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贵州省黔西南州册亨县2025年九年级第一次模拟考试数学试题
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共36分）
1．计算的结果是（　　）
A． B． C．2 D．8
2．“苗族剪纸”是晴隆县长流乡喇叭苗非物质文化遗产代表性项目之一，是民族文化的瑰宝，下列剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．计算 (a2)3的结果是（　　）．
A．a 5 B．a 6 C．a 8 D．a 9
4．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A． B．4 C．2 D．
5．不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是( )
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
6．在下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
7．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（　　）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
D．不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球
8． 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．
9．如图，内接于，连接 、，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
11． 《九章算术》是我国古代重要的数学著作， 其中记载了一个问题， 大致意思为： 现有田出租， 第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱， 第三年 5 亩 1 钱. 三年共得 100 钱. 问：出租的田有多少亩 设出租的田有 亩， 可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
12．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
二、填空题．（每题4分，共16分）
13． 的立方根是　 　．
14．若，则　 　．
15．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则　 　．
16．如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为　 　．
三、解答题．（本大题9个小题，共98分）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象平行，且过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，则m的取值范围是__________．
19．为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）：
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 ；
（2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？
（3）某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
20．如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
21．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
22．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
23．如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为M，若，求的长．
24．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
25．一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．
（1）求证：；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，记为，延长交直线于点．
①当时，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段，，的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故答案是：A．
【分析】根据有理数的加法法则即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【分析】根据幂的乘方的运算法则求解．
【解答】（a2)3=a6．
故选：B
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
4．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，．
故答案为：B．
【分析】
根据一元二次方程有两个相等的实数根利用建立方程，计算可得k的值．
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式x+1≥2可得x≥1，用数轴表示为：
.
故答案为：A.
【分析】
先解一元一次不等式得到x≥1，根据不等式的解集在数轴上表示，大于向右，含有等号用实心小圆点表示，判断即可解答．
6．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故A不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，逐项进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵A的概率为，B的概率为，C的概率为，D的概率为，且图象的频率在左右，
∴A最接近，
故选：A．
【分析】根据题意可得，图象的频率在左右，对选项逐个求解，得到各自的概率，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据圆周角定理：等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，计算即可解答．
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AD∥BC，AB∥CD，OA=OB=OC=OD，
∴，∠OBC=∠OCB，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】矩形性质为：①对角线相等且互相平分，②四个内角都是直角，③对边平行且相等，据此逐一判断得出答案.
11．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：出租的田有 亩，第一年的租金为：，第二年的租金为：，第三年的租金为：，由题意可得： .
故答案为：B.
【分析】根据题意分别表示出第一年，第二年，第三年的租金，和为100，即可得到关于x的方程.
12．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 中经过（0，0），
∴c=0，
又∵二次函数经过（-2，-8）和（3，-3），
∴，解得，
∴二次函数，
对于A，a<0，此时图象开口向下，故A错误，不符合题意；
对于B，对称轴所在直线x=1，即当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x增大而增大，故B错误，不符合题意；
对于C，顶点（1，1）结合图象可知，图象经过一三四象限，故C错误，不符合题意；
对于D，对称轴所在直线x=1，故D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由待定系数法利用三点求出二次函数解析式，逐一根据图象性质判断选项即可.
13．【答案】-2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：－8的立方根是－2．
故答案为：－2．
【分析】根据（-2）3=-8。可得-8的立方根.
14．【答案】4
【知识点】解二元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： 若，则
故填：4.
【分析】利用已知条件直接代入目标代数式进行消元即可得出结果.
15．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】由题意可得平分，再根据角平分线的性质可得，根据即可求解．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】 过点F作于H，延长与的延长线交于K，根据，可得，再利用勾股定理求出，再根据，求出，再利用勾股定理求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，即， 求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，即， 求出，最后利用线段的和差求出BG的长即可.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘法法则；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）先计算，负整数指数幂，零指数幂，然后计算加减即可解答；
（2）根据分式的混合运算法则：先通分计算加法得到，在计算除法约分得到，然后代值计算即可解答．
18．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（2）如图，
当时，，
∴把点代入，
∴，
∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，
∴．
故答案为：．
【分析】
（）根据两直线平行得，根据待定系数法求函数解析式把点代入求出的值，写出函数解析式，解答即可；
（）先求两个函数图象的交点：令计算得，根据待定系数法求函数解析式把点代入得，观察函数图象得到满足条件，解答即可.
（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：如图，
当时，，
∴把点代入，
∴，
∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，
∴．
19．【答案】（1）100，25
（2）解：，
答：大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动；
（3）解：画树状图，如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4，
∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查学生人数为，
喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是，
故答案为：100，25；
【分析】
（1）根据被调查总人数=“体育类”人数30所占百分比，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数=总人数“艺术类”所占百分比，计算解答即可；
（2）根据样本估计总体：喜爱“阅读类”社团活动得人数=1000“阅读类”所占百分比计算即可解答；
（3）先画树状图得到所有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4，根据概率公式计算即可解答．
（1）解：本次共调查学生人数为，
喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是，
故答案为：100，25；
（2）解：，
答：大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动；
（3）解：画树状图，如下
共有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4，
∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为．
20．【答案】（1）解：选择①，
证明：因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形；
选择②，
证明：因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形.
（2）解：由（1）得，
因为，，由勾股定理，得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①或②，结合两组对边相互平行，对边平行且相等，进而证得四边形为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，得出，结合勾股定理，即可求解.
（1）解：选择①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴．
21．【答案】（1）解：设书架上数学书有本，
由题意得：，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）解：设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设书架上数学书有本，根据图形列出方程，再求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式，再求解即可.
（1）解：设书架上数学书有本，由题意得：
，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
22．【答案】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠CAB的余弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理算BC的长，在Rt△BCD，由∠CDB的正弦函数算BD的长，由绳子长度不变得BC+AB=BE+BD，从而代值计算可算出BE的长，最后根据CE=BC-BE可算出答案.
（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
23．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又与都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故，
即．
（2）解：由（1）知，，
∴，
又，，
∴，，
∴圆的半径，
∴，
在中．
，
∴
即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形得性质得到，根据圆周角定理的推论得到，根据对顶角相等得到，等量代换得，根据角平分线的定义得，由直径所对的圆周角等于得，再计算角度的和得，解答即可．
（2）由（1）知，，根据等腰三角形得判定得到，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，再表示出，，再利用勾股定理计算得的值，解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
又与都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故，
即．
（2）由（1）知，，
∴，
又，，
∴，，
∴圆的半径，
∴，
在中．
，
∴
即的长为．
24．【答案】（1）解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
（2）解：当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润等于单件利润乘以销量可得；再根据二次函数的性质，求得对称轴以及最值即可；
（2）将代入二次函数可得，进行求解即可．
（1）解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
（2）当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
25．【答案】（1）证明：设，
，，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：①证明：，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，即，
而，
，
四边形是正方形；
②解：当时，线段，，的数量关系为．
理由如下：当时，连接，
由（1）可得：，，
，
∴，
，
，
在直角三角形中，，
设，则，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定；正方形的判定；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）设，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一的性质得到，再根据30直角三角形的性质得到，解答即可；
（2）①根据角度的运算得到，，，然后根据三个直角的四边形是矩形可判定得到四边形为矩形，根据矩形的性质和等线段的代换得到CM=CN，再根据正方形的判定得到四边形是正方形，解答即可；
②当时，连接，利用HL证明，根据全等三角形的性质得，计算线段的和得到，设，根据30直角三角形的性质表示出，，从而得到，再计算线段的和，解答即可．
（1）证明：设，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：①证明：，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，即，
而，
，
四边形是正方形；
②解：当时，线段，，的数量关系为．
理由如下：当时，连接，
由（1）可得：，，
，
∴，
，
，
在直角三角形中，，
设，则，，
∴，
∴．
1 / 1贵州省黔西南州册亨县2025年九年级第一次模拟考试数学试题
一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共36分）
1．计算的结果是（　　）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故答案是：A．
【分析】根据有理数的加法法则即可求出答案.
2．“苗族剪纸”是晴隆县长流乡喇叭苗非物质文化遗产代表性项目之一，是民族文化的瑰宝，下列剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；轴对称图形的定义平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．计算 (a2)3的结果是（　　）．
A．a 5 B．a 6 C．a 8 D．a 9
【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【分析】根据幂的乘方的运算法则求解．
【解答】（a2)3=a6．
故选：B
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
4．若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，．
故答案为：B．
【分析】
根据一元二次方程有两个相等的实数根利用建立方程，计算可得k的值．
5．不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是( )
A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：解不等式x+1≥2可得x≥1，用数轴表示为：
.
故答案为：A.
【分析】
先解一元一次不等式得到x≥1，根据不等式的解集在数轴上表示，大于向右，含有等号用实心小圆点表示，判断即可解答．
6．在下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一次骰子，向上一面的点数是3
B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故A不符合题意；
B、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；
D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，逐项进行判断即可.
7．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则最符合这一结果的试验是（　　）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中随机抽取一张牌的花色是红桃
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
D．不透明的袋子中有红球和黄球各一个，它们除颜色外无其它差别，从中随机摸出一球是黄球
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵A的概率为，B的概率为，C的概率为，D的概率为，且图象的频率在左右，
∴A最接近，
故选：A．
【分析】根据题意可得，图象的频率在左右，对选项逐个求解，得到各自的概率，即可求解．
8． 已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．
【答案】C
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解： 如图所示：
∵是等腰底边上的高，
∴平分，
∴点F到直线，的距离相等，
∵点到直线的距离为3，
∴点到直线的距离为3．
故答案为：C
【分析】先根据题意画出草图，进而根据等腰三角形的性质结合角平分线的性质即可求解。
9．如图，内接于，连接 、，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据圆周角定理：等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，计算即可解答．
10．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AD∥BC，AB∥CD，OA=OB=OC=OD，
∴，∠OBC=∠OCB，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故答案为：C．
【分析】矩形性质为：①对角线相等且互相平分，②四个内角都是直角，③对边平行且相等，据此逐一判断得出答案.
11． 《九章算术》是我国古代重要的数学著作， 其中记载了一个问题， 大致意思为： 现有田出租， 第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱， 第三年 5 亩 1 钱. 三年共得 100 钱. 问：出租的田有多少亩 设出租的田有 亩， 可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：出租的田有 亩，第一年的租金为：，第二年的租金为：，第三年的租金为：，由题意可得： .
故答案为：B.
【分析】根据题意分别表示出第一年，第二年，第三年的租金，和为100，即可得到关于x的方程.
12．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 中经过（0，0），
∴c=0，
又∵二次函数经过（-2，-8）和（3，-3），
∴，解得，
∴二次函数，
对于A，a<0，此时图象开口向下，故A错误，不符合题意；
对于B，对称轴所在直线x=1，即当x>1时，y随x的增大而减小，当x<1时，y随x增大而增大，故B错误，不符合题意；
对于C，顶点（1，1）结合图象可知，图象经过一三四象限，故C错误，不符合题意；
对于D，对称轴所在直线x=1，故D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由待定系数法利用三点求出二次函数解析式，逐一根据图象性质判断选项即可.
二、填空题．（每题4分，共16分）
13． 的立方根是　 　．
【答案】-2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：－8的立方根是－2．
故答案为：－2．
【分析】根据（-2）3=-8。可得-8的立方根.
14．若，则　 　．
【答案】4
【知识点】解二元一次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解： 若，则
故填：4.
【分析】利用已知条件直接代入目标代数式进行消元即可得出结果.
15．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则　 　．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】由题意可得平分，再根据角平分线的性质可得，根据即可求解．
16．如图，在中，为对角线，于点E，点F是延长线上一点，且，线段的延长线交于点G．若，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图：过点F作于H，延长与的延长线交于K，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
又∵，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】 过点F作于H，延长与的延长线交于K，根据，可得，再利用勾股定理求出，再根据，求出，再利用勾股定理求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，即， 求出，再证出，利用相似三角形的性质可得，即， 求出，最后利用线段的和差求出BG的长即可.
三、解答题．（本大题9个小题，共98分）
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
∵
∴原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘法法则；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）先计算，负整数指数幂，零指数幂，然后计算加减即可解答；
（2）根据分式的混合运算法则：先通分计算加法得到，在计算除法约分得到，然后代值计算即可解答．
18．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象平行，且过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，则m的取值范围是__________．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：（2）如图，
当时，，
∴把点代入，
∴，
∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，
∴．
故答案为：．
【分析】
（）根据两直线平行得，根据待定系数法求函数解析式把点代入求出的值，写出函数解析式，解答即可；
（）先求两个函数图象的交点：令计算得，根据待定系数法求函数解析式把点代入得，观察函数图象得到满足条件，解答即可.
（1）解：∵一次函数的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
（2）解：如图，
当时，，
∴把点代入，
∴，
∵当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，
∴．
19．为丰富学生的校园生活，提升学生的综合素质，某校计划开设丰富多彩的社团活动．为了解全校学生对各类社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生必选且只选一类），并根据调查结果制成如下统计图（不完整）：
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是 ；
（2）若该校有1000名学生，请估计其中大约有多少名学生喜爱“阅读类”社团活动？
（3）某班有2名男生和1名女生参加“体育类”社团中“追风篮球社”的选拔，2名学生被选中．请用列表法或画树状图法求选中的2名学生恰好为1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）100，25
（2）解：，
答：大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动；
（3）解：画树状图，如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4，
∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查学生人数为，
喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是，
故答案为：100，25；
【分析】
（1）根据被调查总人数=“体育类”人数30所占百分比，喜爱“艺术类”社团活动的学生人数=总人数“艺术类”所占百分比，计算解答即可；
（2）根据样本估计总体：喜爱“阅读类”社团活动得人数=1000“阅读类”所占百分比计算即可解答；
（3）先画树状图得到所有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4，根据概率公式计算即可解答．
（1）解：本次共调查学生人数为，
喜爱“艺术类”社团活动的学生人数是，
故答案为：100，25；
（2）解：，
答：大约有150名学生喜爱“阅读类”社团活动；
（3）解：画树状图，如下
共有6种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为4，
∴抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率为．
20．如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）解：选择①，
证明：因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形；
选择②，
证明：因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形.
（2）解：由（1）得，
因为，，由勾股定理，得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①或②，结合两组对边相互平行，对边平行且相等，进而证得四边形为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，得出，结合勾股定理，即可求解.
（1）解：选择①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴．
21．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】（1）解：设书架上数学书有本，
由题意得：，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）解：设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设书架上数学书有本，根据图形列出方程，再求解即可；
（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式，再求解即可.
（1）解：设书架上数学书有本，由题意得：
，
解得：，
．
∴书架上有数学书60本，语文书30本．
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
∴数学书最多还可以摆90本．
22．如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，）
（1）求的长；
（2）求物体上升的高度（结果精确到）．
【答案】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，由∠CAB的余弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AB的长；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理算BC的长，在Rt△BCD，由∠CDB的正弦函数算BD的长，由绳子长度不变得BC+AB=BE+BD，从而代值计算可算出BE的长，最后根据CE=BC-BE可算出答案.
（1）解：由题意得，，
∵，，
∴在中，由，
得：，
∴，
答：；
（2）解：在中，由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∴，
∴，
答：物体上升的高度约为．
23．如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，．
（1）求证：；
（2）设，垂足为M，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又与都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故，
即．
（2）解：由（1）知，，
∴，
又，，
∴，，
∴圆的半径，
∴，
在中．
，
∴
即的长为．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形得性质得到，根据圆周角定理的推论得到，根据对顶角相等得到，等量代换得，根据角平分线的定义得，由直径所对的圆周角等于得，再计算角度的和得，解答即可．
（2）由（1）知，，根据等腰三角形得判定得到，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，再表示出，，再利用勾股定理计算得的值，解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
又与都是所对的圆周角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
故，
即．
（2）由（1）知，，
∴，
又，，
∴，，
∴圆的半径，
∴，
在中．
，
∴
即的长为．
24．每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】（1）解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
（2）解：当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润等于单件利润乘以销量可得；再根据二次函数的性质，求得对称轴以及最值即可；
（2）将代入二次函数可得，进行求解即可．
（1）解：由题意，得：；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，每天的利润最大，为元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；
（2）当时，，
解得：（不合题意，舍去）；
∴（辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
25．一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1．
（1）求证：；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，记为，延长交直线于点．
①当时，求证：四边形为正方形；
②当时，写出线段，，的数量关系，并证明．
【答案】（1）证明：设，
，，
，，
，
，
，，
，
；
（2）解：①证明：，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，即，
而，
，
四边形是正方形；
②解：当时，线段，，的数量关系为．
理由如下：当时，连接，
由（1）可得：，，
，
∴，
，
，
在直角三角形中，，
设，则，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定；正方形的判定；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）设，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一的性质得到，再根据30直角三角形的性质得到，解答即可；
（2）①根据角度的运算得到，，，然后根据三个直角的四边形是矩形可判定得到四边形为矩形，根据矩形的性质和等线段的代换得到CM=CN，再根据正方形的判定得到四边形是正方形，解答即可；
②当时，连接，利用HL证明，根据全等三角形的性质得，计算线段的和得到，设，根据30直角三角形的性质表示出，，从而得到，再计算线段的和，解答即可．
（1）证明：设，
，，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：①证明：，，
，，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，即，
而，
，
四边形是正方形；
②解：当时，线段，，的数量关系为．
理由如下：当时，连接，
由（1）可得：，，
，
∴，
，
，
在直角三角形中，，
设，则，，
∴，
∴．
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