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吉林省长春市朝阳2025年毕业年级第一次模拟练习数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在、、、这四个数中，最小的数为（　　）
A． B． C． D．
2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，、为的半径，过点作于点，交于点，连结，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．连结，根据可判定
C．
D．的最小值是的长
8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（　　）
A． B． C．6 D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算： 　 　。
10．分式和的最简公分母为　 　．
11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为　 　．
12．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线（为正整数）有两个交点，则的值可以是　 　．（写出一个即可）
13．图①是小区围墙上的镂空花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其示意图（阴影部分为镂空花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点、分别为、上靠近点的三等分点，则这个镂空花窗的面积为　 　．（结果保留）
14．如图，在矩形中，，．点在对角线上，过点作，分别交边、于点、，连结、．
给出下面四个结论：①；②的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．先化简，再求值：，其中，．
16．2025年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市分别为长春、上海和珠海，为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市长春、上海和珠海名字分别写在卡片A、B、C上，卡片除正面书写的城市名字不同外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽一张卡片后放回，然后妈妈又从中抽取一张卡片．用列表或树状图的方法，求小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的概率．
17．为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．求排球的单价．
18．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
实验序号
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【问题解决】
（1）_________，_________，_________；
（2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是_________同学；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个四边形，使其面积依次为13、10和9，所画四边形均为轴对称图形，点、在格点上．只用无刻度的直尺按要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
20．如图，在中，，是中线，点是的中点，连结并延长至点，使，连结、．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）若，则与四边形的周长比为_______．
21．小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示．
（1）______，______．
（2）求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间．
22．【特例感知】（1）如图①，在中，，，点、分别是边、的中点，连结、，点、、分别为、、的中点，连结、、，线段与的数量关系是_________，线段与的位置关系是__________．
【探究问题】（2）如图②，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图②的位置，连结、，其它条件不变，判断中与的关系，并说明理由．
【解决问题】小明思考后，得出如下结论：，．并给出如下不完整的证明过程：
延长图②中的交于点．
由旋转，得．
在图①中，点、分别是边、的中点，
∴是的中位线．
∴．
∴．
在中，，．
∴．
同理．
∴．
∴，．
∵，
∴，即．
∴．
∵、是、中点，
∴是是中位线．
∴，且．
证明过程缺失
∴，．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】（3）如图③，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图③的位置，使点在边上，其它条件不变．若，则的周长为_______．
【拓展延伸】（4）将图①中的绕点在平面内自由旋转，连结、，其它条件不变．若，直接写出面积的最大值．
23．如图，在中，，，．点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点在右侧．
（1）当点与点重合时，求的长．
（2）当点在边上时，求的长．
（3）连结，当与的边平行时，求的长．
（4）作直线交边于点，当为直角三角形时，直接写出的长．
24．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点、是该抛物线上的点（点不与点重合），其横坐标分别为、，过点作直线轴交该抛物线于点（点不与点重合），直线与轴交于点，以、为邻边作．
（1）求该抛物线对应的函数关系式．
（2）当点与点重合时，求线段的长．
（3）当该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围．
（4）设的边与该抛物线的交点为点，点不与的顶点重合，作直线．当的面积被直线分成1∶2两部分时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴四个数中，最小的数为，
故答案为：．
【分析】利用正数都大，0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此可得到已知数中最小的数.
2．【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：的表面展开图为
，
故答案为：C．
【分析】根据三棱柱的表面展开图，即可得到答案．
3．【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
【分析】根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用同底数幂相除的法则，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
5．【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠AOB的度数，再利用直角三角形两锐角之和为90°，可求出∠CBO的度数.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴点D为的中点，
∵米，
∴米，
∴（米）．
故答案为：C．
【分析】先利用等腰三角形三线合一，证得D为的中点，根据AC的长求得AD，再利用锐角三角函数求得BD．
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接，，
由作图过程可得，，
∵，
∴，
∴根据可判定，
故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意；
由作图过程可知，射线为的平分线，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
由题意知，当时，取得最小值，
∵为的平分线，，
∴此时，
即的最小值是的长，
故D选项正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由作图过程可得，，利用SSS可证得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可证得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解∶如图，作轴于点，轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
点、点在函数（，）的图象上，
设，
，
，
，，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
将代入得
解得，
直线的函数解析式为，
，
，
，
，
解得或，
经检验或是原方程的解，
当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去，
，
，
故答案为：C．
【分析】作轴于点，轴于点，利用余角的性质可证得∠EAB=∠FBC，利用AAS可证得△EAB≌△FBC，利用全等三角形的性质可得AE=BF，BF=CF，设，可表示出BE、AE、OF的长，即可表示出点C的坐标；可得到关于k、t的方程，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，再将点C的坐标的此函数解析式，据此可求出符合题意的t和k的值.
9．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式= ．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出答案．
10．【答案】
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1，
∴分式与的最简公分母为．
故答案为：．
【分析】最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可．
11．【答案】3
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线向上平移个单位，
∴平移后的直线为，
∵所得的直线经过点，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】先利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可平移后的函数解析式，再将（0，0）代入平移后的函数解析式可求出m的值.
12．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，
即，
抛物线与直线（为正整数）有两个交点，
，
，
则的值可以是1．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】将两函数联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，再根据抛物线与直线有两个交点，可知，即可得到关于m的不等式，然后求出m的取值范围.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意知，，
∵点、分别为、上靠近点的三等分点，
，
，
∴花窗的面积为，
故答案为：．
【分析】观察图形可知花窗的面积为，利用扇形和三角形的面积公式进行计算.
14．【答案】①③④
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作于点，
∵在矩形中，，，
∴，，，
四边形和都是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，故②不正确；
，故①正确；
∵，，，
∴四边形的面积为，故③正确；
当四边形为轴对称图形时，四边形为菱形，
∴，
设则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，∴，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】作于点，利用矩形的性质和勾股定理可求出CD、BC及AC的长，再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证明，利用相似三角形的性质求出GH、FG的长，即可得到FG与AC的比值，可对①②作出判断；同时可求出四边形AFCG的面积，可对③作出判断；易证四边形AFCG是菱形，利用菱形的性质可证得CG=AG=x，可表示出DG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
15．【答案】解：
，
因为，，
所以原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式先去括号，再合并同类项，然后将x、y的值代入化简后的代数式进行计算，
16．【答案】解：根据题意，画树状图为
共有9种等可能的结果数，其中小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的结果数为5，
所以概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上有“长春”的结果数为5，再由概率公式计算，即可求解．
17．【答案】解：设排球的单价是x元，则足球的单价是元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：排球的单价是65元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设排球的单价是x元，则足球的单价是元，根据题意列出关于x的分式方程，解之并经检验即可．
18．【答案】（1），，
（2）B
（3）解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
∵一片长，宽的树叶，长宽比接近，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，
故；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故；
故答案为：；；；
（2）∵，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
【分析】（1）根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，列式计算可求出a的值；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可求出c的值；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数据此可求出b的值；
（2）方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，从而比较题干给出的两种树叶长宽比的方差即可判断得出结论；
（3）求出所给树叶的长宽比，然后与题干给出的两种树叶的长宽比比较即可判断得出答案.
19．【答案】解：四边形如图①、图②、图③所示：
【知识点】正方形的性质；利用轴对称设计图案；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】在图①中，利用轴对称的性质作一个边长为的正方形即可；
在图②中作一个对角线长分别为4和5的筝形即可；
在图③中作一个底边长分别为1和5，高为3的等腰梯形即可．
20．【答案】（1）证明：点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是中线，
，
，
四边形是矩形
（2）
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，，
，
，
，
．，
，
，
，
，
的周长，
四边形的周长，
与四边形的周长比为，
故答案为：．
【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，再利用等腰三角形三线合一的性质可推出，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质可证得AC=DF，AF=CD，可推出AF=BD，AB=AC=DF，由此可推出，利用解直角三角形可得到AF与AB的数量关系，再用含AB的代数式表示出△AEF的周长及四边形ABDE的周长，然后可求出△AEF于四边形ABDE的周长比.
（1）证明：点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是中线，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，，
，
，
，
．，
，
，
，
，
的周长，
四边形的周长，
与四边形的周长比为，
故答案为：．
21．【答案】（1）
（2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为
将代入得，解得，
所以父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
（3）解：小明慢跑的时间为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为
将(10，1200)代入得，解得，
小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当时，
设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为
将代入得，解得，
父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当y=1200时，1200=150x-150，解得x=9，即m=9，
故答案为：；
(3)根据题意得，
解得，
小明慢跑的时间为．
【分析】（1） 设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将(10，1200)代入其中求得k1，即可小明慢跑过程中与之间的函数关系式，进而求得， 设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将代入即可求得k和b的值，即可求得父亲慢跑过程中与之间的函数关系式，将y=1200代入即可求得m的值；
（2） 设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将代入即可求得k和b的值，即可求得父亲慢跑过程中与之间的函数关系式，
（3）根据题意得，解得，即可得到答案．
（1）解：设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为
由函数图象得，
解得，
小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当时，
，
故答案为：；
（2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
将代入得，
解得，
父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为；
（3）解：根据题意得，
解得，
小明慢跑的时间为．
22．【答案】（1），；
（2）延长图②中的交于点．
由旋转，得．
在图①中，点、分别是边、的中点，
∴是的中位线．
∴．
∴．
在中，，．
∴．
同理．
∴．
∴，．
∵，
∴，即．
∴．
∵、是、中点，
∴是是中位线．
∴，且．
∵点，是，的中点，
∴，．
∴，即，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
（3）；（4）
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，
∴，，
∵点、分别是边、的中点，
∴，，，
∵点，是，的中点，
∴，．
∵点，是，的中点，
∴，．
∴，即，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
（3）∵，
∴，，
由题意得，，，
∵点是的中点，也是的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点、、分别为、、的中点，
同理可得，，，，
∴的周长为，
故答案为：；
（4）解：由（2）知，，，
∴最大时，面积最大，
∴点在的延长线上，
∴，
∴，，
．
【分析】（1）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可表示出BC的长，利用勾股定理表示出AB的长，再利用三角形的中位线定理可用含PM的式子表示出PN的长，同时可证得，，利用平行线的性质可推出，，根据直角三角形的两锐角互余，可证得结论.
（2）延长图②中的交于点，利用旋转的性质可证得，由图①可知是的中位线，利用三角形中位线定理和平行线的性质可证得，利用解直角三角形可得到AB与AC，AD与AE的数量关系，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可得到，，据此可得到PM与PN的数量关系，同（1）的证法可证得PM⊥PN.
（3）利用解直角三角形求出BC、AC的长，同时可求出AD、DE、AE的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一班，可求出AM的长，利用线段中点和三角形的中位线定理可求出MN、PM、PC、NC的长，然后求出△PMN的周长.
（4）先判断出最大时，的面积最大，利用三角形面积公式求解．
23．【答案】（1）解：当点与点重合时，的长即的长，在中，，，，
∴，
即的长为5
（2）解：当点在边上时，设，如图，
∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的长为
（3）解：当时，如图，设，
∵菱形，
∴，即，
∴，
∴，即，
解得，
∴的长为；
当时，如图，则：，
设，则：，
∵，
∴，
∴，
综上：设或
（4）的长或．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（4）解：设，
直线交边于点，当为直角三角形时，只存在一种情况，
当点在点右侧时：作于点，如图，
∵菱形，
∴上线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长．
当点在点左侧时，如图，
同理：，，
则：由，得：，
解得：，
∴的长，
综上：的长为或．
【分析】（1）当点与点重合时，的长即的长，利用勾股定理求解即可；
（2）当点在边上时，设，利用平行线的性质可证得PN∥AC，利用菱形的性质可推出MQ∥AC，可推出△MBQ∽△BAC，利用相似三角形的性质可表示出MQ、BM的长，利用菱形的性质可表示出PM的长，根据，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AP的长.
（3）当时，设，利用菱形的性质可证得，即，由此可证得，利用相似三角形的性质可求出x的值，即可得到BQ的长；当时，如图，则：，设，利用解直角三角形表示出BP的长，根据AB=AP+BP，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BQ的长，综上所述，可得到BQ的长.
（4）分点在点右侧和点在点左侧，两种情况进行讨论求解，作于点，推出，求得，推出，利用相似三角形的性质可表示出PE，AE的长，根据或由，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AP的长；综上所述可得到AP的长.
（1）解：当点与点重合时，的长即的长，
在中，，，，
∴，
即的长为5；
（2）解：当点在边上时，设，如图，
∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）解：当时，如图，设，
∵菱形，
∴，即，
∴，
∴，即，
解得，
∴的长为；
当时，如图，则：，
设，则：，
∵，
∴，
∴设，
综上：设或
（4）解：设，
直线交边于点，当为直角三角形时，只存在一种情况，
当点在点右侧时：作于点，如图，
∵菱形，
∴上线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长．
当点在点左侧时，如图，
同理：，，
则：由，得：，
解得：，
∴的长，
综上：的长为或．
24．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，
∴，
∴，
∵其图象经过点，
∴，解得，
∴抛物线对应的函数关系式为
（2）解：当点与点重合时，，当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
当时，，
∴点的坐标为，
∴
（3）解：由得顶点坐标为，
如图，当点与顶点重合时，此时，
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；
如图，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小也存在随的增大而增大，此情况不符合题意；
如图，当点与点重合时，点与点也重合，此时，即；
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大；
综上，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大
（4）或
【知识点】平行四边形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题；分类讨论
【解析】【解答】（4）①当在延长线上，即时，
，，
，
，
，
，
，
（舍去）
②当点在之间，即时，点与点重合，且，的面积被直线分成1∶2两部分，
，
，
，
，
，
③当在延长线上，即时，，
，
，
，
（舍去），，
综上或．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴可求出b的值，将点（3，1）代入函数解析式可求出c的值，即可得到函数解析式.
（2）由题意得，可求出点P的坐标，再求得点的坐标，利用坐标系中两点之间的距离公式求出PQ的长.
（3）分五种情况讨论，画出图形，根据该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求出的取值范围即可.
（4）分情况讨论：①当在延长线上，即时，可表示出点Q、P、C的坐标，根据CD=BC，可表示出点D的坐标，据此可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；②当点在之间，即时，点与点重合，且，的面积被直线分成1∶2两部分，由此可得到CP与CQ的比值，即可得到点Q和点P的横坐标的数量关系，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值；③当在延长线上，即时，，可表示出点D的坐标，由此可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；综上所述，可得到符合题意的所有的m的值.
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵其图象经过点，
∴，解得，
∴抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：当点与点重合时，，当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
当时，，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：由得顶点坐标为，
如图，当点与顶点重合时，此时，
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；
如图，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小也存在随的增大而增大，此情况不符合题意；
如图，当点与点重合时，点与点也重合，此时，即；
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大；
综上，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大；
（4）①当在延长线上，即时，
，，
，
，
，
，
，
（舍去）
②当点在之间，即时，点与点重合，且，的面积被直线分成1∶2两部分，
，
，
，
，
，
③当在延长线上，即时，，
，
，
，
（舍去），，
综上或．
1 / 1吉林省长春市朝阳2025年毕业年级第一次模拟练习数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．在、、、这四个数中，最小的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴四个数中，最小的数为，
故答案为：．
【分析】利用正数都大，0，负数都小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此可得到已知数中最小的数.
2．一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：的表面展开图为
，
故答案为：C．
【分析】根据三棱柱的表面展开图，即可得到答案．
3．如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
【分析】根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对A作出判断；利用同底数幂相除的法则，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；然后利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
5．如图，、为的半径，过点作于点，交于点，连结，若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形的两锐角互余；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可求出∠AOB的度数，再利用直角三角形两锐角之和为90°，可求出∠CBO的度数.
6．如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵，
∴点D为的中点，
∵米，
∴米，
∴（米）．
故答案为：C．
【分析】先利用等腰三角形三线合一，证得D为的中点，根据AC的长求得AD，再利用锐角三角函数求得BD．
7．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（　　）
A．
B．连结，根据可判定
C．
D．的最小值是的长
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：连接，，
由作图过程可得，，
∵，
∴，
∴根据可判定，
故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意；
由作图过程可知，射线为的平分线，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
由题意知，当时，取得最小值，
∵为的平分线，，
∴此时，
即的最小值是的长，
故D选项正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】由作图过程可得，，利用SSS可证得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可证得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项.
8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解∶如图，作轴于点，轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
点、点在函数（，）的图象上，
设，
，
，
，，
，
，
，
设直线的函数解析式为，
将代入得
解得，
直线的函数解析式为，
，
，
，
，
解得或，
经检验或是原方程的解，
当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去，
，
，
故答案为：C．
【分析】作轴于点，轴于点，利用余角的性质可证得∠EAB=∠FBC，利用AAS可证得△EAB≌△FBC，利用全等三角形的性质可得AE=BF，BF=CF，设，可表示出BE、AE、OF的长，即可表示出点C的坐标；可得到关于k、t的方程，利用待定系数法求出直线BD的函数解析式，再将点C的坐标的此函数解析式，据此可求出符合题意的t和k的值.
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．计算： 　 　。
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式= ．
【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出答案．
10．分式和的最简公分母为　 　．
【答案】
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1，
∴分式与的最简公分母为．
故答案为：．
【分析】最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可．
11．在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵直线向上平移个单位，
∴平移后的直线为，
∵所得的直线经过点，
∴，解得：，
故答案为：．
【分析】先利用一次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可平移后的函数解析式，再将（0，0）代入平移后的函数解析式可求出m的值.
12．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线（为正整数）有两个交点，则的值可以是　 　．（写出一个即可）
【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令，
即，
抛物线与直线（为正整数）有两个交点，
，
，
则的值可以是1．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】将两函数联立方程组，可得到关于x的一元二次方程，再根据抛物线与直线有两个交点，可知，即可得到关于m的不等式，然后求出m的取值范围.
13．图①是小区围墙上的镂空花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其示意图（阴影部分为镂空花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点、分别为、上靠近点的三等分点，则这个镂空花窗的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意知，，
∵点、分别为、上靠近点的三等分点，
，
，
∴花窗的面积为，
故答案为：．
【分析】观察图形可知花窗的面积为，利用扇形和三角形的面积公式进行计算.
14．如图，在矩形中，，．点在对角线上，过点作，分别交边、于点、，连结、．
给出下面四个结论：①；②的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____．
【答案】①③④
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作于点，
∵在矩形中，，，
∴，，，
四边形和都是矩形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，故②不正确；
，故①正确；
∵，，，
∴四边形的面积为，故③正确；
当四边形为轴对称图形时，四边形为菱形，
∴，
设则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，∴，故④正确．
故答案为：①③④．
【分析】作于点，利用矩形的性质和勾股定理可求出CD、BC及AC的长，再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证明，利用相似三角形的性质求出GH、FG的长，即可得到FG与AC的比值，可对①②作出判断；同时可求出四边形AFCG的面积，可对③作出判断；易证四边形AFCG是菱形，利用菱形的性质可证得CG=AG=x，可表示出DG的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到CG的长，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
因为，，
所以原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式先去括号，再合并同类项，然后将x、y的值代入化简后的代数式进行计算，
16．2025年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市分别为长春、上海和珠海，为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市长春、上海和珠海名字分别写在卡片A、B、C上，卡片除正面书写的城市名字不同外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽一张卡片后放回，然后妈妈又从中抽取一张卡片．用列表或树状图的方法，求小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的概率．
【答案】解：根据题意，画树状图为
共有9种等可能的结果数，其中小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的结果数为5，
所以概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上有“长春”的结果数为5，再由概率公式计算，即可求解．
17．为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．求排球的单价．
【答案】解：设排球的单价是x元，则足球的单价是元，依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：排球的单价是65元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 设排球的单价是x元，则足球的单价是元，根据题意列出关于x的分式方程，解之并经检验即可．
18．【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
实验序号
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【实践探究】分析数据如下：
平均数 中位数 众数 方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
【问题解决】
（1）_________，_________，_________；
（2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是_________同学；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【答案】（1），，
（2）B
（3）解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
∵一片长，宽的树叶，长宽比接近，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意得，，
把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，
故；
10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故；
故答案为：；；；
（2）∵，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
【分析】（1）根据平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，列式计算可求出a的值；在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此可求出c的值；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数据此可求出b的值；
（2）方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，从而比较题干给出的两种树叶长宽比的方差即可判断得出结论；
（3）求出所给树叶的长宽比，然后与题干给出的两种树叶的长宽比比较即可判断得出答案.
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个四边形，使其面积依次为13、10和9，所画四边形均为轴对称图形，点、在格点上．只用无刻度的直尺按要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
【答案】解：四边形如图①、图②、图③所示：
【知识点】正方形的性质；利用轴对称设计图案；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】在图①中，利用轴对称的性质作一个边长为的正方形即可；
在图②中作一个对角线长分别为4和5的筝形即可；
在图③中作一个底边长分别为1和5，高为3的等腰梯形即可．
20．如图，在中，，是中线，点是的中点，连结并延长至点，使，连结、．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）若，则与四边形的周长比为_______．
【答案】（1）证明：点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是中线，
，
，
四边形是矩形
（2）
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，，
，
，
，
．，
，
，
，
，
的周长，
四边形的周长，
与四边形的周长比为，
故答案为：．
【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形是平行四边形，再利用等腰三角形三线合一的性质可推出，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得结论.
（2）利用矩形的性质可证得AC=DF，AF=CD，可推出AF=BD，AB=AC=DF，由此可推出，利用解直角三角形可得到AF与AB的数量关系，再用含AB的代数式表示出△AEF的周长及四边形ABDE的周长，然后可求出△AEF于四边形ABDE的周长比.
（1）证明：点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是中线，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
，，
，
，
，
．，
，
，
，
，
的周长，
四边形的周长，
与四边形的周长比为，
故答案为：．
21．小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示．
（1）______，______．
（2）求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间．
【答案】（1）
（2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为
将代入得，解得，
所以父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
（3）解：小明慢跑的时间为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为
将(10，1200)代入得，解得，
小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当时，
设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为
将代入得，解得，
父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当y=1200时，1200=150x-150，解得x=9，即m=9，
故答案为：；
(3)根据题意得，
解得，
小明慢跑的时间为．
【分析】（1） 设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将(10，1200)代入其中求得k1，即可小明慢跑过程中与之间的函数关系式，进而求得， 设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将代入即可求得k和b的值，即可求得父亲慢跑过程中与之间的函数关系式，将y=1200代入即可求得m的值；
（2） 设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为 ，将代入即可求得k和b的值，即可求得父亲慢跑过程中与之间的函数关系式，
（3）根据题意得，解得，即可得到答案．
（1）解：设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为
由函数图象得，
解得，
小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，
当时，
，
故答案为：；
（2）解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，
将代入得，
解得，
父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为；
（3）解：根据题意得，
解得，
小明慢跑的时间为．
22．【特例感知】（1）如图①，在中，，，点、分别是边、的中点，连结、，点、、分别为、、的中点，连结、、，线段与的数量关系是_________，线段与的位置关系是__________．
【探究问题】（2）如图②，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图②的位置，连结、，其它条件不变，判断中与的关系，并说明理由．
【解决问题】小明思考后，得出如下结论：，．并给出如下不完整的证明过程：
延长图②中的交于点．
由旋转，得．
在图①中，点、分别是边、的中点，
∴是的中位线．
∴．
∴．
在中，，．
∴．
同理．
∴．
∴，．
∵，
∴，即．
∴．
∵、是、中点，
∴是是中位线．
∴，且．
证明过程缺失
∴，．
请你补全证明中缺失的过程．
【结论应用】（3）如图③，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图③的位置，使点在边上，其它条件不变．若，则的周长为_______．
【拓展延伸】（4）将图①中的绕点在平面内自由旋转，连结、，其它条件不变．若，直接写出面积的最大值．
【答案】（1），；
（2）延长图②中的交于点．
由旋转，得．
在图①中，点、分别是边、的中点，
∴是的中位线．
∴．
∴．
在中，，．
∴．
同理．
∴．
∴，．
∵，
∴，即．
∴．
∵、是、中点，
∴是是中位线．
∴，且．
∵点，是，的中点，
∴，．
∴，即，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
（3）；（4）
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应三线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）∵在中，，，
∴，，
∵点、分别是边、的中点，
∴，，，
∵点，是，的中点，
∴，．
∵点，是，的中点，
∴，．
∴，即，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
（3）∵，
∴，，
由题意得，，，
∵点是的中点，也是的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点、、分别为、、的中点，
同理可得，，，，
∴的周长为，
故答案为：；
（4）解：由（2）知，，，
∴最大时，面积最大，
∴点在的延长线上，
∴，
∴，，
．
【分析】（1）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可表示出BC的长，利用勾股定理表示出AB的长，再利用三角形的中位线定理可用含PM的式子表示出PN的长，同时可证得，，利用平行线的性质可推出，，根据直角三角形的两锐角互余，可证得结论.
（2）延长图②中的交于点，利用旋转的性质可证得，由图①可知是的中位线，利用三角形中位线定理和平行线的性质可证得，利用解直角三角形可得到AB与AC，AD与AE的数量关系，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可得到，，据此可得到PM与PN的数量关系，同（1）的证法可证得PM⊥PN.
（3）利用解直角三角形求出BC、AC的长，同时可求出AD、DE、AE的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一班，可求出AM的长，利用线段中点和三角形的中位线定理可求出MN、PM、PC、NC的长，然后求出△PMN的周长.
（4）先判断出最大时，的面积最大，利用三角形面积公式求解．
23．如图，在中，，，．点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点在右侧．
（1）当点与点重合时，求的长．
（2）当点在边上时，求的长．
（3）连结，当与的边平行时，求的长．
（4）作直线交边于点，当为直角三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）解：当点与点重合时，的长即的长，在中，，，，
∴，
即的长为5
（2）解：当点在边上时，设，如图，
∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的长为
（3）解：当时，如图，设，
∵菱形，
∴，即，
∴，
∴，即，
解得，
∴的长为；
当时，如图，则：，
设，则：，
∵，
∴，
∴，
综上：设或
（4）的长或．
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（4）解：设，
直线交边于点，当为直角三角形时，只存在一种情况，
当点在点右侧时：作于点，如图，
∵菱形，
∴上线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长．
当点在点左侧时，如图，
同理：，，
则：由，得：，
解得：，
∴的长，
综上：的长为或．
【分析】（1）当点与点重合时，的长即的长，利用勾股定理求解即可；
（2）当点在边上时，设，利用平行线的性质可证得PN∥AC，利用菱形的性质可推出MQ∥AC，可推出△MBQ∽△BAC，利用相似三角形的性质可表示出MQ、BM的长，利用菱形的性质可表示出PM的长，根据，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AP的长.
（3）当时，设，利用菱形的性质可证得，即，由此可证得，利用相似三角形的性质可求出x的值，即可得到BQ的长；当时，如图，则：，设，利用解直角三角形表示出BP的长，根据AB=AP+BP，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到BQ的长，综上所述，可得到BQ的长.
（4）分点在点右侧和点在点左侧，两种情况进行讨论求解，作于点，推出，求得，推出，利用相似三角形的性质可表示出PE，AE的长，根据或由，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到AP的长；综上所述可得到AP的长.
（1）解：当点与点重合时，的长即的长，
在中，，，，
∴，
即的长为5；
（2）解：当点在边上时，设，如图，
∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴的长为；
（3）解：当时，如图，设，
∵菱形，
∴，即，
∴，
∴，即，
解得，
∴的长为；
当时，如图，则：，
设，则：，
∵，
∴，
∴设，
综上：设或
（4）解：设，
直线交边于点，当为直角三角形时，只存在一种情况，
当点在点右侧时：作于点，如图，
∵菱形，
∴上线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴的长．
当点在点左侧时，如图，
同理：，，
则：由，得：，
解得：，
∴的长，
综上：的长为或．
24．在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点、是该抛物线上的点（点不与点重合），其横坐标分别为、，过点作直线轴交该抛物线于点（点不与点重合），直线与轴交于点，以、为邻边作．
（1）求该抛物线对应的函数关系式．
（2）当点与点重合时，求线段的长．
（3）当该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围．
（4）设的边与该抛物线的交点为点，点不与的顶点重合，作直线．当的面积被直线分成1∶2两部分时，直接写出的值．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，∴，
∴，
∴，
∵其图象经过点，
∴，解得，
∴抛物线对应的函数关系式为
（2）解：当点与点重合时，，当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
当时，，
∴点的坐标为，
∴
（3）解：由得顶点坐标为，
如图，当点与顶点重合时，此时，
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；
如图，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小也存在随的增大而增大，此情况不符合题意；
如图，当点与点重合时，点与点也重合，此时，即；
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大；
综上，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大
（4）或
【知识点】平行四边形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题；分类讨论
【解析】【解答】（4）①当在延长线上，即时，
，，
，
，
，
，
，
（舍去）
②当点在之间，即时，点与点重合，且，的面积被直线分成1∶2两部分，
，
，
，
，
，
③当在延长线上，即时，，
，
，
，
（舍去），，
综上或．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴可求出b的值，将点（3，1）代入函数解析式可求出c的值，即可得到函数解析式.
（2）由题意得，可求出点P的坐标，再求得点的坐标，利用坐标系中两点之间的距离公式求出PQ的长.
（3）分五种情况讨论，画出图形，根据该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求出的取值范围即可.
（4）分情况讨论：①当在延长线上，即时，可表示出点Q、P、C的坐标，根据CD=BC，可表示出点D的坐标，据此可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；②当点在之间，即时，点与点重合，且，的面积被直线分成1∶2两部分，由此可得到CP与CQ的比值，即可得到点Q和点P的横坐标的数量关系，由此可得到关于m的方程，解方程求出m的值；③当在延长线上，即时，，可表示出点D的坐标，由此可得到关于m的方程，解方程求出符合题意的m的值；综上所述，可得到符合题意的所有的m的值.
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∵其图象经过点，
∴，解得，
∴抛物线对应的函数关系式为；
（2）解：当点与点重合时，，当时，，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
当时，，
∴点的坐标为，
∴；
（3）解：由得顶点坐标为，
如图，当点与顶点重合时，此时，
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；
如图，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小也存在随的增大而增大，此情况不符合题意；
如图，当点与点重合时，点与点也重合，此时，即；
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大；
综上，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大；
（4）①当在延长线上，即时，
，，
，
，
，
，
，
（舍去）
②当点在之间，即时，点与点重合，且，的面积被直线分成1∶2两部分，
，
，
，
，
，
③当在延长线上，即时，，
，
，
，
（舍去），，
综上或．
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