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吉林省长春市九台区2025年初中毕业生模拟考试数学试题
一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）
1．以下四个城市中某天中午12时气温最低的是（　　）
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达2040000000m3．数据2040000000用科学记数法表示为（　　）
A．2.04×1010 B．2.04×109 C．20.4×108 D．0.204×1010
3．如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
4．将不等式两边都乘以同一个数x，若不改变不等号的方向，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
6．如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当时，
D．当时，
二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）
9．请写出的一个同类项：　 　.
10．计算：　 　．
11．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为　 　．
12．若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为　 　个．
13．如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断正确的是　 　．（填序号）
①；②；③；④
三、解答题（本大题共78分）
15．先化简，再求值，其中．
16．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率．
17．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多元，且用元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种“文房四宝”数量的倍．求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？
18．如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______．
19．为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校开展了法治知识竞赛活动．赛后分别从七、八年级随机抽取了若干名参赛学生，将他们的成绩分为四个等级，各等级对应分数段为；；；，并绘制所抽取学生成绩的统计图如下（不完整）：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将条形统计图中七年级B等级的部分补充完整，并计算扇形统计图中七年级C等级对应的圆心角度数为 ；
（2）所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在 等级；（填“A”、“B”、“C”或“D”）
（3）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，现决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号．请估计七、八年级获得“法治先锋”的学生有多少人？
20．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画的角平分线；
（2）在图②中，画的角平分线；
（3）在图③中，在边上确定点N，使得．
21．在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表：
搬运时间 0 1 2 3 4 ．．．
目的地货物总量 ．．．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”）
（2）根据以上判断，求关于的函数关系式；
（3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？
22．【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______．
（2）如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心．
①求的度数；
②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________．
23．如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
（1）边的长为____；
（2）当时，求的长；
（3）当时，求的值；
（4）连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于A、两点（点A在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为．
（1）求、的值；
（2）当时，，则的取值范围是____________________；
（3）当点在轴下方时，若抛物线在点A和点之间的部分（包含A、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值；
（4）点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴气温最低的是太原．
故答案为：C．
【分析】根据有理数比较大小，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2040000000用科学记数法表示为：2.04×109.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；平行公理
【解析】【解答】解：用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是两点确定一条直线，
故答案为：C．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线，即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式两边都乘以同一个数x，不改变不等号的方向
∴
故答案为：B.
【分析】不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此可得数x的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作，垂足为C，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴圆规能画出的圆的半径长度为，
故答案为：A．
【分析】根据题意求出，再利用锐角三角函数的定义计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺轨作图的痕迹可得出BD平分∠ABC，
是半圆的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先根据尺规作图的痕迹可得出BD平分∠ABC，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ABC=40°，进而得出的度数。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意；
∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：单项式2m只含有字母m，且m的指数是1，故单项式2m的同类项，可以为m.
故答案为：m.
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此找出符合题意的一个代数式即可.
10．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算减法即可．
11．【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设的长度为x尺，则，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】设的长度为x尺，可表示出AB的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，
12．【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限，
∴
∵
当时，
∴
∴二次函数与 x 轴的交点个数为个
故答案为：．
【分析】利用一次函数图象所在象限，可以判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解．
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，
，，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质可证得，同时可求出AG的长，据此可证得图中阴影部分的面积等于扇形DAG的面积，再利用扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
14．【答案】①③④
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】 解：∵，
，
由对称得，
∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形，，
，
，
∴，结论①正确；
不一定等于，结论②错误；
由对称得，
∵点分别是底边的中点，
∴，结论③正确；
过作，
，
，
根据对称得，
，
同理可证，
∴，结论④正确；
故答案为：①③④．
【分析】利用轴对称的性质可证得，利用等腰三角形的性质可推出，可推出∠BOF+∠DOF=90°，可对①作出判断；不一定等于，可对②作出判断；利用轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质及已知条件可证得OE=OF，可对③作出判断；过作，利用余角的性质可证得∠GOD=∠COH，根据对称得，同理可证得，由此可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号．
15．【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则先去括号，再合并同类项化简，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算.
16．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
　 A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都抽取到神话故事的结果有：，共2种，
∴甲、乙两人都抽取到神话故事的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是．
故答案为：；
【分析】（1）利用已知条件可知共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）先列表，可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人都抽取到神话故事的结果数，然后利用概率公式进行计算.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都抽取到神话故事的结果有：，共2种，
∴甲、乙两人都抽取到神话故事的概率为．
17．【答案】解：设B种型号“文房四宝”的单价是元，则A种型号“文房四宝”的单价是元．根据题意得∶
解得∶，
经检验，是所列方程的解，且符合题意
(元)．
答∶A种型号“文房四宝”的单价是元，B种型号“文房四宝”的单价是元
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设B种型号“文房四宝”的单价是元，可表示出A种型号“文房四宝”的单价，利用数量总价单价，根据题意列出关于x的方程，然后求出方程的解，检验即可求解.
18．【答案】（1）解：甲方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO=FO，
∵BO=DO，EO=FO，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴BO=DO.
∵于点于点，
∴，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)
∴EO=FO，
∴四边形是平行四边形；
（2）50
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）由（1）得四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴AE=CF.
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
【分析】（1）甲方案，连接BD，由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，再结合题意得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
乙方案，连接BD，证明△BEO≌△DFO，可得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明AE=CF，结合题意即可得到，然后再由平行四边形的性质和三角形面积关系得，即可解决问题．
（1）解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：∵于点于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
19．【答案】（1）解：七年级总人数为：（人），
七年级等级人数为：（人），
补全条形统计图如下所示：
（2）C；
（3）解：（人，
答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）扇形统计图中七年级等级对应的圆心角度数为；
故答案为：；
（2）解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图可知，第20位和第21位数都在等级，
因此所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在等级；
故答案为：；
【分析】（1）利用两统计图，可知七年级的人数和所占的百分比求出总人数，根据的百分比求出七年级的人数，再补全条形统计图即可，用乘以所占的百分比即可求出扇形统计图中七年级等级对应的圆心角度数.
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）利用样本估计总体，列式计算即可求出结果.
（1）解：七年级总人数为：（人），
七年级等级人数为：（人），
补全条形统计图如下所示：
扇形统计图中七年级等级对应的圆心角度数为；
故答案为：；
（2）解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图可知，第20位和第21位数都在等级，
因此所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在等级；
故答案为：；
（3）解：（人，
答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人．
20．【答案】（1）解：如图①，线段AK即为所求；
（2）解：如图②，线段DM即为所求；
（3）解：如图③，点N即为所求.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及等腰三角形的三线合一的性质作图即可；
（2）取点F下方两个单位长度处的格点J，由方格纸的特点及勾股定理可得ED=DJ，连接EJ，取EJ的中点P，连接DP交EF一点M，根据等腰三角形的三线合一得出PD是∠EDF的角平分线，从而得出DM就是所求的线段；
（3）利用方格纸的特点及矩形对角线互相平分，取GH的中点J，连接IJ，取GI下方两个单位长度处的格点，连接，取的中点，连接，由等腰三角形的三线合一得出GE平分∠HGI，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得JG=JI，由等腰三角形的三线合一，作的角平分线，交于点，则点Q就是△GJI三内角角平分线的交点，连接，延长交于点，则NI是∠JIG的角平分线，则，由等边对等角得=2∠NIJ，根据三角形外角相等可得∠HNI=3∠NIG，故点即为所求．
21．【答案】（1）解：根据表格描点如图所示，
一次
（2）解：设与之间的函数关系式为，
根据题意，得解得，
与之间的函数关系式为
（3）解：当时，，
解得，
当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是6h
【知识点】描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线，
∴函数式一次函数关系，
故答案为：一次；
【分析】（1）根据表描点，结合描点即可得到图象；利用函数图象可得到函数的类型.
（2）设与之间的函数关系式为，从表格找两个点分别代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到y关于x的函数解析式.
（3）将代入函数解析式可求出对应的x的值，即可求解.
（1）解：根据表格描点如图所示，
，
由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线，
∴函数式一次函数关系，
故答案为：一次；
（2）解：设与之间的函数关系式为，
根据题意，得解得，
与之间的函数关系式为；
（3）解：当时，，
解得，
当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是．
22．【答案】（1）
（2）解：①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
；
②PC的最小值为
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；定角定弦辅助圆模型；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，
，，
，
，
，，
，
，
∴劣弧的长为
故答案为：；
（2）②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，
由题意的由“定弦定角”模型，可知，，
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
∴，
，
，
∵，
，
，
，
．
的最小值为．
【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，利用圆周角定理可证得∠AOB=2∠ACB，可求出∠AOB的度数；利用等腰三角形的性质可求出∠AOM的度数，同时求出AM的长，再利用解直角三角形求出AO的长，然后利用弧长公式可求出劣弧AB的长.
（2）①利用垂直的定义和三角形内角和定理可证得∠EAF+∠AEF=90°，利用三角形内心的概念可证得PA、PE分别平分，利用角平分线的概念和三角形内角和定理可求出∠APE的度数；再利用SAS可证得△APE≌△APB，利用全等三角形的性质可求出∠APB的度数；②作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，可知的最小值即为，设优弧所对的圆心角优角为，可得到的度数，利用解直角三角形可求出QB的长，利用正方形的性质可推出，可求出NB的长，即可得到CN的长；再利用勾股定理求出CQ的长，然后求出PC的最小值.
（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，
，，
，
，
，，
，
，
∴劣弧的长为
故答案为：；
（2）①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，
由题意的由“定弦定角”模型，可知，，
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
∴，
，
，
∵，
，
，
，
．
的最小值为．
23．【答案】（1）4
（2）解：∵，当时，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
综上，的长为
（3）解： 如图，过点E作，交于点H ，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（4）的长为或
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—边角关系；已知余弦值求边长；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
∴．
故答案为：4．
（4）解：当四边形为轴对称图形时，
①如图，以为对称轴时，则，
∴；
②如图，以为对称轴时，则，
∴点D到的距离相等，
设点D到的距离为h，点C到的距离为m，
∴，
∴，即，
综上，的长为或．
【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长.
（2）利用相似三角形的性质可证得∠CAF=∠B，利用余角的性质可证得，，利用等边对等角可证得AD=CD=BD，据此可求出AD的长.
（3）过点E作，交于点H ，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AF的长，可得到EF的长；利用平行线分线段成比例可证得，，可推出，据此可求出AD与BD的比值.
（4）利用已知条件：四边形为轴对称图形，分情况讨论：①如图，以为对称轴时，利用轴对称的性质可求出AD的长，据此可求出BD的长；②如图，以为对称轴时，则，设点D到的距离为h，点C到的距离为m，利用三角形的面积公式可得到AD与BD的比值，据此可求出BD的长；综上所述，可得到符合题意的BD的长.
（1）解：在中，，，，
∴．
故答案为：4．
（2）解：∵，
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
综上，的长为．
（3）解： 如图，过点E作，交于点H ，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）解：当四边形为轴对称图形时，
①如图，以为对称轴时，则，
∴；
②如图，以为对称轴时，则，
∴点D到的距离相等，
设点D到的距离为h，点C到的距离为m，
∴，
∴，即，
综上，的长为或．
24．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）的顶点坐标为（1，-3），
∴抛物线的解析式为y=(x-1)2-3=x2-2x-2，
∴b=-2，c=-2；
（2）
（3）解：∵点的横坐标为，
∴，
令，解得：或，
当时，当时取最低点，当P在A时有最高点0，
∴，解得：或（不合题意舍去）
当时，当时取最小值，当P在B时有最大值0，
∴，解得：
综上，的值为或2．
（4）解：当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（2）解：令中的y=1，得，
解得：或，
∴的解集为：，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最小值，
∵当时，，
∴．
故答案为：1≤n≤3；
（4）解：设矩形为，
∵，，
∴，，
如图：当M点在抛物线上时，
，解得：或2，
所以当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大.
【分析】（1）此题给出了抛物线二次项系数及顶点坐标，故利用抛物线的顶点式可得出抛物线的解析式，再将解析式化为一般形式即可得出b、c的值；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=1算出对应的自变量x的值，结合抛物线的开口方向可得当y≤1时x的取值范围为-1≤x≤3；再根据抛物线的顶点坐标得出当x=1时，函数有最小值y=-3，从而即可得出n的取值范围；
（3）由题意可得点P的坐标为，令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，然后分和两种情况解答即可；
（4）设矩形为，根据矩形性质及点的坐标与图形性质得，；假设点M在抛物线上，求得m的值，然后结合函数图象即可解答．
（1）解：∵抛物线的顶点的坐标为为，
∴，，解得：．
（2）解：∵，
∴，
令，解得：或，
∴的解集为：，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最小值，
∵当时，，
∴．
（3）解：∵点的横坐标为，
∴，
令，解得：或，
当时，当时取最低点，当P在A时有最高点0，
∴，解得：或（不合题意舍去）
当时，当时取最小值，当P在B时有最大值0，
∴，解得：
综上，的值为或2．
（4）解：设矩形为，
∵，，
∴，，
如图：当M点在抛物线上时，
，解得：或2，
所以当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
1 / 1吉林省长春市九台区2025年初中毕业生模拟考试数学试题
一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）
1．以下四个城市中某天中午12时气温最低的是（　　）
A．北京 B．济南 C．太原 D．郑州
【答案】C
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴气温最低的是太原．
故答案为：C．
【分析】根据有理数比较大小，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可．
2．长白山天池系由火山口积水成湖，天池湖水碧蓝，水平如镜，群峰倒映，风景秀丽，总蓄水量约达2040000000m3．数据2040000000用科学记数法表示为（　　）
A．2.04×1010 B．2.04×109 C．20.4×108 D．0.204×1010
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2040000000用科学记数法表示为：2.04×109.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．垂线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；垂线段最短及其应用；平行公理
【解析】【解答】解：用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是两点确定一条直线，
故答案为：C．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线，即可得到答案．
4．将不等式两边都乘以同一个数x，若不改变不等号的方向，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵不等式两边都乘以同一个数x，不改变不等号的方向
∴
故答案为：B.
【分析】不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此可得数x的取值范围.
5．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．如图是一把圆规的平面示意图．使用时，以点A为支撑点，笔尖点B可绕点A旋转画出圆（弧）．已知，夹角，则圆规画出的圆的半径长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作，垂足为C，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴圆规能画出的圆的半径长度为，
故答案为：A．
【分析】根据题意求出，再利用锐角三角函数的定义计算求解即可。
7．如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由尺轨作图的痕迹可得出BD平分∠ABC，
是半圆的直径，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】首先根据尺规作图的痕迹可得出BD平分∠ABC，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ABC=40°，进而得出的度数。
8．已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意；
∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）
9．请写出的一个同类项：　 　.
【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：单项式2m只含有字母m，且m的指数是1，故单项式2m的同类项，可以为m.
故答案为：m.
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此找出符合题意的一个代数式即可.
10．计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先计算负整数指数幂和零指数幂，再计算减法即可．
11．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设的长度为x尺，则，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【分析】设的长度为x尺，可表示出AB的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，
12．若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为　 　个．
【答案】2
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限，
∴
∵
当时，
∴
∴二次函数与 x 轴的交点个数为个
故答案为：．
【分析】利用一次函数图象所在象限，可以判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解．
13．如图，将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，点经过的路径为弧．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：将四边形绕点逆时针旋转后得到四边形，
，，
图中阴影部分的面积．
故答案为：．
【分析】利用旋转的性质可证得，同时可求出AG的长，据此可证得图中阴影部分的面积等于扇形DAG的面积，再利用扇形的面积公式可求出阴影部分的面积.
14．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点E，F分别是底边，的中点，．下列推断正确的是　 　．（填序号）
①；②；③；④
【答案】①③④
【知识点】轴对称的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】 解：∵，
，
由对称得，
∵点分别是底边的中点，与都是等腰三角形，，
，
，
∴，结论①正确；
不一定等于，结论②错误；
由对称得，
∵点分别是底边的中点，
∴，结论③正确；
过作，
，
，
根据对称得，
，
同理可证，
∴，结论④正确；
故答案为：①③④．
【分析】利用轴对称的性质可证得，利用等腰三角形的性质可推出，可推出∠BOF+∠DOF=90°，可对①作出判断；不一定等于，可对②作出判断；利用轴对称的性质可知，利用全等三角形的性质及已知条件可证得OE=OF，可对③作出判断；过作，利用余角的性质可证得∠GOD=∠COH，根据对称得，同理可证得，由此可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号．
三、解答题（本大题共78分）
15．先化简，再求值，其中．
【答案】解：
，
当时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则先去括号，再合并同类项化简，然后将x的值代入化简后的代数式进行计算.
16．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．
（1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
　 A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都抽取到神话故事的结果有：，共2种，
∴甲、乙两人都抽取到神话故事的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是．
故答案为：；
【分析】（1）利用已知条件可知共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）先列表，可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人都抽取到神话故事的结果数，然后利用概率公式进行计算.
（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到三顾茅庐的结果有1种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人都抽取到神话故事的结果有：，共2种，
∴甲、乙两人都抽取到神话故事的概率为．
17．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名起源于南北朝时期，为丰富学生的课后服务活动，某校准备为社团购买A，B两种型号的“文房四宝”，通过市场调研得知：A种型号“文房四宝”的单价比B种“文房四宝”的单价多元，且用元购买A种型号“文房四宝”的数量是用元购买B种“文房四宝”数量的倍．求A，B两种型号“文房四宝”的单价分别是多少元？
【答案】解：设B种型号“文房四宝”的单价是元，则A种型号“文房四宝”的单价是元．根据题意得∶
解得∶，
经检验，是所列方程的解，且符合题意
(元)．
答∶A种型号“文房四宝”的单价是元，B种型号“文房四宝”的单价是元
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设B种型号“文房四宝”的单价是元，可表示出A种型号“文房四宝”的单价，利用数量总价单价，根据题意列出关于x的方程，然后求出方程的解，检验即可求解.
18．如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F
请回答下列问题：
（1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形；
（2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______．
【答案】（1）解：甲方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即EO=FO，
∵BO=DO，EO=FO，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：连接BD，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴BO=DO.
∵于点于点，
∴，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO(AAS)
∴EO=FO，
∴四边形是平行四边形；
（2）50
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）由（1）得四边形BEDF是平行四边形，
∴OE=OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，
∴AE=CF.
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
【分析】（1）甲方案，连接BD，由平行四边形的性质得AO=CO，BO=DO，再结合题意得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
乙方案，连接BD，证明△BEO≌△DFO，可得EO=FO，即可证明四边形是平行四边形；
（2）证明AE=CF，结合题意即可得到，然后再由平行四边形的性质和三角形面积关系得，即可解决问题．
（1）解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
乙方案，证明：∵于点于点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
故答案为：50．
19．为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校开展了法治知识竞赛活动．赛后分别从七、八年级随机抽取了若干名参赛学生，将他们的成绩分为四个等级，各等级对应分数段为；；；，并绘制所抽取学生成绩的统计图如下（不完整）：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将条形统计图中七年级B等级的部分补充完整，并计算扇形统计图中七年级C等级对应的圆心角度数为 ；
（2）所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在 等级；（填“A”、“B”、“C”或“D”）
（3）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，现决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法治先锋”称号．请估计七、八年级获得“法治先锋”的学生有多少人？
【答案】（1）解：七年级总人数为：（人），
七年级等级人数为：（人），
补全条形统计图如下所示：
（2）C；
（3）解：（人，
答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）扇形统计图中七年级等级对应的圆心角度数为；
故答案为：；
（2）解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图可知，第20位和第21位数都在等级，
因此所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在等级；
故答案为：；
【分析】（1）利用两统计图，可知七年级的人数和所占的百分比求出总人数，根据的百分比求出七年级的人数，再补全条形统计图即可，用乘以所占的百分比即可求出扇形统计图中七年级等级对应的圆心角度数.
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）利用样本估计总体，列式计算即可求出结果.
（1）解：七年级总人数为：（人），
七年级等级人数为：（人），
补全条形统计图如下所示：
扇形统计图中七年级等级对应的圆心角度数为；
故答案为：；
（2）解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图可知，第20位和第21位数都在等级，
因此所抽取的八年级参赛学生成绩的中位数落在等级；
故答案为：；
（3）解：（人，
答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人．
20．图①、图②、图③分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、的顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，画的角平分线；
（2）在图②中，画的角平分线；
（3）在图③中，在边上确定点N，使得．
【答案】（1）解：如图①，线段AK即为所求；
（2）解：如图②，线段DM即为所求；
（3）解：如图③，点N即为所求.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及等腰三角形的三线合一的性质作图即可；
（2）取点F下方两个单位长度处的格点J，由方格纸的特点及勾股定理可得ED=DJ，连接EJ，取EJ的中点P，连接DP交EF一点M，根据等腰三角形的三线合一得出PD是∠EDF的角平分线，从而得出DM就是所求的线段；
（3）利用方格纸的特点及矩形对角线互相平分，取GH的中点J，连接IJ，取GI下方两个单位长度处的格点，连接，取的中点，连接，由等腰三角形的三线合一得出GE平分∠HGI，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得JG=JI，由等腰三角形的三线合一，作的角平分线，交于点，则点Q就是△GJI三内角角平分线的交点，连接，延长交于点，则NI是∠JIG的角平分线，则，由等边对等角得=2∠NIJ，根据三角形外角相等可得∠HNI=3∠NIG，故点即为所求．
21．在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表：
搬运时间 0 1 2 3 4 ．．．
目的地货物总量 ．．．
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”）
（2）根据以上判断，求关于的函数关系式；
（3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？
【答案】（1）解：根据表格描点如图所示，
一次
（2）解：设与之间的函数关系式为，
根据题意，得解得，
与之间的函数关系式为
（3）解：当时，，
解得，
当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是6h
【知识点】描点法画函数图象；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线，
∴函数式一次函数关系，
故答案为：一次；
【分析】（1）根据表描点，结合描点即可得到图象；利用函数图象可得到函数的类型.
（2）设与之间的函数关系式为，从表格找两个点分别代入，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到y关于x的函数解析式.
（3）将代入函数解析式可求出对应的x的值，即可求解.
（1）解：根据表格描点如图所示，
，
由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线，
∴函数式一次函数关系，
故答案为：一次；
（2）解：设与之间的函数关系式为，
根据题意，得解得，
与之间的函数关系式为；
（3）解：当时，，
解得，
当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是．
22．【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【应用】
（1）若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______．
（2）如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心．
①求的度数；
②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________．
【答案】（1）
（2）解：①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
；
②PC的最小值为
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；定角定弦辅助圆模型；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（1）解：由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，
，，
，
，
，，
，
，
∴劣弧的长为
故答案为：；
（2）②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，
由题意的由“定弦定角”模型，可知，，
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
∴，
，
，
∵，
，
，
，
．
的最小值为．
【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，利用圆周角定理可证得∠AOB=2∠ACB，可求出∠AOB的度数；利用等腰三角形的性质可求出∠AOM的度数，同时求出AM的长，再利用解直角三角形求出AO的长，然后利用弧长公式可求出劣弧AB的长.
（2）①利用垂直的定义和三角形内角和定理可证得∠EAF+∠AEF=90°，利用三角形内心的概念可证得PA、PE分别平分，利用角平分线的概念和三角形内角和定理可求出∠APE的度数；再利用SAS可证得△APE≌△APB，利用全等三角形的性质可求出∠APB的度数；②作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，可知的最小值即为，设优弧所对的圆心角优角为，可得到的度数，利用解直角三角形可求出QB的长，利用正方形的性质可推出，可求出NB的长，即可得到CN的长；再利用勾股定理求出CQ的长，然后求出PC的最小值.
（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，
，，
，
，
，，
，
，
∴劣弧的长为
故答案为：；
（2）①，
，
，
点是的内心，
平分，
，
，
，
，
；
②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，
由题意的由“定弦定角”模型，可知，，
作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为，
，
设优弧所对的圆心角优角为，
则，
，
，
，
，
，
，四边形是正方形，
∴，
，
，
∵，
，
，
，
．
的最小值为．
23．如图，在中，，，，点E是边上一点（且点E不与点B、C重合），连结．过点C作，交边于点D，交线段于点F．
（1）边的长为____；
（2）当时，求的长；
（3）当时，求的值；
（4）连结，当四边形为轴对称图形时，直接写出的长．
【答案】（1）4
（2）解：∵，当时，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
综上，的长为
（3）解： 如图，过点E作，交于点H ，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
（4）的长为或
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形—边角关系；已知余弦值求边长；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】（1）解：在中，，，，
∴．
故答案为：4．
（4）解：当四边形为轴对称图形时，
①如图，以为对称轴时，则，
∴；
②如图，以为对称轴时，则，
∴点D到的距离相等，
设点D到的距离为h，点C到的距离为m，
∴，
∴，即，
综上，的长为或．
【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长.
（2）利用相似三角形的性质可证得∠CAF=∠B，利用余角的性质可证得，，利用等边对等角可证得AD=CD=BD，据此可求出AD的长.
（3）过点E作，交于点H ，利用勾股定理求出AE的长，利用解直角三角形求出AF的长，可得到EF的长；利用平行线分线段成比例可证得，，可推出，据此可求出AD与BD的比值.
（4）利用已知条件：四边形为轴对称图形，分情况讨论：①如图，以为对称轴时，利用轴对称的性质可求出AD的长，据此可求出BD的长；②如图，以为对称轴时，则，设点D到的距离为h，点C到的距离为m，利用三角形的面积公式可得到AD与BD的比值，据此可求出BD的长；综上所述，可得到符合题意的BD的长.
（1）解：在中，，，，
∴．
故答案为：4．
（2）解：∵，
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，
综上，的长为．
（3）解： 如图，过点E作，交于点H ，
∵，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）解：当四边形为轴对称图形时，
①如图，以为对称轴时，则，
∴；
②如图，以为对称轴时，则，
∴点D到的距离相等，
设点D到的距离为h，点C到的距离为m，
∴，
∴，即，
综上，的长为或．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于A、两点（点A在点的左侧），顶点坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为．
（1）求、的值；
（2）当时，，则的取值范围是____________________；
（3）当点在轴下方时，若抛物线在点A和点之间的部分（包含A、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值；
（4）点，以为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c（b、c为常数）的顶点坐标为（1，-3），
∴抛物线的解析式为y=(x-1)2-3=x2-2x-2，
∴b=-2，c=-2；
（2）
（3）解：∵点的横坐标为，
∴，
令，解得：或，
当时，当时取最低点，当P在A时有最高点0，
∴，解得：或（不合题意舍去）
当时，当时取最小值，当P在B时有最大值0，
∴，解得：
综上，的值为或2．
（4）解：当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（2）解：令中的y=1，得，
解得：或，
∴的解集为：，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最小值，
∵当时，，
∴．
故答案为：1≤n≤3；
（4）解：设矩形为，
∵，，
∴，，
如图：当M点在抛物线上时，
，解得：或2，
所以当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大.
【分析】（1）此题给出了抛物线二次项系数及顶点坐标，故利用抛物线的顶点式可得出抛物线的解析式，再将解析式化为一般形式即可得出b、c的值；
（2）令（1）所求抛物线解析式中的y=1算出对应的自变量x的值，结合抛物线的开口方向可得当y≤1时x的取值范围为-1≤x≤3；再根据抛物线的顶点坐标得出当x=1时，函数有最小值y=-3，从而即可得出n的取值范围；
（3）由题意可得点P的坐标为，令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，然后分和两种情况解答即可；
（4）设矩形为，根据矩形性质及点的坐标与图形性质得，；假设点M在抛物线上，求得m的值，然后结合函数图象即可解答．
（1）解：∵抛物线的顶点的坐标为为，
∴，，解得：．
（2）解：∵，
∴，
令，解得：或，
∴的解集为：，
∵抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最小值，
∵当时，，
∴．
（3）解：∵点的横坐标为，
∴，
令，解得：或，
当时，当时取最低点，当P在A时有最高点0，
∴，解得：或（不合题意舍去）
当时，当时取最小值，当P在B时有最大值0，
∴，解得：
综上，的值为或2．
（4）解：设矩形为，
∵，，
∴，，
如图：当M点在抛物线上时，
，解得：或2，
所以当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小；
当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
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