到OA、OB的长，由此可得到点A的坐标；将点A的坐标代入一次函数解析式可求出m的值，即可得到一次函数解析式.
（2）利用反比例函数图象的对称性可得到OC=OE，可求出△OCD的面积；设点的横坐标为，点的横坐标为，利用三角形的面积公式可求出，设，可得到点C的横坐标，利用函数解析式可求出点C的坐标，再根据点都在双曲线上，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点D的坐标.
（3）将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，由此可得到点的横坐标即为方程的两个解，可表示出xC+xD的值，设，则，由此可表示出点D的坐标，再表示出OD2和DE2，根据，可得到关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值，可得到点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值.
（1）解：把代入，可得，
，即，
，
，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：延长与双曲线交于点E，
点关于原点中心对称，
，
，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
，
，
设，则点的横坐标为，
把代入直线解析式可得，
，
点都在双曲线上，
，
解得，
；
（3）解：列方程，
整理得，
直线与双曲线交于点C、D，
点的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入直线解析式可得，
，
，
，
，
，
解得（舍去），
，
把代入反比例函数可得，
19．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
20．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴这个直角三角形的斜边长，
故答案为：．
【分析】
根据完全平方公式的变形得，进而根据勾股定理得到斜边长即可求解．
21．【答案】90
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用已知条件可求出点P移动的距离，再利用弧长公式可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
22．【答案】；3；．
【知识点】解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，过点作于，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
∵四点共圆，
∴，
∴，即为定值，
可知在直线上运动，
如图，经过的路径长为，
，
在中，由勾股定理得：
，
此时，
，
∴经过的路径长为．
故答案为：，．
【分析】连接，过点作于，则，可推出∠ABC=∠MON=90°，可推出四点共圆，利用解直角三角形求出AD的长，即可求出OD的长，根据OB=OD+BD，代入计算求出OB的长；利用同弧所对的圆周角相等，可证得，即可推出为定值，可知在直线上运动，经过的路径长为，可求出B1B2的长，利用勾股定理求出AC的长，即可得到OB的长，然后求出BB1、BB2的长，最后求出经过的路径长.
23．【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为，
当时，，
当时，，
当时，，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，此时，在对称轴右侧，即，即，
∴，
此时，不等式组无解，不符合题意；
当时，
此时，，即，，即，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴；
当时，
此时，，即，
，即，
∵
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴；
综上可得：或，
故答案为：或．
【分析】利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式，分别求出当时，当时，当时对应的函数解析式；抛物线的开口向下，对称轴为直线；分情况讨论：当时，此时，在对称轴右侧；当时；当时；分别可得到关于t的不等式，然后求出符合题意的t的取值范围.
24．【答案】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
答：人物传记至多买33本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每本文学名著元，每本人物传记元，根据“ 30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）设购买人物传记本，根据题意列不等式，求出m的最大正整数解解题即可．
（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
答：人物传记至多买33本．
25．【答案】（1）解：∵抛物线经过原点O、，∴，
∴，
∴抛物线的表达式
（2）解：
∵抛物线的表达式，∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即
【知识点】二次函数图象的几何变换；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点A、O的坐标代入函数解析式，可求出b、c的值，由此可得到抛物线C1的解析式.
（2）先求出抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质可推出抛物线的顶点坐标，且二次项系数为，可求出抛物线的解析式，将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点B的坐标，同时可证得点M为BC的中点，利用三角形的面积公式可求出△BOC的面积.
（3）利用已知抛物线绕点旋转得到抛物线及抛物线的顶点坐标可求出抛物线的顶点坐标，由此可表示出抛物线的解析式，即可得到点D的坐标；设，将两函数解析式联立方程组，可求出s+p和sp的值；设直线解析式为，直线解析式为，分别求出k1和k2，再表示出k1+k2，然后根据是一个定值，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（1）解：∵抛物线经过原点O、，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式，
（2）解：∵抛物线的表达式，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴；
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即．
26．【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴
（2）解：，
理由如下：∵，
∴，
过点作于，过点作于，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
同理（2）得，
∴，
同理（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点，
∵点K是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，且为正实数，，
∴，
∴，即，
∴；
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可证得，，可推出，再证明 ，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，过点作于，过点作于，利用等腰三角形的性质可证得，，再利用解直角三角形可得到DH和DE的数量关系，可推出FD和DE的数量关系，由此可得到AE与CD的比值，设，则，可表示出AC、AB的长，即可表示出BC、BE的长，由此可证得与的数量关系.
（3）在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，易证，利用AAS可证得△DEM≌△BFE，利用全等三角形的性质可证得ME=BF，再证明；设，则，同理（2）得，可表示出AC的长，利用解直角三角形表示出AB的长，根据BE=AB-AE，可表示出BE的长；利用解直角三角形表示出DN的长，可得到EN的长，利用勾股定理可得到DE2关于m的关系式；再证明是的中位线，可推出，同时可证得，利用相似三角形的性质可可推出，即可得到，据此可得到关于m、n的方程，解方程可表示出m，然后代入可求出BE与AB的比值.
（1）证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
过点作于，过点作于，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
同理（2）得，
∴，
同理（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点，
∵点K是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，且为正实数，，
∴，
∴，即，
∴；
∴．
1 / 1四川省成都市郫都区2025年中考数学第二次模拟检测试卷
一、选择题（本大题共八个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解： 的倒数是，
故答案为：D.
【分析】乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此判断即可.
2．如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看的图形为：，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案．
3．下列运算，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意；
、，该选项正确，符合题意；
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式可对A作出判断；利用积的乘方法则进行计算，可对B作出判断；再利用只有同类项才能合并，可对C作出判断；利用平方差公式可对D作出判断.
4．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AD∥BC，AB∥CD，OA=OB=OC=OD，
∴，∠OBC=∠OCB，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】矩形性质为：①对角线相等且互相平分，②四个内角都是直角，③对边平行且相等，据此逐一判断得出答案.
5．为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能+”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中的融合应用”为主题的比赛，其中六位参赛选手的成绩分别为：，则这组数据的中位数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：数据按由小到大排列为，，，，，，
∴这组数据的中位数是，
故答案为：．
【分析】
根据中位数的定义：把数据按由小到大排列为，，，，，，取中间两个数的平均数，即可求解．
6．下列数学曲线（不含x轴、y轴），既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
B、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
C、图案是轴对称图形，也是中心对称图形，∴此选项符合题意；
D、图案是轴对称图形，但它不是中心对称图形，∴此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形能够完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；根据定义并结合各选项即可判断求解．
7．《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井。若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。绳长，井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺，
∴；
∵将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，
∴.
∴根据题意可列方程组，
故答案为：C.
【分析】根据题意，设绳长x尺，井深y尺，找出等量关系，列出方程组，即可求解.
8．如图，在中，是边的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点；④连接并延长，交于点．
下列结论不能由上述操作结果得出的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；同位角相等，两直线平行；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由作图可知，，
∴，故选项正确；
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，故选项正确；
∵题目条件中和未告知是否相等，
∴无法确定与是否相等，
即无法确定与是否相等，
∴与不一定相等，故选项错误；
故答案为：．
【分析】由作图可得，可对作出判断；利用DE∥BC可推出利用相似三角形的性质可对D作出判断；由题目条件中和未告知是否相等，可对A作出判断.
二、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
10．如图，点表示的是一个无理数，则可以是　 　．（写出一个值即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的概念
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
∴无理数可以是，
故答案为：．
【分析】利用点M的位置可得到x的取值范围，据此可写出一个符合题意的x的值.
11．如图，，点在线段上，若，，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2 ．
【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差计算．根据，利用全等三角形的性质可得，再利用线段的运算可得，代入数据进行计算可求出HG的长.
12．不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个红球，这些球除颜色外无其他差别，现再放入个除颜色外无其他差别的红球．如果从袋子中随机取出个球，它是红球的概率为，那么的值为　 　．
【答案】4
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得，
经检验是原方程的解，符合题意，
∴的值为，
故答案为：．
【分析】利用已知条件及红球的概率为，可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
13．按如下操作进行折纸活动：①对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图）：②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段，把纸片展开（如图）；③过所得的点折出折痕，使（如图）．则所得矩形中，的值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由折叠可得，，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用折叠的性质可证得，，，，利用矩形的性质可证得，可推出四边形是矩形 ，利用矩形的性质可知，设，可表示出MN、BF的长，利用勾股定理表示出BN的长，然后求出BN与MN的比值.
三、解答题（本大题共五个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（）计算：；
（）解不等式组：．
【答案】解：（）原式
；
（）由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（）先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再合并同类二次根式即可.
（）分别求出不等式组中的每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
15．学校计划在各班设立“图书角”，为合理搭配各类书籍，校团委以“我最喜爱的书籍”为题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型有A哲学，B历史、C科学、D文学．根据调查统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
类别 人数
A哲学 20
B历史 60
C科学 180
D文学 m
（1）本次参与调查的学生共有多少人，并求出m的值；
（2）求扇形统计图中B所对应的圆心角的度数；
（3）所收集整理的四类书籍中，全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有多少人？
【答案】（1）解：本次参与调查的学生共有（人）
∴
（2）解：扇形统计图中B 所对应的圆心角
（3）解：人；
∴全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有100人
【知识点】扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）首先由C类别的人数和所占的百分比求出总人数，然后减去其他类别的人数即可求出D类别的人数，得到m的值，；
（2）用乘以B类别所占的百分比即可求出扇形统计图中B所对应的圆心角度数；
（3）用2000乘以样本中A的人数所占的百分比即可求解．
（1）解：本次参与调查的学生共有（人）
∴；
（2）解：扇形统计图中B 所对应的圆心角；
（3）解：人；
∴全校2000名学生中喜欢哲学类型书籍的大约有100人．
16．小明将一个照明光线始终都与灯带垂直的L型台灯放在水平的书桌上，已知灯柱高，他发现：当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为．当灯带与水平线夹角为时（图2），求台灯最高点C到桌面的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】解：由题意可知：，，在图1中，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
在中，，
在图2中，由题意可知：，则：
∴
∴点到桌面的距离为；
答：此时台灯最高点到桌面的距离为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】在图1中，利用已知易证四边形BDEM是平行四边形，利用平行四边形的性质可求出BM的长，利用解直角三角形可表示出BC的长；在图2中，利用解直角三角形求出CJ的长，由此可求出台灯最高点C到桌面的距离.
17．如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若，求直径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
，
，

【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理，可得出，再根据圆周角定理，得出，根据圆内接四边形及平行线的性质可得出，故而得出∠CAG=∠AGC，根据等腰三角形的判定可得出结论；
（2）如图，连接，首先根据垂径定理得出CE=DE=1，于是AE=3，再根据AA可证得，得出BE=，进而可得出直径AB=；再根据勾股定理求得，所以DF=，根据面积法可求得AH，根据勾股定理求得，利用等腰三角形的性质即可求得，即可求得．
（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
，
，
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）若的面积为8，求点D的坐标；
（3）若，求k的值．
【答案】（1）解：把代入，可得，
，即，
，
，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为
（2）解：延长与双曲线交于点E，
点关于原点中心对称，
，
，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
，
，
设，则点的横坐标为，
把代入直线解析式可得，
，
点都在双曲线上，
，
解得，
（3）解：列方程，
整理得，
直线与双曲线交于点C、D，
点的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入直线解析式可得，
，
，
，
，
，
解得（舍去），
，
把代入反比例函数可得，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用一次函数解析式由x=0可求出对应的y的值，可得到点B的坐标，即可得到OA、OB的长，由此可得到点A的坐标；将点A的坐标代入一次函数解析式可求出m的值，即可得到一次函数解析式.
（2）利用反比例函数图象的对称性可得到OC=OE，可求出△OCD的面积；设点的横坐标为，点的横坐标为，利用三角形的面积公式可求出，设，可得到点C的横坐标，利用函数解析式可求出点C的坐标，再根据点都在双曲线上，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点D的坐标.
（3）将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，由此可得到点的横坐标即为方程的两个解，可表示出xC+xD的值，设，则，由此可表示出点D的坐标，再表示出OD2和DE2，根据，可得到关于n的方程，解方程求出符合题意的n的值，可得到点C的坐标，将点C的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值.
（1）解：把代入，可得，
，即，
，
，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：延长与双曲线交于点E，
点关于原点中心对称，
，
，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
，
，
设，则点的横坐标为，
把代入直线解析式可得，
，
点都在双曲线上，
，
解得，
；
（3）解：列方程，
整理得，
直线与双曲线交于点C、D，
点的横坐标即为方程的两个解，
，
设，则，且，
把代入直线解析式可得，
，
，
，
，
，
解得（舍去），
，
把代入反比例函数可得，
四、填空题（本大题共五个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先将括号里的分式通分计算，同时将分式除法转化为乘法运算，然后约分化简即可.
20．已知表示一个直角三角形的两直角边的长，若，则这个直角三角形的斜边长为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；求代数式的值-整体代入求值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴这个直角三角形的斜边长，
故答案为：．
【分析】
根据完全平方公式的变形得，进而根据勾股定理得到斜边长即可求解．
21．“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则　 　．
【答案】90
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算
【解析】【解答】解：根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用已知条件可求出点P移动的距离，再利用弧长公式可得到关于n的方程，解方程求出n的值.
22．如图，，直角的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为　 　；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为　 　．
【答案】；3；．
【知识点】解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，过点作于，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
∵四点共圆，
∴，
∴，即为定值，
可知在直线上运动，
如图，经过的路径长为，
，
在中，由勾股定理得：
，
此时，
，
∴经过的路径长为．
故答案为：，．
【分析】连接，过点作于，则，可推出∠ABC=∠MON=90°，可推出四点共圆，利用解直角三角形求出AD的长，即可求出OD的长，根据OB=OD+BD，代入计算求出OB的长；利用同弧所对的圆周角相等，可证得，即可推出为定值，可知在直线上运动，经过的路径长为，可求出B1B2的长，利用勾股定理求出AC的长，即可得到OB的长，然后求出BB1、BB2的长，最后求出经过的路径长.
23．定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足时，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：函数的图象向上平移个单位，得到的函数解析式为，
当时，，
当时，，
当时，，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
当时，此时，在对称轴右侧，即，即，
∴，
此时，不等式组无解，不符合题意；
当时，
此时，，即，，即，
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴；
当时，
此时，，即，
，即，
∵
∴，
∴，
∴，
，
解得：，
∴；
综上可得：或，
故答案为：或．
【分析】利用二次函数图象平移规律可得到平移后的函数解析式，分别求出当时，当时，当时对应的函数解析式；抛物线的开口向下，对称轴为直线；分情况讨论：当时，此时，在对称轴右侧；当时；当时；分别可得到关于t的不等式，然后求出符合题意的t的取值范围.
五、解答题（本大题共三个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．
（1）求每本文学名著和人物传记各多少元？
（2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？
【答案】（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
答：人物传记至多买33本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每本文学名著元，每本人物传记元，根据“ 30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）设购买人物传记本，根据题意列不等式，求出m的最大正整数解解题即可．
（1）解：设每本文学名著元，每本人物传记元，
，
解得，
答：每本文学名著25元，每本人物传记20元．
（2）解：设购买人物传记本，文学名著本，
，
解得：，
为整数，
，
答：人物传记至多买33本．
25．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求的面积；
（3）若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过原点O、，∴，
∴，
∴抛物线的表达式
（2）解：
∵抛物线的表达式，∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即
【知识点】二次函数图象的几何变换；坐标与图形变化﹣旋转；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将点A、O的坐标代入函数解析式，可求出b、c的值，由此可得到抛物线C1的解析式.
（2）先求出抛物线的顶点坐标，利用旋转的性质可推出抛物线的顶点坐标，且二次项系数为，可求出抛物线的解析式，将两函数解析式联立方程组，解方程组求出点B的坐标，同时可证得点M为BC的中点，利用三角形的面积公式可求出△BOC的面积.
（3）利用已知抛物线绕点旋转得到抛物线及抛物线的顶点坐标可求出抛物线的顶点坐标，由此可表示出抛物线的解析式，即可得到点D的坐标；设，将两函数解析式联立方程组，可求出s+p和sp的值；设直线解析式为，直线解析式为，分别求出k1和k2，再表示出k1+k2，然后根据是一个定值，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.
（1）解：∵抛物线经过原点O、，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式，
（2）解：∵抛物线的表达式，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴；
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即．
26．如图，等腰中，，，点分别在边上，且，
（1）求证：；
（2）试猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）连接交于点，若，求的值．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴
（2）解：，
理由如下：∵，
∴，
过点作于，过点作于，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
同理（2）得，
∴，
同理（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点，
∵点K是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，且为正实数，，
∴，
∴，即，
∴；
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可证得，，可推出，再证明 ，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得结论.
（2）利用相似三角形的对应边成比例可得比例式，过点作于，过点作于，利用等腰三角形的性质可证得，，再利用解直角三角形可得到DH和DE的数量关系，可推出FD和DE的数量关系，由此可得到AE与CD的比值，设，则，可表示出AC、AB的长，即可表示出BC、BE的长，由此可证得与的数量关系.
（3）在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，易证，利用AAS可证得△DEM≌△BFE，利用全等三角形的性质可证得ME=BF，再证明；设，则，同理（2）得，可表示出AC的长，利用解直角三角形表示出AB的长，根据BE=AB-AE，可表示出BE的长；利用解直角三角形表示出DN的长，可得到EN的长，利用勾股定理可得到DE2关于m的关系式；再证明是的中位线，可推出，同时可证得，利用相似三角形的性质可可推出，即可得到，据此可得到关于m、n的方程，解方程可表示出m，然后代入可求出BE与AB的比值.
（1）证明：∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
过点作于，过点作于，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
同理（2）得，
∴，
同理（2）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点，
∵点K是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
∵，且为正实数，，
∴，
∴，即，
∴；
∴．
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