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湖北省新八校2026届高三下学期5月联考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．样本数据2，8，14，16，20，24的中位数是( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 18
3．已知圆台，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，体积为，则该圆台的表面积为( )
A. B. C. D.
4．已知点，到同一直线的距离分别为7和3，若这样的直线恰有 2条，则a的取值范围为( )
A. B. C. D.
5．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排语文、数学、英语、物理、政治、体育6节课各一节的课程表，要求数学、物理课都在上午且不相邻，体育课在下午，则不同的排课方法数有( )
A.36种 B.72种 C.96种 D.144种
6．已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“为单调递增数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7．在中，，双曲线Γ以B，C为焦点，且经过点A，则Γ 的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8．已知函数，如图A，B，C是曲线与坐标轴的三个交点，直线交曲线于点M，若直线，的斜率分别为，4，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点.若 （i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转，且模长变为原来的2倍后与向量重合，则( )
A. B.点B在第三象限
C. D.的虚部是2
10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想” （又称“角谷猜想”）.如果对于正整数m，经过n步变换，第一次到达1，就称为n步“雹程”.如取，由上述运算法则得出：，共需经过7个步骤变成1，得.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（m为正整数），前n项和为.则( )
A.，则
B.时，
C.时，使得要6步雹程
D.使得的m的值有5个
11．如图，四面体中，，，，，P为该四面体表面上一点（包含边界），则( )
A.若，，则点P存在且唯一
B.若，则点P在内的轨迹长度为
C.若，则的最小值为1
D.的最小值为
三、填空题
12．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现其中一个样本数据点误差较大，去除后重新求得的回归直线，则______________.
13．椭圆的左焦点为F，，P为椭圆上的一个动点，则 的最小值为____.
14．已知数列满足，且，其中是函数在上的极值点，则_____.
四、解答题
15．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
(1)求角B的大小；
(2)若，的面积为，求的周长.
16．已知函数，（，且）.
(1)直线与曲线和曲线都相切，求a的值；
(2)若，求a的取值范围.
17．如图1，边长为2的正方形，E、F分别为、的中点，沿、、翻折，使得B、C、D三点重合于点P（图2）.M为棱的中点，上有一动点Q.
(1)证明：平面；
(2)，若与平面所成角的正弦值为，求λ的值.
18．甲、乙、丙、丁四人进行台球游戏，约定游戏规则如下：
(1)每轮游戏均将四人分成两组，进行一对一对打；
(2)第一轮甲乙对打，丙丁对打；
(3)每轮游戏结束后，两名胜者组成一组在下一轮对打，两名负者组成一组在下一轮对打；
(4)每组比赛均无平局出现，且每组比赛结果相互独立.甲胜乙、丙胜丁的概率均为，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为.
(1)在前三轮游戏中，甲乙对打的次数为X，求X的数学期望；
(2)求在第n轮游戏中，甲乙对打的概率；
(3)求在第n轮游戏中，甲获胜的概率.
19．在直角坐标系中，动点P到点的距离比它到的距离多.记P的轨迹为Γ.
(1)求轨迹Γ的方程；
(2)过上一点M（异于原点）作曲线Γ的切线，切点为A.
(i)求的最大值；
(ii)求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由题意得，被3除余数为2的整数}，
，
故选：A.
2．答案：B
解析：由题意得，
故选：B.
3．答案：D
解析：由题知，则，母线长，
则，
故选：D.
4．答案：C
解析：由题意可得：分别以点，为圆心，7和3为半径的两圆有两条公切线，则两圆相交，故，即，解得
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意可得先排上午，从语文、英语、政治中选2课排上午，产生3个空挡；再排数学和物理，最后排下午，故有种
故选：B.
6．答案：D
解析：例如，，则，，，显然不是单调递增数列；
反之，，则是单调递增数列，但，
故选D.
7．答案：B
解析：
如图所示，以的中点O为原点建立平面直角坐标系，设Γ的实轴长为，虚轴长为，焦距为.
设的内心为I，过点I分别作，，边的垂线，垂足分别为M，N，P.
由知，故点A在Γ的左支上.
因此，
又，所以，.
设的内切圆半径为r，则，，
故，即，所以Γ的离心率为.
故选B
8．答案：C
解析：由题意可得：函数的最小正周期为，点C是线段的中点.
根据图象可设，，，则.
则，整理得：，解得，代入得
故选：C.
9．答案：ABD
解析：因为，，故A正确；
对应的坐标为，，终边落在上，，，
由题意可知，，且，选项B正确；
，，所以，选项C错误；
，选项D正确.
故选：ABD.
10．答案：BC
解析：对A：当时，，，，则周期为3，故A错误
对B：若，则，，，，
因，则，故B正确；
对C：若，则，，，，，，，则需要6步雹程，故C正确；
对D：若，则或，
若，则，，；
若，则，，；
若，则，，；
若，则，，；故有4个，故D错误
11．答案：BCD
解析：对A：若，，则P为线段的中垂面与线段的中垂面的交线与表面的交点，如图，有两个点，，故A错误；
对B：记的中心为O，则平面，且，要使得，只需，即P在内是以O为圆心，为半径的圆在 内的部分，点P在内的轨迹长度为，故B正确；
对C：若点P在面上，，
故点P在以B，C为焦点，为长轴长的椭圆上，即，.
而，故点D在椭圆内，
在空间中将该椭圆绕旋转一周得到椭球面，则椭球面上任一点Q都有 ，
而，故点A在椭球面外，
因此与椭球面必有交点，
根据两点之间线段距离最短，故的最小值为1，故C正确；
对D：如图建立空间直角坐标系，则，，，，
设，则.
(1)若点P在坐标平面上，由对称性，不妨设平面，则，，，，此时，
当且仅当时取等号；
(2)若点平面，平面的法向量为，由得 ，且，，，消去x整理得
因，则，
当且仅当时取等号.
综上，，故D正确.
故选：BCD
12．答案：0.8
解析：依题意，过样本中心点，去除样本数据点后，剩余的数据的平均值，，故 过，得.
13．答案：
解析：设椭圆的右焦点为，则
，
当且仅当P、A、三点共线取等号.
14．答案：（或写成）
解析：，，
由，得，由，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，且，故存在，使得，即，
又，
令，，显然单调递增，则，
故，且，则，
故
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，由正弦定理得，
由得，
所以，即.
因为，所以.又，
所以.
因为，所以.
(2)由正弦定理得，解得，
由余弦定理得，解得，
所以的周长为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)设直线与曲线的切点坐标为，
由于，则，解得，，则切点坐标为 .
直线.
由得，
由，解得或（舍去），当时，得，符合题意，所以.
(2)①当时，则函数的定义域为.
由于，，，不成立，所以不符合题意.
②当时，则函数的定义域为.显然.
当时，由，得，即，即
令，则.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
则当时，取得最小值，其值为.
故.综上所述，a的取值范围为.
17．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)翻折前，，翻折后B、C、D三点重合于点P，则 ，，，则平面；
(2)由(1)，以P为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
则，故，
记平面的法向量，，，
则，即，不妨取，则，
即，，若与平面所成角为θ，
则，
令，整理得，即，又 ，
解得，故.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)第1轮甲乙对打，故第二轮甲乙不可能对打，则第二轮甲只能和丙或丁对打.若第三轮甲乙对打，则甲乙在第二轮都胜或者都负；
故X所有可能得值为1，2
第2轮甲丙对打，则甲和丙在第1轮都胜或都负，其概率 ，
第3轮甲乙对打，则第2轮甲和丙打，乙和丁打，此时甲和乙同胜或同负；甲和丁打，乙和丙打，此时甲和乙同胜或同负；
此时，
则
故X的分布列为
X 1 2
P
(2)设在第n轮游戏中，甲乙对打的概率为，甲丙对打的概率为，甲丁对打的概率为，
在第轮游戏中，甲和乙对打，则第n轮游戏中，甲丙对打，或者甲丁对打，
故，即，
故，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
(3)同理，，故，又，则，
故，
在第n轮游戏中，甲获胜的概率为.
19．答案：(1)
(2)(i)8；(ii)
解析：(1)设动点，由，
当时，化简得；当时，，轨迹不存在；
故轨迹Γ的方程为：.
(2)(i)设，根据对称性，不妨设，则.
则在A处的切线方程为，与联立得，
由，即，即，
所以直线的方程为，
或：因为A在曲线上，则，故在A处的切线的斜率 ，所以
直线的方程为.
记，在上一点M，使得等价于直线到N的距离不大于2，所以，解得.
因此，即的最大值为8.
(ii)设过点M的另一条切线与Γ相切于，
由(i)同理可得切线，记，
则，
故直线的方程为：.
先证明.
联立 ，整理得，，
.
所以 .
可得
，
结合故.当且仅当时等号成立.
因此，解得，
故.

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