资源简介

吉林省长春市绿园区九年级2025年中考一模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则“□”中应填写的运算符号是（　　）
A．＋ B．－ C．× D．÷
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：.故答案为：A．
【分析】由于2与-2互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为零即可判断得出答案.
2．“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 主视图是从从正面看到的图形，从从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形组成.
故答案为：A．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
3．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故答案为：C．
【分析】根据n边形的内角和为(n-2)×180°，可求出六边形的内角和，然后根据正六边形的每一个内角都相等，故利用正六边形的内角和除以内角的个数即可求出一个内角的度数（即∠AFE的度数），最后根据正六边形的轴对称性可求出∠AFC的度数.
4．下列运算正确的是（　　）
A． =±6 B．4 ﹣3 =1
C． =6 D． =6
【答案】D
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： 故A不符合题意，
故B不符合题意，
故C不符合题意，
故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根、二次根式的加减、二次根式的乘除分别求解，然后判断即可.
5．已知，则一定有，“”中应填的符号是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】首先根据“ 不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变 ”可得-4a＞-4b，再根据“不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变”可得6-4a＞6-4b.
6．如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：，
，
是直角三角形，
开挖点离点的距离：，
故答案为：C．
【分析】利用三角形的外角性质求出∠DEC的度数，据此可证得是直角三角形，然后利用解直角三角形求出ED的长.
7．如图，在矩形中，，先以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E；再以点D为圆心，长为半径画弧交边于点F；最后以点C为圆心，长为半径画弧交边于点G．求的长，只需要知道（　　）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【答案】C
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设，由作图可知：，，
四边形矩形，
，
，
，
，
，
求的长，只需要知道线段的长．
故选：C．
【分析】设，由作图可知：，，根据矩形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴P点的纵坐标为2，
把代入得，
所以P点坐标为，
把代入得，
解得．
故k的值为．
故答案为：D．
【分析】由题意易得P点的纵坐标为2，把y=2代入算出对应的自变量x的值，从而可得点p的坐标， 把P点坐标代入双曲线中 即可求出k的值.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．计算：3a 2a2=　 　．
【答案】6a3
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：3a 2a2=3×2a a2=6a3．
故答案为：6a3．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4 k＞0，
解得．
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
11．已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m　 　时，y随x的增大而增大．
【答案】<1
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当1 m>0时，y随x的增大而增大，
所以m<1.
故答案为<1.
【分析】 一次函数y=kx+b(k≠0），当k＞0时，y随x增大而增大，当k＜0时，y随x增大而减小，据此解答即可.
12．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设该二次函数的解析式为，
将带入得：，
解得：，
该二次函数的表达式为：，
故答案为：．
【分析】利用这个二次函数图象的顶点为原点，可设该二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入函数解析式，可求出a的值，可得到二次函数解析式.
13．如图，将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，若∠ABC＝75°，则∠CFE＝　 　
【答案】105°
【知识点】平移的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由平移可知∠DEF＝∠ABC＝75°，
∵BE∥CF，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝180﹣75＝105°
故答案是：105°．
【分析】利用平移的性质可求出∠DEF的度数，同时可证得BE∥CF，根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠EFC的度数.
14．如图，点在以为直径的半圆上，，，动点在线段上且不与、重合，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．给出下面四个结论：①的长度为；②；③；④线段的最小值为．上述结论中，正确的结论的序号有　 　．
【答案】①③
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；轴对称的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴的长度为，故①正确；
连接，当时，如图所示．
∵是直径，
∴
∴
∵和关于对称
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴故②不正确；
连接，如图所示．
∵点与点关于对称，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．故结论③正确．
④当时，取最小值，
∵是半圆的直径，
∴．
∵，，
∴，，．
∵，，
∴．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点在线段上运动时，的最小值为．
∵，
∴．
∴线段的最小值为．故④错误。
故答案为：①③．
【分析】连接，根据圆周角定理可求出∠AOC的度数，同时可求出圆的半径，然后利用弧长公式进行计算，可对①作出判断；连接CD，根据点在线段上运动，连接，当时，利用圆周角定理的推论可证得∠ACB=90°，据此可求出∠ACD的度数，利用轴对称的性质可推出AC∥DF，利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，利用等边对等角可得到∠F的度数，可对②判断；连接，如图所示．由点与点关于对称可得，再根据，利用余角的性质可证得，利用等角对等边可证到，可对③作出判断；根据“点到直线之间，垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式
，
把 代入上式中得
原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据异分母分式相加减，先通分为同分母分式，再加减先计算括号内的，再根据分式÷分式，交换除式的分子分母，与被除式相乘化简原式，代入x的值即可.
16．小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．
【答案】解： 画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，
所以小红获胜的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知： 共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6， 然后根据概率公式求解即可．
17．随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？
【答案】解：设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人，
由题意得，，
解得，
，
答：参加比赛的男生有12人，女生有40人．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设参加比赛的男生有x人，则参加比赛的女生有(28+x)人，则男生获奖的人数为x人，女生获奖的人数为75%(28+x)人，由“男、女生获奖共有42人”列方程，求解得出x的值，进而再求出28+x的值即可.
18．如图所示，在中，E为的中点，是等边三角形，求证：是矩形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是矩形
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD=BC，AB=CD，，同时可证得△CBE为等边三角形，利用等边三角形的性质可证得BE=CE，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可推出，据此可证得，再根据有一个角是的平行四边形是矩形，可证得结论.
19．为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为体育中考做好准备，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．下面是给出的部分信息：
①随机抽取男同学和女同学各名；
②男同学成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为组：，，，）；
③男同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，，；女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，；
④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表：
性别 平均数 中位数 众数
女 82.1 88 89
男 83.5 84
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值是_____；
（2）下列描述中正确的有_____；
①因为抽取的名女同学的成绩的平均数是分，所以至少有名女同学成绩在分以下．
②抽取的名男同学中，成绩为分的一定少于人．
③在抽取的同学中，女同学超过分的人数比男同学多．
（3）成绩不低于分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生人，男学生人，且所有学生都参加了模拟测试，估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数．
【答案】（1）；
（2）③
（3）解：女同学的中位数为分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，；∵中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据，
∴第个数据是，
∴女同学的成绩不低于分的人数有人，
男同学的成绩不低于分的人数有人，
∴（人），
估计该校九年级约有人的成绩记为优秀
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）男同学一共有名同学，在和共有人，
中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据在这一组的第，个数，分别为、
故中位数，
故答案为：；
（2）解：虽然抽取的名女同学的成绩的平均数是分，但是不一定有名女同学成绩在分以下，故①错误；
抽取的名男同学中，成绩为分的可能为人，故②错误；
由女生中位数为及女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，可知，女生超过分的人数有人，
由男生处于的有人，在的有人多于分，可知男生超过分的人数有人，
∴女生女生超过分的人数多于男生，故③正确；
故答案为：③；
【分析】（1）结合题意，根据中位数的求法可求出m的值.
（2）根据中位数的意义，比较女同学和男同学的中位数即可得出答案；
（3）利用样本估计总体即可得到答案．
（1）解：男同学一共有名同学，在和共有人，
中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据在这一组的第，个数，分别为、
故中位数，
故答案为：；
（2）解：虽然抽取的名女同学的成绩的平均数是分，但是不一定有名女同学成绩在分以下，故①错误；
抽取的名男同学中，成绩为分的可能为人，故②错误；
由女生中位数为及女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，可知，女生超过分的人数有人，
由男生处于的有人，在的有人多于分，可知男生超过分的人数有人，
∴女生女生超过分的人数多于男生，故③正确；
故答案为：③；
（3）解：女同学的中位数为分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，；
∵中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据，
∴第个数据是，
∴女同学的成绩不低于分的人数有人，
男同学的成绩不低于分的人数有人，
∴（人），
估计该校九年级约有人的成绩记为优秀．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；
（2）在图②中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为；
（3）在图③中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为．
【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；
（2） 解：如图，△ABD就是所求的三角形；
（3）解：如图，△ABE就是所求的三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；根据等腰三角形的性质，AB可能是腰或底两种情况，由于三角形三边必须是无理数，故所作线段AC、BC也是由小正方形组成的矩形的斜边，利用方格纸的特点，找到一个符合条件的点C，连结AC、BC即可；
（2）根据网格及勾股定理可知AB得长度为，如果以AB为斜边，根据直角边之比为及勾股定理可知其中一条直角边为，为一个小正方形的对角线，另一条直角边为，为边长为1四个网格的正方形的对角线，据此找到一个符合条件的点D，连结AD、BD即可；
（3）以B为顶点的一个小正方形对角线得到，再加一个正方形的角，故点E在B为顶点的一个小正方形对角线处，连接AE、BE即可.
21．某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题：
（1）求线段所表示的函数关系式；
（2）当x的值为多少时，恰好停止注水．
【答案】（1）解：设线段所表示的函数关系式为，则，
解得，
∴线段所表示的函数关系式为：
（2）当时，，
解得．
答：当时，恰好停止注水
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（）将点A、B的坐标分别代入，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到线段AB的函数解析式.
（）将代入函数解析式，求出的值即可.
（1）解：设线段所表示的函数关系式为，
则，
解得，
∴线段所表示的函数关系式为：．
（2）当时，，
解得．
答：当时，恰好停止注水．
22．已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结．
（1）如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）．
（2）如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整．
证明：延长到点，使，连结，如图③，
为的中点，
，
又，，
，
．．．．．．
（3）若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____．
【答案】（1）
（2）解：（1）中线段和的数量关系仍然成立，
理由如下：
延长到，使，连接，如图：
为的中点，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
（3）
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，
∵将绕点顺时针旋转得到，
在上，，
∵，
，
，
为斜边的中点，
，
；
（3）解：取的中点，连接，如图：
为中点，
为的中位线，
，
，
，
在中，，
∴当共线时，最大，最大为，如图：
此时，
∴线段的最大值为，
故答案为：．
【分析】（1）利用正方形的性质可证得，再利用旋转的性质可证得BF=BE，利用SAS可证得△ABF≌△CBE，利用全等三角形的性质可证得AF=CE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得结论.
（2）延长到，使，连接，利用线段中点可证得EM=CM，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，由此可推出∠ABF=180°-∠EBC，利用旋转的性质可证得，由此可推出∠BEN=∠ABF，利用SAS可证得△BEN≌△FBA，利用全等三角形的性质可证得BN=AF，由BN=2BM，可证得结论.
（3）取的中点，连接，易证GM为的中位线，利用三角形中位线定理可求出GM的长，利用勾股定理求出DG的长，利用三角形三边关系定理可推出当共线时，最大，最大为，据此可求出线段DM的最大值.
（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，
∵将绕点顺时针旋转得到，
在上，，
∵，
，
，
为斜边的中点，
，
；
（2）解：（1）中线段和的数量关系仍然成立，理由如下：
延长到，使，连接，如图：
为的中点，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：取的中点，连接，如图：
为中点，
为的中位线，
，
，
，
在中，，
∴当共线时，最大，最大为，如图：
此时，
∴线段的最大值为，
故答案为：．
23．如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接．
（1）求的面积；
（2）当时，求线段的长；
（3）当时，求线段的长；
（4）当是直角三角形时，直接写出线段的长．
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，，
∴
（2）解：当在上时，∵，，
∴，
∴；
当在上时，如图，过点作于，过作于N，
由（）得，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
综上，线段的长为或
（3）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴
（4）或
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（4）解：如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【分析】（1）如图，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质可求出BM的长，利用勾股定理求出AM的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
（2）当在上时，利用已知求出BD的长，同时可求出PD的长；当在上时，如图，过点作于，过作于N，利用解直角三角形可得到BM与AB的比值，利用等腰三角形的性质可求出BN的长，然后利用解直角三角形求出PD的长；综上所述可得到PD的长.
（3）利用等边对等角可证得∠B=∠C，利用解直角三角形求出BP的长，可得到PC的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DPB∽△PQC，利用相似三角形的性质可求出CQ的长.
（4）如图，当时，利用解直角三角形求出PD与PQ的比值，再证明，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出PC的长，即可得到PB的长；如图，当时，利用解直角三角形求出PQ与PD的比值，再证明，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出PC的长，即可得到PB的长；综上所述，可得到线段PB的长.
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，，
∴
（2）解：当在上时，
∵，，
∴，
∴；
当在上时，如图，过点作于，过作于N，
由（）得，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
综上，线段的长为或；
（3）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴；
（4）解：如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当点恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值；
（3）已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点时，过点作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形．
①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围；
②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值．
【答案】（1）解：，
∴顶点坐标为
（2）解：如图，
∵顶点坐标为，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
设直线为，
把，代入得，
解得，
∴直线为，
令得，解得，
∴，
∴，
∴
（3）①或
②或或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；求正切值；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（3）解：①如图，
∵顶点坐标为， 抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
如图，
∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
综上：或
②如图，当在的左边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴即，
解得
解得或．
如图，当在的右边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∴，
此时，，抛物线的顶点在同一直线上，
∴，
解得：或．
综上：或或或．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）利用已知条件可表示出点B的横坐标，再求出当x=3时y的值，可得到点B的坐标；利用待定系数法求出直线AB的函数解析式；利用此函数解析式由y=0求出对应的x的值，可得到点E的坐标，可求出EF的长，然后利用正切的定义可求出tan∠BEF的值.
（3）①抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大得，都在对称轴的右侧时，分两种情况列不等式组，分别求出不等式组的解集，可得到m的取值范围；②分情况讨论：当在的左边时，利用已知条件可得到点A，B的坐标及点D的纵坐标，即可表示出AD、BG的长，再根据直线分平行四边形的面积为两部分，可得到DM与CM的比值，利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，同时可表示出BC的长，可证得，利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，解方程求出符合的m的值；当在的右边时，同理可得到点A，B的坐标及点D的纵坐标，即可表示出AD、BG的长，再根据直线分平行四边形的面积为两部分，可得到BG与CG的比值，即可得到BG与BC的数量关系，此时，，抛物线的顶点在同一直线上，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值；综上所述可得到m的值.
（1）解：，
∴顶点坐标为；
（2）解：如图，
∵顶点坐标为，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
设直线为，
把，代入得，
解得，
∴直线为，
令得，解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图，
∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
如图，
∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
综上：或；
②如图，当在的左边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴即，
解得
解得或．
如图，当在的右边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∴，
此时，，抛物线的顶点在同一直线上，
∴，
解得：或．
综上：或或或．
1 / 1吉林省长春市绿园区九年级2025年中考一模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则“□”中应填写的运算符号是（　　）
A．＋ B．－ C．× D．÷
2．“陀螺”一词的正式出现是在明朝时期，陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图所示放置的是一个木制陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下（如图①），如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． =±6 B．4 ﹣3 =1
C． =6 D． =6
5．已知，则一定有，“”中应填的符号是(　　)
A． B． C． D．
6．如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，先以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E；再以点D为圆心，长为半径画弧交边于点F；最后以点C为圆心，长为半径画弧交边于点G．求的长，只需要知道（　　）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
8．如图：直线与x轴交于点A，与双曲线交于点P，过点P作轴于点C，且，则k的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
9．计算：3a 2a2=　 　．
10．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
11．已知一次函数y=(1－m)x＋m－2，当m　 　时，y随x的增大而增大．
12．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点，且它的顶点是原点，则这个二次函数的表达式为　 　．
13．如图，将△ABC沿射线AB的方向平移到△DEF的位置，点A、B、C的对应点分别为点D、E、F，若∠ABC＝75°，则∠CFE＝　 　
14．如图，点在以为直径的半圆上，，，动点在线段上且不与、重合，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．给出下面四个结论：①的长度为；②；③；④线段的最小值为．上述结论中，正确的结论的序号有　 　．
三、解答题：本题共10小题，共78分．
15．先化简，再求值： ，其中 .
16．小红和小丁玩纸牌游戏，如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也在、抽出一张，比较两人抽取的牌面上的数字，数字大者获胜，请用树状图或列表法求小红获胜的概率．
17．随着2025年第九届亚冬会圆满落幕，全国范围内再度掀起一股强劲的冰雪运动热潮．某地举办了青少年冰雪运动会，某校参加比赛的女生比男生多28人，男生全部获奖，女生有获奖，男、女生获奖共有42人．该校参加比赛的男、女生各有多少人？
18．如图所示，在中，E为的中点，是等边三角形，求证：是矩形．
19．为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为体育中考做好准备，某中学对九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析．下面是给出的部分信息：
①随机抽取男同学和女同学各名；
②男同学成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为组：，，，）；
③男同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，，；女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，；
④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表：
性别 平均数 中位数 众数
女 82.1 88 89
男 83.5 84
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值是_____；
（2）下列描述中正确的有_____；
①因为抽取的名女同学的成绩的平均数是分，所以至少有名女同学成绩在分以下．
②抽取的名男同学中，成绩为分的一定少于人．
③在抽取的同学中，女同学超过分的人数比男同学多．
（3）成绩不低于分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生人，男学生人，且所有学生都参加了模拟测试，估计该校九年级成绩记为优秀的学生的人数．
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1.线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中以为边画一个等腰三角形，使它的三边长均是无理数；
（2）在图②中以为边画一个直角三角形，使它的直角边之比为；
（3）在图③中以为边画一个钝角三角形，使它的钝角为．
21．某游泳馆安装了智能温泉泳池系统，让用户享受四季泳池．泳池的排水系统在每次换水时将泳池的水先排完，然后再注入消杀后的水，水位到达水位线后，停止注水，水位线的高度为．在某次注水的整个过程中，水位的高度y（m）与注水时间x（h）之间的函数关系如图所示．根据下面图象，回答下列问题：
（1）求线段所表示的函数关系式；
（2）当x的值为多少时，恰好停止注水．
22．已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结．
（1）如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）．
（2）如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整．
证明：延长到点，使，连结，如图③，
为的中点，
，
又，，
，
．．．．．．
（3）若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____．
23．如图，在中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，沿折线运动，动点在上，且，连接．
（1）求的面积；
（2）当时，求线段的长；
（3）当时，求线段的长；
（4）当是直角三角形时，直接写出线段的长．
24．在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点、是抛物线上不重合的两点，其横坐标分别为、．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当点恰好与该抛物线的顶点重合时，连结，设与轴交于点，过点作轴于点，求此时的值；
（3）已知直线是与轴平行的一条直线，当直线不经过点时，过点作于点，连结，以、为邻边构造平行四边形．
①若点恰好在直线上，当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大时，直接写出的取值范围；
②若直线恰好经过该抛物线的顶点，设直线与直线相交于点，当直线分平行四边形的面积为两部分时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：.故答案为：A．
【分析】由于2与-2互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为零即可判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 主视图是从从正面看到的图形，从从正面看到的图形是一个等腰三角形和一个矩形组成.
故答案为：A．
【分析】根据简单组合体的三视图的概念求解．
3．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形是正六边形，
，
由对称性可知，
故答案为：C．
【分析】根据n边形的内角和为(n-2)×180°，可求出六边形的内角和，然后根据正六边形的每一个内角都相等，故利用正六边形的内角和除以内角的个数即可求出一个内角的度数（即∠AFE的度数），最后根据正六边形的轴对称性可求出∠AFC的度数.
4．【答案】D
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解： 故A不符合题意，
故B不符合题意，
故C不符合题意，
故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根、二次根式的加减、二次根式的乘除分别求解，然后判断即可.
5．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】首先根据“ 不等式两边都乘同一个负数，不等号的方向改变 ”可得-4a＞-4b，再根据“不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变”可得6-4a＞6-4b.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：，
，
是直角三角形，
开挖点离点的距离：，
故答案为：C．
【分析】利用三角形的外角性质求出∠DEC的度数，据此可证得是直角三角形，然后利用解直角三角形求出ED的长.
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质；圆的相关概念；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：设，由作图可知：，，
四边形矩形，
，
，
，
，
，
求的长，只需要知道线段的长．
故选：C．
【分析】设，由作图可知：，，根据矩形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴P点的纵坐标为2，
把代入得，
所以P点坐标为，
把代入得，
解得．
故k的值为．
故答案为：D．
【分析】由题意易得P点的纵坐标为2，把y=2代入算出对应的自变量x的值，从而可得点p的坐标， 把P点坐标代入双曲线中 即可求出k的值.
9．【答案】6a3
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：3a 2a2=3×2a a2=6a3．
故答案为：6a3．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
10．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4 k＞0，
解得．
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
11．【答案】<1
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：当1 m>0时，y随x的增大而增大，
所以m<1.
故答案为<1.
【分析】 一次函数y=kx+b(k≠0），当k＞0时，y随x增大而增大，当k＜0时，y随x增大而减小，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设该二次函数的解析式为，
将带入得：，
解得：，
该二次函数的表达式为：，
故答案为：．
【分析】利用这个二次函数图象的顶点为原点，可设该二次函数的解析式为，再将已知点的坐标代入函数解析式，可求出a的值，可得到二次函数解析式.
13．【答案】105°
【知识点】平移的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：由平移可知∠DEF＝∠ABC＝75°，
∵BE∥CF，
∴∠EFC＝180°﹣∠DEF＝180﹣75＝105°
故答案是：105°．
【分析】利用平移的性质可求出∠DEF的度数，同时可证得BE∥CF，根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠EFC的度数.
14．【答案】①③
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；轴对称的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∴的长度为，故①正确；
连接，当时，如图所示．
∵是直径，
∴
∴
∵和关于对称
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴故②不正确；
连接，如图所示．
∵点与点关于对称，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．故结论③正确．
④当时，取最小值，
∵是半圆的直径，
∴．
∵，，
∴，，．
∵，，
∴．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点在线段上运动时，的最小值为．
∵，
∴．
∴线段的最小值为．故④错误。
故答案为：①③．
【分析】连接，根据圆周角定理可求出∠AOC的度数，同时可求出圆的半径，然后利用弧长公式进行计算，可对①作出判断；连接CD，根据点在线段上运动，连接，当时，利用圆周角定理的推论可证得∠ACB=90°，据此可求出∠ACD的度数，利用轴对称的性质可推出AC∥DF，利用平行线的性质可求出∠CDF的度数，利用等边对等角可得到∠F的度数，可对②判断；连接，如图所示．由点与点关于对称可得，再根据，利用余角的性质可证得，利用等角对等边可证到，可对③作出判断；根据“点到直线之间，垂线段最短”可得时最小，由于，求出的最小值就可求出的最小值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
15．【答案】解：原式
，
把 代入上式中得
原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据异分母分式相加减，先通分为同分母分式，再加减先计算括号内的，再根据分式÷分式，交换除式的分子分母，与被除式相乘化简原式，代入x的值即可.
16．【答案】解： 画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6，
所以小红获胜的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图列举出所有等可能的情况数，由图可知： 共有12种等可能的结果数，其中小红获胜的结果数为6， 然后根据概率公式求解即可．
17．【答案】解：设参加比赛的男生有人，则参加比赛的女生有人，
由题意得，，
解得，
，
答：参加比赛的男生有12人，女生有40人．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】设参加比赛的男生有x人，则参加比赛的女生有(28+x)人，则男生获奖的人数为x人，女生获奖的人数为75%(28+x)人，由“男、女生获奖共有42人”列方程，求解得出x的值，进而再求出28+x的值即可.
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是矩形
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD=BC，AB=CD，，同时可证得△CBE为等边三角形，利用等边三角形的性质可证得BE=CE，利用SSS可证得，利用全等三角形的性质可推出，据此可证得，再根据有一个角是的平行四边形是矩形，可证得结论.
19．【答案】（1）；
（2）③
（3）解：女同学的中位数为分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，；∵中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据，
∴第个数据是，
∴女同学的成绩不低于分的人数有人，
男同学的成绩不低于分的人数有人，
∴（人），
估计该校九年级约有人的成绩记为优秀
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）男同学一共有名同学，在和共有人，
中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据在这一组的第，个数，分别为、
故中位数，
故答案为：；
（2）解：虽然抽取的名女同学的成绩的平均数是分，但是不一定有名女同学成绩在分以下，故①错误；
抽取的名男同学中，成绩为分的可能为人，故②错误；
由女生中位数为及女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，可知，女生超过分的人数有人，
由男生处于的有人，在的有人多于分，可知男生超过分的人数有人，
∴女生女生超过分的人数多于男生，故③正确；
故答案为：③；
【分析】（1）结合题意，根据中位数的求法可求出m的值.
（2）根据中位数的意义，比较女同学和男同学的中位数即可得出答案；
（3）利用样本估计总体即可得到答案．
（1）解：男同学一共有名同学，在和共有人，
中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据在这一组的第，个数，分别为、
故中位数，
故答案为：；
（2）解：虽然抽取的名女同学的成绩的平均数是分，但是不一定有名女同学成绩在分以下，故①错误；
抽取的名男同学中，成绩为分的可能为人，故②错误；
由女生中位数为及女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，可知，女生超过分的人数有人，
由男生处于的有人，在的有人多于分，可知男生超过分的人数有人，
∴女生女生超过分的人数多于男生，故③正确；
故答案为：③；
（3）解：女同学的中位数为分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：，，，，，；
∵中位数是成绩数据由小到大排列后第，个数据，
∴第个数据是，
∴女同学的成绩不低于分的人数有人，
男同学的成绩不低于分的人数有人，
∴（人），
估计该校九年级约有人的成绩记为优秀．
20．【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；
（2） 解：如图，△ABD就是所求的三角形；
（3）解：如图，△ABE就是所求的三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；根据等腰三角形的性质，AB可能是腰或底两种情况，由于三角形三边必须是无理数，故所作线段AC、BC也是由小正方形组成的矩形的斜边，利用方格纸的特点，找到一个符合条件的点C，连结AC、BC即可；
（2）根据网格及勾股定理可知AB得长度为，如果以AB为斜边，根据直角边之比为及勾股定理可知其中一条直角边为，为一个小正方形的对角线，另一条直角边为，为边长为1四个网格的正方形的对角线，据此找到一个符合条件的点D，连结AD、BD即可；
（3）以B为顶点的一个小正方形对角线得到，再加一个正方形的角，故点E在B为顶点的一个小正方形对角线处，连接AE、BE即可.
21．【答案】（1）解：设线段所表示的函数关系式为，则，
解得，
∴线段所表示的函数关系式为：
（2）当时，，
解得．
答：当时，恰好停止注水
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（）将点A、B的坐标分别代入，可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到线段AB的函数解析式.
（）将代入函数解析式，求出的值即可.
（1）解：设线段所表示的函数关系式为，
则，
解得，
∴线段所表示的函数关系式为：．
（2）当时，，
解得．
答：当时，恰好停止注水．
22．【答案】（1）
（2）解：（1）中线段和的数量关系仍然成立，
理由如下：
延长到，使，连接，如图：
为的中点，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
（3）
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，
∵将绕点顺时针旋转得到，
在上，，
∵，
，
，
为斜边的中点，
，
；
（3）解：取的中点，连接，如图：
为中点，
为的中位线，
，
，
，
在中，，
∴当共线时，最大，最大为，如图：
此时，
∴线段的最大值为，
故答案为：．
【分析】（1）利用正方形的性质可证得，再利用旋转的性质可证得BF=BE，利用SAS可证得△ABF≌△CBE，利用全等三角形的性质可证得AF=CE，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得结论.
（2）延长到，使，连接，利用线段中点可证得EM=CM，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可推出，由此可推出∠ABF=180°-∠EBC，利用旋转的性质可证得，由此可推出∠BEN=∠ABF，利用SAS可证得△BEN≌△FBA，利用全等三角形的性质可证得BN=AF，由BN=2BM，可证得结论.
（3）取的中点，连接，易证GM为的中位线，利用三角形中位线定理可求出GM的长，利用勾股定理求出DG的长，利用三角形三边关系定理可推出当共线时，最大，最大为，据此可求出线段DM的最大值.
（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，
∵将绕点顺时针旋转得到，
在上，，
∵，
，
，
为斜边的中点，
，
；
（2）解：（1）中线段和的数量关系仍然成立，理由如下：
延长到，使，连接，如图：
为的中点，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：取的中点，连接，如图：
为中点，
为的中位线，
，
，
，
在中，，
∴当共线时，最大，最大为，如图：
此时，
∴线段的最大值为，
故答案为：．
23．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，，
∴
（2）解：当在上时，∵，，
∴，
∴；
当在上时，如图，过点作于，过作于N，
由（）得，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
综上，线段的长为或
（3）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴
（4）或
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（4）解：如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【分析】（1）如图，过点作于点，利用等腰三角形三线合一的性质可求出BM的长，利用勾股定理求出AM的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
（2）当在上时，利用已知求出BD的长，同时可求出PD的长；当在上时，如图，过点作于，过作于N，利用解直角三角形可得到BM与AB的比值，利用等腰三角形的性质可求出BN的长，然后利用解直角三角形求出PD的长；综上所述可得到PD的长.
（3）利用等边对等角可证得∠B=∠C，利用解直角三角形求出BP的长，可得到PC的长；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DPB∽△PQC，利用相似三角形的性质可求出CQ的长.
（4）如图，当时，利用解直角三角形求出PD与PQ的比值，再证明，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出PC的长，即可得到PB的长；如图，当时，利用解直角三角形求出PQ与PD的比值，再证明，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的性质可求出PC的长，即可得到PB的长；综上所述，可得到线段PB的长.
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴，，
∴
（2）解：当在上时，
∵，，
∴，
∴；
当在上时，如图，过点作于，过作于N，
由（）得，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
综上，线段的长为或；
（3）解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
∴；
（4）解：如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∵
∴
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
24．【答案】（1）解：，
∴顶点坐标为
（2）解：如图，
∵顶点坐标为，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
设直线为，
把，代入得，
解得，
∴直线为，
令得，解得，
∴，
∴，
∴
（3）①或
②或或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；求正切值；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】（3）解：①如图，
∵顶点坐标为， 抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
如图，
∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
综上：或
②如图，当在的左边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴即，
解得
解得或．
如图，当在的右边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∴，
此时，，抛物线的顶点在同一直线上，
∴，
解得：或．
综上：或或或．
【分析】（1）将抛物线化为顶点式，可得到抛物线的顶点坐标.
（2）利用已知条件可表示出点B的横坐标，再求出当x=3时y的值，可得到点B的坐标；利用待定系数法求出直线AB的函数解析式；利用此函数解析式由y=0求出对应的x的值，可得到点E的坐标，可求出EF的长，然后利用正切的定义可求出tan∠BEF的值.
（3）①抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大得，都在对称轴的右侧时，分两种情况列不等式组，分别求出不等式组的解集，可得到m的取值范围；②分情况讨论：当在的左边时，利用已知条件可得到点A，B的坐标及点D的纵坐标，即可表示出AD、BG的长，再根据直线分平行四边形的面积为两部分，可得到DM与CM的比值，利用平行四边形的性质可证得AD∥BC，同时可表示出BC的长，可证得，利用相似三角形的性质可得到关于m的方程，解方程求出符合的m的值；当在的右边时，同理可得到点A，B的坐标及点D的纵坐标，即可表示出AD、BG的长，再根据直线分平行四边形的面积为两部分，可得到BG与CG的比值，即可得到BG与BC的数量关系，此时，，抛物线的顶点在同一直线上，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值；综上所述可得到m的值.
（1）解：，
∴顶点坐标为；
（2）解：如图，
∵顶点坐标为，
∴点的横坐标为，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
设直线为，
把，代入得，
解得，
∴直线为，
令得，解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图，
∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
如图，
∵顶点坐标为，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而增大，
∴，
解得；
综上：或；
②如图，当在的左边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴即，
解得
解得或．
如图，当在的右边时，
由题意得，，点的纵坐标为，
∴，，
∵直线分平行四边形的面积为两部分，
∴，
∴，
此时，，抛物线的顶点在同一直线上，
∴，
解得：或．
综上：或或或．
1 / 1

展开更多......

收起↑