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四川省成都市青白江区2025年中考“二诊”数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1． 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是（　　）
（　　）
A．坚 B．持 C．并 D．举
3．2025年2月13日，举行了四川省第一季度重大项目现场推进活动，青白江区总投资超21.9亿元的11个项目集中亮相，涵盖交通基础设施、新能源、智能制造等领域，全面吹响一季度“开局冲刺”号角．将数据21.9亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．巴中市今年3月1日至7日每天的最高气温（单位：℃）依次为：17，19，15，15，14，12，13，关于这组数据下列说法不正确的是（　　）
A．中位数是15 B．众数是15 C．平均数是15 D．方差是5
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．四边相等的四边形是矩形
7．我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．M，N两点之间的距离为7
D．当时，y的值随x值的增大而增大
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解　 　．
10．若点，都在反比例函数的图象上，且，则　 　．（填“>”“<”或“=”）
11．如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是　 　．
12．已知关于x的方程的解是，则m的值是　 　．
13．如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．为进一步弘扬爱国精神，引导青少年听党话，跟党走，发扬红色传统，温州道德馆举办了“党的故事我来讲”主题活动，计划开展四项活动：：党史演讲比赛，：党史手抄报比赛，：党史知识竞赛，：红色歌咏比赛．宣传部对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图，图两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了___________名学生；图中___________；并将图1的条形统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的个学生中只有名女生，现从这名学生中任意抽取名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
16．青白江区弥牟镇狮子村11组，在一片充满生机与活力的麦田旁，“朱家湾飞行营地”格外醒目，这里是无人机和航模技术的乐园．如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡比，A处到地面的距离为10米，水平地面长为30米．
（1）求山坡的长；
（2）求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1）（参考数据：，，）．
17．如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
18．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C．
（1）求双曲线的解析式；
（2）如图2，连接OC．
①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；
②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．若，则　 　．
20．已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为　 　．
21．有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是　 　．
22．如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为　 　．
23．由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形，其中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，在直线上方有一个动点P，且满足四边形的面积是的面积的6倍，则周长的最小值为　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元．
（1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元；
（2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？
25．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值；
（3）如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标．
26．【问题情境】在中，，，点D是边上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．点F是中点，连接并延长交的延长线于点G．
【探究发现】
（1）如图1，若，判断线段与的数量关系，并说明理由；
【探究猜想】
（2）如图2，若．
①判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
②若，求的长度．
【探究拓广】
（3）如图3，若，在上取一点M，使得，连接并延长交的延长线于点N，请求出的值（用含n的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的倒数是．
故答案为：C．
【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”，用 计算即可得到 的倒数．
2．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是持，
故答案为：B．
【分析】 根据正方体的表面展开图，进而找出相对面，从而即可求解。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：21.9亿，
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：整理得：12，13，14，15，15，17，19，
中位数：15；
众数：15；
平均数：，
方差：；
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用积的乘方法则，可对A作出判断；利用幂的乘方及同底数幂相乘的法则，可对B作出判断；再利用完全平方公式和平方差公式，可对C、D作出判断.
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意；
D、四边相等的四边形是菱形，原命题是假命题，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理为：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形；菱形的判定定理为：①四边相等的四边形是菱形，②对角线互相垂直得平行四边形是菱形，③有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此逐一判断得出答案.
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意知，符合题意的方程组为，
故答案为：A．
【分析】将绳子折成三等份，则一份绳长为尺，由一份绳长比井深多5尺可得；将绳子折成四等份，则一份绳长为尺，由一份绳长比井深多1尺可得，联立两方程即可得到所求的方程组.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于M，N两点，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；
∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D错误，不符合题意；
令，则，
解得：或，
∴M，N两点之间的距离为，故C错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用函数解析式可得抛物线的对称轴，可对A作出判断；同时可得到抛物线的顶点坐标，可对B作出判断；由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点M、N的坐标，即可求出点M、N之间的距离，可对C作出判断；然后利用二次函数额增减性，可对D作出判断.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
10．【答案】＜
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限且y随x的增大而减小，再由，可得y1、y2的大小关系.
11．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将的顶点A平移至点的位置，
∴平移的方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴平移后点C的对应点的坐标是，即，
故答案为：．
【分析】利用点A平移至点P，可得到平移的方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，由此可得到点C的对应点的坐标.
12．【答案】2
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故，
故答案为：．
【分析】将x=3代入方程，可得到关于m的方程，解方程即可.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
根据作图可得，平分，
∴，
∴，
如图所示，过点B作交于点H，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可求出AB的长，同时可证得BC∥AD，利用平行线的性质可证得；利用作图可知平分，利用角平分线的概念可求出∠DAF的度数，即可得到∠BAF的度数；过点B作交于点H，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出BH的长，利用勾股定理求出AF的长，即可求出△ABF的周长.
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，，解得：，
∴不等式组的解集为
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后算加减法.
（2）先求出每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
15．【答案】（1）；，
解：条形图如下：
（2）解：树状图如下：
共种等结果，每种结果出现的可能性相同，其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为：．
答：其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：总人数为：（人），
∴；
故答案为：；．
【分析】（1）用组的人数除以其所占百分比即可求出调查的总人数；利用扇形统计图可求出m的值.
（2）利用已知可知此事件是抽取不放回，画树状图，可得到所有等可能的结果数及恰好抽到一名男生一名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（1）解：总人数为：（人），
∴；
条形图如下：
故答案为：；．
（2）解：树状图如下：
共种等结果，每种结果出现的可能性相同，其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为：．
答：其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
16．【答案】（1）解：如图，作交的延长线于，
由题意可得：米，
∵山坡的坡比，
∴，
∴米，
∴米，
∴山坡的长为米
（2）解：如图：作交于，
则，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设米，则米，米，
∵，
∴，
∴米，
答：此时无人机离地面的高度的长米
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作交的延长线于，利用已知条件可求出AE的长，再利用山坡的坡比可求出BE的长，然后利用勾股定理求出AB的长.
（2）作交于，易证四边形为矩形，利用矩形的性质可求出DF的长，同时可证得AF=DE，可推出为等腰直角三角形，可证AF=PF；设米，可表示出PD、CD的长，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出PD的长.
（1）解：如图，作交的延长线于，
由题意可得：米，
∵山坡的坡比，
∴，
∴米，
∴米，
∴山坡的长为米；
（2）解：如图：作交于，
则，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设米，则米，米，
∵，
∴，
∴米，即此时无人机离地面的高度的长米．
17．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可证得，再利用等边对等角可证，由此可推出，然后利用平行线的判定可证得结论.
（2）利用圆周角定理的推论及平行线的性质可证得∠OFD=90°，再利用解直角三角形可求出OD的长，可得到OF、AB的长；利用勾股定理求出BF的长，可得到BC的长；再利用解直角三角形求出AC的长；由可推出，利用相似三角形的性质可求出EF的长.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
18．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
解得，
将代入，得
，解得，
∴双曲线的解析式
（2）解：①当时，，令，得，
∴，即，
联立得：，
解得：或，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，，则
，
∵的面积是的面积的3倍，
∴，解得，
即，
∴．
②的值不发生变化，理由如下：
过C作轴于H，如图：在中，令得，令得，
∴，
∴，
即
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由反比例函数可知，，
∴，即，
∴，
∴
即的值不发生变化，为18
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b的长，然后利用待定系数法可求出双曲线的函数解析式.
（2）①将t=8代入函数解析式，求出当x=0时y的值，可得到点B的坐标，将两函数解析式联立方程组，可求出点C的值；利用三角形的面积公式可求出m的值，可得到点D的坐标；②过C作轴于H，利用函数解析式可证得OA=OB=t，易证△AOB，△CBH是等腰直角三角形，可证得CH=BH；设设，可表示出OH，可表示出OC2-OA2，利用反比例函数解析式及三角形的面积公式可得到CH与OH的乘积，然后求出的值即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
解得，
将代入，得
，解得，
∴双曲线的解析式．
（2）①当时，，
令，得，
∴，即，
联立得：，
解得：或，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，，则
，
∵的面积是的面积的3倍，
∴，解得，
即，
∴．
②的值不发生变化，理由如下：
过C作轴于H，如图：在中，令得，令得，
∴，
∴，
即
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由反比例函数可知，，
∴，即，
∴，
∴
即的值不发生变化，为18．
19．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】利用已知等式可得到a2+3a的值，然后整体代入求值.
20．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数；整体思想
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，原方程为，
∴，不符合题意舍去，
当时，原方程为，
∴，符合题意舍去，
综上所述：，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系表示出：，，化简得，在整体代入得，解方程得到，，验证，解答即可．
21．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；概率公式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数经过第二、四象限，
∴，
∴，
，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∵关于x的不等式组有实数解，
∴，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为，0，1，
∴使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是，
故答案为：．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系，可得到a的取值范围；分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组有实数解，可得到a的取值范围，综上所述可得到a的取值范围，可得到符合题意的a的值，即可求出不等式组有实数解的概率.
22．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接、、、、，
，
由题意可得：，，，
∴、均为等边三角形，，
∴的长为，
∵“玫瑰三叶形”的周长为，
∴，
∴，
作于，则，
∴，
由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，
∴“玫瑰三叶形”的面积为
故答案为：．
【分析】连接、、、、，由题意可得，，，从而可得、均为等边三角形，，利用扇形的面积公式及“玫瑰三叶形”的周长为，可得到关于r的方程，解方程求出r的值；作于，利用勾股定理求出OD的长；由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，故“玫瑰三叶形”的面积为，计算即可得解．
23．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接交于，作于，
∵、是两个大小相同的等边三角形，
∴，，
∴四边形为菱形，，
∴，，，
∴，
∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形的面积是的面积的6倍，
∴，
∴，即，
∴，
∴点在到的距离是的直线上运动，
由题意可得点到直线的距离为，
作点关于直线的对称点为，连接交直线于，
由轴对称的性质可得：，
∴由两点之间，线段最短可得，，此时的值最小，
作于，则，，
∴，即的最小值为，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接交于，作于，利用等边三角形的性质和菱形的性质可求出，AO的长和∠ABD的度数，同时可证得BD=2BO，利用勾股定理求出BD的长；再利用三角形的中位线定理可求出EF的长，同时可证得，，可推出四边形为矩形，据此可求出四边形EFGH的面积，根据四边形的面积是的面积的6倍，可求出△PFG的面积，即可求出MP的长，由此可证得点在到的距离是的直线上运动，同时可求出点到直线的距离；作点关于直线的对称点为，连接交直线于，可证得，利用两点之间，线段最短可证得，此时的值最小，利用勾股定理求出AD'的长，可得到AP+PD的最小值，然后求出△APD周长的最小值.
24．【答案】（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，
根据题意可列方程：，
解得：，
则，
、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元
（2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，
根据题意可列不等式组：
，
解得：，
为整数，
的值为、、，
该车间共有三种招聘方案：
①招聘工种工人人，工种工人人；
②招聘工种工人人，工种工人人；
③招聘工种工人人，工种工人人；
工种工人的月工资比工种工人的月工资低，
招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少，
招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元，
答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设工种工人的月工资为万元，可表示出工种工人的月工资数，再根据 该生产车间每月共付工资总额540万元 ，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（2）设再招聘工种工人人，可表示出再招聘工种工人的人数，根据题意可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的整数解，可得到具体的方案，然后求出每月付给这60个工人工资总额最少方案，即可求解.
（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，
根据题意可列方程：，
解得：，
则，
、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元；
（2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，
根据题意可列不等式组：
，
解得：，
为整数，
的值为、、，
该车间共有三种招聘方案：
①招聘工种工人人，工种工人人；
②招聘工种工人人，工种工人人；
③招聘工种工人人，工种工人人；
工种工人的月工资比工种工人的月工资低，
招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少，
招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元，
答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元．
25．【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线，∴，
∴，
∴抛物线的解析式为
（2）解：在中，令，则，解得：，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入直线解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为；
设，则，，
在中，当时，，
解得，即，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为
（3）解：由题意可设，，∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，，
∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用点C的坐标及对称轴可求出b、c的值，即可求出抛物线的函数解析式.
（2）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标；利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，设，同时可表示出点N的坐标及点Q的坐标，据此可表示出MN、MQ的长，可得到MN+MQ关于m的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
（3）由题意可设，，利用点A、B的坐标及抛物线四边形的性质分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可动点符合题意的点E的坐标.
（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入直线解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为；
设，则，，
在中，当时，，
解得，即，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，为；
（3）解：由题意可设，，
∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，，
∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
26．【答案】解：（1）．
理由：∵，，，
∴，，
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴
∵点F是中点，
∴
（2）①．
理由：过点A作于M，过点F作于N，如图2，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵点F是中点，
∴，
∴
∴；
②∵，，，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，，
∵，，
∴
∴
∴，即，
∴．
（3）过点A作于G，过点M作于P，如图3，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可证得，利用旋转的性质可证得∠DAE=90°，同时可证得，利用勾股定理可表示出DE的长，即可得到线段AF与BC的数量关系.
（2）①过点A作于M，过点F作于N，利用等腰直角三角形的性质即直角三角形斜边上的中线可推出；设，可表示出BD、BC、BM的长，即可表示出MD的长，利用勾股定理可表示出AD的长；利用旋转的性质可表示出AD的长，即可动点DE、AF的长，然后求出AF与BC的数量关系；②利用勾股定理求出BC的长，从而可求出BD、CD的长，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可求出CE的长，同时可求出∠BCE=90°，据此可推出得到，即可证得，可求出FN、DN的长，同理可证得，利用相似三角形的性质可求出CG的长.
（3）过点A作于G，过点M作于P，设，可表示出BD、BC的长，利用等腰三角形的性质可表示出BG、DG对策，利用勾股定理可表示出AD、DE、AF的长，根据AM=BM，可得到BM与BA的比值；再证明，可证得，利用相似三角形的性质可表示出BP、MP、CP的长，同理可证，利用相似三角形的性质可表示出CN的长，然后求出的值.
1 / 1四川省成都市青白江区2025年中考“二诊”数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1． 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的倒数是．
故答案为：C．
【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”，用 计算即可得到 的倒数．
2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是（　　）
（　　）
A．坚 B．持 C．并 D．举
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：原正方体中与“育”字所在的面相对的面上标的字是持，
故答案为：B．
【分析】 根据正方体的表面展开图，进而找出相对面，从而即可求解。
3．2025年2月13日，举行了四川省第一季度重大项目现场推进活动，青白江区总投资超21.9亿元的11个项目集中亮相，涵盖交通基础设施、新能源、智能制造等领域，全面吹响一季度“开局冲刺”号角．将数据21.9亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：21.9亿，
故答案为：A．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，即可求解.
4．巴中市今年3月1日至7日每天的最高气温（单位：℃）依次为：17，19，15，15，14，12，13，关于这组数据下列说法不正确的是（　　）
A．中位数是15 B．众数是15 C．平均数是15 D．方差是5
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：整理得：12，13，14，15，15，17，19，
中位数：15；
众数：15；
平均数：，
方差：；
故答案为：D．
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用积的乘方法则，可对A作出判断；利用幂的乘方及同底数幂相乘的法则，可对B作出判断；再利用完全平方公式和平方差公式，可对C、D作出判断.
6．下列命题是假命题的是（　　）
A．对角线相等的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形
D．四边相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题，故本选项不符合题意；
D、四边相等的四边形是菱形，原命题是假命题，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】矩形的判定定理为：①对角线相等的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③有一个角是直角的平行四边形是矩形；菱形的判定定理为：①四边相等的四边形是菱形，②对角线互相垂直得平行四边形是菱形，③有一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此逐一判断得出答案.
7．我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意知，符合题意的方程组为，
故答案为：A．
【分析】将绳子折成三等份，则一份绳长为尺，由一份绳长比井深多5尺可得；将绳子折成四等份，则一份绳长为尺，由一份绳长比井深多1尺可得，联立两方程即可得到所求的方程组.
8．二次函数的图象与x轴交于M，N两点，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．M，N两点之间的距离为7
D．当时，y的值随x值的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象与x轴交于M，N两点，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；
∴当时，y的值随x值的增大而增大，故D错误，不符合题意；
令，则，
解得：或，
∴M，N两点之间的距离为，故C错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用函数解析式可得抛物线的对称轴，可对A作出判断；同时可得到抛物线的顶点坐标，可对B作出判断；由y=0，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到点M、N的坐标，即可求出点M、N之间的距离，可对C作出判断；然后利用二次函数额增减性，可对D作出判断.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
10．若点，都在反比例函数的图象上，且，则　 　．（填“>”“<”或“=”）
【答案】＜
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用反比例函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限且y随x的增大而减小，再由，可得y1、y2的大小关系.
11．如图，在平面直角坐标系中，其中点，，，将的顶点A平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵将的顶点A平移至点的位置，
∴平移的方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴平移后点C的对应点的坐标是，即，
故答案为：．
【分析】利用点A平移至点P，可得到平移的方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，由此可得到点C的对应点的坐标.
12．已知关于x的方程的解是，则m的值是　 　．
【答案】2
【知识点】解分式方程；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
故，
故答案为：．
【分析】将x=3代入方程，可得到关于m的方程，解方程即可.
13．如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交于点；交于点N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，连接并延长交线段于点F，由作图的结果可得的周长为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
根据作图可得，平分，
∴，
∴，
如图所示，过点B作交于点H，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可求出AB的长，同时可证得BC∥AD，利用平行线的性质可证得；利用作图可知平分，利用角平分线的概念可求出∠DAF的度数，即可得到∠BAF的度数；过点B作交于点H，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出BH的长，利用勾股定理求出AF的长，即可求出△ABF的周长.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，，解得：，
∴不等式组的解集为
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后算加减法.
（2）先求出每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集.
15．为进一步弘扬爱国精神，引导青少年听党话，跟党走，发扬红色传统，温州道德馆举办了“党的故事我来讲”主题活动，计划开展四项活动：：党史演讲比赛，：党史手抄报比赛，：党史知识竞赛，：红色歌咏比赛．宣传部对学生最喜欢的一项活动进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图，图两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了___________名学生；图中___________；并将图1的条形统计图补充完整；
（2）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的个学生中只有名女生，现从这名学生中任意抽取名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）；，
解：条形图如下：
（2）解：树状图如下：
共种等结果，每种结果出现的可能性相同，其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为：．
答：其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：总人数为：（人），
∴；
故答案为：；．
【分析】（1）用组的人数除以其所占百分比即可求出调查的总人数；利用扇形统计图可求出m的值.
（2）利用已知可知此事件是抽取不放回，画树状图，可得到所有等可能的结果数及恰好抽到一名男生一名女生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
（1）解：总人数为：（人），
∴；
条形图如下：
故答案为：；．
（2）解：树状图如下：
共种等结果，每种结果出现的可能性相同，其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为：．
答：其中出恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
16．青白江区弥牟镇狮子村11组，在一片充满生机与活力的麦田旁，“朱家湾飞行营地”格外醒目，这里是无人机和航模技术的乐园．如图，一架无人机静止悬浮在空中P处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面C处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡比，A处到地面的距离为10米，水平地面长为30米．
（1）求山坡的长；
（2）求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1）（参考数据：，，）．
【答案】（1）解：如图，作交的延长线于，
由题意可得：米，
∵山坡的坡比，
∴，
∴米，
∴米，
∴山坡的长为米
（2）解：如图：作交于，
则，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设米，则米，米，
∵，
∴，
∴米，
答：此时无人机离地面的高度的长米
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）作交的延长线于，利用已知条件可求出AE的长，再利用山坡的坡比可求出BE的长，然后利用勾股定理求出AB的长.
（2）作交于，易证四边形为矩形，利用矩形的性质可求出DF的长，同时可证得AF=DE，可推出为等腰直角三角形，可证AF=PF；设米，可表示出PD、CD的长，利用解直角三角形可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出PD的长.
（1）解：如图，作交的延长线于，
由题意可得：米，
∵山坡的坡比，
∴，
∴米，
∴米，
∴山坡的长为米；
（2）解：如图：作交于，
则，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设米，则米，米，
∵，
∴，
∴米，即此时无人机离地面的高度的长米．
17．如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；内错角相等，两直线平行；圆周角定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可证得，再利用等边对等角可证，由此可推出，然后利用平行线的判定可证得结论.
（2）利用圆周角定理的推论及平行线的性质可证得∠OFD=90°，再利用解直角三角形可求出OD的长，可得到OF、AB的长；利用勾股定理求出BF的长，可得到BC的长；再利用解直角三角形求出AC的长；由可推出，利用相似三角形的性质可求出EF的长.
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
18．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C．
（1）求双曲线的解析式；
（2）如图2，连接OC．
①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；
②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
解得，
将代入，得
，解得，
∴双曲线的解析式
（2）解：①当时，，令，得，
∴，即，
联立得：，
解得：或，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，，则
，
∵的面积是的面积的3倍，
∴，解得，
即，
∴．
②的值不发生变化，理由如下：
过C作轴于H，如图：在中，令得，令得，
∴，
∴，
即
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由反比例函数可知，，
∴，即，
∴，
∴
即的值不发生变化，为18
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质可求出a、b的长，然后利用待定系数法可求出双曲线的函数解析式.
（2）①将t=8代入函数解析式，求出当x=0时y的值，可得到点B的坐标，将两函数解析式联立方程组，可求出点C的值；利用三角形的面积公式可求出m的值，可得到点D的坐标；②过C作轴于H，利用函数解析式可证得OA=OB=t，易证△AOB，△CBH是等腰直角三角形，可证得CH=BH；设设，可表示出OH，可表示出OC2-OA2，利用反比例函数解析式及三角形的面积公式可得到CH与OH的乘积，然后求出的值即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
解得，
将代入，得
，解得，
∴双曲线的解析式．
（2）①当时，，
令，得，
∴，即，
联立得：，
解得：或，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，，则
，
∵的面积是的面积的3倍，
∴，解得，
即，
∴．
②的值不发生变化，理由如下：
过C作轴于H，如图：在中，令得，令得，
∴，
∴，
即
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由反比例函数可知，，
∴，即，
∴，
∴
即的值不发生变化，为18．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．若，则　 　．
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】利用已知等式可得到a2+3a的值，然后整体代入求值.
20．已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数；整体思想
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
当时，原方程为，
∴，不符合题意舍去，
当时，原方程为，
∴，符合题意舍去，
综上所述：，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系表示出：，，化简得，在整体代入得，解方程得到，，验证，解答即可．
21．有5张正面分别有数字，，0，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；概率公式；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数经过第二、四象限，
∴，
∴，
，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∵关于x的不等式组有实数解，
∴，
∴，
∴，
∴符合条件的的值为，0，1，
∴使函数经过第二、四象限，且关于x的不等式组有实数解的概率是，
故答案为：．
【分析】利用一次函数图象与系数的关系，可得到a的取值范围；分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组有实数解，可得到a的取值范围，综上所述可得到a的取值范围，可得到符合题意的a的值，即可求出不等式组有实数解的概率.
22．如图，以点O为圆心，作半径为r的圆，将圆周六等分，六等分点依次为，，，，，．再分别以，，为圆心，为r半径作弧，，，这三段弧所围成的图形称为“玫瑰三叶形”．若“玫瑰三叶形”的周长为，则它的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接、、、、，
，
由题意可得：，，，
∴、均为等边三角形，，
∴的长为，
∵“玫瑰三叶形”的周长为，
∴，
∴，
作于，则，
∴，
由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，
∴“玫瑰三叶形”的面积为
故答案为：．
【分析】连接、、、、，由题意可得，，，从而可得、均为等边三角形，，利用扇形的面积公式及“玫瑰三叶形”的周长为，可得到关于r的方程，解方程求出r的值；作于，利用勾股定理求出OD的长；由图形可得，“玫瑰三叶形”的面积可以看成个全等的弓形组成，故“玫瑰三叶形”的面积为，计算即可得解．
23．由两个大小相同的等边三角形拼成如图所示的四边形，其中，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，在直线上方有一个动点P，且满足四边形的面积是的面积的6倍，则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，连接交于，作于，
∵、是两个大小相同的等边三角形，
∴，，
∴四边形为菱形，，
∴，，，
∴，
∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴四边形为平行四边形，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵四边形的面积是的面积的6倍，
∴，
∴，即，
∴，
∴点在到的距离是的直线上运动，
由题意可得点到直线的距离为，
作点关于直线的对称点为，连接交直线于，
由轴对称的性质可得：，
∴由两点之间，线段最短可得，，此时的值最小，
作于，则，，
∴，即的最小值为，
∴周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接交于，作于，利用等边三角形的性质和菱形的性质可求出，AO的长和∠ABD的度数，同时可证得BD=2BO，利用勾股定理求出BD的长；再利用三角形的中位线定理可求出EF的长，同时可证得，，可推出四边形为矩形，据此可求出四边形EFGH的面积，根据四边形的面积是的面积的6倍，可求出△PFG的面积，即可求出MP的长，由此可证得点在到的距离是的直线上运动，同时可求出点到直线的距离；作点关于直线的对称点为，连接交直线于，可证得，利用两点之间，线段最短可证得，此时的值最小，利用勾股定理求出AD'的长，可得到AP+PD的最小值，然后求出△APD周长的最小值.
五、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）
24．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有、两个工种的工人，其中工种有300人，工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个种工人的月工资与5个种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元．
（1）、两个工种工人的月工资分别为多少万元；
（2）由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘、两个工种工人共60人．其中，再招聘的工种工人不超过再招聘的工种工人的，且最终车间所有工种工人的数量与车间所有工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最少，最少为多少？
【答案】（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，
根据题意可列方程：，
解得：，
则，
、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元
（2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，
根据题意可列不等式组：
，
解得：，
为整数，
的值为、、，
该车间共有三种招聘方案：
①招聘工种工人人，工种工人人；
②招聘工种工人人，工种工人人；
③招聘工种工人人，工种工人人；
工种工人的月工资比工种工人的月工资低，
招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少，
招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元，
答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设工种工人的月工资为万元，可表示出工种工人的月工资数，再根据 该生产车间每月共付工资总额540万元 ，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
（2）设再招聘工种工人人，可表示出再招聘工种工人的人数，根据题意可得到关于a的不等式组，然后求出不等式组的整数解，可得到具体的方案，然后求出每月付给这60个工人工资总额最少方案，即可求解.
（1）解：设工种工人的月工资为万元，则工种工人的月工资为万元，
根据题意可列方程：，
解得：，
则，
、两个工种工人的月工资分别为1万元、1.2万元；
（2）解：设再招聘工种工人人，则再招聘工种工人人，
根据题意可列不等式组：
，
解得：，
为整数，
的值为、、，
该车间共有三种招聘方案：
①招聘工种工人人，工种工人人；
②招聘工种工人人，工种工人人；
③招聘工种工人人，工种工人人；
工种工人的月工资比工种工人的月工资低，
招聘工种工人越多，每月付给这个工人的工资总额越少，
招聘工种工人人，工种工人人时，每月付给这个工人的工资总额最少，最少为万元，
答：该车间共有三种招聘方案：①招聘工种工人人，工种工人人；②招聘工种工人人，工种工人人；③招聘工种工人人，工种工人人；方案③可使每月付给这个工人的工资总额最少，最少为68万元．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值；
（3）如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线，∴，
∴，
∴抛物线的解析式为
（2）解：在中，令，则，解得：，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入直线解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为；
设，则，，
在中，当时，，
解得，即，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，的值最大为
（3）解：由题意可设，，∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，，
∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用点C的坐标及对称轴可求出b、c的值，即可求出抛物线的函数解析式.
（2）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标；利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，设，同时可表示出点N的坐标及点Q的坐标，据此可表示出MN、MQ的长，可得到MN+MQ关于m的函数解析式，利用二次函数的性质可求出结果.
（3）由题意可设，，利用点A、B的坐标及抛物线四边形的性质分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可动点符合题意的点E的坐标.
（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
解得：，，
∴，，
设直线的解析式为，
将，代入直线解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为；
设，则，，
在中，当时，，
解得，即，
∴，，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，为；
（3）解：由题意可设，，
∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，，
∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为；
当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得，
解得：或（不符合题意，舍去），
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或．
26．【问题情境】在中，，，点D是边上一动点（不与B、C重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，．点F是中点，连接并延长交的延长线于点G．
【探究发现】
（1）如图1，若，判断线段与的数量关系，并说明理由；
【探究猜想】
（2）如图2，若．
①判断线段与之间的数量关系，并说明理由；
②若，求的长度．
【探究拓广】
（3）如图3，若，在上取一点M，使得，连接并延长交的延长线于点N，请求出的值（用含n的式子表示）．
【答案】解：（1）．
理由：∵，，，
∴，，
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴
∵点F是中点，
∴
（2）①．
理由：过点A作于M，过点F作于N，如图2，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵点F是中点，
∴，
∴
∴；
②∵，，，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴，，
∵，，
∴
∴
∴，即，
∴．
（3）过点A作于G，过点M作于P，如图3，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可证得，利用旋转的性质可证得∠DAE=90°，同时可证得，利用勾股定理可表示出DE的长，即可得到线段AF与BC的数量关系.
（2）①过点A作于M，过点F作于N，利用等腰直角三角形的性质即直角三角形斜边上的中线可推出；设，可表示出BD、BC、BM的长，即可表示出MD的长，利用勾股定理可表示出AD的长；利用旋转的性质可表示出AD的长，即可动点DE、AF的长，然后求出AF与BC的数量关系；②利用勾股定理求出BC的长，从而可求出BD、CD的长，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可求出CE的长，同时可求出∠BCE=90°，据此可推出得到，即可证得，可求出FN、DN的长，同理可证得，利用相似三角形的性质可求出CG的长.
（3）过点A作于G，过点M作于P，设，可表示出BD、BC的长，利用等腰三角形的性质可表示出BG、DG对策，利用勾股定理可表示出AD、DE、AF的长，根据AM=BM，可得到BM与BA的比值；再证明，可证得，利用相似三角形的性质可表示出BP、MP、CP的长，同理可证，利用相似三角形的性质可表示出CN的长，然后求出的值.
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